ODHADY NÁVRATOVÝCH HODNOT

Transkript

1 ODHADY NÁVRATOVÝCH HODNOT KLIMATOLOGICKÝCH DAT Katedra aplikované matematiky Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická Technická univerzita v Liberci Robust 2018

2 ÚVOD Velká pozornost v analýze extrémních dat (např. záplavy) je věnována odhadům T -leté úrovně (návratová hodnota, T -letá voda). Představa: úroveň opakující se v průměru jednou za T let.

3 ÚVOD Velká pozornost v analýze extrémních dat (např. záplavy) je věnována odhadům T -leté úrovně (návratová hodnota, T -letá voda). Představa: úroveň opakující se v průměru jednou za T let. Z pohledu statistiky: vysoký kvantil rozdělení náhodné veličiny (průtoku). ( u(t) = F ) T P (X > u(t)) = 1 F(u(T)) = 1 T

4 PŘÍKLAD Příklad: Roční maxima teploty vzduchu za období Stanice Liberec Návratová hodnota (roky) GEV rozdělení metoda max. věrohodnosti Maximální dosažená hodnota za sledované období 36.2.

5 ZÁKLADNÍ PRINCIPY Necht X 1, X 2,... jsou nezávislé stejně rozdělené náhodné veličiny s distribuční funkcí F. Necht M n = max(x 1,...,X n ). Předpokládejme, že existuje posloupnost reálných čísel a n > 0 a b n tak, že posloupnost (M n b n )/a n konverguje v distribuci, t.j. P ((M n b n )/a n x) = F n (a n x+b n ) G(x), n, pro nějakou nedegenerovanou d.f. G(x) Jestliže podmínka platí, říkáme, že F je ve sféře přitažlivosti G (maximum domain of attraction), F MDA(G).

6 ZÁKLADNÍ PRINCIPY FISHEROVA-TIPPETTOVA VĚTA (1928) Jestliže F MDA(G) potom { G je typu jedné z následujících tří d.f. 0, x 0 Fréchet Φ 1/γ (x) = exp ( x 1/γ), x > 0 γ > 0 { { } exp ( x) 1/γ, x 0 Weibull Ψ 1/γ (x) = 1 x > 0 γ > 0 Gumbel Λ(x) = exp( e x ), x R.

7 ZÁKLADNÍ PRINCIPY FISHEROVA-TIPPETTOVA VĚTA (1928) Jestliže F MDA(G) potom { G je typu jedné z následujících tří d.f. 0, x 0 Fréchet Φ 1/γ (x) = exp ( x 1/γ), x > 0 γ > 0 { { } exp ( x) 1/γ, x 0 Weibull Ψ 1/γ (x) = 1 x > 0 γ > 0 Gumbel Λ(x) = exp( e x ), x R. GNĚDĚNKO (1943) Limitní rozdělení je zobecněné rozdělení extrémních hodnot. { ( ) exp (1+γx) 1/γ γ 0 G(x) = G γ (x) = exp( e x ) γ = 0, kde 1+γx > 0 G je určena jednoznačně až na parametr polohy a měřítka.

8 METHOD OF BLOCK MAXIMA Předpokládáme, že data rozdělíme do bloků obsahující n (velké) hodnot, bereme maximum v každém bloku a využijeme limitní výsledek, t.j. GEV rozdělení. Užití limitního rozdělení: ( Mn b n P a n ) x G γ (x). y = a n x+b n P(M n y) G γ ( y bn a n ) = G γ,bn,a n (y). Parametry odhadneme, např. metodou maximální věrohodnosti

9 METHOD OF BLOCK MAXIMA pro γ = 0 L(b,a,γ) = mloga (1+1/γ) L(b,a) = mloga i=1 Neexistuje analytické řešení. m i=1 m i=1 [ 1+γ m ( ) zi b a ( log 1+γ ( zi b a ( )) zi b a )] 1/γ m {( zi b exp a i=1 )}.

10 PŘÍKLAD Příklad: Roční maxima teploty vzduchu za období Stanice Liberec Návratová hodnota (roky) GEV rozdělení metoda max. věrohodnosti Maximální dosažená hodnota za sledované období 36.2.

11 PŘÍKLAD Příklad: Roční maxima teploty vzduchu za období Stanice Liberec Návratová hodnota (roky) GEV rozdělení metoda max. věrohodnosti Gumbelovo rozdělení metoda max. věrohodnosti Maximální dosažená hodnota za sledované období 36.2.

12 L-MOMENTOVÁ METODA Pro malé a střední rozsahy výběrů odhady lepší vlastnosti než metoda maximální věrohodnosti např. simulační studie (Hosking, Wallis, Wood) ukazuje, že pro všechna k GEV z intervalu (-0.5,0.5) a rozsah výběru do 100 mají odhady menší či srovnatelnou střední kvadratickou chybu ve srovnání s odhady maximální věrohodností

13 L-MOMENTOVÁ METODA Necht X 1,X 2,...X n je náhodný výběr s distribuční funkcí F(x) a kvantilovou funkcí Q(u) a necht X 1:n X 2:n X n:n jsou pořádkové statistiky. L-momenty: EX j:r = λ r = 1 r 1 ( ) r 1 ( 1) k EX r k:r, r = 1,2,... r k k=0 r! (j 1)!(r j)! λ 1 = EX = x(f(x)) j 1 (1 F(x)) r j df(x) 1 λ 2 = 1 2 E(X 2:2 X 1:2 ) = λ 3 = 1 3 E(X 3:3 2X 2:3 +X 1:3 ) = 0 1 Q(u)du Q(u)(2u 1)du Q(u)(6u 2 6u+1)du

14 L-MOMENTOVÁ METODA Příklady L-momentů některých rozdělení: Rovnoměrné na (a,b) λ 1 = 1 2 (a+b),λ 2 = 1 6 (b a),τ 3 = 0,τ 4 = 0 Normální N(µ,σ 2 ) λ 1 = µ,λ 2 = σ π,τ 3 = 0,τ 4 = Gumbelovo rozdělení F(x) = exp[ exp( (x ξ)/α)] λ 1 = ξ +αγ,λ 2 = αlog2,τ 3 = , τ 4 = ,γ = konst. Zobecněné rozdělení F(x) = exp[ (1 k(x ξ)/α) k] 1 extrémních hodnot λ 1 = ξ +α(1 Γ(1+k))/k, (GEV) λ 2 = α(1 2 k )Γ(1+k)/k, τ 3 = 2(1 3 k )/(1 2 k ) 3,τ 4 =... k > 1, Γ(.) označuje gamma funkci

15 L-MOMENTOVÁ METODA Odhady: Výběrový L moment: r = 1,2,...,n. Speciálně: ( ) 1 n l r =... r 1 ( ) r 1 r 1 ( 1) k r k 1 i 1<i 2<...<i r n l 1 = 1 n i=1 k=0 X ir k :n, n X i, l 2 = 1 ( ) 1 n (Xi:n X j:n ) 2 2 i>j l 3 = 1 ( ) 1 n (Xi:n 2X j:n +X k:n ) 3 3 i>j>k l 4 = 1 ( ) 1 n (Xi:n 3X j:n +3X k:n X l:n ) 4 4 i>j>k>l

16 L-MOMENTOVÁ METODA Odhady paramterů L-momentová metoda Rovnoměrné na (a,b) â = l 1 3l 2,â = l 1 +3l 2 Normální N(µ,σ 2 ) ˆµ = l 1,= ˆσ = π 1/2 l 2 Gumbelovo rozdělení F(x) = exp[ exp( (x ξ)/α)] ˆξ = l 1 ˆαγ, ˆα = l 2 /log2 γ = konst. Zobecněné rozdělení F(x) = exp[ (1 k(x ξ)/α) k] 1 extrémních hodnot z = 2/(3+t 3 ) log2/log3, (GEV) ˆk = z z 2, ˆα = l 2ˆk/[(1 2 ˆk)Γ(1+ˆk)], ˆξ = l 1 + ˆα[Γ(1+ˆk) 1]/ˆk

17 PŘÍKLAD Příklad: Roční maxima teploty vzduchu za období Stanice Liberec Návratová hodnota (roky) GEV rozdělení metoda max. věrohodnosti L-momentová metoda Maximální dosažená hodnota za sledované období 36.2.

18 PŘÍKLAD Příklad: Roční maxima teploty vzduchu za období Stanice Liberec Návratová hodnota (roky) GEV rozdělení metoda max. věrohodnosti L-momentová metoda Gumbelovo rozdělení metoda max. věrohodnosti L-momentová metoda Maximální dosažená hodnota za sledované období 36.2.

19 POT METODA Necht X 1, X 2,... jsou nezávislé stejně rozdělené náhodné veličiny s ditr. funkcí F. Je "rozumné" zahrnovat všechny hodnoty překračující daný vysoký práh (threshold) u. Chování extrémních událostí je dáno podmíněnou pravděpodobností P (X i > y X i > u) a P (X i < y X i > u) H(y), u u end, zobecněné Paretovo rozdělení H(x) = 1 ( 1+γ ( x µ σ )) 1/γ γ 0 1 e (x µ σ ) γ = 0, kde 1+γ ( ) x µ σ > 0. Uvažujeme hodnoty větší než dostatečně vysoký práh (threshold) a předpokládáme, že asymptotický výsledek je přibližně pravdivý, tj. užijeme zobecněné Paretovo rozdělení jako vhodný model. Metoda je známa jako peaks-over-threshold (POT).

20 POT Příklad: Roční maxima teploty vzduchu za období Stanice Liberec Návratová hodnota (roky) GEV rozdělení metoda max. věrohodnosti L-momentová metoda POT treshold treshold Maximální dosažená hodnota za sledované období 36.2.

21 SRÁŽKY - LIBERECKO Kyselý, Jan ; Gaál, L. ; Picek, J. ; Schindler, M., 2013: Return periods of the August 2010 heavy precipitation in northern Bohemia (Czech Republic) in the present climate and under climate change, Journal of Water and Climate Change, 4, pp

22 SRÁŽKY - LIBERECKO

23 SRÁŽKY - LIBERECKO Stanice srpen 2010 roky (bez) roky (s) Hejnice Mníšek Chrastava Mařenice Bedřichov Liberec

24 SRÁŽKY - LIBERECKO Stanice srpen 2010 roky (bez) roky (s) Hejnice ( ) ( ) Mníšek ( ) ( ) Chrastava ( x10 6 ) ( ) Mařenice ( x10 6 ) ( ) Bedřichov ( ) ( ) Liberec ( ) ( )

25 SRÁŽKY - LIBERECKO

26 TREND V DATECH

27 ZÁVĚR?

28 Děkuji za pozornost.