Náhodný pokus Náhodným pokusem (stručněji pokusem) rozumíme každé uskutečnění určitého systému podmínek resp. pravidel.

Transkript

1 Základy teorie pravděpodobnosti Náhodný pokus Náhodným pokusem (stručněji pokusem) rozumíme každé uskutečnění určitého systému podmínek resp. pravidel. Poznámka: Výsledek pokusu není předem znám (výsledek není jednoznačně určen jeho podmínkami), je to však právě jeden z prvků známé množiny výsledků, kterou nazýváme základní prostor. Náhodný jev Náhodným jevem (stručněji jevem) nazýváme skutečnost, která je výsledkem pokusu. Prvky základního prostoru (tj. možné výsledky náhodného pokusu) se nazývají elementární jevy ( E1, E2, E3,...). Tedy: každá podmnožina základního prostoru se nazývá náhodný jev (značíme,,...), přičemž prázdná podmnožina se nazývá jev nemožný, označujeme a celý základní prostor jev jistý, označujeme I (nebo ). Operace s jevy Podjev Jev je částí jevu, jestliže s každým nastoupením jevu nastane i jev. Zavádíme označení. jev padnutí lichého čísla jev padnutí čísla menšího než šest platí

2 Součet jevů, Jev, který nastane právě tehdy, když nastane alespoň jeden z jevů,. Zavádíme označení C = +. jev padnutí sudého čísla jev padnutí čísla menšího než pět jev + padnutí některého z čísel 1,2,3,4,6 Součin jevů, Jev, který nastane právě tehdy, když nastanou oba jevy současně. Zavádíme označení C =.. jev padnutí sudého čísla jev padnutí čísla menšího než pět jev padnutí některého z čísel 2,4

3 Rozdíl jevů, Jev, který nastane právě tehdy, když nastane jev a nenastane jev. Zavádíme označení C =. jev padnutí sudého čísla jev padnutí čísla menšího než pět jev padnutí čísla 6 Jev opačný Jevem opačným k jevu nazýváme jev =. jev padnutí sudého čísla jev padnutí lichého čísla Neslučitelné jevy Náhodné jevy se nazývají neslučitelné (disjunktní), jestliže platí =. Jevy 1, 2, 3,..., n tvoří systém neslučitelných jevů, je-li i j = pro všechna i j. Tento systém se nazývá úplný, je-li n = I =.

4 Jevové pole a je množina všech různých podmnožin základního prostoru těmto podmínkám: - I leží v a, - leží-li jev v a, pak rovněž leží v a, - leží-li jevy, v a, pak + a rovněž leží v a., která vyhovuje Pravděpodobnost Reálnou funkci P, která přiřazuje každému jevu z nazveme pravděpodobnost, platí-li (i) P ( ) 0 pro všechna a (ii) P ( ) = 1 P ( ) (iii) P ( ) = P ( ) + P ( ) + P ( ) +..., kde jevy,,,... jsou po dvou neslučitelné a přiřazuje reálné číslo P() Z předcházející definice se dají odvodit další vlastnosti pravděpodobnosti: (iv) PI ( ) = 1, P( ) = 0 (v) 0 P ( ) 1 (vi) P( ) P( ) (vii) P ( + ) = P ( ) + P ( ) P ( ) Klasická definice pravděpodobnosti Geometrická definice pravděpodobnosti Statistická definice pravděpodobnosti Podmíněná pravděpodobnost Pravděpodobnost uskutečnění jevu za předpokladu, že nastal jev, se zapisuje P ( / ) a nazývá se podmíněná pravděpodobnost. Je rovna: P ( ) (viii) P ( / ) = P ( ) Poznámka: Vzorec (vii) zapisujeme často ve tvaru P ( ) = P ( / P) ) (. S ohledem na komutativnost součinu jevů můžeme také psát P ( ) = P ( / P) ) (. : Dva dělníci vyrábějí stejný druh výrobků. První vyrábí 60 % a druhý 40 % denní produkce. Mezi výrobky prvního je 10 % zmetků a u druhého 5 % zmetků. Z produkce určitého dne vybereme náhodně jeden výrobek. Určete pravěpodbnost toho, že vybraný výrobek je a) zmetek vyrobený prvním dělníkem, b) zmetek vyrobený druhým dělníkem, c) zmetek.

5 Řešení: Označme jevy Podle podmínek zadání platí: ( ) 0,6 P=, byl vybrán výrobek prvního dělníka, byl vybrán výrobek druhého dělníka, byl vybrán zmetek. P= ( ) 0,4, P ( / = ) 0,1, P ( / = ) 0,05. ad a) P ( ) = P ( / P ) ( ) = 0,1.0,6= 0,06 ad b) P ( ) = P ( / P ) ( ) = 0,05.0,4 = 0,02 ad c) Platí = + (byl vybrán zmetek vyrobený prvním dělníkem nebo byl vybrán zmetek vyrobený druhým dělníkem) Jevy a jsou neslučitelné (disjunktní), tedy P ( ) = P ( + ) = P ( ) + P ( ) = 0,06 + 0,02 = 0,08 Nezávislé jevy Dva jevy, se nazývají nezávislé, jestliže p-st jednoho z nich nezávisí na tom, zda se druhý jev uskutečnil či neuskutečnil, tj. platí-li P ( / ) = P ( ) popř. P ( / ) = P ( ). Také jevy, z nichž jeden má p-st rovnu nule, se nazývají nezávislé. Věta: Dva jevy, jsou nezávislé právě tehdy, když P ( ) = PP) ( ) (. Nezávislé pokusy Často se stává, že náhodný pokus, jehož výsledkem je jev, opakujeme n krát po sobě, aniž při tom měníme systém podmínek. Dále předpokládejme, že pokusy jsou na sobě nezávislé, takže p-st výsledku každého z těchto pokusů nezávisí na tom, jaké výsledky nastaly (resp. nastanou) u ostatních pokusů. Taková série pokusů se obvykle nazývá ernoulliho posloupnost nezávislých pokusů. Věta: Má-li jev při každém pokusu stejnou p-st P ( ) = p, pak p-st Pk ( ), že se jev v ernoulliho posloupnosti n nezávislých pokusů uskuteční právě k krát, je dána vzorcem n k n k Pk ( ) = p (1 p). k

6 Závislé pokusy Mějme soubor N prvků, z nichž M má jistou vlastnost. Vybereme náhodně n prvků, přičemž vybrané prvky nevracíme. Jaká je p-st jevu, že mezi vybranými je právě k prvků takových, že mají sledovanou vlastnost. N.. počet všech prvků M. počet těch, které mají sledovanou vlastnost N M... počet těch, které nemají sledovanou vlastnost n počet vybraných k počet vybraných, které mají sledovanou vlastnost n k... počet vybraných, které nemají sledovanou vlastnost N... počet případů možných n M.. počet možností jak vybrat k prvků, které mají sledovanou vlastnost k N M počet možností jak vybrat n k prvků, které nemají sledovanou vlastnost n k M N M počet případů příznivých k n k M N M k n k hledaná p-st P ( ) = N n