Vzorové řešení 4. série XII. ročníku BRKOSu

Transkript

1 Vzorové řešení 4. série XII. ročníku BRKOSu 4.1 Před mnoha a mnoha lety bylo postaveno město Hloupětín, které mělo tři části. Všechny části byly obehnány hradbou ve tvaru rovnostranného trojúhelníka, tak jak je nakresleno na obrázku(bod B může být kdekoliv uvnitř úsečky AC. Každá z částí Hloupětína si postavila v těžišti svého území radnici. Jednoho pozorného obyvatele Hloupětína, Matěje Klevra, napadlo, že by těžiště trojúhelníka, jehož vrcholy tvořily zmiňované radnice, mohloležetnahranicimezičástmihloupětína(naúsečce ACažeby tento trojúhelník mohl být rovnostranný. Pomůžete mu to dokázat? A B C Zaveďmesouřadnýsystém spočátkemvbodě Aajednouosouna přímce AC.Dostaneme A[0;0]; B[b;0]; C[c;0].ZPythagorovyvětya z vlastností těžnic v rovnostranném trojúhelníku dokážeme vypočítat souřadnice těžišť jednotlivých trojúhelníků: P [ ] c R ; c 3. 6 [ b ; b 3 6 ] ; Q [ b+c 3 ;(c b 6 Nyní máme souřadnice těžišť a můžeme z Pythagorovy věty spočítat délky stran trojúhelníka P QR. Postupnou aplikací získáme P Q = PR = QR = 1b 1bc+1c. 6 Chceme dokázat, že těžiště tohoto trojúhelníka leží na straně AC, takže dokazujeme, že druhá souřadnice těžiště je nula. K tomu nám stačí ukázat, že vzdálenost bodu Q od strany AC je dvojnásobná oproti vzdálenosti středu strany P R od strany AC. y S = 1 ( c 3 b = 3(c b 6 ] ;

2 y Q = 3 (c b 6 Obě vzdálenosti se rovnají, těžiště tedy leží na straně AC. 4. Když Liběnka, Matějova sestřička, viděla, že Matěj už zase něco řeší, vrhla sekněmuasnažilasemunapovídat.matějztohobylčímdálnervóznější a už se schylovalo k veliké šarvátce. V poslední chvíli však zasáhl tatínek avymyslelúlohuiproliběnku.měladanétřibody K, L, M vrovině takové,že Kbylpatouvýškyzbodu Cnastranu AB, Lbylpatouvýšky zbodu Anastranu Cabod Mpatouvýškyzbodu Bnastranu AC. Pomůžete Liběnce určit velikost stran trojúhelníka ABC v závislosti na stranách trojúhelníka KLM? Úlohu rozdělíme do dvou částí, podle toho, o jaký trojúhelník půjde. Předpokládejme nejprve, že řešením jsou strany ostroúhlého trojúhelníka.položím LM =x, KM =y, KL =z,stranyhledanéhotrojúhelníkaoznačím a, b, c. Obsah KLM označím S, jeho obvod o, poloměr jemu vepsané kružnice r. Body O, P, Q, R označím dle obrázku, N je pata kolmice z O na KL. Úhly AKB, ALB jsou pravé, body A, B, K, L proto leží na kružnici, čtyřúhelník ABKL je tětivový, LKB = 180 BAL =180 α, a proto CKL = α. Další úhly dopočítám dle obrázku. Uvažmeobraz L bodu Lpodlepřímky AB.Protožeje AML = γ= BMK,ležíbody L, M, Knapřímce. BL Ajepravý,proto body A, L, B, Kležínakružnici,platítedyvztah AM BM = L M KM = LM KM =yz. (1 Trojúhelníky ABO a KLO se shodují ve velikostech úhlů, jsou proto podobné s koeficientem podobnosti c: z. Vzdálenosti sobě odpovídajících bodů(tedy i vzdálenosti vrcholů od paty výšky jsou v těchto trojúhelnícíchvpoměru c:z,proto AM = c LN z, BM = c KN z,po

3 dosazení do rce 1 dostanu vztah c LN KN z = xy. ( Protože LKO =90 α= OKM,leží Onaose LKM,obdobně dokážeme,želežíinazbylýchosáchvnitřních KLMajeprotostředem kružnice vepsané trojúhelníku KLM. Bod N je proto dotykovým bodem kružnice vepsané trojúhelníku KLM. Každýzvrcholů K, L, Mmáodoboupřilehlýchdotykovýchbodůstejnou vzdálenost, tyto vzdálenosti označím po řadě k, l, m. Platí Řešením této soustavy dostaneme l+m = x, k+ m = y, l+k = z. k = y+ z x, l = x+z y, m = y+ x z. Protože k= KN, l= LN,můžemedosaditdorceadostaneme vztah c (y+ z x(x+z y 4z = xy. c = 4xyz ( x+y+ z(x y+ z, (3 zbylé strany ostroúhlého trojúhelníka vyjdou cyklickou záměnou. Pravoúhlý trojúhelník řešením být nemůže, tupoúhlými trojúhelníky, které úlohu řeší, jsou trojúhelníky ABO, BCO, CAO. Ze známého vzorce S= orodvodím r = 4S,dosazenímdoPythagorovyvětyprotrojúhelník LONpak LO = l + r = x y+z + 4S = (x y+zxz. Z podobnosti o 4 o x+y+z trojúhelníků ABOaLOKplyne AO = LO c z,tedypoumocnění 4x yz (x+y+z( x+y+z.zbyléspojnice adosazenízrce3dostáváme AO = vrcholů trojúhelníka ABC s bodem O vyjdou symetricky. Tedy jsme našli hledaná řešení.

4 4.3 V Hloupětínské olympiádě se před časem objevila následující úloha. Je dána přímka lananíležíčtyřirůznébody A, B, C, D.Dálesemásestrojitčtverec KLMN takový, že přímky obsahující strany čtverce protínají přímku l vbodech A, B, C, D.Vyřešilibystetutoúlohu? Označme bod X jako průsečíkkolmicevedenézbodu C na přímku obsahující jednu ze stran čtverce s přímkou obsahující protější stranu Y čtverce. Bod Y je průsečík kolmice z bodu B na Z X přímku l s přímkou obsahující bod A a jednu stranu čtverce.abod Zznačíprůsečíkkolmicezbodu Y na A B C D přímku obsahující bod A a jednu stranu čtverce s přímkou obsahující protější stranu čtverce. Vše, jak je znázorněno na obrázku. Protožemámesestrojitčtverec,jistě CX = Y Z.Dále DXC = BZY =90 atakéjistěplatí,že CDX = AY B = Y BZ. Tedytrojúhelníky Y BZa CDXjsoushodné. Nyní již můžeme přistoupit k samotné konstrukci. Nejprve sestrojme bod Y tak,že Y ležínakolmicizbodu Bkpřímce laodbodu A má vzdálenost CD. Nyní již mohu narýsovat přímky obsahující dvě protilehlé strany čtverce vycházející z bodů C, D, vždyť to jsou vlastně kolmicekay.napřímce AY pakdostávámvelikoststranyčtvercea konstrukce je téměř hotová. Nyníuvažujmeopočtuřešení.Stejnětak,jakjsmeuvažovaliprobod B, můžeme uvažovat i pro ostatní. Můžeme také nanést vzdálenost AB nakolmicizbodu Canalezenýbodspojitsvrcholem Dadostaneme dalšířešení.stejněalemůžemeuvažovatiprokolmicevedenézbodu A, nejprve můžeme nanést vzdálenost BC a spojit s D, ale také můžeme nanést CD aspojitsbadostanemedalšídvěřešení.tosamépro vrchol Damámedalšídvěřešení.Všesedokazujestejnějakovpřípadě, kdyy jsme nalezli řešení pro bod B. Dohromady tedy máme 6 řešení. 4.4 Před časem přišli Hloupětínští za Harrym Klevrem, otcem Matěje, aby jim pomohl s následující úlohou. Měli narýsovat trojúhelník ABC se zadanou

5 stranou c, poloměrem kružnice vepsané a poloměrem jiné kružnice dotýkajícísepřímky AC,přímky BCastrany ctrojúhelníku ABC.Zvládneteto také? C Označme X, Y dotykové body kružnic s přímkou X A, C tak, jak je znázorněno na obrázku, dále A B s= 1(a+b+c.Zvlastností Y kružnice vepsané trojúhelníkuplyne,že AX =s a, AY = s b XY = s b+s a=c.nyníjiž můžeme přistoupit k vlastní konstrukci. Nejdříve narýsujeme úsečku XY, poté kružnice k, l dotýkající se přímky XY pořaděvbodech X, Y,spoloměry r 1, r,ležícívjednépolorovině. Dále sestrojíme vnitřní tečnu obou kružnic, na které najdeme body A, B.Bod Cpakležínaprůnikupřímky X, Y adruhévnějšítečny. 4.5 Dokažte následující rovnost: ( ( ( ( ( n n+1 n+ n+m m+n =, n n n n n+1 n N 0, m N. Pozn.: ( n k = n! (n k!k! Mámedokázat,že m i=0 ; n!= n;0!=1. ( n = m+n+1 n+1 Využitímpoznámkyvzadánídostaneme ( ( n k = n n k Rovnostpřepíšeme: m ( i=0 i = m+n+1 m Důkaz této rovnosti provedeme matematickou indukcí vzhledem k i. Pro m=0rovniceplatí. Nechťplatí: m ( i=0 i = n+m+1 m. Mámedokázat,že m+1 ( i=1 i = n+m+ m+1.tedy: m+1 ( n+1 i=1 i = m i=0 i + ( n+m+1 ( m+1 = n+m+1 ( m + n+m+1 ( m+1 = n+m+ m+1 Poslednírovnostlzedokázat např. z definice binomického koeficientu. Tím je důkaz hotov.

6 4.6 Najděte všechny konečné podmnožiny S množiny přirozených čísel, pro kteréplatí: a, b S a+b S,kde(a, boznačujenejvětšíhospolečného (a,b dělitele čísel a a b. Zadání jistě vyhovuje prázdná množina. Dále tedy předpokládejme, že a+a Smáaspoňjedenprvek.Pakplatí = S.Vidíme,že S= {} (a,a je další množinou vyhovující podmínce. Ukážeme, že žádná další množina už zadání nesplňuje. Označme l největšílichéčíslozs.potomale l+ = l+ S spor.tudížvsnení (l, žádnélichéčíslo.nyníoznačme snejmenšísudýprvekzsvětšínež. s+ Platí = s+1 S.Protože Sneobsahujelicháčísla,je slichéa (s, s+1 s.proto s=,cožjesporss >.Tedy S= as= {}jsou jediné dvě podmnožiny N vyhovující zadání. 4.7 Najdětevšechna n N,kterájsousoučtemčtvercůdvounavzájemnesoudělnýchpřirozenýchčísel,apřitomkaždéprvočíslo p ndělíjejich součin. Hledámepřirozenáčísla a, b, nsplňující n=a + b,(a, b=1.pokud a=b=1,dostávámeřešení n=.dálepředpokládejme a > b.platí (a b < a + b = n,tedykaždýprvočíselnýdělitel a bmusídělit jednozčísel a, b.tímpádemvšakdělíobě,cožjespors(a, b=1, proto a b=1. Dálemáme(b 1 < b < n,tudížbuďje b 1=0,nebokaždý prvočíselnýdělitel b 1dělí ab=b(b+1.odtudsnadnodostaneme,že b=neboje b 1mocninoudvojky.Pokud b 1 4,tak b >1a přitom(b < n,tedykaždýprvočíselnýdělitellichéhočísla b dělí b(b+1,zčehožlehcedostaneme,že b jemocninatrojky.snadno lzeověřit,žetímpádemje b 1nebo b 3(mod8,proto b 1nemůžebýtdělitelnéosmi.Mámetedy b {1,,3,5}. Ověřenímtěchtomožnostizískámedalšídvěřešení, n=5an=13.