Vlnění první sada Equation Chapter 1 Section 1

Transkript

1 Vlnění prní sada Equation Chapter Setion. Nadsětelné ryhlosti prasátko Zadání: Sětelným zdrojem můžeme otočit o 90 za 0. s. Jak daleko musí být projekční ploha, aby se sětelná skrna (prasátko) pohyboala nadsětelnou ryhlostí? Řešení: Úhloá ryhlost prasátka je ω = Δφ/Δt. Obodoá ryhlost na projekční stěně e zdálenosti l bude = lω. Tato ryhlost má být ětší než ryhlost sětla. Odsud plyne podmínka l > Δt/Δφ. Výsledek: l > km. To je podstatně méně než je oběžná dráha Měsíe ( km!) a sronatelné s oběžnými ýškami některýh sond.. Jety kasaru fiktiní nadsětelná ryhlost Zadání: Vzdálený kasar je zdrojem dou ýtrysků látky (jetů) z nihž jeden se pohybuje směrem k pozoroateli pod malým úhlem téměř ryhlostí sětla. Určete, jakou ryhlost naměří pozoroatel. Řešení: Poloha objektu je dána ztahy: x( t) t sin ; y( t) y0 t os. Signál přihází k pozoroateli se zpožděním čase yt () t. yhlost, kterou zjistí pozoroatel proto bude dx d x/dt sin sin. d d /dt os os ( /) y 0 y a x Z ýsledku je zřejmé, že pohybuje-li se jet směrem k pozoroateli, tato fiktiní pozoroaná ryhlost snadno přeýší ryhlost sětla. 3. Exploze Zadání: Při explozi nálože byla uolněna energie 0 5 J. Exploze trala s. Jaká bude maximální intenzita detonační lny e zdálenosti 0 metrů od exploze a e zdálenosti 0 metrů od exploze? Předpoklady: Detonační lna je kuloě symetriká. Řešení: I = ΔE/(ΔS Δt) = ΔE/(4πr Δt) Výsledek: I = 80 Wm, I = 0 Wm. 4. Hluk Zadání: Jak se sníží hladina hluku, zdálím-li se od zdroje hluku do dojnásobné zdálenosti? Předpoklady: Zdroj hluku je malý zhledem ke zdálenostem, e kterýh poslouháme a hluk se šíří sfériky symetriky.

2 Řešení: Intenzita je úměrná kadrátu amplitudy a pro kuloou lnu je I ~ /r. Proto e dojnásobné zdálenosti bude I = I /4. Hladina hluku se sníží o Výsledek: ΔL = 6 db. ΔL = 0 log(i /I 0 ) 0 log(i /I 0 ) = 0 log(i /I ) = 0 log(4). 5. Kruhoá lna na membráně Zadání: Tenkou pružnou homogenní membránu e taru kruhu o poloměru,5 m e středu prudkým úderem paličkou yhýlíme o m. Hlaie paličky má tar ále o průměru,5 m. Osa hlaie paličky při úderu byla kolmá na roinu membrány. yhlost úderu a tuhost membrány byly takoé, že se při úderu protáhla membrána pouze bezprostředním okolí hlaie paličky. Jaká bude amplituda lny zniklé na okraji membrány? Útlum a energii předanou zpět paliče zanedbejte. Řešení: U kruhoé lny pro amplitudu platí Proto A () r r A A r = () Výsledek: Pro hodnoty r = 5 mm, r = 500 mm a A = 0 mm yhází A = mm. 6. Elektromagnetiká lna ionosféře Zadání: Standardní disperzní relae roinné elektromagnetiké lny ω = k je při průhodu sětla plazmatem modifikoána na tar ω = ω p + k. yhlost šíření sětla e akuu je označena. Veličina ω p se nazýá plazmoá frekene (jde o frekeni osilaí elektronů kolem iontů). Nalezněte záislost ω(k) a diskutujte její průběh. Určete fázoou a grupoou ryhlost šíření této lny. Řešení: Zadaný ýraz pro disperzní relai nejpre upraíme do taru p p k k k. (3) Záislost ω(k) lze nyní snadno ykreslit a je uedena na obrázku. Z grafu je zřejmé, že lna se šíří jen pro frekene ω > ω p. Při nižšíh frekeníh elektromagnetiké lny se elektrony prostředí totiž stihnou rozkmitat a lna je absorboána, plazma je pro takoou lnu neprůhledné. p Fázoá ryhlost je k

3 p p f, (4) k k 4 záisí na lnoé déle lny (disperze!) a je ětší než ryhlost sětla. Grupoá ryhlost g (5) k p 4 je menší než ryhlost šíření sětla (jde o ryhlost šíření informae). Součin obou ryhlostí splňuje relai. (6) f g 7. Směroý diagram Zadání: Nalezněte tar lnoploh pro lnu s disperzní relaí w = w + k os a. Řešení: Směroý diagram je záislost elikosti fázoé ryhlosti na úhlu α polárním diagramu. Zřejmě je: p p f os os (7) k k 4 p 8. Okno Zadání: Okno, jehož ploha je m, je oteřeno na ulii. Pouliční hluk má roině okna průměrnou hladinu intenzity 80 db. Jak elký akustiký ýkon stupuje zukoými lnami do pokoje? Řešení: Zukoý ýkon stupujíí do místnosti P I S. Intenzitu stanoíme ze zadané hladiny intenzity 0 L 0 I L0 log I I00. I kde L/0 je hladina yjádřená belleh a I 0 je referenční intenzita, I 0 0 W m. Akustiký ýkon je L W P SI.

4 9. Hluk stroje Zadání: V prostředí, jehož hladina intenzity hlukoého pozadí je 60 db, byl změřen hluk stroje. Byla naměřena hodnota 64 db. Jakou hodnotu hladiny intenzity hluku stroje byhom naměřili, kdybyhom měřili tihé místnosti? Řešení: Sčítat můžeme tomto případě pouze energie resp. intenzity zuků. Ke skládání akustikýh tlaků nebo ýhylek nemáme přesné informae o amplitudáh a fázíh jednotliýh složek zukoého spektra e sčítaím bodě. Je tedy IM IP IS, kde indexy znamenají: M (měření), P (pozadí), S (stroj). Platí IS IM IP. Intenzity yjádříme pomoí příslušnýh hladin intenzity LS LM LP I I I, (L S /0 je hladina belleh atd.). Ve ýrazu zkrátíme referenční intenzitu LS LM LP Fermatů prinip (děláme na přednáše) Zadání. Odoďte zákon lomu z Fermatoa prinipu. Řešení: Podle Fermatoa prinipu, ze šeh možnýh trajektorií bude realizoána trajektorie s minimální dobou hodu paprsku z bodu A do bodu A. A ( x, y) n 0 B ( x, 0) n A ( x, y) Pro trajektorii na obrázku je elkoá doba t ( x x ) y ( xx ) y Tato doba je funkí x, proto tuto záislost deriujeme podle proměnné x a položíme ronou nule (nutná podmínka minima). Získáme tak podmínku ze které plyne xx x x ( x x) y ( xx) y.,

5 sin sin sin nsin nsin. sin sin n sin n (8) ( úhel dopadu, úhel lomu, n, n jsou indexy lomu obou prostředí). Seismografiká stanie Zadání. Vypočítejte úhloou zdálenost od hypoentra A do seismografiké stanie B, je-li ze záznamu seismografu patrno, že podélné lny přišly o t = 80 s dříe než lny příčné. yhlost šíření podélnýh ln zemské kůře předpokládejte L = 6,5 km/s, ryhlost příčnýh ln témže prostředí T = 4,4 km/s. Stanote interal úhloýh zdáleností, pro něž je metoda použitelná, je-li tloušťka zemské kůry d = 5 až 60 km. Poloměr Země je = km. d A s B Řešení: Přímou zdálenost s mezi body A a B lze yjádřit pomoí ryhlosti podélnýh nebo příčnýh ln a odpoídajíí doby průhodu lny úsekem s t t. Časoý interal mezi příhodem obou ln t tt tl yjádříme pomoí s, L a T a zdálenost s pomoí úhlu L L T T L t s s T L LT Spojením (9) a (0) obdržíme pro hledané tlt arsin 9,8. T (9) s sin s (0) Metoda je použitelná, pokud nedojde k průhodu nebo odrazu ln rozhraním mezi zemskou kůrou a zemským pláštěm (Mohoroičičoa diskontinuita). Z obrázku lze psát L T

6 Pro os max d, odkud max aros d. d 5 km obdržíme max5 4,5º, pro d 60 km max 60 5,7º.. Skládání ln Zadání. Dě roinné harmoniké lny o stejné frekeni a amplitudě, polarizoané lineárně nazájem kolmýh směreh (os y a z ) se šíří stejnou ryhlostí kladném směru osy x. Popište ýslednou lnu zniklou jejih složením, má-li fázoý rozdíl obou ln hodnotu a) 0, b), ) /, d) 3 /, a rozhodněte, o jakou polarizai ýsledné lny se uedenýh případeh jedná. Řešení: Polarizoané lnění musí být příčné. Kmitání se děje různýh směreh, proto je třeba skládat lny ektoroě. Vzhledem k přízniému zadání lze přímo konstatoat, že ýsledný ektor ýhylky u je sin u= ju sin t kx ku t kx. 0 0 Zolme nyní místo na ose x, němž budeme sledoat polohu ektoru u a tedy i roiny kmitů čase, pro jednoduhost x 0. Příklad se tak redukuje na skládání nazájem kolmýh sinusoýh kmitů roině se zájemným fázoým posunem a y U 0 sint () z U t () 0 sin onie () a () jsou parametrikou formulaí trajektorie konoého bodu ektoru u roině y, z. Vyloučením parametru obdržíme ronie trajektorií názornější formě: Pro 0 je y z. Příslušnou trajektorií je přímka y z, lna je tedy lineárně polarizoána, roina kmitu je určena osou x a uedenou přímkou, polarizační roina je k roině kmitu kolmá. Pro je y z. Situae je podobná, jen roina kmitu i polarizační roina jsou ůči předhozímu případu pootočeny o 90º (trajektorií je přímka y z). V případě lze ronii () přepsat do taru z U0sin t U0ost. Umoněním na druhou a sečtením s kadrátem () obdržíme ztah y z U 0. Konoý bod ektoru u se tedy pohybuje po kružnii o poloměru U 0, roina kmitu i polarizační roina se prostoru otáčí; jde proto o polarizai kruhoou. Případ 3 / se od předhozího liší pouze opačným směrem otáčení (leotočiá a praotočiá polarizae). 3. Osětlení stolu Zadání: Lampa je umístěna nad kulatým stolem o poloměru jeho středu. Určete optimální ýšku lampy nad stolem tak, aby osětlení knihy ležíí na okraji stolu bylo maximální. Předpoklady: Zdroj je dostatečně malý, lnoplohu poažujte za kuloou.

7 Řešení: Osětlení, stejně tak jako tok sětelné energie, ubýá s kadrátem zdálenosti r od zdroje a záisí na úhlu dopadu: I0 os I. (3) r Dosadíme-li os α = h/r a za zdálenost r z Pythagoroy ěty r = (h + ) /, získáme záislost: h Ih ( ) I. (4) 0 h 3/ Při maximálním osětlení musí být deriae této funke podle h nuloá, ož ede na podmínku: h h h 3/ / 3 0 (5) Po ydělení ronie členem (h + ) / snadno nalezneme řešení h. (6)