11. VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ
|
|
- Růžena Dostálová
- před 8 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 11. VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ Dovednosti: 1. Chápat pojmy orientovaná úsečka a vektor a geometrický význam součtu, rozdílu a reálného násobku orientovaných úseček a vektorů.. Porozumět zavedení kartézské soustavy souřadnic na přímce, v rovině, v prostoru. Ovládat vzájemné přiřazování bodů a jejich souřadnic v rovině a v prostoru.umět určit souřadnice vektoru ze souřadnic bodů jeho umístění. Umět sčítat, odčítat a násobit reálným číslem vektory určené souřadnicemi. Umět určit velikost vektoru a vzdálenost dvou bodů, souřadnice středu úsečky a těžiště trojúhelníku, rozhodnout o kolineárnosti bodů, rovnoběžnosti vektorů a lineární závislosti vektorů, jsou-li dány příslušné souřadnice. 3. Umět určit skalární součin dvou nenulových vektorů geometricky. v u. v.cosα u. v = u v + u v + u v. Umět ho aplikovat při [ ] u = i algebraicky [ ( )] určování velikosti úhlu dvou vektorů, odchylky dvou přímek a při rozhodování o jejich případné kolmosti Znát geometrický význam definice vektorového součinu; umět určit jeho souřadnice. Umět určit obsah trojúhelníku a normálový vektor roviny\ pomocí vektorového součinu. 5. Pomocí směrových vektorů přímek a normálových vektorů rovin umět určit odchylku přímky a roviny a odchylku dvou rovin. 3 3 Úlohy: Vektorová algebra 1. Na ose y určete bod A tak, aby měl od bodu B[-6;-5 ] vzdálenost d = 10. A 1 [0;3], A [0;-13]. V rovině jsou dány body K[`3], L[1`-4], M[-1`-3]. Dokažte, že trojúhelník KLM je pravoúhlý. Vypočtěte jeho obsah. [ ano, je pravoúhlý, S = 7,5] 1
2 3. Určete vektor u tak, aby měl velikost 10 a přitom byl kolmý k danému vektoru v =(-1;). 4 5; 5 nebo u = 4 5; 5 ] [u = ( ) ( ) 4. Je dán trojúhelník ABC o vrcholech A[1;0], B[1;-6], C[5;-3]. Vypočtěte délku těžnice t a. Vypočtěte velikost úhlu β. [ t a = 4,94; β = 53 8 ] 5. Zjistěte, zda body A[3;7], B[10;-], C[5;1] leží na jedné přímce. [ne] 6. Jsou dány vektory a = (3;5), b = (6;). Najděte vektor c kolmý k vektoru b, pro který platí 1 a.c = 4. [c = ; 1 ] 3 Analytická geometrie 1. a) Zapište parametrické vyjádření přímky a, která prochází body A [0;-5] B [3;-3 ] [ a: x = 3 t y = -5 + t ; t R ] b) Zapište parametrické vyjádření přímky b, která je dána bodem B [3; -7 ] a směrovým vektorem B b ( - ; 5 ) [ b: x = 3 t y = t ; t R ]. Zjistěte, zda body M [-4; 7 ] A [11 ;8 ] leží na přímce AB ;A [;5] B [ -1; 6 ] [ M AB, N AB ] 3. Určete.souřadnici bodu C tak, aby ležel na přímce AB, A[ 3; -1], B[ 1; 3], jestliže a) C [ 1; y ] [ y = 3 ] b) C [,5; y ] [ y = 0 ] 4. Jsou dány body A[ ; -3] B [-1; - ].Napište: a) parametrické vyjádření úsečky AB [ AB: x = -3t y = -3+ t; t 0;1 ] b) parametrické vyjádření polopřímky AB [ α AB; x = -3 t y = -3+ t; t 0; )] c) par,vyjádření polopřímky opačné k α AB [opačná k AB: x = -3 t y = -3+ t; t (- ; 0 ]
3 d) par.vyjádření polopřímky BA [ α BA: x = -1+3 t y = -- t; t 0; ) ] 5. Jsou dány body A [-5; -6 ], B [11;], C [3; 4 ]. a) Napište par.vyjádření přímky AC, b) napište par.vyjádření těžnice t a ABC, c) napište par.vyjádření výšky v c ABC (přímky,na které leží výška v c ). [ AC: x = -5+8 t y = t; t R ] [ t a : x = -5+1 s y = -6+9 s; s 0; 1 ] [ v c : x = 3-8 r y = 4+16 r; r R ] 6. Napište parametrické vyjádření osy úsečky KL, K[+3; -3]; L[-1; -] [ o: x = 1+ t y = -,5 + 4 t; t R ] 7. a) Napište parametrické vyjádření přímky m, která prochází bodem M[; -1,3] a je rovnoběžná s přímkou q, danou bodem Q [-3; 0 ] a bodem R [ 3; -4 ]. [m: x = +6 t y = -1,3-4 t ] b) Napište par.vyjádření přímky k, která je kolmá na přímku m z předchozí úlohy a prochází bodem K [-; 0 ] [ k: x = -+4 t y = 6 t; t R ] 8. Napište obecnou rovnici přímky, která je určena a) bodem A [-3; ] a normálovým vektorem n ρ ( ; 1 ) b) bodem A [ 3;-1 ] a směrovým vektorem s ρ (3; - ) c) body A [; 1 ], B [-; 4 ] d) parametrickým vyjádřením:x = - t y = -3 + t; t R e) směrnicovým tvarem rovnice: y = -5x + 3 [ x + y + 4 = 0 ] [ x + 3y 7 = 0] [ x + y = 0 ] [ x + y 1 = 0 ] [ 5x + y 3 = 0 ] 3
4 9. Je dán ABC: A [6; ] B [-; 4] C [-; 0]. Určete obecné rovnice přímek,které obsahují: a) stranu AB [c: x + 4y 14 = 0 ] b) těžnici t a [t a : y = 0 ] c) těžnici t b [t b : 3x + 4y 10 = 0 ] 10. K dané přímce napište obecnou rovnici přímky r, která je rovnoběžná s přímkou p a prochází bodem A a) p: 3x y + 1 = 0; A [3;-1 ] [ r : 3x y 10 = 0 ] b) p: x = 1 + t y = t t R; A [3; 4 ] [ r : x + y 11 = 0 ] 11. Napište obecnou rovnici tečny kružnice v době dotyku T [6; ], jestliže střed je S[3;-4] [ t: x + y 10 = 0 ] 1. Určete vzájemnou polohu přímek A jsou-li různoběžné, určete souřadnice jejich průsečíku : a) a: x y + 3 = 0 b: x + y 6 = 0 různoběžné, P [1; 5 ] b) a: x 3y 1 = 0 b: -x + 6y + 5 = 0 rovnoběžné, a b c) a: 3x y + 1 = 0 b: x = -1 - t y = 4 + t, t R různoběžné, P [1; ] d) a: x + y 5 = 0 b: x = 1 t y = + t, t R a = b e) a: x = -1 t b: x = 3 s y = 3, t R y = + s, s R různoběžné, P [1; 3 ] 13. Sestavte rovnici přímky m (obecnou rovnici), která prochází bodem A [;-3 ] a průsečíkem přímek a: x + 7y 8 = 0 b: x + y 1 = 0 [m: x + y +1 = 0 ] 14. Průsečíkem přímek k, l veďte přímku p tak, aby byla rovnoběžná s přímkou r : k: x 3y 9 = 0 l: 4x y + 8 = 0 r: x + 3y 18 = 0 Zapište obecnou rovnici přímky p. [p: 15. Určete odchylku přímek p, q : a) p: x y + 1 = 0 q: 3x + y 1 = 0 [ α = 45 ] b) p: x y + 1 = 0 q: y = ⅔x + [ α = ] c) p: x y + 13 = 0 q = AB: A [0; -1], B [4; 1] [α = 0 ] d) p: x = 1 3t q: x = 3 s y = + t, t R y = 1 3s, s R [α = 90 ] 4
5 16. Mezi všemi přímkami 5x + 1y + c = 0 najděte tu, jejíž vzdálenost od počátku soustavy souřadnic je 3. [ řešení: p 1 : 5x + 1y + 39 = 0 p : 5x + 1y - 39 = 0 ] 17. Určete vzdálenost bodu M od přímky p, je-li : a) M [; -1] p: 3x + 4y 1 = 0 [ d = ] b) M [-4; -3] p = AB, A [1; 1] 6 5 B [; 3] [ d = ] 5 c) M [; 4 ] p: x = 6 + 3t y = -8 4t; t R [ d = 4] 18. Určete směrnici přímky p: x + 3y 5 = 0 [ k = - 3 ] 19. Určete směrnici přímky AB: A [1; 3 ] B [-; 1 ] [ k = 3 ] 0. a) Napište směrnicový tvar rovnice přímky a, která prochází bodem A [4; 3 ] a je kolmá k přímce p: y = x + 1 [ a: y = - 1 x + 5 ] b) Napište směrnicový tvar rovnice přímky b, která prochází bodem B [-1; 6 ] a je rovnoběžná s přímkou p: y = 3x + 5 [ b: y = 3x + 9 ] 1. Určete vzájemnou polohu přímek, jsou-li různoběžné, vypočtěte odchylku : a) p: 3x y + 6 = 0 q: x = + t y = 1 t t R [ α = 63 6 ] b) p: x y + 3 = 0 q: x + y 6 = 0 [ α = ] c) p: x + y = 0 q : x + y 4 = 0 [ p = q] d) p: x = -1 t q : 3x y + 1 = 0 [ α = ] y = 4 + t t R e) p: x = 1 t q: x = 3 s y = 3 + t t R y = s s R [ rovnoběžné ] f) p: x = -1 t q: x = 3 s s R [ α = 6 34 ] 5
6 . Určete vzájemnou polohu přímek, jsou-li rovnoběžné. Vypočtěte jejich vzdálenost : a) a: x = 3 t b: x 6y + 5 = 0 y = 1 t t R [ v = 0,474 j ] b) a: x = 1 t b: x = -1 - s y = + t t R y = 4 + s s R [ a = b ] c) a: x + y 7 = 0 b: x = 3 s y = s s R [ v = 1,79 j ] d) a: y = - x + 5 b : y = - x 1 [ v =,68 j ] e) a: x + y + 6 = 0 b : x + y 4 = 0 [ v = 5 j ] f) a: x = + 3 t b: y = 3 4 x [ v = 0,8 j ] 3. Určete na ose y bod Y, který má od přímky p : y = -x + 4 vzdálenost 5. [ Y 1 [0; -6] ; Y [0; 14 ] 4. Na přímce p : x + 3y = 0 určete bod M tak, aby jeho vzdálenost od přímky q : 5x + 1y 4 = 0 byla 3. [ M 1 [ 35;-11 ] ; M [ -43; 15 ] ] 5. Určete hodnotu parametru c R tak, aby vzdálenost počátku soustavy souřadnic od přímky p : x y + c = 0 byla 4. [ c = ± 4 5 ] 1 6. Vypočtěte délky výšek v ABC : a) A [ 5; ] B [ 1; 5 ] [ v a = v c = 5 j; v b = 5 j ] 7. Vypočtěte odchylku přímky p : 8 x 15y + 10 = 0 od osy x. [ α = 8 04 ] 8. Je dán ABC, A [ -1; 4 ], B [ ; - ], C [ 5; -1 ]. Vypočítejte odchylku osy úsečky AB od souřadnicové osy x. [ α = 6 34 ] 9. Průsečíkem přímek p: 3x + y = 0, q: x y 6 = 0 veďte rovnoběžku s přímkou r: x y + 4 = 0. Určete její obecnou rovnici. [ x y 8 =0 ] 6
7 30. Určete hodnotu parametru m R tak, aby přímka mx + y + m 11 = 0 procházela průsečíkem přímek p: x + y + 6 = 0, q: x y + 8 = 0. [ m = -3 ] 31. Jsou dány body A[ ; 3; -1 ], B[ 4; 3; - ]. a) Rozhodněte, zda body K[0; 4; ; ] a L[ 3 ; 3; - 3 ] leží na přímce AB. b) Určete r,s R tak, aby bod M [r; r; s ] ležel na přímce AB. 3 3 [a)k AB, L AB, b) M[ ;3; ] 4 3. Zapište parametrické vyjádření a) přímky p, která je určena bodem A [5;-8;]a vektorem u ρ ( 4;3; 1). b) přímky q, která prochází bodem A[9;-3;1] a je rovnoběžná s přímkou BC, B[-4;-7;6] a C[;-5;3]. c) přímky a procházející body K[-1;;-5] a L[3;-;-4]. d) přímky m, která je rovnoběžná s přímkou p = {[t;1-3t;4+5t]; t R } a prochází bodem M[-3;0;]. [a) p: x = 5 + 4t, y = t, z = t; t R b) q: x = 9 + 6t, y = -3 + t, z = 1 3t; t R c) a: x = t, y = 4t, z = -5 + t; t R d) m: x = -3 + t, y = -3t, z = + 5t, t R] 33. Rozhodněte, jakou vzájemnou polohu mají přímky p,q: a) p = {[8-4t; 4 + 8t; -1t],t R }, q = {[3 + 3s; 1-6s; - + 9s ],s R } b) p = {[3 - t; - + t; 3t],t R }, q = {[ + s; 1- s; 9 + 3s],s R } c) p = {[1- t; + t; -6 - t],t R }, q = {[4 + s; -1 - s; s],s R } d) p = {[t; 3 - t; 4 - t],t R }, q = {[ - s; -1 + s; 6 + s],s R } [a) rovnoběžné různé ;b) různoběžné ; c) totožné ; d) mimoběžné] 34. Zjistěte vzájemnou polohu, pokud jsou různoběžné, určete i průsečík a) a = {[ 3t; 6 + t; -t],t R}, b = {[1 s; 3s; + s], s R} b) a = {[4 t; 1 + 3t; -5 3t], t R}, b = {[7 7s; + 5s; -8-3s], s R} [a) mimoběžné; b)[0; 7; -11] 35. Jsou dány body A[3; ; 1], B[-5; -10; 5], C[4; 7; -3],D[3; 5; -].Určete, pokud existuje, průsečík přímek AB a CD. [ P [-3; -7; 4 ] ] 36. Určete vzájemnou polohu přímek p,q, jestliže přímka p je dána body A[7; 6; -3], B[6;8; -6], přímka q bodem C[6, -5, 7] a směrovým vektorem s (-; 4; -6). [rovnoběžné různé ] 7
8 37. Napište parametrické vyjádření roviny určené body: a) A[ 1; 3; -1], B[ ; 3; 3], C[ -; -5; -7] b) A[ -1; -1; 0], B[ 1; 1; ], C[ ; ; 3] c) A[ 1; 1; 0], B[ ; ; 1], C[ 0; 0; 0] [a) x = 1 + t 3s; y = 3-8s; z = t 6s; t,s R; b) body leží v jedné přímce, neurčují jednu rovinu; c) x = 1 + t s; y = 1 + t s; z = t; t,s R ] 38. Napište parametrické vyjádření roviny dané bodem a přímkou: a) M[3; ; -1], p = {[ t, 3 + t, -t],t R} b) M[ -3; 1; -3], p = {[ 1 t, t; - + 3t],t R} [a) x = t + s; y = 3 + t s; z = -t s; t,s R; b) x = 1 t 4s; y = t + s; z = - + 3t s; t,s R] 39. Zjistěte, zda bod B [ 5; -; 6] leží v rovině určené bodem A [ ; -1; 3] a přímkou p = {[ 3 + t, t, 1 + t], t R} [ ano leží ] 40. Napište obecnou rovnici roviny, která prochází bodem A [ -3; 5; -7] a je kolmá k vektoru n ( 1; -; -1). [ x y z + 6 = 0 ] 41. Určete číslo d tak, aby rovina ρ : 7x 8y -z + d = 0 procházela bodem A [ 7; 6; -3 ]. [ d = -7 ] 4. Zapište obecnou rovnici roviny, která je dána parametricky: ρ = {[1 t + 3s, 7 + t s, -3 t + s], t,s R} [x y 5z = 0 ] 43. Napište obecnou rovnici roviny, která prochází body A[ 3; ; -1] a B[ 4; 1; 1] a je rovnoběžná s přímkou p = {[ 5 t, t, 4 + t], t R} [4x + y z 17 = 0 ] 44. Napište obecnou rovnici roviny, která prochází bodem A[7; -5; 3] a je kolmá k přímce p = {[ + 3t, 5t, 7 t], t R}. [ 3x + 5y z + 10 = 0 ] 43. Rozhodněte o vzájemné poloze přímky a roviny a) p = {[ 4 3t, 5 3t, 4 4t], t R ; ρ =[1 r + 5s, + 3r, 4s],r,s R} b) p = {[ 4 + 5t,3 5t, 1 + t], t R; ρ =[ r + 3s, 3r 4s, 7 + r], r,s R } [a) p ρ, p leží v ρ ; b) p ρ, p neleží v ρ ] 8
9 44. Určete jakou vzájemnou polohu má rovina a přímka a) ρ : x 5y + 4z 6 = 0], p = {[ t, 3t, 3 + 4t], t R} b) ρ : 3x + y 3z 13 = 0], p = {[3 t, 1 + 3t, -1 t], t R} c) ρ : x 7y + z 5 = 0], p = {[4 t, 8 3t, 3 + t], t R} [a) p ρ, p neleží v ρ ; b) p ρ, p leží v ρ ; c) p ρ ] 45. Dokažte, že AB : A [3; -; -1], B [4; 1; 3] je různoběžná s rovinou σ : x - 3y +z - = 0. Potom najděte průsečík. [ P [6; 7; 11] ] 6. Určete vzájemnou polohu rovin σ = x y z 1 = 0, ρ = 5x 3y + z 5 = 0 [různoběžné, v k. u ] 47. Vypočítejte vzdálenost bodu A[5; -1; 3] od přímky p = {[-1 + t, t, - + t] t R} [ 3 ] 48. Vypočtěte vzdálenost bodu B[1; ; 3] od přímky určené bodem A[5; 10; -1] a směrovým vektorem u (-1; -; 1). [ 0 ] 49. Vypočtěte vzdálenost bodu A od roviny ρ : a) A [ 3; 5; -6], ρ = x -y + z 8 = 0 b) A [-1; 3; ], ρ = 3x -4y + 5z 15 = 0 [a) 6; b) ] 50. Vypočtěte vzdálenost dvou rovnoběžek a ={[1 + t,1 + t, -t],t R},b= {[r, 4r, -r], r R} 51. Jsou dány roviny: ρ = {[s, r, - r s],r,s R a σ = {[1 u v, u, v ],u,v R. Ověřte, zda jsou rovnoběžné a určete jejich vzdálenost. [ 6 ] 5. Určete vzdálenost dvou rovnoběžných rovin α : x + y + z 6 = 0 ; β : x + y + z 3 = 0 [ 3 ] 53. Určete vzdálenost bodu D [0; ; -] od roviny ABC určené třemi body A [1; -; -], B [; -1; -1], C [1;-1; -] [ ] 9
10 54. Vypočtěte odchylku dvou přímek a) p = {[ + t, t, 7 t],t R}, q = [4 k, 5, -3 + k],k R} b) p = {[ t,1 + t,4 3t],t R}, q = [1 + k, 1 k, 4 k],k R} c) p = {[ + t, t, - 3t],t R}, q = [1 k, k, 3 + 3k],k R} 55. Určete odchylku přímky od roviny a) p = {[5 + t, 1 + 3t, -t],t R}, ρ : x y + 3z 4 = 0 b) p = {[4 t, 1 t, t],t R}, ρ : x + 4y + z 1 = 0 [a) β = 30, b) ] 56. Zjistěte odchylku dvou rovin ρ 1 : x + y z + 4 = 0, ρ :x + 4y + z 5 = Určete hodnotu parametru a R tak, aby přímka p = {[1 + t, + at, - 1- t], t R} a rovina ρ : x + y z + 8 = 0 byly rovnoběžné. 10
11. VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ. u. v = u v + u v. Umět ho aplikovat při
. VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ Dovednosti:. Chápat pojmy orientovaná úsečka a vektor a geometrický význam součtu, rozdílu a reálného násobku orientovaných úseček a vektorů..
A[a 1 ; a 2 ; a 3 ] souřadnice bodu A v kartézské soustavě souřadnic O xyz
1/15 ANALYTICKÁ GEOMETRIE Základní pojmy: Soustava souřadnic v rovině a prostoru Vzdálenost bodů, střed úsečky Vektory, operace s vektory, velikost vektoru, skalární součin Rovnice přímky Geometrie v rovině
2. ANALYTICKÁ GEOMETRIE V PROSTORU Vektory Úlohy k samostatnému řešení... 21
2 ANALYTICKÁ GEOMETRIE V PROSTORU 21 21 Vektory 21 Úlohy k samostatnému řešení 21 22 Přímka a rovina v prostoru 22 Úlohy k samostatnému řešení 22 23 Vzájemná poloha přímek a rovin 25 Úlohy k samostatnému
3) Vypočtěte souřadnice průsečíku dané přímky p : x = t, y = 9 + 3t, z = 1 + t, t R s rovinou ρ : 3x + 5y z 2 = 0.
M1 Prog4 D1 1) Určete vektor c kolmý na vektory a = 2 i 3 j + k, b = i + 2 j 4 k. 2) Napište obecnou a parametrické rovnice roviny, která prochází bodem A[ 1; 1; 2] a je kolmá ke dvěma rovinám ρ : x 2y
s p nazýváme směrový vektor přímky p, t je parametr bodu
MATE ZS 2013 KONZ 3A Analytická geometrie lineárních útvarů v rovině a v rostoru Přímka v rovině 1 Parametrická rovnice římky v rovině: t R s o : X = A + t s, kde, Vektor s nazýváme směrový vektor římky,
Rovnice přímky. s = AB = B A. X A = t s tj. X = A + t s, kde t R. t je parametr. x = a 1 + ts 1 y = a 2 + ts 2 z = a 3 + ts 3. t R
Rovnice přímky Přímka p je určená dvěma různými body (A, B)(axiom) směrový vektor nenulový rovnoběžný (kolineární) s vektorem s = AB = B A pro libovolný bod X na přímce platí: X A = t s tj. Vektorová rovnice
Rovnice přímky v prostoru
Rovnice přímky v prostoru Každá přímka v prostoru je jednoznačně zadána dvěma body. K vyjádření všech bodů přímky lze použít parametrické rovnice. Parametrická rovnice přímky p Pokud A, B jsou dva různé
Urci parametricke vyjadreni primky zadane body A[2;1] B[3;3] Urci, zda bod P [-3;5] lezi na primce AB, kde A[1;1] B[5;-3]
1 Parametricke vyjadreni primky Priklad 16 Priklad 17 Priklad 18 jestlize Urci parametricke vyjadreni primky zadane body A[2;1] B[3;3] Urci, zda bod P [-3;5] lezi na primce AB, kde A[1;1] B[5;-3] Urci,
1.1 Napište středovou rovnici kružnice, která má střed v počátku soustavy souřadnic a prochází bodem
Analytická geometrie - kružnice Napište středovou rovnici kružnice, která má střed v počátku soustavy souřadnic a prochází bodem A = ; 5 [ ] Napište středový i obecný tvar rovnice kružnice, která má střed
1. Parametrické vyjádření přímky Přímku v prostoru můžeme vyjádřit jen parametricky, protože obecná rovnice přímky v prostoru neexistuje.
1/7 ANALYTICKÁ GEOMETRIE V PROSTORU Základní pojmy: Parametrické vyjádření přímky, roviny Obecná rovnice roviny Vzájemná poloha přímek a rovin Odchylka přímek a rovin Vzdálenosti www.karlin.mff.cuni.cz/katedry/kdm/diplomky/jan_koncel/
Analytická geometrie (AG)
Analytická geometrie (AG) - zkoumá geometrické útvary pomocí algebraických a analytických metod Je založena na vektorech a soustavě souřadnic, rozděluje se na AG v rovině a v prostoru. Analytická geometrie
Analytická geometrie lineárních útvarů
) Na přímce: a) Souřadnice bodu na přímce: Analtická geometrie lineárních útvarů Bod P nazýváme počátek - jeho souřadnice je P [0] Nalevo od počátku leží čísla záporná, napravo čísla kladná. Každý bod
ICT podporuje moderní způsoby výuky CZ.1.07/1.5.00/ Matematika analytická geometrie. Mgr. Pavel Liška
Název projektu ICT podporuje moderní způsoby výuky Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0717 Název školy Gymnázium, Turnov, Jana Palacha 804, přísp. organizace Číslo a název šablony klíčové aktivity IV/2 Inovace
1. Přímka a její části
. Přímka a její části přímka v rovině, v prostoru, přímka jako graf funkce, konstrukce přímky nebo úsečky, analytická geometrie přímky, přímka jako tečna grafu, přímka a kuželosečka Přímka v rovině a v
VZÁJEMNÁ POLOHA DVOU PŘÍMEK V ROVINĚ
VZÁJEMNÁ POLOHA DVOU PŘÍMEK V ROVINĚ Dvě přímky v rovině mohou být: různoběžné - mají jediný společný bod, rovnoběžné různé - nemají společný bod, totožné - mají nekonečně mnoho společných bodů. ŘEŠENÉ
Analytická geometrie. přímka vzájemná poloha přímek rovina vzájemná poloha rovin. Název: XI 3 21:42 (1 z 37)
Analytická geometrie přímka vzájemná poloha přímek rovina vzájemná poloha rovin Název: XI 3 21:42 (1 z 37) Název: XI 3 21:42 (2 z 37) Rovnice přímky a) parametrická A B A B C A X Název: XI 3 21:42 (3 z
Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora. Průřezová témata Poznámky. Téma Školní výstupy Učivo (pojmy) volné rovnoběžné promítání průmětna
Předmět: Matematika Náplň: Stereometrie, Analytická geometrie Třída: 3. ročník a septima Počet hodin: 4 hodiny týdně Pomůcky: PC a dataprojektor, učebnice Stereometrie Volné rovnoběžné promítání Zobrazí
Kolmost rovin a přímek
Kolmost rovin a přímek 1.Napište obecnou rovnici roviny, která prochází boem A[ 7; ;3] a je kolmá k přímce s parametrickým vyjářením x = + 3 t, y = t, z = 7 t, t R. Řešení: Hleanou rovinu si označíme α:
X = A + tu. Obr x = a 1 + tu 1 y = a 2 + tu 2, t R, y = kx + q, k, q R (6.1)
.6. Analtická geometrie lineárních a kvadratických útvarů v rovině. 6.1. V této kapitole budeme studovat geometrické úloh v rovině analtick, tj. lineární a kvadratické geometrické útvar vjádříme pomocí
PLANIMETRIE úvodní pojmy
PLANIMETRIE úvodní pojmy Je část geometrie zabývající se studiem geometrických útvarů v rovině. Základními stavebními kameny v rovině budou bod a přímka. 1) Přímka a její části Dvěma různými body lze vést
PŘÍMKA A JEJÍ VYJÁDŘENÍ V ANALYTICKÉ GEOMETRII
PŘÍMKA A JEJÍ VYJÁDŘENÍ V ANALYTICKÉ GEOMETRII V úvodu analytické geometrie jsme vysvětlili, že její hlavní snahou je popsat geometrické útvary (body, vektory, přímky, kružnice,...) pomocí čísel nebo proměnných.
Vzorce počítačové grafiky
Vektorové operace součet vektorů rozdíl vektorů opačný vektor násobení vektoru skalárem úhel dvou vektorů velikost vektoru a vzdálenost dvojice bodů v rovině (v prostoru analogicky) u = B A= b a b a u
Příklady k analytické geometrii kružnice a vzájemná poloha kružnice a přímky
Příklady k analytické geometrii kružnice a vzájemná poloha kružnice a přímky Př. 1: Určete rovnice všech kružnic, které procházejí bodem A = * 6; 9+, mají střed na přímce p: x + 3y 18 = 0 a jejich poloměr
je pravoúhlý BNa ose y najděte bod, který je vzdálený od bodu A = [ 4;
1 BUAnlytická geometrie - bod, souřdnice bodu, vzdálenost bodů 11 1BRozhodněte, zd trojúhelník s vrcholy A [ ; ], B [ 1; 1] C [ 11; 6] je prvoúhlý 1 1BN ose y njděte bod, který je vzdálený od bodu A [
Digitální učební materiál
Digitální učební materiál Číslo projektu CZ07/500/34080 Název projektu Zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Číslo a název šablony klíčové aktivity III/ Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT
ANALYTICKÁ GEOMETRIE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ
ANALYTICKÁ GEOMETRIE Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu
ANALYTICKÁ GEOMETRIE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky
ANALYTICKÁ GEOMETRIE Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu
14. přednáška. Přímka
14 přednáška Přímka Začneme vyjádřením přímky v prostoru Přímku v prostoru můžeme vyjádřit jen parametricky protože obecná rovnice přímky v prostoru neexistuje Přímka v prostoru je určena bodem A= [ a1
6. ANALYTICKÁ GEOMETRIE
Vektorová algebra 6. ANALYTICKÁ GEOMETRIE Pravoúhlé souřadnice bodu v prostoru Poloha bodu v prostoru je vzhledem ke třem osám k sobě kolmým určena třemi souřadnicemi, které tvoří uspořádanou trojici reálných
Analytická geometrie přímky, roviny (opakování středoškolské látky) = 0. Napište obecnou rovnici. 8. Jsou dány body A [ 2,3,
Analytická geometrie přímky roviny opakování středoškolské látk Jsou dány body A [ ] B [ 5] a C [ 6] a) přímky AB b) osy úsečky AB c) přímky na které leží výška vc trojúhelníka ABC d) přímky na které leží
8. Parametrické vyjádření a. Repetitorium z matematiky
8. Parametrické vyjádření a obecná rovnice přímky a roviny Repetitorium z matematiky Podzim 2012 Ivana Medková Osnova: 1 Geometrie v rovině 1. 1 Parametrické vyjádření přímky 1. 2 Obecná rovnice přímky
Pracovní listy MONGEOVO PROMÍTÁNÍ
Technická univerzita v Liberci Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická Katedra matematiky a didaktiky matematiky MONGEOVO PROMÍTÁNÍ Petra Pirklová Liberec, únor 07 . Zobrazte tyto body a určete jejich
Odvození středové rovnice kružnice se středem S [m; n] a o poloměru r. Bod X ležící na kružnici má souřadnice [x; y].
Konzultace č. 6: Rovnice kružnice, poloha přímky a kružnice Literatura: Matematika pro gymnázia: Analytická geometrie, kap. 5.1 a 5. Sbírka úloh z matematiky pro SOŠ a studijní obory SOU. část, kap. 6.1
P L A N I M E T R I E
M T E M T I K P L N I M E T R I E rovinná geometrie Základní planimetrické pojmy od - značí se velkými tiskacími písmeny, např.,,. P, Q. Přímka - značí se malými písmeny, např. a, b, p, q nebo pomocí bodů
KONSTRUKTIVNÍ GEOMETRIE
KONSTRUKTIVNÍ GEOMETRIE Přednáška Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipliny společného základu (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.0021)
Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora
Předmět: Náplň: Cvičení z matematiky geometrie (CZMg) Systematizace a prohloubení učiva matematiky Planimetrie, Stereometrie, Analytická geometrie, Kombinatorika, Pravděpodobnost a statistika Třída: 4.
Shodná zobrazení v rovině
Shodná zobrazení v rovině Zobrazení Z v rovině je předpis, který každému bodu X roviny přiřazuje právě jeden bod X roviny. Bod X se nazývá vzor, bod X jeho obraz. Zapisujeme Z: X X. Množinu obrazů všech
1 Analytická geometrie
1 Analytická geometrie 11 Přímky Necht A E 3 a v R 3 je nenulový Pak p = A + v = {X E 3 X = A + tv, t R}, je přímka procházející bodem A se směrovým vektorem v Rovnici X = A + tv, t R, říkáme bodová rovnice
M - Příprava na 1. čtvrtletku pro třídu 4ODK
M - Příprava na 1. čtvrtletku pro třídu 4ODK Autor: Mgr. Jaromír Juřek Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu povoleno pouze s odkazem na www.jarjurek.cz. VARIACE 1 Tento dokument byl
Užití stejnolehlosti v konstrukčních úlohách
Užití stejnolehlosti v konstrukčních úlohách Příklad 1: Je dána kružnice k(o,r) a bod M ležící uvnitř kružnice k. Bodem M veďte tětivu AB, jejíž délka je bodem M rozdělena v poměru 2 : 1. Sestrojte obraz
ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ
ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ Parametrické vyjádření přímky v rovině Máme přímku p v rovině určenou body A, B. Sestrojíme vektor u = B A. Pro bod B tím pádem platí: B = A + u. Je zřejmé,
ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ
ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ Mgr. Zora Hauptová ANALYTICKÁ GEOMETRIE PŘÍMKY TEST VY_32_INOVACE_MA_3_20 OPVK 1.5 EU peníze středním školám CZ.1.07/1.500/34.0116 Modernizace výuky na učilišti
= prostorová geometrie, geometrie v prostoru část M zkoumající vlastnosti prostor. útvarů vychází z tzv. axiómů, využívá věty
STROMTRI STROMTRI = prostorová geometrie, geometrie v prostoru část M zkoumající vlastnosti prostor. útvarů vychází z tzv. axiómů, využívá věty xióm je jednoduché názorné tvrzení, které se nedokazuje.
Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/ Matematika pro všechny. Univerzita Palackého v Olomouci
Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/26.0047 Matematika pro všechny Univerzita Palackého v Olomouci Tematický okruh: Geometrie Různé metody řešení Téma: Analytická geometrie v prostoru, vektory, přímky Autor:
Rozpis výstupů zima 2008 Geometrie
Rozpis výstupů zima 2008 Geometrie 20. 10. porovnávání úseček grafický součet úseček grafický rozdíl úseček... porovnávání úhlů grafický součet úhlů grafický rozdíl úhlů... osa úhlu úhly vedlejší a vrcholové...
0 x 12. x 12. strana Mongeovo promítání - polohové úlohy.
strana 9 3.1a Sestrojte sdružené průměty stopníků přímek a = AB, b = CD, c = EF. A [-2, 5, 1], B [3/2, 2, 5], C [3, 7, 4], D [5, 2, 4], E [-5, 3, 3], F [-5, 3, 6]. 3.1b Určete parametrické vyjádření přímek
3. ÚVOD DO ANALYTICKÉ GEOMETRIE 3.1. ANALYTICKÁ GEOMETRIE PŘÍMKY
3. ÚVOD DO ANALYTICKÉ GEOMETRIE 3.1. ANALYTICKÁ GEOMETRIE PŘÍMKY V této kapitole se dozvíte: jak popsat bod v rovině a v prostoru; vzorec na výpočet vzdálenosti dvou bodů; základní tvary rovnice přímky
2. Zapište daná racionální čísla ve tvaru zlomku a zlomek uveďte v základním tvaru. 4. Upravte a stanovte podmínky, za kterých má daný výraz smysl:
KVINTA úlohy k opakování 1. Jsou dány množiny: = {xr; x - 9 5} B = {xr; 1 - x } a) zapište dané množiny pomocí intervalů b) stanovte A B, A B, A - B, B A. Zapište daná racionální čísla ve tvaru zlomku
Lingebraické kapitolky - Analytická geometrie
Lingebraické kapitolky - Analytická geometrie Jaroslav Horáček KAM MFF UK 2013 Co je to vektor? Šipička na tabuli? Ehm? Množina orientovaných úseček majících stejný směr. Prvek vektorového prostoru. V
AB = 3 CB B A = 3 (B C) C = 1 (4B A) C = 4; k ]
1. část 1. (u 1, u 2, u, u 4 ) je kladná báze orientovaného vektorového prostoru V 4. Rozhodněte, zda vektory (u, 2u 1 + u 4, u 4 u, u 2 ) tvoří kladnou, resp. zápornou bázi V 4. 0 2 0 0 0 0 0 1 0 2 0
STEREOMETRIE. Tělesa. Značení: body A, B, C,... přímky p, q, r,... roviny ρ, σ, τ,...
STEREOMETRIE Stereometrie je část geometrie, která se zabývá studiem prostorových útvarů. Základními prostorovými útvary, se kterými budeme pracovat, jsou bod, přímka a rovina. Značení: body A, B, C,...
M - Příprava na 12. zápočtový test
M - Příprava na 1. zápočtový test Určeno pro studenty dálkového studia. VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven a vytištěn v programu dosystem - EduBase. Více informací o programu naleznete
VZOROVÝ TEST PRO 3. ROČNÍK (3. A, 5. C)
VZOROVÝ TEST PRO 3. ROČNÍK (3. A, 5. C) max. 3 body 1 Zjistěte, zda vektor u je lineární kombinací vektorů a, b, je-li u = ( 8; 4; 3), a = ( 1; 2; 3), b = (2; 0; 1). Pokud ano, zapište tuto lineární kombinaci.
Patří mezi tzv. homotetie, tj. afinní zobrazení, která mají všechny směry samodružné.
11 Stejnolehlost Patří mezi tzv. homotetie, tj. afinní zobrazení, která mají všechny směry samodružné. Definice 26. Budiž dán bod S a reálné číslo κ (různé od 0 a 1). Stejnolehlost H(S; κ) se středem S
10. Analytická geometrie kuželoseček 1 bod
10. Analytická geometrie kuželoseček 1 bod 10.1. Kružnice opsaná obdélníku ABCD, kde A[2, 3], C[8, 3], má rovnici a) x 2 10x + y 2 + 7 = 0, b) (x 3) 2 + (y 3) 2 = 36, c) x 2 + 10x + y 2 18 = 0, d) (x 10)
Eukleidovský prostor a KSS Eukleidovský prostor je bodový prostor, ve kterém je definována vzdálenost dvou bodů (metrika)
Eukleidovský prostor a KSS Eukleidovský prostor je bodový prostor, ve kterém je definována vzdálenost dvou bodů (metrika) Kartézská soustava souřadnic je dána počátkem O a uspořádanou trojicí bodů E x,
Geometrie v R n. student. Poznamenejme, že vlastně počítáme délku úsečky, která oba body spojuje. (b d)2 + (c a) 2
Geometrie v R n Začněme nejjednodušší úlohou: Vypočtěme vzdálenost dvou bodů v rovině. Použijeme příkaz distance z balíku student. Poznamenejme, že vlastně počítáme délku úsečky, která oba body spojuje.
Geometrie v R n. z balíku student. Poznamenejme, že vlastně počítáme délku úsečky, která oba body spojuje. (b d)2 + (c a) 2
Geometrie v R n Začněme nejjednodušší úlohou: Vypočtěme vzdálenost dvou bodů v rovině. Použijeme příkaz distance z balíku student. Poznamenejme, že vlastně počítáme délku úsečky, která oba body spojuje.
ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ
ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ Analytická geometrie vyšetřuje geometrické objekty (body, přímky, kuželosečky apod.) analytickými metodami. Podle prostoru, ve kterém pracujeme, můžeme analytickou geometrii
Konstrukční úlohy. Růžena Blažková, Irena Budínová. Milé studentky, milí studenti,
Konstrukční úlohy Růžena Blažková, Irena Budínová Milé studentky, milí studenti, zadání konstrukčních úloh si vylosujete v semináři nebo na přednášce, u každé konstrukční úlohy proveďte: - rozbor obsahuje
19 Eukleidovský bodový prostor
19 Eukleidovský bodový prostor Eukleidovským bodovým prostorem rozumíme afinní bodový prostor, na jehož zaměření je definován skalární součin. Víme, že pomocí skalárního součinu jsou definovány pojmy norma
Matematika I, část I. Rovnici (1) nazýváme vektorovou rovnicí roviny ABC. Rovina ABC prochází bodem A a říkáme, že má zaměření u, v. X=A+r.u+s.
3.4. Výklad Předpokládejme, že v prostoru E 3 jsou dány body A, B, C neležící na jedné přímce. Těmito body prochází jediná rovina, kterou označíme ABC. Určíme vektory u = B - A, v = C - A, které jsou zřejmě
Matematika 1 MA1. 1 Analytická geometrie v prostoru - základní pojmy. 4 Vzdálenosti. 12. přednáška ( ) Matematika 1 1 / 32
Matematika 1 12. přednáška MA1 1 Analytická geometrie v prostoru - základní pojmy 2 Skalární, vektorový a smíšený součin, projekce vektoru 3 Přímky a roviny 4 Vzdálenosti 5 Příčky mimoběžek 6 Zkouška;
Maturitní nácvik 2008/09
Maturitní nácvik 008/09 1. Parabola a) Načrtněte graf funkce y + 4 - ² a z grafu vypište všechny její vlastnosti. b) Určete čísla a,b,c tak, aby parabola s rovnicí y a + b + c procházela body K[1,-], L[0,-1],
1. LINEÁRNÍ ALGEBRA Vektory Operace s vektory... 8 Úlohy k samostatnému řešení... 8
1 Lineární algebra 1 LINEÁRNÍ ALGEBRA 8 11 Vektory 8 111 Operace s vektory 8 8 112 Lineární závislost a nezávislost vektorů 8 8 113 Báze vektorového prostoru 9 9 12 Determinant 9 9 13 Matice 1 131 Operace
S T E R E O M E T R I E ( P R O S T O R O V Á G E O M E T R I E ) Z Á K L A D N Í G E O M E T R I C K É Ú T VA R Y A J E J I C H O Z N A
S T E R E O M E T R I E ( P R O S T O R O V Á G E O M E T R I E ) Z Á K L A D N Í G E O M E T R I C K É Ú T VA R Y A J E J I C H O Z N AČENÍ bod (A, B, C, ), přímka (a, b, p, q, AB, ), rovina (α, β, ρ,
11 Vzdálenost podprostorů
11 Vzdálenost podprostorů 11.1 Vzdálenost bodů Eukleidovský bodový prostor E n = afinní bodový prostor, na jehož zaměření je definován skalární součin. (Pech:AGLÚ/str.126) Definováním skalárního součinu
9. Je-li cos 2x = 0,5, x 0, π, pak tgx = a) 3. b) 1. c) neexistuje d) a) x ( 4, 4) b) x = 4 c) x R d) x < 4. e) 3 3 b
008 verze 0A. Řešeními nerovnice x + 4 0 jsou právě všechna x R, pro která je x ( 4, 4) b) x = 4 c) x R x < 4 e) nerovnice nemá řešení b. Rovnice x + y x = je rovnicí přímky b) dvojice přímek c) paraboly
- shodnost trojúhelníků. Věta SSS: Věta SUS: Věta USU:
1/12 PLANIMETRIE Základní pojmy: Shodnost, podobnost trojúhelníků Středová souměrnost, osová souměrnost, posunutí, otočení shodná zobrazení Středový a obvodový úhel Obsahy a obvody rovinných obrazců 1.
Kapitola 5. Seznámíme se ze základními vlastnostmi elipsy, hyperboly a paraboly, které
Kapitola 5 Kuželosečky Seznámíme se ze základními vlastnostmi elipsy, hyperboly a paraboly, které společně s kružnicí jsou známy pod společným názvem kuželosečky. Říká se jim tak proto, že každou z nich
( ) ( ) 6. Algebraické nerovnice s jednou neznámou ( ) ( ) ( ) ( 2. e) = ( )
6. Algebraické nerovnice s jednou neznámou Další dovednosti: -iracionální nerovnice -lineární nerovnice s parametrem -kvadratické nerovnice s parametrem Možné maturitní otázky: Lineární a kvadratické nerovnice
DERIVACE. ln 7. Urči, kdy funkce roste a klesá a dále kdy je konkávní a
DERIVACE 1. Zderivuj funkci y = ln 2 (sin x + tg x 2 ) 2. Zderivuj funkci y = 2 e x2 cos x 3. Zderivuj funkci y = 3 e sin2 (x 2 ) 4. Zderivuj funkci y = x3 +2x 2 +sin x x 5. Zderivuj funkci y = cos2 x
2. Vyšetřete všechny možné případy vzájemné polohy tří různých přímek ležících v jedné rovině.
ZS1BK_PGE1 Geometrie I: Vybrané úlohy z elementární geometrie 1. Které geometrické útvary mohou vzniknout a) jako průnik dvou polopřímek téže přímky, b) jako průnik dvou polorovin téže roviny? V případě
M - Analytická geometrie pro třídu 4ODK
M - Analytická geometrie pro třídu 4ODK Autor: Mgr. Jaromír Juřek Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je dovoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. VARIACE Tento dokument
7 Analytická geometrie v rovině
7 Analytická geometrie v rovině Myslím, tedy jsem (René Descartes) 71 Úsečka V kapitole 51 jsme zavedli pojem souřadnice v rovině pro potřeby konstrukce grafů funkcí Pomocí souřadnic lze ovšem popisovat
Analytická metoda aneb Využití vektorů v geometrii
KM/GVS Geometrické vidění světa (Design) nalytická metoda aneb Využití vektorů v geometrii Použité značky a symboly R, C, Z obor reálných, komleních, celých čísel geometrický vektor R n aritmetický vektor
VZÁJEMNÁ POLOHA DVOU PŘÍMEK
VZÁJEMNÁ POLOHA DVOU PŘÍMEK VZÁJEMNÁ POLOHA DVOU PŘÍMEK p: a x b y c 0 q: a x b y c 0 ROVNOBĚŽNÉ PŘÍMKY (RŮZNÉ) nemají žádný společný bod, můžeme určit jejich vzdálenost, jejich odchylka je 0. Normálové
6 Skalární součin. u v = (u 1 v 1 ) 2 +(u 2 v 2 ) 2 +(u 3 v 3 ) 2
6 Skalární součin Skalární součin 1 je operace, která dvěma vektorům (je to tedy binární operace) přiřazuje skalár (v našem případě jde o reálné číslo, obecně se jedná o prvek nějakého tělesa T ). Dovoluje
3.MONGEOVO PROMÍTÁNÍ. Rovnoběžný průmět 3D těles na rovinu není vzájemně jednoznačné zobrazení, k obrazu neumíme jednoznačně určit objekt v prostoru
3.MONGEOVO PROMÍTÁNÍ A B E 3 E 2 Rovnoběžný průmět 3D těles na rovinu není vzájemně jednoznačné zobrazení, k obrazu neumíme jednoznačně určit objekt v prostoru 3.1.Kartézský souřadnicový systém O počátek
Mgr. Tomáš Kotler. I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 7 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17
Mgr. Tomáš Kotler I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 7 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 1 Je dán rovinný obrazec, v obrázku vyznačený barevnou výplní, který představuje
Základní geometrické útvary
RMP 2 KS MS Základní geometrické útvary Bod, přímka, rovina základní geometrické pojmy, vznikly v našem vědomí abstrakcí poznatků reálného světa. V geometrii jsou zavedeny axiomaticky, tj. pomocí jednoduchých
3.2. ANALYTICKÁ GEOMETRIE ROVINY
3.2. ANALYTICKÁ GEOMETRIE ROVINY V této kapitole se dozvíte: jak popsat rovinu v třídimenzionálním prostoru; jak analyzovat vzájemnou polohu bodu a roviny včetně jejich vzdálenosti; jak analyzovat vzájemnou
Test Zkušební přijímací zkoušky
Test Zkušební přijímací zkoušky 1. Vypočtěte: ( 10 1.5) ( 4 ).( 15). ( 5 6). Doplňte číslo do rámečku, aby platila rovnost:.1. 4 11 10. 8 16 6.. 49 7 1.. + 1. Proveďte početní operace:.1. 6x 4x ( 4x x)
17 Kuželosečky a přímky
17 Kuželosečky a přímky 17.1 Poznámka: Polára bodu M ke kuželosečce Nechť X = [x 0,y 0 ] je bod. Zavedeme následující úpravy: x x 0 x y y 0 y xy (x 0 y + xy 0 )/ x (x 0 + x)/ y (y 0 + y)/ (x m) (x 0 m)(x
MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT)
MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) 1. Číselné obory 1.1 Přirozená čísla provádět aritmetické operace s přirozenými čísly rozlišit prvočíslo
SEZNAM ANOTACÍ. CZ.1.07/1.5.00/ III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT VY_32_INOVACE_MA4 Analytická geometrie
SEZNAM ANOTACÍ Číslo projektu Číslo a název šablony klíčové aktivity Označení sady DUM Tematická oblast CZ.1.07/1.5.00/34.0527 III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT VY_32_INOVACE_MA4 Analytická
f(x) = arccotg x 2 x lim f(x). Určete všechny asymptoty grafu x 2 2 =
Řešení vzorové písemky z předmětu MAR Poznámky: Řešení úloh ze vzorové písemky jsou formulována dosti podrobně podobným způsobem jako u řešených příkladů ve skriptech U zkoušky lze jednotlivé kroky postupu
Euklidovský prostor. Parametrické rovnice roviny. Obecná rovnice roviny. . p.1/25
n 3 GeometrievÊ zvláštěvê Euklidovský prostor n Ê Norma, úhel vektorů, skalární a vektorový součin Parametrické rovnice přímky Parametrické rovnice roviny Obecná rovnice roviny. p.1/25 Euklidovskýprostor
DUM č. 10 v sadě. Ma-2 Příprava k maturitě a PZ geometrie, analytická geometrie, analýza, komlexní čísla
projekt GML Brno Docens DUM č. 10 sadě Ma- Přípraa k matritě a PZ geometrie, analytická geometrie, analýza, komlexní čísla 14. Ator: Magda Krejčoá Datm: 1.08.01 Ročník: matritní ročníky Anotace DUM: Analytická
Systematizace a prohloubení učiva matematiky. Učebna s dataprojektorem, PC, grafický program, tabulkový procesor. Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora
Předmět: Náplň: Třída: Počet hodin: Pomůcky: Cvičení z matematiky Systematizace a prohloubení učiva matematiky 4. ročník 2 hodiny Učebna s dataprojektorem, PC, grafický program, tabulkový procesor Číselné
MATEMATIKA Tematické okruhy ke státní maturitní zkoušce Obor: mechanik elektronik
MATEMATIKA Tematické okruhy ke státní maturitní zkoušce Obor: mechanik elektronik R4 1. ČÍSELNÉ VÝRAZY 1.1. Přirozená čísla počítání s přirozenými čísly, rozlišit prvočíslo a číslo složené, rozložit složené
c) nelze-li rovnici upravit na stejný základ, logaritmujeme obě strany rovnice
Několik dalších ukázek: Eponenciální rovnice. Řešte v R: a) 5 +. 5 - = 5 - b) 5 9 4 c) 7 + = 5 d) = e) + + = f) 6 4 = g) 4 8.. 9 9 S : a) na každé straně rovnice musí být základ 5, aby se pak základy mohly
Analytická geometrie. c ÚM FSI VUT v Brně
19. září 2007 Příklad 1. Příklad 2. Příklad 3. Příklad 1. Určete obecnou rovnici roviny, která prochází body A = [0, 1, 2], B = [ 1, 0, 3], C = [3, 1, 0]. Příklad 1. A = [0, 1, 2], B = [ 1, 0, 3], C =
Parametrická rovnice přímky v rovině
Parametrická rovnice přímky v rovině Nechť je v kartézské soustavě souřadnic dána přímka AB. Nechť vektor u = B - A. Pak libovolný bod X[x; y] leží na přímce AB právě tehdy, když vektory u a X - A jsou
CVIČNÝ TEST 43. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 13 IV. Záznamový list 15
CVIČNÝ TEST 43 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 13 IV. Záznamový list 15 I. CVIČNÝ TEST 1 bod 1 Pro a, b R + určete hodnotu výrazu ( a b) 2 ( a + b) 2, víte-li,
Úlohy k přednášce NMAG 101 a 120: Lineární algebra a geometrie 1 a 2,
Úlohy k přednášce NMAG a : Lineární algebra a geometrie a Verze ze dne. května Toto je seznam přímočarých příkladů k přednášce. Úlohy z tohoto seznamu je nezbytně nutné umět řešit. Podobné typy úloh se
VELIKOST VEKTORU, POČETNÍ OPERACE S VEKTORY
VELIKOST VEKTORU, POČETNÍ OPERACE S VEKTORY Vektoru můžeme přisoudit velikost. S vektory také můžeme provádět početní operace, které jsme zvyklí provádět s čísly, tzn. že je možné je sčítat, odčítat a
1. Kombinatorika 1.1. Faktoriál výrazy a rovnice
1. Kombinatorika 1.1. Faktoriál výrazy a rovnice 1.A) 210; B) 990; C) 29260; D) 1/5; E) 1/240; F) 157; G) 81/712; H) 1/100; I) 3,98*10 11 ; J) 86296950; K) 65824; L) 195878760; 2. A) x 3 +3x 2 +2x; x Z,
MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ vyšší úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT)
MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ vyšší úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) 1. Číselné obory 1.1 Přirozená čísla provádět aritmetické operace s přirozenými čísly rozlišit prvočíslo a