Cavendishův pokus: Určení gravitační konstanty,,vážení Země

Transkript

1 Cavendishův pokus: Učení gavitační konstanty,,vážení Země Jiří Kist - Mendlovo gymnázium, Opava, SO@seznam.cz Teeza Steinhatová - gymnázium J. K. Tyla Hadec Kálové, SteinT@seznam.cz 1. Úvod Abstakt: Cílem Cavendishova expeimentu je učení gavitační konstanty postřednictvím měření sil v řádech N na tosních vahách. Pomocí gavitační konstanty lze učit nejen gavitační sílu působící mezi dvěmi tělesy, ale i hmotnost libovolného tělesa, známe-li gavitační zychlení a vzdálenost tělesa v daném místě. Newtonův gavitační zákon nám říká, že dvě tělesa se navzájem přitahují gavitační silou, kteá je přímo úměná součinu hmotností obu těles a nepřímo úměná kvadátu jejich vzdálenosti. V matematickém vyjádření této síly se nám ale musí objevit gavitační konstanta, kteou jsme se ozhodly změřit. Vztah po výpočet této síly je pak m1m F =, (1) kde je pávě gavitační konstanta, m 1, m hmotnosti těles a jejich vzdálenost. Expeiment je ovněž nazýván Vážení Země, což je nepřesné, ale vystihuje to jeden z největších přínosů. Jak bylo řečeno v abstaktu, změříme-li můžeme učit nejen hmotnost Země, ale i jakéhokoli jiného tělesa, známe-li gavitační zychlení a vzdálenost v daném bodě. Po tento výpočet upavíme výše uvedený vztah do podoby M = g, () kde M je hledaná hmotnost a g je gavitační zychlení v daném místě. (Jako g se standadně označuje tíhové zychlení, do kteého je ale započteno odstředivé zychlení na dané ovnoběžce. My ale potřebujeme pouze zychlení dané gavitací planety, nikoli její otací.) Základní motivací po nás bylo zkusit s jakou přesností se nám povede gavitační konstantu změřit.

2 . Expeiment a)teoie: Měření na tosních vahách je založeno na vlastnostech lanka či pásku a nosné tyčky s tělesy. Lanko nám zde haje oli pužiny, kteou v tomto expeimentu nelze po nedostatečnou přesnost při měření velmi malých sil použít. Velké koule o hmotnostech m 1 působí na malé koule o hmotnostech m stejně velkými silami opačného směu F podle gavitačního zákona, (samozřejmě působí i malé koule na velké silou F, ale zychlení způsobené těmito silami je tak malé, že je neuvažujeme). Vzniká moment síly τ k = Fd (d, F viz obázek). Jako eakce na tento moment vzniká v lanku moment síly τ l = κθ, kde θ je úhel stočení a κ je tosní neboli koutící moment lanka. Tyto dva momenty se musí ovnat (zákon akce a eakce). τ = (3) k τ l m1m κθ = d (4) b Úhel θ si vyjádříme pomocí goniometických funkcí a expeimentálně naměřených hodnot S 1, (viz ob.). Apoximace goniometické funkce na její agument je možná u malých úhlů (cca do ). S θ = () 4L

3 Tosní moment κ je s peiodou kmitů tosních vah T, kteou získáme fitováním naměřených hodnot, ve vztahu 4π J T =, (6) κ kde J je moment setvačnosti soustavy malých koulí (m ) vůči ose kolmé na tyčku a pocházející jejím středem, přičemž tyčku po její malou hmotnost zanedbáme. Moment J je za použití Steineovy věty [] J = m ( d + ). (7) d + Z toho je 8 κ = π m (8) T Nyní upavíme vztah (4), dosadíme do něj vztahy po θ, κ a získáme vztah po výpočet gavitační konstanty d (9) + = π Sb T m Ld Je nutné povést koekci. Malá koule m je ovlivněna i vzdálenější větší koulí (ob.1,[3]-s.1). 1 0 = 1 b (10) Do tohoto vztahu dosadíme naměřené a zpacované údaje. b)měření: Měření jsme pováděli metodou popsanou v manuále [3] metodou II. Laseový

4 Výsledky: Laseový papsek odážející se od zcátka na ose tosníh vah dopadal na stupnici ve vzdálenosti L. Z této stupnice jsme odečítali hodnoty zobazené v gafu čenými tečkami. Je vidět, že změnou polohy velkých koulí jsme získali dvě ůzné sinusoidy. Navifováním v pogamu Oange jsme získali paamety těchto sinusoid a čevenou stopu v gafu, kteá je zobazením těchto funkcí s nejmenší možnou odchylkou od naměřených hodnot. Tyto funkce zapíšeme x τ π f = Ae sin( T ( x xc)) + A0 (11) 1. funkce. funkce A 396 ±6-4± A 0 336±1 460,7±0,1 T 49,±0, 00,1±0,1 τ 090±70 166±1 x c 81 77,1±0, Po výpočet použijeme zvýazněné hodnoty. T jsou peiody z kteých uděláme půmě, A0 jsou hodnoty S1, (ob.). Údaje uváděné v tabulce jsou výsledky dílcích měření ozměy pomůcek a vzdáleností (ob.) , 0,009 d 0,00 0,0 b 46,0 0,046 L 6077,00 6,077 ds 14,00 0,14 T 496,00 m1 1,49 Výchylka [mm] chyba % 6,01E-011 6,30E-011 6,67E-11, 3. Shnutí Tento typ měření gavitační konstanty pováděn s chybou půměně % [3], což jsme s naměřenou hodnotou 6,3 E-11 a tedy odchylkou,% přibližně dodželi. Myslím, že vzhledem k zaokouhlování, kteé jsme pováděli, je výsledek opavdu dobý. Asi nejdůležitější je dostatečně velký statistický vzoek měření, aby výsledek měření zpacovaný počítačem byl zatížen co nejmenší statistickou chybou. 4. Poděkování Za konzultace našemu supevisoovi Davidu Koňaříkovi a za skvělé zázemí FJFI ČVUT.. Refeence: [1] FEYNMAN, R. P. LEIHTON, R. B. SANDS, M. Feynmanovy přednášky z fyziky s řešenými příklady Fagment 000 č. stany - 10 [] [3] avitional tosion balance PASCO scientific Čas [s]

5 [4] Macháček, J.- Mouchová, Z- Nowakova, J. Cavendishův pokus: Měření gav. konst. FYZTYD 006 č. st.