Trojpoměr v geometrii

Transkript

1 Trojpoměr v geometrii Anša Lauschmannová Co to ten trojpoměr vlastně je? Definice. Trojpoměrem 6 bodu Cpřímky ABvzhledemkbodům A, Bnazýváme číslo(abc) definované takto: (i) leží-li Cnaúsečce AB,je(ABC)= AC BC (ii) leží-li Cmimoúsečku AB,je(ABC)= AC BC. Propevná AaB jekaždémubodu X B napřímce AB přiřazenočíslo (ABX). Naopak, každému reálnému číslu λ 1 je jednoznačně přiřazen bod X na přímce AB. Úloha. Trojpoměr je vlastnost uspořádaných trojic. (a) Nakresletetrojicibodůnapřímcetakových,že(ABC)= 3 aurčetetrojpoměry(bac),(acb),(cab),(bca),(cba). (b) Určete hodnoty zbývajících pěti trojpoměrů pro trojici bodů A, B, C takových, že(abc) = λ. Dokažte, že pro každou uspořádanou trojici různých bodů X, Y, Ztéžepřímkyplatí (XY Z) (Y XZ)=1 (XY Z)+(XZY)=1 Úloha. Charakterizujte případ, kdy pro trojpoměr platí(abc) < 0. Úloha. Zvoltepřímku ABzačíselnouosusbody A[0],B[1],X[x].Načrtněte graffunkce y=(abx). Úloha. Nechťjsoudánybody A, Bačíslo λ 1.Zvolmelibovolnoupřímku AJ ABprocházejícíbodem Aapovažujmejizačíselnouosu,kdebod Jodpovídá 1. Nechť K je čtvrtý vrchol rovnoběžníku JABK. Označme X průsečík přímky ABspřímkou KL,kde Ljebodpřímky AJsesouřadnicí λ.ukažte,že bezohledunavolbubodu Jje(ABX)=λ. Úloha. Zkonstruujte pomocí pravítka a kružítka bod X na přímce AB tak, aby platilo (a) (ABX)= 3 (b) (ABX)= 3 6 Místotrojpoměrsečastějiříkádělicípoměr,aletrojpoměrjekratšíalíbísemivíc. 1

2 Velké Vrbno 06 (c) (ABX)= 1 (d) (BAX)= 5 1. Tvrzení.(Zachování trojpoměru při promítání.) Trojpoměr každé uspořádané trojice různých bodů přímky se zachovává při rovnoběžném promítání této přímky na kteroukoli jinou přímku a při středovém promítání přímky na přímku s ní rovnoběžnou. Úloha. Nakreslete dvě úsečky AB, XY ležící (a) na rovnoběžných přímkách (b) narůznoběžnýchpřímkách.zvoltebod Cnapřímce ABapřiřaďtemubod Zpřímky XY tak,aby(abc)=(xy Z). K čemu ten trojpoměr vlastně je? Mějmetrojúhelník ABCatřibody A, B, C napřímkách a=bc, b=ac, c= = AB,kterénesplývajísvrcholy A, B, C.Platínásledujícítřivěty: Věta.(Menelaova) Body A, B, C ležínajednépřímceprávětehdy,kdyžplatí (BCA )(CAB )(ABC )=1. Věta.(Cevova) Přímky AA, BB, CC procházejíjednímbodemnebojsourovnoběžnéprávětehdy,když(bca )(CAB )(ABC )= 1. Věta.(VanAubelova) Nechťsepřímky AA, BB, CC protínajívbodě P.Pak platí(aa P)=(ACB )+(ABC ). Cevova věta má nejvíc jednoduchých důsledků. Určitě Tě už někdy napadlo, že jedivné,žetěžnice,výškyiosyúhlůsevždyckyprotnouvjedinémbodě.spomocí Cevovyvětysetodásnadnodokázat. Jak lze sčítat body? Definice. Vektor v prostoru si budeme představovat jako šipku, která má daný směr a velikost, ale můžeme pro ni zvolit libovolný počáteční bod. Je-li dána nějaká soustava souřadnic, umístíme počátek šipky do počátku souřadnic. Koncové body šipkypotomurčujísouřadnicevektoru.můžemetedypsátv=(v 1, v, v 3 ). Důležité je, že vektory umíme sčítat. Pomocí souřadnic se to udělá snadno, prostěsečtemejednotlivésložky,u+v=(u 1 + v 1, u + v, u 3 + v 3 ). 7 Nakreslímelišipkuvtak,žezačínávkoncovémboděšipkyu,jeu+všipkazpočátečního boduudokoncovéhoboduv. 7 Místosoučetvektorůčastotakéříkámelineárníkombinace.

3 Anša Lauschmannová: Trojpoměr v geometrii Vektoryumímetakénásobitreálnýmčíslem 8 prostětímčíslemvynásobíme jehodélkuazachovámejehosměr.vsouřadnicíchplatí,že λ v=(λv 1, λv, λv 3 ). Všimnětesi,ževýraz[x 1, x, x 3 ]označujesouřadnicebodu X,zatímcovýraz (x 1, x, x 3 )značísouřadnicevektorux. 9 Příklad.(Operacesbody) Střed Súsečky ABmásouřadnice s i = ai+bi,kde i=1,,3,čili S= A+B. Toto je speciální případ následujícího tvrzení při volbě α 1 = α = 1. Soustava rovnic X= αa+βb α+β=1, (první rovnice je stručným zápisem tří rovností v souřadnicích), určuje přímku AB.Podobněplatí,žebod Xležívroviněurčenébody A, Ba Cprávětehdy, kdyžexistujíčísla α, β, γtaková,že α+β+ γ=1 X= αa+βb+ γc. Tvrzení.(Zadáníbodujakosoučtubodů) Zvolmesibody A i ačísla α i,kde i=1,...k.boddefinovanýrovností X= α 1 A 1 + α A + +α k A k je definován nezávisle na volbě soustavy souřadnic právě tehdy, když α 1 + α + +α k =1. Vpřípadě,žeprovšechna α i platí0 α i 1,mluvímeokonvexníkombinaci bodů.zkussirozmyslet,ževšechnykonvexníkombinacedvoubodů AaBtvoří úsečku ABavšechnykonvexníkombinacetříbodů A, Ba C tvoří(vyplněný) trojúhelník ABC.Množiněvšechkonvexníchkombinacíbodů A i říkámekonvexní obal těchto bodů; je to nejmenší konvexní útvar, který všechny tyto body obsahuje, tedyútvarobsahujícívšechnybody,kteréleží mezi zadanýmibody A i. Sčítání bodů lze velmi výhodně využít k hledání těžišť různých objektů. Ukážeme si to na dvou jednoduchých příkladech: 8 Vtomtokontextusečíslůmčastoříkáskaláry. 9 Vmatematické hatmatilce seprostorům, vekterých existujíjakbody, tak vektory, říká afinní prostory. 3

4 Velké Vrbno 06 Věta.(O těžišti trojúhelníka) Těžnice trojúhelníka ABC se protínají v jednom bodě T,kterémuříkámetěžiště.Todělíkaždoutěžnicivpoměru:1(počítáno od vrcholu k jeho protější straně). Platí T= A+B+ C. 3 Věta.(O těžišti čtyřstěnu) Těžnice čtyřstěnu ABCD se protínají v jediném bodě T,kterémuříkámetěžiště.Tototěžištědělíkaždoutěžnicivpoměru3:1 (počítáno od vrcholu k protější stěně). Platí T= A+B+ C+ D. 4 Těžiště je středem každé úsečky, jejímiž krajními body jsou středy dvou protilehlých hran čtyřstěnu. Příklad.(Dalšíoperacesbody) Vektorzbodu Adobodu Bmásouřadnice v i = b i a i,čiliab= B A.Přivolbě α 1 =1, α = 1tojespeciálnímpřípadem následujícího tvrzení. Tvrzení.(Zadánívektorujakosoučtubodů.) Nechť A i jsoubodyaα i jsoučísla. Vektor definovaný rovností v= α 1 A 1 + α A + +α k A k je definován nezávisle na volbě soustavy souřadnic právě tehdy, když α 1 + α + +α k =0. Úloha. Jedántrojúhelník ABC.Zapištepůlicíbod C těžnice t C jakolineární kombinacibodů A, Ba C. Úloha. Jedánčtyřstěn ABCD.Napišterovnicitěžnice t A. 4

5 Anša Lauschmannová: Trojpoměr v geometrii Vektorový pohled na trojpoměr Tvrzení.(Rovnice bodu s daným trojpoměrem.) Nechť jsou dány body A a B ačíslo λ 1.Potomexistujeprávějedenbod Ctakový,žeplatí(ABC)=λ.Lze jej zapsat ve tvaru C= 1 1 λ A λ 1 λ B. Věta.(O průsečíku výšek) Výšky trojúhelníka ABC se protínají v jediném bodě V. Je-li navíc O střed kružnice opsané tomuto trojúhelníku, platí V = O+(A O)+(B O)+(C O). Věta.(OEulerověpřímce) Nechť T jetěžištětrojúhelníka ABC, V a Ojako vpředešlévětě.pakbody O, Ta V ležínajednépřímceaplatí,že OT : TV = =1:;jinýmislovy, (OV T) = 1. Literatura První a druhá část vycházejí z poznámek Libora Barta na téma Geometrie trojúhelníka a čtyřúhelníka. Pokud Tě zaujala část třetí, doporučuji Tvé pozornosti přednášku Martina Fraase věnovanou barycentru; oba textíky najdeš v knihovně na našich stránkách. 5