Sommerfeld-Wilsonova kvantová mechanika

Transkript

1 Kapitola Kapitola 3 Sommefeld-Wilsonova kvantová mechanika Obsah: 3 Sommefeld-Wilsonova kvantovací podmínka 3. Hamonický osciláto 3.3 Atom vodíku - neelativistická teoie 3.4 Pincip koespondence Liteatua: [1] FONG lementay Quantum Mechanics Úspěchy kvantových představ při řešení poměně šioké škály poblémů vedly fyziky na počátku tohoto století ke snaze fomulovat obecnou kvantovací metodu. Přes výboný souhlas s expeimentálními daty byly totiž teoie, s nimiž jsme se zatím seznámili, poměně izolované ostůvky v celkovém fyzikálním obazu světa. Planck uměl kvantovat lineání hamonický osciláto, Boh pak pouze poblém tělesa pohybujícího se po kužnici v poli centální síly. Fyzikální svět jevšakmnohembohatší.rádibychomuměli aplikovat kvantové představy i na další systémy, chybí nám však zatím ale předpis, jak to udělat. Ačkoliv snaha o vybudování obecné kvantové teoie byla úspěšně zavšena až v polovině dvacátých let vznikem Schödingeovy vlnové mechaniky, kteou budeme velmi podobně studovat v následujících kapitolách, již bzy po pvní světové válce se podařilo fomulovat pvní, alespoň do jisté míy obecnou kvantovou teoii. Její tvůci ji ozvíjeli až do počátku třicátých let, i když již bylo jasné, že se jedná o slepou větev vývoje fyzikálního pohledu na svět. Své místo v histoii vývoje kvantové fyziky však tato teoie nesponě má a bude tedy užitečné se s ní alespoň stučně seznámit. 3.1 Sommefeld-Wilsonova kvantovací podmínka Na základě zobecnění Bohových a Planckových výsledků nalezli Sommefeld a Wilson obecnou metodu, jak kvantovat stupně volnosti, jejichž zobecněná souřadnice esp. jí přidužený impuls jsou peiodickými funkcemi času. Přesněji - každému (obecně mnohočásticovému) systému můžeme v ámci klasické mechaniky přiřadit nějakou soustavu zobecněných souřadnic q 1,..., q f a jim kanonicky sdužených impulsů p 1,..., p f, kde f je počet stupňů volnosti této soustavy. Z teoetické mechaniky víte, že vztah mezi p i a q i je dán ostřednictvím Lagangeovy funkce L p i L = ( ) q q q q q t 1,..., f, 1,..., f,. (3-1) i Po zobecněné souřadnice a impulsy (ychlosti) se fomulují tzv. pohybové ovnice (Newtonovy, Lagangeovy, Hamiltonovy), jejichž řešení popisují evoluci systému. Řešení klasických pohybových ovnic se zadanou počáteční podmínkou nazýváme klasickou tajekto-

2 Kapitola ií systému. Bude-li někteý z páů časových závislostí p i (t), q i (t) peiodickou funkcí času (po impuls i souřadnici je peioda stejná), budeme moci na příslušný stupeň volnosti aplikovat Sommefeld-Wilsonovu metodu. Seznámeni se základními fakty můžeme tedy zfomulovat Sommefeld- Wilsonovu kvantovací podmínku: Ze všech klasických evolucí peiodického stupně volnosti (p i,q i )systému jsou ealizovatelné pouze ty, kteé splňují ò pdq = nh. (3-) i i i Zde h je Planckova (nešktnutá) konstanta a n i celé číslo. Bližší učení jím pobíhaného obou je závislé na povaze konkétního systému. Poněkud vágní symbol ò označuje integaci přes celou peiodu odpovídající příslušnému stupni volnosti (označme ji T i ). Levou stanu (3-) můžeme pak jednoduše přepsat s pomocí postého Riemannova integálu na tva t + pdq i i = pi() ò ò tqi() tdt, (3-3) t T i kde t volíme libovolně (výsledek integace, je-li integand peiodický s peiodou T i,na této volbě nezávisí). Aplikace Sommefeld-Wilsonovy kvantovací metody v paxi tedy znamená, že musíme 1) vyřešit klasické pohybové ovnice studovaného systému a nalézt klasické tajektoie a ) z nich, s pomocí podmínky (3-), vybat tajektoie povolené. Již samotný pvní kok je technicky velmi obtížný a po většinu eálných systémů neřešitelný bez vydatné pomoci numeických metod. Všimněte si ovněž, že duhý kok implicitně zahnuje výpočet zpavidla poměně složitého integálu, kdy se opět často neobejdeme bez numeické matematiky. Pincipiálně jednoduchá kvantovací metoda, zdá se tedy, bude klást poměně vysoké náoky na naši matematickou eudici 1. V mnoha speciálních případech bude ale možné významné zjednodušení. Za jistých okolností můžeme totiž kok (1) vypustit. To platí například po konzevativní systémy, tj. takové, v nichž se zachovává celková enegie. Ukažme si obecný postup na zjednodušeném modelu jednoozměného systému, kteý je popsán jedinou zobecněnou souřadnicí q a jí odpovídajícím impulsem p. Celková enegie systému (Hamiltonova funkce) je pak dána předpisem = p H ( p, q ) = m + Vq ( ). (3-4) Z toho vztahu snadno získáme ( je konstanta pohybu) 1 Bohužel ještě větší náoky na používané matematické postředky budou klást přesnější teoie Schödingeova esp. Diacova.

3 Kapitola ( ) pq ( ) =± m Vq ( ), (3-5) kde znaménko + esp. - odpovídá jednotlivým půlpeiodám peiodického jednoozměného pohybu. Snadno tedy získáváme altenativní tva Sommefeld-Wilsonovy kvantovací podmínky q ò p( q) dq = nh, (3-6) q max min kde za p(q) dosazujeme z (3-5) a integujeme pouze přes půlpeiodu studovaného pohybu, tedy od minimální po maximální hodnotu zobecněné souřadnice. Poto se na levé staně (3-6) objevil multiplikativní fakto. Vyzbojeni obecnou kvantovací metodou, kteou jsme si pávě nastínili, se můžeme pokusit o ozkvantování někteých konkétních systémů. Pochopitelně nás zajímají především ty, kteé jsme studovali v předchozích kapitolách - lineání hamonický osciláto a atom vodíku. 3. Lineání hamonický osciláto Klasická Hamiltonova funkce lineáního hamonického oscilátou má tva p 1 Hpq (, ) = + m q m ω (3-7) a řešením klasických pohybových ovnic získáváme q(t) = q cos(ωt+φ) p(t) = -mωq sin(ωt+φ), (3-8) kde hodnoty integačních konstant q a φ získáme z konkétní volby počátečních podmínek. Dosazením (3-8) do vztahu (3-3) máme (t volíme nulové) π ω ò ( ) mq ω sin ωt + φ dt mq ωπ = nh a po snadné úpavě 1 mq ω = nd ω. (3-9)

4 Kapitola Uvědomíme-li si však, že levá stana (3-9) je celková enegie kmitajícího lineáního hamonického oscilátou, vidíme, že výsledek plynoucí ze Sommefeld-Wilsonovy kvantovací podmínky je totožný s Planckovou kvantovou hypotézou. Ukažme si ještě po ilustaci, jak se můžeme v případě lineáního hamonického oscilátou obejít bez detailní znalosti klasických tajektoií systému. S použitím (3-6) totiž získáváme v tomto konkétním případě q ( ) 1 ò m ( mω q ) dq= nh, q ( ) kde jsme zdůaznili závislost klasických bodů obatu kmitavého pohybu na celkové enegii oscilátou. Substituce m x = ω q nám umožní integál na levé staně snadno vyčíslit a po úpavách získáme pochopitelně opět vztah = ndω. 3.3 Atom vodíku - neelativistická teoie Z teoetické mechaniky víte, že se poblém dvou těles s centální inteakcí edukuje na ovnoměný přímočaý pohyb jejich těžiště a dvojdimenzionální pohyb fiktivního hmotného bodu (o hmotnosti ovné edukované hmotnosti systému µ) v poli centální síly. Hamiltonova funkce odpovídající vnitřnímu stupni volnosti je dána v poláních souřadnicích výazem p p ϕ Hp (, p, ϕ, ϕ) = + + V ( ). (3-1) µ µ Vpřípadě coulombické inteakce mezi elektonem a jádem atomu vodíku píšeme ovšem V ()= 1 πε 4 e. (3-11) Víte, že kanonický impuls p φ odpovídá momentu hybnosti studovaného dvojčásticového systému vůčijehotěžišti a také že je integálem pohybu (tj. nemění se s časem). Po coulombickou inteakci je klasický poblém dvou těles analyticky řešitelný. Tajektoiemi fiktivního hmotného bodu jsou

5 Kapitola a) elipsy (kužnice mezi ně počítaje), je-li celková enegie systému v těžišťové soustavě záponá - vázané stavy, peiodický pohyb, b) paaboly a hypeboly, je-li celková těžišťová enegie nulová esp. kladná - nepeiodický pohyb. V případě atomu vodíku (vázaná soustava potonu a elektonu) jsou zajímavé pouze tajektoie typu (a),kteé můžeme v ámci Sommefeld-Wilsonovy teoie kvantovat. Dříve než se o to pokusíme, analyzujme jeden velmi speciální model. Bohův model atomu vodíku Připustíme-li jako klasické vázané tajektoie pouze kužnice, jak to ve svých předpokladech činí Boh, stává se celý poblém jednoozměným a po integál pohybu p φ můžeme psát p φ = µ v, (3-1) kde v je oběžná ychlost. Kvantovací podmínku pak zapíšeme ve tvau ρ ò p dϕ= n h ϕ ϕ, (3-13) kde explicitně vyznačujeme příslušnost kvantového čísla k úhlovému stupni volnosti. Na základě fyzikálních poměů uvnitř atomu vodíku požadujeme, aby se n φ pobíhalo přiozená čísla. Potože ale p φ je integálem pohybu (a nezávisí tedy na φ), můžeme (3-13) s pomocí (3-1) přepsat na π mv=nh. (3-14) Ve vztahu (3-14) ale okamžitě poznáváme pvní Bohův postulát. Sommefeldova neelativistická teoie atomu vodíku Vaťme se ale k našemu původnímu poblému. K aplikaci Sommefeld-Wilsonovy kvantovací podmínky na poblém dvou těles vázaných coulombickou inteakcí. Nebudeme činit žádných dalších speciálních předpokladů, pouze se po jednoduchost omezíme na neelativistický popis 3. Atom vodíku má obecně dva vnitřní stupně volnosti. Sommefeld-Wilsonovu kvantovací podmínku musíme tedy psát ve tvau ò pϕdϕ= nϕh, n φ =1,,... (3-15) ò pd = nh, n =,1,... Zobecněnou souřadnicí je azimutální úhel. 3 Sommefeldovi a jeho spolupacovníkům sepodařilo vytvořit i elativistický model atomu vodíku, při jehož popisu používali Hamiltonovy funkce plynoucí ze speciální teoie elativity. Na jeho základě se jim komě jiného podařilo objasnit jemnou stuktuu spektálních ča.

6 Kapitola Pvní ze vztahů (3-15) se edukuje po uvážení faktu, že p φ je integálem pohybu, na jednoduchou ovnost L=l D, (3-16) kde jsme označili, jak je to obvyklé, moment hybnosti velkým L (= p φ ) a jemu příslušející kvantové číslo, obvykle nazývané vedlejším, malýml. Duhý vztah (3-15) pak přechází na max ì L ü ò µ í V () d nh ý =. (3-17) µ min î þ Symboly min a max jsme označili vzdálenosti jáda a elektonu v klasických bodech obatu. Po jednoduchost neuvádíme explicitně jejich závislost na enegii a momentu hybnosti L. Po dosazení coulombické závislosti inteakční enegie na vzdálenosti podle (3-11) můžeme integál na levé staně (3-17) po jistém úsilí vypočíst. Vezmeme-li navíc v úvahu platnost vztahu (3-16), přejde podmínka (3-17) na poměně jednoduchý a nám již známý tva 4 e n = µ 8ε h kde jsme zavedli tzv. hlavní kvantové číslo 1, (3-18) n n=n +l, (3-19) kteé pobíhá hodnoty n = 1,,.... Ve vzoci (3-18) ale poznáváme vztah, kteý jsme obdželi po povolené kvantové hodnoty enegie atomu vodíku již v ámci Bohova modelu. V tomto ohledu se obě teoie - Sommefeldova i Bohova - shodují. Podstatný ozdíl mezi oběma přístupy však spočívá vtom,žedanékvantovéenegii n odpovídá v Bohově modelu jediná kuhová tajektoie, zatímco v modelu Sommefeldově celá skupina obecně eliptických tajektoií, kteé se navzájem liší svým tvaem. Ten je jednoznačně dán konkétními hodnotami obou kvantových čísel. Podobné výpočty povedeme v ámci příkladů k této kapitole. Skupiny tajektoií odpovídajících stejné hodnotě enegie (a tedy i hlavního kvantového čísla) nazýváme (enegetickými) hladinami či slupkami. 4 4 Dříve než pokočíme dále, zdá se být vhodné alespoň fomou poznámky diskutovat spolehlivost a přesnost výsledků plynoucích z Sommefeld-Wilsonovy teoie. Z předcházejících úvah jasně vyplývá, že je obecnější než velmi speciální modely diskutované v pvních dvou kapitolách, kteé v sobě zahnuje jako speciální případy. Po atom vodíku dává ještě něco navíc opoti jednoduché představě Bohově. Později se k Sommefeld-Wilsonově kvantové teoii ještě jednou vátíme a uvidíme, že ani ona není zcela přesná. Bohužel by to vyžadovalo nemalé úsilí, než by se nám podařilo ukázat, jak se o tom zmíníme později, že co do přesnosti (ozumějme tím souhlasu s expeimentem) leží někde mezi pvotními teoiemi typu Bohova modelu atomu vodíku či Planckovy teoie hamonického oscilátou a nám zatím neznámou přesnou kvantovou teoií, kteou se ukáže být vlnová mechanika Schödingeova.

7 Kapitola Pincip koespondence Na závě našeho povídání o Sommefeld-Wilsonově teoii věnujme, jak se již v minulých kapitolách stalo tadicí, nějaký čas analýze otázky, zda tato teoie neposkytuje za jistých okolností výsledky, kteé se jen nepatně liší od předpovědí klasické fyziky. Inspiováni závěy, k nimž jsme dospěli při studiu předchozích kapitol a kteé jsme nazývali pincipem koespondence, očekáváme i nyní, že v limitě vysokých hodnot kvantových čísel přejdou výsledky plynoucí ze Sommefeld-Wilsonovy teoie na výsledky klasické. Ilustujme si opávněnost podobného očekávání na následujícím jednoduchém příkladu. Uvažujme peiodický pohyb systému s jedním stupněm volnosti.může se jednat například o vibace lineáního (obecně anhamonického) oscilátou. Uvažovaný stupeň volnosti pak odpovídá výchylce z ovnovážné polohy. Na obázku 3A je nakeslena závislost potenciální enegie V uvažovaného systému na výchylce x. Označme ve shodě s obázkem celkovou enegii vibačního pohybu. Jí odpovídají klasické body obatu (maximální výchylky z ovnovážné polohy), kteé jsme označili na obázku písmeny a a b. Kvantovací podmínku po náš systém pak zapíšeme ve tvau b { } ò m V( x) dx = nh. (3-) a Řešením této ovnice vzhledem k pak můžeme teoeticky získat přípustné (kvantové) enegetické hladiny systému. Přechody mezi těmito hladinami mohou pak být dopovázeny emisí či absopcí fotonu, jehož fekvence je po přechod z (n+k)-té hladiny na n-tou dána vztahem,. (3-1) h n+ k n ν n + k n = Podle klasických představ, je-li změna enegie systému dopovázena emisí či absopcí elektomagnetického záření, odpovídá fekvence tohoto záření fekvenci budících vibací a vyšším hamonickým. Pokusme se tuto fekvenci učit. Označíme-li integál na levé staně (3-) zkatkou I(), zjistíme snadno deivací podle paametu a podle věty o deivaci invezní funkce, že platí di( ) d() I = T esp. =ν, (3-) d di kde jsme označili písmenem T peiodu a ν fekvenci vibací studovaného systému. Ovšem po vysoká kvantová čísla, tedy v předpokládané klasické oblasti, je možno s dostatečnou přesností psát d ν = di I n+ 1 n+ 1 I n n = n+ 1 n n h {( n+ 1) } = ν n+ 1 n,. (3-3) Analogicky bychom mohli získat ν n+k,n =kν. (3-3 )

8 Kapitola Spojením začátku a konce řetězce vztahů (3-3) a ze vztahu (3-3 ) ovšem dostáváme klasické tvzení o souvislosti mezi fekvencemi vibací systému a jím vyzařovaného elektomagnetického záření. Vztah (3-3) je tedy dalším vyjádřením, tentokát obecnějším než dříve, známého pincipu koespondence.

9 Příklady ke kapitole Příklady 1) Odvoďte vztah (3-9) oběma způsoby naznačenými v oddíle 3.. ) Odvoďte vztah (3-18). 3) Učete přípustné hodnoty malých a velkých poloos tajektoií elektonů v Sommefeldově neelativistickém modelu atomu vodíku. 4) Nalezněte v ámci Sommefled-Wilsonovy teoie přípustné kvantové enegetické hladiny bodové částice vázané na přímku pohybující se v potenciálovém poli V(x) kdeaiv jsou kladná čísla. Vx ( ) = x (, a> < a, + ), Vx ( ) = V x < aa, > 5) Nalezněte v ámci Sommefled-Wilsonovy teoie přípustné kvantové enegetické hladiny bodové částice vázané na přímku pohybující se v potenciálovém poli V(x) Vx ( ) = x (, a> < a, + ) Vx ( ) = kx+ q x < a, > / / Vx ( ) = kx+ q x <, a>, kdeajekladnéčíslo a funkce V(x) je spojitá. 6) Nalezněte v ámci Sommefled-Wilsonovy teoie přípustné kvantové enegetické hladiny tojdimenzionálního hamonického oscilátou V( x)= mωxx + mωyy + mω zz.

10 Obázky ke kapitole Obázky Obázek 3A Jednoozměný anhamonický osciláto,3,5, V(x),15,1,5, a -,6 -,4 -,,,,4,6 x b