MODUL 1. MECHANIKA 1.1 KINEMATIKA HMOTNÉHO BODU SHRNUTÍ

Transkript

1 MODUL. MECHANIKA. KINEMATIKA HMOTNÉHO BODU SHRNUTÍ Hmotný bod (HB): Model reálného tělesa,objekt nahrazující těleso, jehož rozměry a tar jsou zanedbatelné ůči trajektorii, hmotný bod má stejnou hmotnost jako těleso, které jím nahrazujeme. Vztažné těleso: Těleso nebo soustaa těles (popř. část tělesa), k nimž ztahujeme pohyb nebo klid sledoaného tělesa. Vztažná soustaa: Soustaa souřadnic spojená se ztažným tělesem. Relatinost klidu a pohybu těles: Pohyboý sta tělesa záisí na olbě ztažné soustay, klid a pohyb těles jsou pouze relatiní, absolutní klid neexistuje. Poloha HB Vzhledem ke ztažnému tělesu a s ním spojené soustaě souřadnic s definoaným měřením času.... POHYB HMOTNÉHO BODU SHRNUTÍ Polohoý ektor: Orientoaná úsečka, jejíž počáteční bod je umístěn počátku soustay souřadnic a koncoý bod uažoaném HB, polohoý ektor je funkcí času r r ( t), r xi yj z k + + x x( t), y y( t), z z( t) Trajektorie HB: Souhrn šech poloh, kterými HB při pohybu prochází, množina koncoých bodů polohoého ektoru, spojitá křika určená soustaou parametrických ronic x x( t), y y( t), z z( t) nebo obecnou ronicí F(x,y,z) 0 Dráha HB: Kantitatiní popis pohybu, délka trajektorie, kterou HB opíše za určitý časoý interal. ZTO...- Ve laku jedoucím ronoměrným přímočarým pohybem upustí jeden z cestujících od stropu předmět, který dopadne přesně pod místo, ze kterého byl ypuštěn. Vše sleduje i cestující na nádraží, kterým lak práě projíždí. Jaká je skutečná trajektorie tělesa? a) přímka b) parabola c) přímka i parabola současně d) nelze rozhodnout bez určení ztažné soustay 0

2 BTO...- Pohyb hmotného bodu je popsán ronicemi: x 0t + 5, y 5t + 3 (m; s). Napište obecnou ronici trajektorie. BTO...-3 Trajektorie hmotného bodu je zadána těmito parametrickými ronicemi: y cos3t (m; s). Napište obecnou ronici trajektorie. x sin 3t,... RYCHLOST HMOTNÉHO BODU SHRNUTÍ průměrná rychlost: elikost průměrné rychlosti P s s t t okamžitá rychlost: r dr dx dy dz lim i + j + k i t 0 x t i xɺ + jyɺ + kzɺ elikost ektoru rychlosti: + + s ds d lim s( t) sɺ t 0 t směr ektoru rychlosti - zhledem ke zolené soustaě souřadnic: x y cos(, i ), cos(, j), z cos(, k ) - zhledem k trajektorii: x y z s t + j y + k z Okamžitá rychlost je ektor, který má směr tečny k trajektorii místě, němž okamžitou rychlost určujeme a míří e směru pohybu. jednotka: m.s - ZTO...- Po klidné hladině jezera pluje loď rychlostí 5 km.h -. Na lodi je na přídi umístěn malý člun A, druhý takoý člun B přenášejí lodníci z přídě na záď rychlostí 5 km.h -. Třetí člun C pluje ronoběžně s lodí stejným směrem roněž rychlostí 5 km.h - (zhledem k odě). Všechny pohyby jsou ronoměrné a přímočaré. I) Které z člunů se pohybují zhledem k lodi rychlostí 5 km.h -? a) A, C b) B, C c) B d) C II) Které z člunů jsou zhledem k lodi klidu? a) A, C b) B, C c) A d) B III) Které z člunů se pohybují zhledem k břehům jezera rychlostí 5 km.h -? a) A, B b) A, C c) B d) C IV) Které z člunů jsou zhledem k břehům jezera klidu? a) A, C b) A, C c) A d) B

3 ZTO...- Loďka má zhledem k odě rychlost 5 m.s -, rychlost proudu řece je 3 m.s -. I) Jak elká je rychlost loďky zhledem k břehům řeky, směřuje-li loďka po proudu řeky? a) m.s - b) 4 m.s - c) 6 m.s - d) 8 m.s - II) Jak elká je rychlost loďky zhledem k břehům řeky, směřuje-li loďka proti proudu řeky? a) m.s - b) 4 m.s - c) 6 m.s - d) 8 m.s - III) Jak elká je rychlost loďky zhledem k břehům řeky, směřuje-li loďka kolmo k proudu řeky (tj. míří přídí kolmo k břehům)? a), m.s - b) 4,5 m.s - c) 5,8 m.s - d) 8, m.s - IV) Pod jakým úhlem zhledem k proudu musí loďka plout, aby se pohyboala kolmo k břehům řeky (tj. jaký úhel musí sírat příď loďky s proudem řece)? a) 7 b) 37 c) 7 d) 37 V) Jak elká je rychlost loďky případě IV) zhledem k břehům řeky? a) m.s - b) 4 m.s - c) 6 m.s - d) 8 m.s - BTO...-3 Dráha hmotného bodu je dána ronicí: s 6t 3 + 5t + (m,s). Napište ronici elikosti jeho okamžité rychlosti záislosti na čase. BTO...-4 Velikost rychlosti hmotného bodu je dána ronicí: 3t + t + 5 (m.s -, s). Napište ronici jeho dráhy záislosti na čase. BTO...-5 Záislost dráhy na čase pohybujícího se tělesa je dána ronicí s 6 3t + t (m,s). Určete průměrnou rychlost tohoto tělesa časoém interalu od prní do čtrté sekundy od začátku pohybu. BTO Záislost dráhy na čase pohybujícího se tělesa je s t 3t + 4t (m, s). Určete elikost rychlosti tělesa na konci druhé sekundy od začátku pohybu. BTO...-7 Poloha hmotného bodu je dána polohoým ektorem oé souřadnice rychlosti tohoto hmotného bodu. r 3t i + j 6k. Napište elikost x- ZU...- Da laky se na dou ronoběžných kolejích pohybují proti sobě: prní rychlostí 36 km.h -, druhý rychlostí 54 km.h -. Cestující prním laku zjistil, že druhý lak kolem něj projížděl 6 s. Jaká je délka druhého laku? ZU...- Autobus yjede z místa zdáleného 54 km průměrnou rychlostí 5 m.s -. Za 5 min po odjezdu autobusu yjede za ním z téhož místa osobní automobil. Jakou průměrnou rychlostí musí jet ůz, aby dosáhl cíle současně s autobusem?

4 ZU...-3 Člun plující po řece urazil zdálenost 0 m při plabě po proudu za dobu 4 s, při plabě proti proudu za dobu 4 s. Vypočtěte rychlost loďky zhledem k odě a rychlost proudu řece. ZU...-4 Přeozník chce zjistit rychlost říčního proudu (pro jednoduchost předpokládá, že rychlost proudu je konstantní). Ví, že jeho loďka jezdí na klidné odě stálou rychlostí m.s -. Přes řeku se s ní dostane za 58 s. Řeka je široká 00 m. Když se chce přeplait přes řeku, přistáá naproti místu, kde začínal a jezdí celou dobu roně. Jak rychle řeka teče? ZU...-5 Dešťoé kapky padají stálou rychlostí sisle dolů a dopadají na okno agónu, který se pohybuje odoroným směrem. Kapky zanecháají na okně agónu stopu, která sírá se sislým směrem úhel 60. Velikost rychlosti agónu je 54 km.h -. Určete elikost rychlosti dopadajících kapek. ZŘÚ...-6 Určete průměrnou rychlost automobilu, který se pohybuje a) prní poloinu doby sé jízdy rychlostí 90 km.h -, druhou poloinu rychlostí 30 km.h -, b) prní poloině celkoé dráhy rychlostí 90 km.h - a e druhé poloině rychlostí 30 km.h -. Řešení: a) Definiční ztah pro průměrnou rychlost s p, kde s určuje celkoou dráhu, kterou t za časoý interal t automobil urazil. Na obou úsecích se ůz pohybuje konstantní rychlostí, takže dráhu, kterou urazí, ypočteme ze ztahu s t. Prní úsek dráhy: s t, druhý úsek s t. Doba pohybu automobilu na obou t úsecích je stejná, proto platí: t t, kde t je celkoá doba pohybu automobilu. Dosaďme do ztahu pro průměrnou rychlost: celkoá dráha s s + s, celkoá doba pohybu t t + t t t t t + ( + ) s + s t + t p ( + ) t + t t t t Po číselném dosazení: P 60 km.h -. s b) Vyjdeme ze stejného definičního ztahu pro průměrnou rychlost p a ze ztahu pro t dráhu ronoměrného pohybu s t. s Automobil se pohybuje na stejně elkých dráhoých úsecích s s, kde s je celkoá uražená dráha. Jelikož je jeho rychlost na obou úsecích různá, urazí tyto zdálenosti různých časoých interalech t a t. Celkoá doba pohybu je tedy: 3

5 s s s s s t t t. Po dosazení do ztahu pro průměrnou rychlost: s s p Po číselném dosazení p 45 km.h -. ZU...-7 Motocyklista se snaží překonat kopec na staré motorce, která při stoupání do kopce yine rychlost pouze 45 km.h -. Stoupání i klesání je dlouhé 3,5 km. Jak rychle musí jet dolů z kopce, aby dosáhl průměrné rychlosti 90 km.h -? BU...-8 Řidič automobilu jede mezi děma zdálenými místy. Během sé jízdy projíždí několika uzařenými osadami, kde je jeho rychlost omezena na 60 km.h -. Průjezd těmito osadami odpoídá čtrtině celkoé dráhy. Na úseku délky osminy celkoé dráhy je ozoka rekonstrukci, jede tedy sníženou rychlostí 40 km.h -. Jakou rychlostí se musí pohyboat na zbýající trati, aby dosáhl průměrné rychlosti 80 km.h -? BU...-9 Automobil jel po dálnici konstantní rychlostí. V 8h 0min jel kolem ukazatele s údajem 8 km, 8h 3min kolem ukazatele s údajem 44 km. Určete a) elikost rychlosti automobilu, b) polohu ozidla časech 8h 0min a 9h 5min, c) okamžik, kdy automobil projel kolem ukazatele s údajem 80 km...3. ZRYCHLENÍ HMOTNÉHO BODU SHRNUTÍ průměrné zrychlení při pohybu přímočarém: t t t a P okamžité zrychlení r r d d t a t ɺ ɺ 0 lim z d k y d j x d i d k d j d i ka ja a i a z y x z y x z k y j x i a ɺ ɺ ɺɺ ɺɺ + + elikost zrychlení: z y x a a a a a + +

6 směr ektoru zrychlení: - zhledem ke zolené soustaě souřadnic: a a x y az cos( a, i ), cos( a, j), cos( a, k) a a a jednotka: m.s - přirozené složky zrychlení: tečné a normáloé zrychlení (zniknou rozkladem ektoru zrychlení do dou zájemně kolmých složek, z nichž jedna má směr tečny k trajektorii jako okamžitá rychlost a druhá má směr hlaní normály k trajektorii) elikost tečného (tangenciálního) zrychlení d a t udáá změnu elikosti rychlosti elikost normáloého (dostřediého) zrychlení a n R, kde R je poloměr křiosti trajektorie udáá změnu směru rychlosti celkoé zrychlení a a t + a n a + a t a n ZTO..3.- Hmotný bod se pohybuje po přímce. Na obrázku je nakreslen graf záislosti rychlosti hmotného bodu na čase. OBR I) Jak elké je zrychlení hmotného bodu během prních dou sekund pohybu? a) /3 m.s - b) 3 m.s - c) 6 m.s - d) m.s - II) Jak elké je zrychlení hmotného bodu čase t 3 s? a) 0 m.s - b) / m.s - c) m.s - d) 6 m.s - III) Jak elké je zrychlení hmotného bodu čase t 6 s? a) / m.s - b) m.s - c) 4/3 m.s - d) 8 m.s - BTO..3.- Dráha hmotného bodu je dána ronicí: s 6t 3 + 5t + (m, s). I) Napište ronici tečného zrychlení záislosti na čase. II) Jak elké je tečné zrychlení hmotného bodu e druhé sekundě od začátku pohybu? III) Jak elké je normáloé zrychlení hmotného bodu e třetí sekundě od začátku pohybu, jestliže daném okamžiku opisuje hmotný bod trajektorii s poloměrem křiosti 30 m? 5

7 BTO Tečné zrychlení hmotného bodu yjadřuje změnu: a) směru ektoru rychlosti b) elikosti rychlosti c) směru i elikosti rychlosti BTO Normáloé zrychlení hmotného bodu yjadřuje změnu: a) směru ektoru rychlosti b) elikosti rychlosti c) směru i elikosti rychlosti BTO Prní deriace polohoého ektoru podle času má ýznam a) ýsledného zrychlení b) průměrné rychlosti c) ektoru okamžité rychlosti d) elikosti okamžité rychlosti BTO Druhou deriací polohoého ektoru podle času dostaneme a) elikost tečného zrychlení b) ektor tečného zrychlení c) elikost normáloého zrychlení d) ektor normáloého zrychlení e) ektor celkoého zrychlení čase t 3 s. BŘÚ..3.- Mějme hmotný bod, který se pohybuje po ose x. Okamžitá souřadnice záisí 3 na čase dle ztahu x At Bt + Ct + D, kde A 3 m.s -3, B m.s -, C 6 m.s -, D 0 m. Určete a) dráhu, kterou hmotný bod urazí časoém interalu od začátku pohybu do konce třetí sekundy, b) průměrnou rychlost tomto časoém interalu, c) elikost počáteční rychlosti hmotného bodu, d) počáteční zrychlení, e) rychlost a zrychlení Řešení: Dosaďme do obecného ztahu pro souřadnici uedené konstanty: 3 x 3t t + 6t + 0 a) souřadnice HB čase t 0 s je po dosazení za parametr čas x 0 m, souřadnice 0 HB čase t 3 s je po dosazení za parametr čas x 3 m. Dráha, kterou mezi 3 těmito body hmotný bod urazí je s x x m. 3 0 b) Průměrná rychlost je dána poměrem celkoé dráhy a celkoého času, který HB s x x0 potřebuje k proběhnutí této zdálenosti: 3 p 7 m.s -. t t3 t0 x c) okamžitá rychlost je dána ztahem d 3At Bt + C, po dosazení uedených konstant: 9t 4t + 6. Počáteční rychlost hmotného bodu ( čase t 0 0 s) je po dosazení za parametr čas 0 6 m.s-. dx d x d) okamžité zrychlení je dáno ztahem a 6At B, po dosazení uedených konstant: a 8t 4. Počáteční zrychlení hmotného bodu ( čase t 0 0 s) je po dosazení za parametr čas a 0 4 m.s -. Znaménko mínus yjadřuje, 3 0 6

8 že daném okamžiku se HB pohyboal zpomaleně, tj. ektor zrychlení měl opačnou orientaci než ektor rychlosti. e) okamžitou rychlost a zrychlení čase t 3 s získáme dosazením času do 3 předchozích obecných ztahů pro rychlost a zrychlení: 3 5 m.s-, a 3 30 m.s-. BU..3.- Ronice popisující roinný pohyb hmotného bodu jsou x At, y Bt Ct, kde A 3 m.s -, B 4 m.s -, C m.s -. Určete a) elikost počáteční rychlosti hmotného bodu, b) úhel, který sírá tečna k trajektorii s osou x čase 0 s, c) čas, e kterém je rychlost ronoběžná s osou x a souřadnici bodu tomto čase, d) souřadnici x čase, kdy je souřadnice y 0. BU Pohyb hmotného bodu je popsán ronicemi x At Bt + C, y Dt Et, 3 z Ft Gt + Ht, kde A m.s -3, B 6 m.s -, C m, D 4 m.s -, E 9 m.s -, F m.s - 3, G 3 m.s -, H 6 m.s -. Určete elikost rychlosti a zrychlení hmotného bodu čase s od začátku pohybu. BU Hmotný bod se pohybuje po přímce, přičemž záislost jeho dráhy na čase je dána ztahem 3 s At + Bt Ct, kde A 3 m.s -, B 4 m.s -, C m.s -3. Určete a) dráhu, rychlost a zrychlení hmotného bodu čase t s, b) čas, e kterém je rychlost rona nule, c) čas, e kterém je zrychlení bodu nuloé. BU Pro 3 3 Pohyb hmotného bodu je dán ektoroou ronicí: r( t) ( t ) i t j t k liboolný čas t a potom pro čas t 3 s určete: a) jeho souřadnice a zdálenost od počátku, b) ektory rychlosti a zrychlení a jejich elikost c) elikost zrychlení tečného a normáloého..4. PŘÍMOČARÝ POHYB HMOTNÉHO BODU SHRNUTÍ a o, a a n t Ronoměrný přímočarý pohyb: konst, a o s t + konst t + s0 Ronoměrně zrychlený přímočarý pohyb: a konst, a s a at + konst 0 + at ( 0 + at) 0t + at + s 0 Ronoměrně zpomalený přímočarý pohyb: a konst 7

9 0 at, s s0 + 0t at zastaení: 0 t a s 0 0 a Neronoměrně zrychlený (zpomalený) přímočarý pohyb: a a t ( ) ( t ) a( t ) ( t ) ( t) s s (tato záislost je zcela obecná, tar každé ronice záleží na daném příkladu) ZTO..4.- Dě ozidla jedou ke křižoatce. Vozidlo A se pohybuje konstantní rychlostí 80 km.h -, ozidlo B neznámou konstantní rychlostí. Vzdálenosti jednotliých ozidel od středu křižoatky jsou sa 800 m, sb 600 m. Jakou rychlostí se musí pohyboat automobil B, aby se ozy uprostřed křižoatky srazily? OBR a) 50 km.h - b) 60 km.h - c) 70 km.h - d) 80 km.h - ZTO..4.- Ke grafům záislosti rychlosti hmotného bodu na čase následujících obrázcích I) III) zolte příslušné grafy záislosti dráhy na čase (liboolný graf z uedených ariant a) g)). g) žádný z uedených grafů 8

10 I)..4.- II) III) a) b) c) d) e) f) ZTO Automobil jede po přímé silnici rychlostí o elikosti 0 m.s -. V určitém okamžiku začne řidič brzdit a automobil se pohybuje ronoměrně zpomaleně. Zrychlení má opačný směr než rychlost a jeho elikost je 4 m.s -. I) Jak elká je rychlost automobilu po 3 sekundách zpomaleného pohybu? a) 5 m.s - b) 8 m.s - c) m.s - d) 6 m.s - II) Jakou dráhu ujede automobil za 3 sekundy zpomaleného pohybu? a) 8 m b) 4 m c) 50 m d) 60 m ZTO Rychlost laku pohybujícího se ronoměrně zpomaleně se během 50 s zmenšila z 36 km.h - na 8 km.h -. I) S jak elkým zrychlením se lak pohyboal? a) 0, m.s - b) 0, m.s - c) 0,36 m.s - d) 0,7 m.s - II) Jakou dráhu během brždění lak urazil? 9

11 a) 5 m b) 50 m c) 375 m d) 65 m ZTO Vlak, který yjížděl ze zastáky ronoměrně zrychleným pohybem, získal během 0 s rychlost 0,6 m.s -. Za jakou dobu získá rychlost 3 m.s -? a) 30 s b) 40 s c) 50 s d) 60 s ZTO Těleso, které bylo na počátku klidu, se začalo pohyboat ronoměrně zrychleně a průběhu páté sekundy od začátku pohybu urazilo dráhu 45 m. S jakým zrychlením se pohyboalo? BTO Hmotný bod se pohybuje po přímce tak, že jeho dráhu lze yjádřit ronicí: s 6 t + (m, s). I) Určete počáteční rychlost hmotného bodu. a) 0,6 m.s - b) m.s - c) 6 m.s - d) 60 m.s - II) Určete zrychlení hmotného bodu. a) 0 m.s - b) 0, m.s - c) 0,6 m.s - d) 6 m.s - III) Určete dráhu, kterou hmotný bod urazil za prních deset sekund. a) m b) 6 m c) 60 m d) 6 m IV) Určete rychlost, kterou má hmotný bod na konci desáté sekundy. a) m.s - b) 0 m.s - c) 60 m.s - d) 6 m.s - BTO U ronoměrného pohybu přímočarého dochází ke změně: a) elikosti rychlosti b) směru rychlosti c) dochází ke změně jak směru tak i elikosti rychlosti d) ektor rychlosti má konstantní směr i elikost ZTO Hmotný bod se pohybuje ronoměrným přímočarým pohybem, jeho zrychlení je: a) liboolné b) konstantní, různé od nuly c) stále nuloé BU..4.- Hmotný bod se pohybuje rychlostí 6 m.s -. V čase t 0 s se začne pohyboat se 0 zpožděním o elikosti m.s -. Za jak dlouho se hmotný bod zastaí a jakou dráhu přitom urazí? ZU..4.- Vlak, který má rychlost 7 km.h -, lze použitím brzd zastait za dě minuty. V jaké zdálenosti od cíloé stanice je třeba začít brzdit, aby se lak cíloé stanici zastail? Pohyb laku poažujte za ronoměrně zpomalený. ZU Po kolejích jede ronoměrným přímočarým pohybem lak rychlostí 5 m.s -. Od semaforu je zdálen 500 m. Od čela laku letí směrem k semaforu moucha rychlostí 0 m.s -. Když doletí k semaforu, otočí se a hned letí zpět k čelu laku. Oud se rací zpět k semaforu atd. až do té doby, než dosáhne semaforu čelo laku. Jakou dráhu uletí moucha? 0

12 BU Pohyb HB je popsán parametrickými ronicemi x Asin ωt, y Bsinωt, kde A 0, 3 m, B 0,4 m, ω 0 rad.s -. Určete a) obecnou ronici trajektorie hmotného bodu a jeho nejětší zdálenost od počátku soustay souřadnic, b) elikost rychlosti a zrychlení čase 0 s, c) maximální elikost rychlosti a zrychlení. ZU Přímočarý pohyb se koná z klidu se zrychlením, které ronoměrně roste tak, že okamžiku t 90 s od začátku pohybu má hodnotu a 0,5 m.s -. Určete: a) záislost rychlosti a zrychlení pohybu na čase, b) rychlost a uraženou dráhu pro čas 90 s od začátku pohybu, c) rychlost a uraženou dráhu pro čas 0 s od začátku pohybu. ZU Nákladní automobil, který jede stálou rychlostí 54 km.h -, předjede stojící osobní ozidlo, které se práě rozjíždí ronoměrně zrychleným pohybem. Osobní automobil dohoní nákladní ůz za dobu 0 s. Určete zrychlení osobního ozu a jeho rychlost, kterou předjíždí nákladní automobil. BU Těleso se pohybuje ronoměrně zrychleným přímočarým pohybem, da stejné úseky dráhy (délky 0 m) po sobě urazí těchto časoých interalech: t,06 s a t, s. Vypočtěte zpomalení pohybu a rychlost na počátku prního desetimetroého úseku. BŘÚ Osobní automobil dojíždí rychlostí 30 m.s - nákladní ůz, jehož rychlost je 0 m.s -. Ve zdálenosti s 0 od nákladního ozu zjistí řidič osobního auta, že nákladní ůz nelze předjet, proto začne brzdit a dále se pohybuje s konstantním zpomalením o elikosti 5 m.s -. Nákladní ůz jede dál konstantní rychlostí. Nastane srážka ozidel? Pokud ano, určete, na kterém místě a jaký je rozdíl rychlostí ozidel při srážce. Pokud srážka nenastane, určete nejmenší zdálenost mezi ozidly. Řešte pro zdálenost s 0 : a) s 0 30 m b) s 0 40 m c) s 0 50 m Řešení: 0 m.s m.s - a 5 m.s - a) s 0 30 m b) s 0 40 m c) s 0 50 m Pokud má nastat srážka ozidel, musí mít stejnou polohu na dané trajektorii, která určuje dráhy, které jednotlié ozy urazí e stejném časoém interalu (počátečním, ýchozím bodem je okamžik, kdy začne osobní automobil brzdit). Nákladní auto se pohybuje ronoměrně přímočaře konstantní rychlostí, uražená dráha je tedy dána ztahem: s s0 + t Osobní ůz jede ronoměrně zpomaleným pohybem, dráha je dána: s 0 t at Poronejme tyto dě ronice: s s

13 at s 0 + t 0 t at + t + s 0 0 Upraíme: ( ) 0 konst Záislost rychlosti nákladního ozu na čase:. Záislost rychlosti osobního automobilu na čase: at 0 Číselné dosazení a diskuse už musí probíhat pro jednotlié části zadání odděleně. a) pro s 0 30 m má kadratická ronice po dosazení zadaných eličin a krácení tar: t 8t + 0 t s, t Kořeny této kadratické ronice jsou: 6 s, oba tyto kořeny jsou reálné, ošem fyzikální ýznam má jen prní řešení yjadřující dobu do střetu ozidel od počátku brždění osobního auta: t s. Po dosazení do ztahu pro uraženou zdálenost ( s nebo s ) získááme místo střetu: s 50 m. Okamžitá rychlost ozidel po dou sekundách pohybu (do okamžiku srážky): 0 m.s -, 0 m.s - Rozdíl rychlostí okamžiku srážky: 0 m.s - b) analogicky jako předchozí části: Kadratická ronice má po dosazení zadaných eličin tar: t 8t + 6 0, tato ronice má jediný kořen označující okamžik střetu ozidel: t 4 s, přičemž kolize nastane e zdálenosti s 80 m. Rychlosti ozů okamžiku srážky: 0 m.s -, 0 m.s - Rozdíl rychlostí okamžiku srážky: 0 m.s -, což značí, že se ozidla pouze dotknou a okamžitě se začnou od sebe zdaloat (pokud osobní auto brzdí stále stejně). c) analogicky jako předchozí části: Kadratická ronice má po dosazení zadaných eličin tar: t 8t + 0 0, tato ronice nemá žádný reálný kořen ozy se nesrazí! Stanoíme, kdy budou ozidla nejblíže a jaká bude jejich zájemná zdálenost. Z podmínky extrému plyne kadratická ronice t 8t Extrém: hledáme body, e kterých je prní deriace rona nule (tz. stacionární body, body podezřelé z extrému) t t. deriace podle času: s Zda se jedná o minimum nebo maximum zjistíme z druhé deriace: je-li hodnota druhé deriace kladná, jedná se o námi hledané minimum: >0, platí!

14 Záěr z této části příkladu tedy zní, že ozidla se nesrazí a nejblíže si budou okamžiku 4 s od začátku brždění osobního automobilu, přičemž jejich zájemná zdálenost bude s s s 0 m. ZU Zrychlení pohybu hmotného bodu je rono 0,3 m.s -. Určete, za jaký čas tento bod urazí prní a desátý metr dráhy pohybu a jaká je rychlost pohybu po uražení prních 0 m dráhy, pohybuje-li se hmotný bod ronoměrně zrychleně z nuloé počáteční rychlosti. ZU Z jednoho místa yrazí současně da řidiči na motocyklech, jeden se pohybuje ronoměrně zrychleně s počáteční rychlostí m.s - a se zrychlením o elikosti 0,8 m.s -, druhý řidič ronoměrně zpomaleně s počáteční rychlostí 8 m.s - a se zrychlením o elikosti 0,4 m.s -. Určete a) čas, e kterém budou mít oba stejnou rychlost, b) čas, e kterém urazí oba stejné dráhy, c) rychlost prního motocyklu okamžiku, kdy se druhý práě zastaí. BU..4.- Z téhož místa yjedou za sebou časoém odstupu 5 s dě auta. Obě se rozjíždějí z klidu a pohybují se ronoměrně zrychleně, prní se zrychlením 0,5 m.s - a druhé se zrychlením m.s -. Vypočtěte, kdy a jaké zdálenosti dohoní druhé auto prní a jaké jsou jejich rychlosti okamžiku předjíždění. BLP..4.- Kolikrát je rychlost střely na konci hlaně ětší než její poloině? Předpokládejme, že se střela pohybuje ronoměrně zrychleným pohybem. Řešení: Vypište z textu příkladu zadané a hledané eličiny. Vzdálenosti, které střela musí urazit do poloiny a na konec hlaně: s s, s s Rychlosti, kterými se střela pohybuje na konci těchto úseků:, Hledaný poměr rychlostí: Předpokládejte, že pohyb střely hlani je ronoměrně zrychlený pohyb s nuloou počáteční rychlostí. Zapište obecné ronice pro rychlost a dráhu tohoto pohybu na jednotliých úsecích. s at at, analogicky s at at s Uprate ztahy pro dráhu s a s tak, aby byly yjádřeny pomocí rychlosti, kterou střela získá na konci těchto úseků. a, s a Vyjádřete si rychlosti střely jednotliých úsecích. 3

15 as, as Stanote hledaný poměr rychlostí. as s, 4 as s..5. POHYB HMOTNÉHO BODU PO KRUŽNICI jednotka: rad SHRNUTÍ - trajektorií hmotného bodu je kružnice - zaádíme úhloé eličiny: Úhloá dráha (úhel opsaný průodičem): ϕ s R Úhloá rychlost: ds dϕ ω ɺ ϕ d dϕ ( Rϕ ) R Rω jednotka: rad.s - směr: leží ose rotace d ϕ ω d t orientace: na tu stranu, ze které idíme směr otáčení kladně ω r ω r sin α ωr rychlost nazýáme rychlostí obodoou (postupnou) Úhloé zrychlení: dω d ϕ ε jednotka: rad.s - směr: totožný se směrem úhloé rychlosti d d dω dr a ( ω r ) r + ω ε r + ω Tečné zrychlení: d dω a t R R ε R ω a n Rω ω Normáloé zrychlení: R R Celkoé zrychlení: a a t + a n, a a t + an Perioda T (s): čas jednoho oběhu po kružnici s R Frekence f (Hz): počet oběhů za s: f π ω πf T T π 4

16 KLASIFIKACE KRUHOVÝCH POHYBŮ DLE RYCHLOSTI. Ronoměrný pohyb po kružnici: konst, konst, ω konst, ω konst a t 0, a n 0, a n konst, ϕ ω ϕ + ω t 0. Ronoměrně zrychlený a zpomalený pohyb po kružnici: a konst, a konst ω ε ω ± εt 0 t t ε konst, ε konst ϕ ω + ± ϕ ω t 0 0 t ε 3. Neronoměrně zrychlený a zpomalený pohyb po kružnici: a t konst ε konst ω ω ϕ ω ( t) ε ( t) ( t) ZTO..5.- Hmotný bod se pohybuje ronoměrně po kružnici. Poloměr kružnice je r, elikost úhloé rychlosti pohybu je ω. I) Který z následujících ztahů pro elikost rychlosti hmotného bodu je spráný? a) ωr b) ω c) r d) ω r r ω II) Který z následujících ztahů pro elikost zrychlení hmotného bodu je spráný? a) a ω r b) a ω r c) ω a d) zrychlení je nuloé r III) Který z následujících ztahů pro oběžnou dobu hmotného bodu je spráný? a) ω T b) T πω c) π π T d) ω T πω ZTO..5.- Kladky (řemenice) A, B, C, D na obrázku jsou spojeny přeodoými řemeny. OBR:

17 I) Je-li při naznačeném spojení možný pohyb šech čtyř kladek, jakém směru se budou jednotlié kladky otáčet, je-li pohyb kladky A naznačen šipkou (e směru hodinoých ručiček)? Vyznačte spráné možnosti: a) B,C e směru HR b) C,D e směru HR c) B proti směru HR d)c,d proti směru HR II) Je možný pohyb kladek, jsou-li šechny řemeny překříženy? a) ano b) ne III) Je možný pohyb, je-li překřížen jen jeden nebo tři řemeny? a) ano b) ne BTO V roině je rozloženo jedenáct ozubených kol tak, že prní kolo je zuby (ozubením) spojeno s druhým, druhé se třetím, až jedenácté s prním. Mohou se kola této soustay otáčet a proč? a) ano- kol je lichý počet b) ne- kol je lichý počet ZTO Průměr kola nákladního auta je, m. Určete úhloou rychlost otáčení kola, jede-li ůz rychlostí,4 m.s -. a) rad.s - b) rad.s - c) 4 rad.s - d) 8 rad.s - BTO Rychlost bodů, které leží na obodu rotujícího kotouče je 6 m.s -. Rychlost bodů, které leží o 0 cm blíže ose otáčení je 4 m.s -. Určete úhloou rychlost kotouče. ZTO Kolo o průměru 60 cm ykonáá 000 otáček za minutu. Určete dostředié zrychlení bodů ležících na jeho obodu. ZTO Jaký musí být poloměr kola, jestliže při jeho otáčiém pohybu má bod na obodu třikrát ětší rychlost jako bod, který je o 0 cm blíže k ose otáčení? ZTO Jakou rychlostí se pohybuje stacionární družice Země, pokud je její zdálenost od zemského porchu km? Družice se pohybuje nad roníkem. (Stacionární družice je družice, která se pohybuje stále nad stejným místem zemského porchu.) Úhloá rychlost rotace Země je 7,9.0-5 rad.s -, poloměr Země 6378 km. ZTO Lyžař jede z kopce, jeho trajektorie je nakreslena na obrázku. Která ze šipek označuje směr zrychlení lyžaře nejnižším bodě označeném hězdičkou? Předpokládejte, že pohyb lyžaře je této části kopce ronoměrný. 6

18 OBR:..5.- BTO Tělesa o hmotnostech m a m se pohybují po kružnicích o poloměrech r a r tak, že obě mají stejnou obodoou rychlost. I) Jaký je poměr period T : T obou těles? a) r : r b) r : r c) : d) m : m e) r.m : r.m II) Jaký je poměr úhloých rychlostí ω : ω obou těles? a) r : r b) r : r c) : d) m : m e) r.m : r.m BTO..5.- Hmotný bod se pohybuje po kružnici s frekencí Hz. Zastaí se ronoměrně zpomaleným pohybem za s. Určete elikost úhloého zrychlení. BTO..5.- Hmotný bod se pohybuje po kružnici s počáteční úhloou rychlostí rad.s -. Za 5 s se jeho úhloá rychlost změní na 0 rad.s -. Určete elikost úhloého zrychlení za předpokladu, že pohyb je ronoměrně zrychlený. BU..5.- Hmotný bod se pohybuje po kružnici poloměru 5 m, přičemž elikost jeho rychlosti se mění podle ronice: t + (m.s -, s). Určete elikost normáloého zrychlení na konci druhé sekundy pohybu, elikost tečného zrychlení na konci druhé sekundy pohybu a elikost celkoého zrychlení na konci druhé sekundy od začátku pohybu: ZU..5.- Centrifuga pro ýcik kosmonautů má frekenci otáčení 0,4 Hz. Poloměr kruhoé dráhy sedačky je 9 m. Jaké je dosahoané přetížení (tj. celkoé zrychlení, kterým se kosmonaut pohybuje)? 7

19 BŘÚ Mějme dě otáčiá kola spojená řemenem. Menší kolo o průměru 65 mm se otáčí s frekencí,4 Hz a řemenoým přeodem pohání kolo o průměru 850 mm. Určete a) rychlost pohybu řemenu, b) poměr poloměrů kol (tz. přeodoý poměr), c) frekenci hnaného kola. OBR: Řešení: 65 mm 0,65 m d d f 850 mm 0,850 m,4 Hz Obě kola jsou spojena řemenem, který ede po jejich obodu (iz obr.). Řemenoý pohon těsně přiléhá na obě kola, která se otáčejí bez prokluzoání. Jelikož je řemen stejnoměrně napnut, netrhá se, rychlost pohybu liboolného bodu řemenu musí být stejná, jako rychlost bodů na obodu jednotliých řemenic. Platí tedy: ω ω π f r πf πf d a) stanoení rychlosti řemenu: d.. po číselném dosazení 6,4 m.s - b) přeodoý poměr je dán poměrem poloměrů (resp. průměrů) obou poháněných kol: d d n 5,5 c) Dosadíme-li do ztahu pro obodoou rychlost záislost na frekenci a poloměru π f πf r resp. pomocí zadaného průměru kol: r otáčení: f d f d Po úpraě: f f d d d d π f πf.. po číselném dosazení,4 Hz ZU Hmotný bod koná ronoměrný pohyb po kružnici s poloměrem 0,5 m a s frekencí 4 Hz. Určete obodoou rychlost a tečné i normáloé zrychlení hmotného bodu. 8

20 ZLP Šrouboým rtákem se má yrtat 0 děr o průměru 30 mm a hloubce 50 mm. Vrták je z rychlořezné oceli, má frekencí otáčení 4 Hz a posu 0,5 mm na jednu otáčku. Vypočítejte dobu potřebnou k proedení úkolu, jsou-li edlejší časy pro upínání součástí na jeden otor minuty. Řešení: Vypište z textu příkladu zadané eličiny. n 0 d 30 mm 0,03 m h 50 mm 0,05 m f 4 Hz 0,5 mm,5.0-4 m p t 0 min 0 s Stanote celkoý edlejší čas potřebný pro šech 0 otorů. Celkoý edlejší čas je nt 0 00 s. Zjistěte, kolik času je zapotřebí k yrtání jedné díry. Vyjděte z informace o posuu 0,5 mm na jednu otáčku rtáku. f Dobu jedné otáčky charakterizuje perioda: T 0,5 s. t Určete hloubku jednoho otoru, kterou lze nahradit jako k-násobek posuu rtáku, čímž určíte počet otáček, které jsou nutné na jeho yrtání. h k p k 400 p h otáček Určete čas potřebný na jeden otor a na šech deset otorů. Na jeden otor t kt 00 s, na deset otorů t 0 nt 000 s. Určete celkoý čas potřebný ke splnění úkolu, nezapomeňte na přičtení edlejšího času pro upínání součástí. Celkoý čas nutný k proedení úkolu je tedy: 00 s 36 min 40 s ( t + ) nt0 + nt0 n 0 t0 ZU Letadlo letí rychlostí 600 km.h -, rtule letadla se otáčí úhloou rychlostí 00 rad.s -. Jakou dráhu uletí letadlo během jedné otáčky rtule? BLP Kolo o poloměru 0, m se otáčí tak, že úhel otáčení záisí na čase ztahem ϕ A + Bt, kde A rad, B 5 rad.s -3. Pro čas t s ypočtěte rychlost, tečné a normáloé zrychlení bodů na obodu kola a popište, o jaký pohyb se jedná. Řešení: Vypište z textu příkladu zadané eličiny. r 0, m ϕ + 5t 3 9

21 t s Určete úhloou rychlost hmotného bodu pomocí prní deriace úhloé dráhy podle času a popište sloně charakter pohybu. d ϕ 5 ω t neronoměrný pohyb Určete úhloé zrychlení hmotného bodu pomocí druhé deriace úhloé dráhy podle času (tj. prní deriace úhloé rychlosti podle času) a uprate sloní popis charakteru pohybu. d ω 30t ε neronoměrně zrychlený pohyb Stanote tečné zrychlení z prní deriace obodoé rychlosti čase. Obodoou rychlost definujte pomocí rychlosti úhloé. a t d, kde r 5t r d a t 30 ω ( 5t r) tr Dosazením času do ztahu pro obodoou rychlost a tečné zrychlení yjádřete okamžité hodnoty těchto eličin. s 6m.s 6m.s - - ( t ) ( t ) a t s Stanote normáloé (dostředié) zrychlení ze záislosti na obodoé rychlosti a poloměru trajektorie. 5 t 4 r 360 r a n m.s - BU Hmotný bod se pohybuje po kružnici o poloměru 0, m, záislost úhloé dráhy na čase je yjádřena předpisem ϕ A + Bt + Ct, kde A 6 rad, B 4 rad.s -, C rad.s -. Pro čas t 0,5 s určete a) obodoou rychlost hmotného bodu, b) tečné a c) normáloé zrychlení, d) úhel α, který sírá průodič bodu a ektor celkoého zrychlení. ZU Vlak se začne rozjíždět po kruhoém oblouku o poloměru 40 m tak, že má konstantní tečné zrychlení 0, m.s -. Vypočtěte jeho normáloé a celkoé zrychlení čase 30 s od začátku pohybu. BU Minutoá ručička hodinek je třikrát delší než sekundoá. V jakém poměru jsou elikosti rychlostí jejich koncoých bodů? ZU..5.- Hmotný bod koná pohyb po kružnici o poloměru 0 cm s konstantním úhloým zrychlením rad.s -. Vypočítejte elikost tečného, normáloého a celkoého zrychlení na konci 4. sekundy od začátku pohybu. BU..5.- Ventilátor se otáčí s frekencí 5 Hz. Za jakou dobu od ypnutí motoru se zastaí, ykoná-li ještě 75 otáček a je-li jeho pohyb ronoměrně zpomalený? 30

22 BLP Hmotný bod se pohybuje po kružnici s konstantním úhloým zrychlením 0,0 rad.s - a s nuloou počáteční rychlostí. Za jakou dobu od začátku pohybu bude celkoé zrychlení hmotného bodu sírat se směrem jeho rychlosti úhel β 45? OBR: Řešení: Vypište z textu úlohy zadané eličiny. ε 0,0 rad.s - ω 0 0 β 45 Stanote z obrázku, které da ektory sírají tentýž úhel (stejně jako ektor celkoého zrychlení a ektor okamžité obodoé rychlosti). β (, a) β ( at, a), neboť ektor obodoé rychlosti a ektor tečného zrychlení leží na tečně k trajektorii, mají tedy stejný směr i orientaci. Vyjádřete normáloé zrychlení záislosti na úhloém zrychlení, čase a poloměru trajektorie. ω εt ωr εtr ε t r a n ε t r r r Vyjádřete tečné zrychlení záislosti na úhloém zrychlení a poloměru trajektorie (def. jako prní deriace obodoé rychlosti podle času). d d( εt r) a t ε r Určete poměr normáloého a tečného zrychlení pomocí úhlu β. 3

23 an ε t r tg β a ε r t Z této ronice yjádřete neznámou eličinu čas. tgβ t 0 s ε BU Jaká je obodoá rychlost bodu během denní rotace Země, jestliže bod je a) na zemském roníku, b) na 50 seerní šířky? Úhloá rychlost rotace Země je 7,7.0-5 rad.s -, poloměr Země 6378 km, siderická doba rotace doba jednoho otočení Země ůči zdáleným hězdám- 3 h 56 min 4 s. OBR:..5-5 ZU Setračník o průměru m koná 000 otáček za minutu. Vypočtěte dráhu, kterou urazí bod na obodu setračníku za čas 0 s a jeho obodoou rychlost. BU Kolo se roztáčí z klidu ronoměrně zrychleně tak, že za prních pět sekund ykoná,5 otáček. Určete jeho úhloou rychlost na konci páté sekundy. 3

24 .. DYNAMIKA HMOTNÉHO BODU... SÍLA SHRNUTÍ SÍLA : ektor charakterizující zájemné působení těles (resp. hmotných bodů), ozn. F : je určena elikostí, směrem a působištěm : jednotka newton: N kg.m.s - Skládání sil: - při působení íce sil na hmotný bod (či na pené těleso jednom bodě) současně lze tyto síly nahradit silou jedinou se stejným pohyboým účinkem (ektoroý ronoběžník resp. siloý mnohoúhelník), tz. ýslednicí dané soustay sil Interakce (zájemné siloé působení): při zájemném dotyku (náraz, ýstřel, posunutí ) prostřednictím jiných těles (dojice těles spojených pružinou ) prostřednictím siloých polí (graitační, magnetické ) Účinky siloého působení: deformace (statické účinky síly) změna pohyboého stau (dynamické účinky) Pohyboý sta hmotného bodu definuje eličina HYBNOST p ektor mající směr totožný se směrem okamžité rychlosti hmotného bodu p m jednotka: kg.m.s - Tíhoá síla: - je příčinou olného pádu těles (resp. hmotných bodů), popisuje siloé působení tíhoého pole Země na hmotná tělesa, má působiště těžišti - ozn. mg F G Tíha tělesa - projeuje se jako tlakoá resp. tahoá síla, popisuje siloé působení hmotného tělesa (resp. hmotného bodu) tíhoém poli Země na odoronou podložku resp. sislý záěs, působiště leží e styčné ploše tělesa s podložkou resp. se záěsem - ozn. G mg Síla smykoého tření - zniká při zájemném pohybu dou těles (resp. hmotných bodů), která jsou neustálém styku - ozn. F T µ F, kde µ je součinitel smykoého tření záisející pouze na materiálu tělesa n a podložky a na yhlazenosti obou ploch, F n je normáloá síla, kterou těleso působí na podložku 33

25 ZTO...- Předpokládejme, že ztažná soustaa spojená s porchem Země je inerciální. Uažujme čtyři železniční ozy A, B, C, D. Vůz A stojí klidu na kolejích, ůz B se rozjíždí ronoměrně zrychleně po přímé trati, ůz C jede stálou rychlostí po přímé trati, ůz D projíždí zatáčkou ronoměrným pohybem po kružnici. I) Na které ozy působí síly tak, že jejich ýslednice je nuloá? a) A b) A, B, C c) A, C d) A, C, D II) Na které ozy působí síly tak, že jejich ýslednice má stálou ( nenuloou) elikost i stálý směr? a) B, C b) B c) C d) D III) Na které ozy působí síly tak, že jejich ýslednice má stálou ( nenuloou) elikost, ale její směr se neustále mění? a) na žádný b) B c) C d) D IV) Se kterými ozy můžeme spojit inerciální ztažné soustay? a) A b) A, B, C c) A, C d) A, C, D ZTO...- Dě tělesa o různých hmotnostech byla uedena z klidu do pohybu jen zájemným siloým působením, tj. akcí a reakcí. I) Které z následujících trzení o hybnostech těchto těles je spráné? a) těleso s ětší hmotností získalo ětší hybnost b) těleso s ětší hmotností získalo menší hybnost c) tělesa získala stejně elké hybnosti stejného směru d) tělesa získala stejně elké hybnosti opačného směru II) Které z následujících trzení o rychlostech těchto těles je spráné? a) těleso s ětší hmotností získalo ětší rychlost b) těleso s ětší hmotností získalo menší rychlost c) tělesa získala stejně elké rychlosti stejného směru d) tělesa získala stejně elké rychlosti opačného směru ZTO...-3 Co mají společné tyto ektory: tíhoá síla F a tíha tělesa G? G a) směr b) orientaci c) působiště d) elikost... NEWTONOVY POHYBOVÉ ZÁKONY SHRNUTÍ. Newtonů pohyboý zákon (zákon setračnosti): Každé těleso setráá relatiním klidu nebo pohybu ronoměrném přímočarém, dokud není přinuceno siloým působením jiných těles tento sůj pohyboý sta změnit. p m konst, tj. konst (četně 0 ), a 0 34

26 Inerciální ztažná soustaa (IVS) ztažná soustaa, níž HB setráá klidu či pohybu ronoměrném přímočarém, pokud na něj nepůsobí jiná tělesa soustaě, tj platí Newtonů zákon setračnosti jakákoli změna pohyboého stau může nastat jen siloým působením jiných těles máme-li IVS, pak každá další ztažná soustaa, která je ůči ní klidu či pohybu ronoměrném přímočarém, je také inerciální inerciálních ztažných sousta je nekonečně mnoho zájemný mechanický pohyb IVS má nuloé zrychlení Vztažné soustay, e kterých tyto lastnosti neplatí, nazýáme neinerciální.. Newtonů pohyboý zákon (zákon síly): Časoá změna hybnosti tělesa je úměrná působící síle a má s ní stejný směr. dp F případě konstantní hmotnosti tělesa platí: F dp d d ( m) m ma mění-li se hmotnost tělesa platí: F dp d ( m) dm d + m dm + ma 3. Newtonů pohyboý zákon (zákon akce a reakce): Síly zájemného působení dou těles jsou stejně elké a opačného směru. Zákon zachoání hybnosti: a) pro izoloanou dojici těles Celkoá změna hybnosti dojice interagujících těles je nuloá. Hybnost této soustay těles se nezměnila. b) zobecnění pro izoloanou soustau obsahující n těles (resp. n HB), které na sebe zájemně působí: d d n p i t i 0 Newtonoa pohyboá ronice pro hmotný bod: dle. NPZ: ma F i (kde F jsou síly působící na HB dané ztažné soustaě) lze tuto i i ektoroou ronici nahradit soustaou tří nezáislých ronic pro souřadnice, z nichž lze určit pohyb tělesa zhledem ke zolené soustaě souřadnic, známe-li okamžité souřadnice síly a počáteční podmínky: d x d x ma x m m F x d t d t d y d y ma y m m F y d t d t d z d z ma z m m F z d t d t 35

27 Přímočarý pohyb a) jestliže F F F 0, pak platí d x y z F m a o a o konst hmotný bod setráá pohybu ronoměrném přímočarém b) jestliže F ma konst a konst hmotný bod se pohybuje ronoměrně zrychleným přímočarým pohybem Neinerciální ztažné soustay takoé ztažné soustay, které se zhledem k liboolné IVS pohybují s nenuloým zrychlením působí zde síly setračné, které nemají půod reálných tělesech unitř soustay (ozn. síly zdánlié, fiktiní) síly setračné mají směr proti zrychlení dané soustay ýsledná síla působící na těleso je rona ektoroému součtu sil skutečných a sil setračných Pohyb po křiočaré trajektorii zrychlení celkoé lze rozložit na složku tečnou a normáloou analogicky i působící sílu rozložíme na dě zájemně kolmé složky: tečná síla: d F ma m t t normáloá síla: F ma m, n n R normáloá složka má směr do středu křiosti trajektorie dostřediá síla, kterou na pohybující se HB působí azba nutící jej ke křiočarému pohybu dle 3. NPZ existuje reakce na tuto sílu setračná síla, kterou působí HB na azbu ZTO...- Na podlaze agónu, který jede ronoměrně po přímé trati, leží kulička. Tření mezi podlahou a kuličkou je zanedbatelně malé. V určitém okamžiku je agón zabržděn a jeho pohyb se změní na ronoměrně zpomalený. I) Jak se od tohoto okamžiku bude kulička pohyboat zhledem k agónu? a) ronoměrně směrem k přední stěně agónu b) ronoměrně směrem k zadní stěně agónu c) ronoměrně zrychleně směrem k přední stěně agónu d) ronoměrně zrychleně směrem k zadní stěně agónu II) Jak se bude kulička pohyboat zhledem k porchu Země? a) ronoměrně e směru jízdy agónu b) ronoměrně proti směru jízdy agónu c) ronoměrně zrychleně e směru jízdy agónu d) ronoměrně zrychleně proti směru jízdy agónu BTO...- Automobil přejíždí po mostě ypuklého taru. I) Vztažná soustaa spojená s porchem Země je: 36

28 a) inerciální b) neinerciální c) nelze rozhodnout II) Vztažná soustaa spojená s ozidlem je: a) inerciální b) neinerciální c) nelze rozhodnout III) V systému spojeném s ozem je jeho pohyb: a) klid b) ronoměrný přímočarý c) ronoměrný křiočarý d) ronoměrně zrychlený přímočarý e) ronoměrně zrychlený křiočarý ZTO...-3 Těleso o hmotnosti 0 kg leží na podlaze kabiny ýtahu. Předpokládejte, že tíhoé zrychlení má elikost 0 m.s -. I) Jak elkou silou působí těleso na podlahu kabiny, rozjíždí-li se kabina směrem dolů se zrychlením o elikosti m.s -? a) 0 N b) 80 N c) 00 N d) 0 N II) Jak elkou silou působí těleso na podlahu kabiny, rozjíždí-li se kabina směrem zhůru se zrychlením o elikosti m.s -? a) 0 N b) 80 N c) 00 N d) 0 N ZTO...-4 Těleso o hmotnosti 0 kg je zaěšeno na siloměru kabině ýtahu. Předpokládejte, že tíhoé zrychlení má elikost 0 m.s -. Určete, jakou sílu ukazuje siloměr, pohybuje-li se ýtah: I) stálou rychlostí? a) 0 N b) 00 N c) 000 N d) 0 N II) se zrychlením 4 m.s - směrem zhůru? a) 40 N b) 60 N c) 00 N d) 40 N III) se zrychlením 4 m.s - směrem dolů? a) 40 N b) 60 N c) 00 N d) 40 N ZTO...-5 O jaké změně pohybu laku sědčí náhlý samoolný pohyb zasouacích deří kupé? I) pohyb deří e směru jízdy laku: a) zrychlený pohyb b) zpomalený pohyb II) pohyb deří proti směru jízdy laku: a) zrychlený pohyb b) zpomalený pohyb ZTO...-6 Popište pohyb tělesa, na které působí nější síly, jejichž ýslednice je: I) F 0 II) III) a) ronoměrný přímočarý b)ronoměrný křiočarý c) klid d) ronoměrně zrychlený přímočarý e) ronoměrně zrychlený křiočarý f) žádná z možností F konst a) ronoměrný přímočarý b)ronoměrný křiočarý c) klid d) ronoměrně zrychlený přímočarý e) ronoměrně zrychlený křiočarý f) žádná z možností F kti, kde k konst a) ronoměrný přímočarý b)ronoměrný křiočarý c) klid d) ronoměrně zrychlený přímočarý e) ronoměrně zrychlený křiočarý f) žádná z možností 37

29 IV) F konst, F konst a) ronoměrný přímočarý b)ronoměrný křiočarý c) klid d) ronoměrně zrychlený přímočarý e) ronoměrně zrychlený křiočarý f) žádná z možností ZTO...-7 Chlapec tlačí po odoroné podlaze bednu o hmotnosti 40 kg. Na bednu působí třecí síla o elikosti 80 N. Předpokládejte, že tíhoé zrychlení má elikost 0 m.s -. I) Jak elký je součinitel smykoého tření mezi bednou a podlahou? a) 0, b) 0,4 c) 0,5 d) 0,8 II) Jak elkou odoronou silou působí chlapec na bednu, pohybuje-li se bedna ronoměrně zrychleně se zrychlením o elikosti 0,5 m.s -? a) 0 N b) 60 N c) 00 N d) 400 N ZTO...-8 Jaká společná příčina spojuje tyto jey? I) Nasazení sekery na topůrko opakoaným klepnutím násady na trdou podložku. II) Pád dopředu při klopýtnutí. III) Pád dozadu při uklouznutí. a) graitace b) setračnost c) dostřediá či odstřediá síla ZTO...-9 Ronoměrně zpomalený přímočarý pohyb ykonáá těleso, na které po dobu pohybu: a) působí stálá síla proti směru rychlosti tělesa b) působí stálá síla e směru rychlosti tělesa c) nepůsobí žádná síla d) působí ronoměrně klesající síla ZTO...-0 Těleso, které bylo na počátku klidu, se začalo pohyboat působením stálé síly 0 N ronoměrně zrychleně a urazilo přitom za dobu 0 s dráhu 5 m. Jakou hmotnost mělo těleso? ZTO...- Vagónu o hmotnosti 6 t byla udělena počáteční rychlostí 36 km.h -, poté se agón pohyboal ronoměrně zpomaleně až do úplného zastaení, přičemž urazil dráhu 0,5 km. Určete elikost stálé brzdící síly, která působila proti směru jeho pohybu. [,6.0 3 N] BTO...- Těleso hmotnosti kg se pohybuje přímočaře rychlostí o elikosti t + 3t +. Určete sílu, která tento pohyb způsobuje. BTO...-3 Na těleso hmotnosti kg, které je na počátku klidu, začne působit síla o elikosti F 4t, jejíž směr je konstantní. I) Jaká je rychlost tohoto tělesa e čtrté sekundě? II) Jaká je ronice záislosti zrychlení tohoto tělesa na čase? 38

30 III) Jakou dráhu urazí těleso za tři sekundy od začátku působení síly? ZTO...-4 Silou 60 N je možné udělit tělesu zrychlení 0,8 m.s -. Jak elká síla uděluje témuž tělesu zrychlení m.s -? ZTO...-5 Na těleso o hmotnosti 0 kg působí jednom bodě dě stálé síly, které jsou zájemně kolmé a mají elikosti 3 N a 4 N. Určete ýsledné zrychlení tělesa, působí-li tyto síly současně. OBR....- ZTO...-6 Určete, jak elká tahoá síla musí působit na ozidlo a jaké bude jeho zrychlení, chceme-li, aby za čas 0 s dosáhlo ozidlo rychlosti 00 km.h -. Tíha ozidla je 000 N. Na počátku bylo ozidlo klidu. Odporoé síly působící na ůz neuažujte. BTO...-7 Na čem nezáisí síla smykoého tření? a) hmotnosti b) tíze tělesa c) normáloé tlakoé síle do podložky d)součiniteli smykoého tření e) elikosti styčných ploch f) charakteru styčných ploch ZU...- Auto o hmotnosti 400 kg se rozjíždí po roné silnici. Na dráze délky 000 m dosáhne rychlosti. Na auto působí motor tažnou silou o elikosti 700 N a proti pohybu odporoá síla prostředí o elikosti 00 N. Zjistěte zrychlení auta a jeho rychlost, kterou získá po projetí celé dráhy. ZU...- Na jak dlouhé odoroné dráze dosáhne ůz hmotnosti 800 kg rychlosti 45 km.h -, působí-li na něj motor konstantní silou kn. Odpor prostředí zanedbááme. ZU...-3 Jaká je nejkratší zdálenost, na které může zastait automobil jedoucí po odoroné silnici rychlostí 7 km.h -, je-li součinitel smykoého tření mezi pneumatikami a ozokou 0,3? BU...-4 Dě tělesa o hmotnostech kg a 3 kg se nacházejí na odoroné dokonale hladké podložce a jsou spojena nehmotným lanem. Na jedno z těles působí e odoroném směru síla 0 N. Určete, a) jaké zrychlení síla tělesům udílí, b) jakou silou je napjato lano mezi tělesy. 39

31 ZU...-5 Určete maximální sílu, která působí na pilota o hmotnosti 70 kg proudoém letadle, které při rychlosti 70 km.h - opisuje kružnici o poloměru km e sislé roině. ZU...-6 Automobil o hmotnosti 000 kg jede po ypuklém mostě rychlostí 7 km.h -. Poloměr křiosti mostu je 00 m. Určete a) sílu, kterou působí automobil na most okamžiku, kdy projíždí jeho středem, b) sílu, kterou působí e stejném místě most na dané ozidlo, c) jakou rychlostí by se musel ůz pohyboat, aby na mostě nadskočil? BLP...-7 Vozidlo projíždí odoronou neklopenou zatáčku o poloměru křiosti 0 m rychlostí 0 m.s -. Určete a) minimální hodnotu součinitele smykoého tření, aby auto nedostalo smyk, b) o jaký úhel by měla být ozoka pro tuto rychlost odkloněna (bezpečí před smykem i s nuloým třením). Řešení: Vypište z textu úlohy zadané eličiny. r 0 m 0 m.s - Vozidlo se pohybuje po křiočaré trajektorii, pohybuje se tedy se zrychlením (dostředié, normáloé zrychlení). Při tomto pohybu na těleso působí neinerciální soustaě setračná síla s ze zatáčky). Určete tuto sílu. Velikost setračné síly je F, která má směr proti zrychlení, tj. od středu křiosti ( ynáší ozidlo m r F s. Proti setračné síle působí síla smykoého tření mezi pneumatikami a porchem silnice. Určete její elikost (normáloou silou je síla tíhoá, neboť pohyb se děje e odoroné roině). t µ N µ Velikost smykoého tření je: F F m g Jsou-li tyto síly yronány, jedná se o mezní okamžik, kdy ještě ůz na tomto porchu nedostane smyk. Poronejte tyto síly a yjádřete z ronice součinitel smykoého tření. Ft Fs m µ m g µ g r r µ po číselném dosazení µ 0,35 rg FS tgα 0,33 α 0 F rg Pro stanoení úhlu odklonu ozoky použijte poměr setračné a tíhoé síly. Odklon ozoky je G BU...-8 Jakou maximální rychlostí může jet po odoroném porchu motocyklista, opisuje-li oblouk o poloměru 00 m a je-li součinitel smykoého tření mezi pneumatikami a ozokou 0,4? O jaký úhel se musí odklonit od sislého směru? 40

32 ..3. HYBNOST A IMPULZ SÍLY SHRNUTÍ Hybnost p dynamická eličina popisující pohyboý sta soustay na rozdíl od rychlosti zahrnuje i setračné lastnosti hmotného bodu (hmotnost m ) ektor mající směr totožný se směrem okamžité rychlosti hmotného bodu p m jednotka: kg.m.s - t Impulz síly (charakterizuje časoý účinek síly): I F případě konstantní síly platí: t t I F F F t t t t ( ) F t dle. NPZ: t t dp I F d( m ) [ m ] m m t t jednotka: N.s t I p ZTO..3.- Na těleso o hmotnosti kg působí inerciální ztažné soustaě stálá síla, jejíž elikost je 4 N. I) Jak elké zrychlení uděluje tato síla tělesu? a) 0,5 m.s - b) m.s - c) 4 m.s - d) 8 m.s - II) Jak elkou hybnost má těleso okamžiku, kdy je jeho rychlost 4 m.s -? a) kg.m.s - b) 4 kg.m.s - c) 8 kg.m.s - d) 6 kg.m.s - III) Jak elký je impuls síly, působí-li na těleso po dobu 4 s? a) N.s b) 4 N.s c) 8 N.s d) 6 N.s ZTO..3.- Střela o hmotnosti 0,0 kg proletěla hlaní pušky za 0,0 s a nabyla rychlosti 600 m.s -. Před ýstřelem byla puška se střelou klidu. I) Jak elká konstantní síla působila při ýstřelu na střelu? a) 400 N b) 00 N c) 60 N d) 300 N II) Jak elkou rychlostí se při ýstřelu začne pohyboat puška, není li upeněna a je-li její hmotnost 6 kg? a) m.s - b) 6 m.s - c) m.s - d) 600 m.s - III) Jak elká je celkoá hybnost pušky se střelou po ýstřelu? a) 36 kg.m.s - b) kg.m.s - c) 6 kg.m.s - d) 0 kg.m.s - BTO Tělesa o hmotnostech m a m se pohybují po kružnicích o poloměrech r a r tak, že obě mají stejnou obodoou rychlost. Jaký je poměr hybností p : p obou těles? 4

33 a) r : r b) r : r c) : d) m : m e) r.m : r.m BTO Na těleso jednotkoé hmotnosti působí síla F 4t (N, s). Jakou změnu hybnosti způsobí během prních dou sekund pohybu, bylo-li těleso na počátku klidu? ZTO Těleso hmotnosti 40 g se začíná pohyboat ronoměrně zrychleně se zrychlením m.s -. Jak elkou hybnost bude mít těleso na konci páté sekundy pohybu? BU Síla působící na těleso o hmotnosti kg zrůstá podle ztahu F 0+ t (N, s). I) Jaký impuls udělí tato síla tělesu od druhé do třetí sekundy? a) 5 N.s - b) 5 N.s c) 30 N.s - d) 30 N.s II) Jaká bude rychlost tělesa na konci druhé sekundy, byla-li jeho 3 m.s -. a) 4 m.s - b) m.s - c) 7 m.s - d) 33 m.s - počáteční rychlost ZU..3.- Kopacímu míči o hmotnosti 00 g byla kopnutím udělena rychlost 0 m.s -. Jaká průměrná síla na něj působila, jestliže náraz nohy do míče tral 0,0 s? ZU..3.- Střela o hmotnosti 0 g, pohybující se rychlostí 00 m.s -, prorazila dřeěnou desku do hloubky 4 cm. Za předpokladu, že pohyb střely desce je ronoměrně zpomalený, určete dobu, po kterou se střela desce pohyboala a elikost síly, kterou působila deska na střelu. BLP Na jednom konci loďky o délce 5 m, stojící na klidné odě, stojí čloěk. O kolik se posune loďka po hladině, přejde-li čloěk na druhý konec loďky? Hmotnost čloěka 60 kg, hmotnost loďky 40 kg. Řešení: Z textu úlohy ypište zadané eličiny. m 60 kg 40 kg m l 5 m Loďka s čloěkem toří izoloanou soustau hmotných bodů, e které platí zákon zachoání hybnosti. Zapište jej. m ( m + m ), kde je rychlost čloěka, rychlost loďky na odě. Vyjádřete obecně dráhu l, kterou urazí čloěk přecházející po loďce a dráhu d, kterou urazí loďka na odě. l t, d t, kde t je doba pohybu čloěka na loďce a loďky na odě Dosaďte do zákona zachoání hybnosti za neznámé rychlosti a z ronic pro dráhu. l d ( ) t m m + m t Z této ronice yjádřete neznámou hledanou eličinu d 4