Úloha IV.5... vrhač nožů

Transkript

1 Fyziální orespondenční seminář MFF UK Úloha IV5 rhač nožů 4 body; průměr 1,41; řešilo 37 studentů Vrhací nůž opustí ruu e chíli, dy je jeho těžiště e ýšce h a má pouze horizontální složu rychlosti 0 Jaou musí mít úhloou rychlost rotace ω, aby se zasel do sislé desy zdálené d od místa ypuštění? Pro zjednodušení uažujte, že těžiště nože je přesně poloině jeho dély l a že se nůž zasene ždy, dyž se jeho čepel dotne desy dříe než ruojeť Miroy pousy s rháním nožů se ymyaly statisticým předpoladům Při řešení této úlohy si nejpre musíme uědomit, jaé trajetorie špiča nože může opisoat a jaé z toho mohou zninout situace V zásadě máme tři možnosti: Rychlost těžiště nože je oproti rychlosti rotace eliá Potom se špiča nože pohybuje ůči terči stále před, což nám usnadní ýpočet Nastane mezní případ, dy se špiča nože úrati ůči terči zastaí Po jistý časoý úse se bude špiča nože od terče zdaloat Trajetorie špičy nože pro jednotlié případy je yreslena na obrázu 1 0,10 ω < /l ω = /l ω > /l 0,05 y m 0,00 0,05 0,10 0,0 0,5 1,0 1,5,0,5 x m Obr 1: Trajetorie špičy nože Pro případ ω < /l budeme postupoat ta, že si nejpre yjádříme zdálenost špičy nože od terče jao funci času Ja je patrné z obrázu 1 půjde o periodicou funci Každou periodu můžeme pomyslně rozdělit na dě poloiny té prní má špiča nože náso před těžištěm a může se tedy zasenout do terče V té druhé má těžiště náso před špičou a nůž se tedy zasenout nemůže Spočteme tedy čas, za terý nůž narazí do stěny a poté yhodnotíme, e teré části periody se nacházíme, abychom určili, zda se nůž zasenul, nebo ne 1

2 Fyziální orespondenční seminář MFF UK Nejpre si napišme parametricé yjádření pohybu špičy nože pro případ, že na počátu sého pohybu je špiča dolní úrati a rotuje směrem od terče y = l cos (ωt), x = t l sin (ωt), de jsme jao parametr použili čas t Nyní nás zajímá čas t, za terý nůž do stěny narazí Pro lepší předstau o ýpočtu tohoto času si napišme ještě záislost souřadnice x na čase t pro druhý onec nože x = t + l sin (ωt) Jeliož jao náraz do stěny se počítá střet s liboolným z obou onců nože, urazí těžiště zdálenost d = d l ( ) sin ω t Nůž tedy narazí do stěny za čas t = d ( l ) sin ω t, což je implicitní ronice, terou nejsme schopni běžnými metodami yřešit Uědomme si ošem, co dělá člen l sin (ωt) / jedná se o oreci na odoronou zdálenost od počáteční polohy, terá se zmenšuje či zětšuje tím, že se nůž otáčí Nejíce se projeí oamžiu, dy ωt = 90 Pro obě rajní polohy, tzn ωt = 0 a ωt = 180 se neprojeí ůbec Pro náš případ ω < /l ji ša ůbec nemusíme uažoat, jedině že by nás zajímal přesný čas zásahu, či pod jaým úhlem se nůž zasene Začínáme s nožem, jehož špiča míří dolů Požadujeme, aby jeho úhel natočení od půodního stau e chíli srážy se stěnou byl z interalu (π + π, π + π), de N 0 Z odstace ýše můžeme soudit, že poud pro aždé najdeme spodní a horní freenci, při teré zasenutí dojde, dojde zasenutí pro šechny mezilehlé freence Pro šechna N 0 hledáme tedy ωmin a ωmax (jde o horní index, ne mocninu) taoé, že d l ωmin t = ωmin ω min t = π + π = ( + 1)π, ω max t = π + π = ( + )π Sinus celočíselných násobů π je ošem nuloý Pro ωmin tedy dostááme ronici ( ) sin ω min t tedy a pro ω max dostááme ronici ωmin d = ( + 1)π ωmax d = ( + )π = ωmin d = ( + 1)π,

3 Fyziální orespondenční seminář MFF UK Ještě nám zbýá určit, jaou podmínu si lademe předpoladem, že se špiča nože pohybuje stále před Rychlost špičy nože ůči těžišti je ωl/, rychlost těžiště je, chceme tedy, aby bylo splněno ω < l Poud je tato podmína splněna, můžeme psát, že ω (ω min, ω max) Uažme nyní případ ω = /l že se špiča nože jednu chíli zastaí Jedná se lastně pouze o rajní případ prní situace, což znamená, že se nůž zasene, poud najdeme taoé, že /l (ω min, ω max) Tento případ je ošem zajímaý tím, že tato se nože sutečně rhají 1 Ještě je potřeba yřešit otázu ja íme, že rajní možné polohy jsou 180 a 360? Stačí se podíat na obr 1 V prních dou případech existuje pro aždý úhel z tohoto interalu situace, dy je špiča nože napřed před těžištěm Pro případ ω > /l toto již neplatí Horní mezní úhel budeme hledat ta, že najdeme místo, e terém se špiča začne racet špiča, terá se od stěny zdaluje, se do ní už nezasene Musíme tedy najít oamži, dy je její rychlost ůči stěně nuloá (šimněme si, že pro druhý případ to byl úhel 360 ) Pro nalezení spodní hranice budeme hledat podstatě horní hranici pro náraz do zdi ruojetí nože Víme totiž, že poud tuto hranici přeročíme, ta ruojeť nenarazí a naopa se zasene špiča Pro tyto případy yužijeme diferenciální počet, terý nám ze ztahu pro souřadnici x umožňuje spočítat složu rychlosti x špičy nože pomocí deriace, tedy Z požadau, aby ṽ x = 0 zísááme ztah ω max t { ( arccos x = dx dt = ωl cos (ωt) cos ( ω max t ) = ω maxl ω max l, ) ( + π, π arccos ω maxl ) } + π Z těchto dou možných řešení je pro nás podstatné to druhé, jeliož špiča nože se nachází před těžištěm nože pouze případě, že je nůž natočený o úhel φ (π, π), čemuž odpoídá druhý přílad Nyní yužijeme ztah t = d ( l ) sin ωmax t Pronásobením ω max zísááme pro dané ronici ω max de jsme yužili toho, že ( d l 1 ) ωmax l ( ) = π arccos + π, ωmaxl sin φ = 1 cos φ Pro ω min, tedy náraz ruojetí, lze postupoat podobně Deriací ztahu pro složu rychlosti ruojeti e směru x zísáme ztah pro rychlost x = dx dt = + ωl cos (ωt) 1 3

4 Fyziální orespondenční seminář MFF UK a z požadau na ynuloání této rychlosti zísááme ω min t { arccos cos ( ω ) max t = ω max l, ( ) ( ) } ωmin l + ( 1)π, π arccos ωmin l + ( 1)π Opět je pro nás podstatné druhé řešení, jeliož požadae je nyní φ (0, π) Zolme nyní nějaé uázoé hodnoty, pro teré se podíáme, ja by řešení mohlo ypadat, jeliož na papíře tyto ronice neyřešíme Zolme tedy d = 10 m, l = 0, m, = 50 m s 1 Uědomme si, že poud máme nůž roztočit dostatečně rychle, musí před zasažením terče prodělat určitý počet otáče Tento počet otáče předstauje hodnota Musíme tedy nejpre najít minimální potřebné tomu, abychom museli řešit ronice pro třetí případ čím ětší, tím rychlejší rotace Nůž poletí odhadem po dobu t = d/, nás zajímá počet otáče pro freenci blízou ω = = /l Minimální hodnotu tedy můžeme odhadnout jao min = ωt/π = d/πl = 16 Pro nižší již platí ronice z prního a druhého případu Numericy tedy spočteme řešení pro = = 16 a yšší V tabulce 1 jsou mezní hodnoty ω pro jednotliá < 16, tedy pro případ, že nůž rotuje dostatečně pomalu na to, aby se špiča nože nidy nepohyboala směrem od stěny a platily ronice pro prní a druhý případ V tomto případě je šířa pásu úhloých rychlostí pro aždé rona π/d = 15,71 V tabulce jsou pa mezní hodnoty ω pro 16 Tabula 1: Mezní freence pro prní a druhý případ ω min ω max 0 15,708 31, ,14 6,83 78,540 94, ,956 15, ,37 157, , , ,04 19, ,619 51, ,035 8, , , , , ,83 376, , , , , , , ,947 50,655 4

5 Fyziální orespondenční seminář MFF UK Tabula : Mezní freence pro třetí případ ω min ω max ω max ω min , ,15 15, ,91 565,699 15, , ,76 15, ,073 68,874 15, , ,490 15, ,303 69,119 15, ,937 73,758 15, ,58 755,407 15, ,35 787,064 15, , ,78 15, ,56 850,397 15, ,34 88,07 15, , ,751 15, ,59 945,434 15, ,77 977,11 15, , ,810 15, , ,500 15,846 Tomáš Bárta tomas@fyoscz Fyziální orespondenční seminář je organizoán studenty MFF UK Je zastřešen Oddělením pro nější ztahy a propagaci MFF UK a podporoán Ústaem teoreticé fyziy MFF UK, jeho zaměstnanci a Jednotou česých matematiů a fyziů Toto dílo je šířeno pod licencí Creatie Commons Attribution-Share Alie 30 Unported Pro zobrazení opie této licence, naštite 5