Aritmetická posloupnost

Transkript

1 1. Zjistěte vzorec posloupnosti 6; 3; 2; 3/2; 1,2; 1; 6/7; 3/4; V aritmetické posloupnosti z daných údajů vypočítejte naznačené hodnoty: a 4 = 11 a (a) 1 =? a 1 = 2 n =? a 5 = 14 d =? (d) d = 3 a n =? S n = 77 a 20 = 35 (b) a 25 =? a 1 = 7 3 a 55 = 55 (e) d = 2 a n =? 3 S n =? n = 10 a 1 = 450 n =? (c) d = 24 S S n =? 5 = 60 a (f) 1 =? a n = 210 S 10 = 170 d =? 3. V aritmetické posloupnosti určete první člen a diferenci: (a) a 1 + a 3 = 2 (c) a 1 + a 2 = 5 (b) a 2 + a 7 = 8 a 2 a 1 = 6 a 20 a 18 = 15 (d) a a 2 2 = 13 a 3 = 2a 4 a 2 = a 8 (e) (f) a 4 + a 5 + a 7 + a 8 = 10 a 21 : a 1 = 2 a 4 a 5 = 5 a 4 + a 5 = 4 4. Kolik prvních členů aritmetické posloupnosti dává součet 112? a 3 = 4, d = 2 5. V aritmetické posloupnosti je a 2 = 11 a a 4 = 17. Určete a Určete součet prvních třiceti členů aritmetické posloupnosti s a 1 = 2 a d = V aritmetické posloupnosti je a 5 = 11 a a 9 = 19. Kolik prvních členů posloupnosti musíme sečíst, aby součet byl 440? 8. Čtvrtý člen aritmetické posloupnosti je 16, osmý 24. Kolik členů je třeba sečíst, aby jejich součet byl 90? 9. Mezi čísla 3 2 a 5 vložte šest čísel tak, aby vznikla aritmetická posloupnost. 10. Mezi čísla 5 a 4 vložte další čísla tak, aby vznikla aritmetická posloupnost se součtem 6, 5. Určete počet vložených členů. 1

2 11. V aritmetické posloupnosti 30, 27, 24,... najděte člen, který se rovná osmině součtu předcházejících. 12. V aritmetické posloupnosti, která má první člen a 1 = 3 platí, že součet prvních osmi členů je dvakrát větší než součet prvních pěti členů. Určete difernci posloupnosti. 13. Součin tří po sobě jdoucích členů aritmetické posloupnosti se rovná jejich součtu. Určete je, když diference je d = Pro aritmetickou posloupnost platí: a 3 + a 9 = 8. Určete součet prvních 11-ti členů posloupnosti. 15. Aritmetická posloupnost má a 1 = 2, a n = 186 a diferenci 4. Vypočítejte počet členů posloupnosti n. 16. Druhý člen aritmetickě posloupnosti je 2 a desátý člen je 26. Určete součet prvních 15-ti členů posloupnosti. 17. Určete čtvrtý člen aritmetické posloupnosti, jejíž druhý člen je 4 a osmý člen je Určete čtvrtý člen a 4 aritmetické posloupnosti (reálných čísel), je-li a 2 = 2, a 5 = Čísla x, 3x + 8, 5x 2 2 je x? + 1 tvoří po sobě jdoucí členy aritmetickě posloupnosti. Kolik 20. Pro které hodnoty parametru a R tvoří čísla log 2 (a 2 4), log 2 (a + 2) a log 2 3 tři za sebou jdoucí členy aritmetické posloupnosti? 21. Určete prvních pět členů aritmetické posloupnosti a výraz pro n-tý člen, je-li součet prvních n členů aritmetické posloupnosti dán výrazem: S n = 3n 2 n. 22. Součet prvních n členů aritmetické posloupnosti je S n = n 2 + 2n. Určete devátý člen. 23. Součet prvních n členů aritmetické posloupnosti je S n = 6n n 2. Určete jedenáctý člen. 24. Je dána posloupnost čísel. Součet prvních n členů posloupnosti je S n = 5n 2 + 6n. Určete součet a 3 + a 4 + a 5 =. 2

3 25. Aritmetická posloupnost je daná vzorcem a n = 555 7n. Určete nejmenší hodnotu n, pro které je součet prvních n členů S n < V aritmetické posloupnosti platí: a 1 = 7, a 2 = 5. Kolik jejich prvních členů musíme sečíst, aby součet byl nula? 27. První čtyři za sebou jdoucí členy aritmetické posloupnosti jsou a, 2a, b, a b 6. Určete stý člen. ( ) Určete součet prvních 20-ti členů posloupnosti a n = log. 29. Je dána posloupnost 1, 2, 3, 4, 5, 6,..., n( 1) n+1. Vypočítejte průměr prvních 300 členů. 30. Určete součet (a) = (b) (c) = (d) = (e) ( ) + ( ) + ( ) +...( ) =. 4 n 31. Vypočítejte: i i 2 i 3 i 4 i 64 = 32. Řešte rovnici pro n N (n 2) (n 1) + n = Určete největší n R, pro které platí n Dělník vyrobí za den 26 součástek. Kdyby zvyšoval výkon denně o 1 součástku, kolik vyrobí za 18 dní? 35. Jarda má dvoukorunové mince. Uspořádal je do lichoběžníku tak, že každá následující řada má o jednu mince méně. V první řadě bylo 90 mincí, v poslední řadě 3 mince. Kolik má Jarda peněz? 3

4 36. V soutěži byly za prvních 6 míst vyplaceny odměny v celkové hodnotě 2400 Kč. Nejvyšší odměna byla za první místo, za další umístění se odměny postupně snižovaly, vždy o stejnou částku. Kolik bylo vyplaceno za 1. a 6. místo dohromady? 37. Sto dolarů máme rozdělit pěti dělníkům tak, aby druhý dělník dostal o tolik dolarů více než první, o kolik třetí dostal více než druhý, čtvrtý než třetí a pátý než čtvrtý. První dva dělníci mají dostat sedmkrát méně dolarů než ostatní tři. Kolik dolarů má dostat každý dělník? 38. Parta dětí vlezla do zahrady a děti začaly trhat jablka. První utrhlo jedno jablko, druhé dvě a každé další o jedno jablko více než to předcházející. Potom se všichni, kdo trhali jablka, rozdělili rovným dílem a každý dostal šest jablek. Kolik dětí trhalo jablka? 39. Roku 1620 začal pan Rich ukládat do banky peníze. Každý rok uložil tolik liber, jaký byl rok (tj. roku 1620 uložil 1620 liber, roku 1621 uložil 1621 liber atd.). V této činnosti pokračují jeho potomkové dodnes. Kolik peněz měli v bance v roce 2000? 40. Od svých desátých narozenin dostává Arnold od rodičů kapesné. Každý měsíc dostane dvakrát tolik Euro, kolik je mu let. Kolik peněz měl naštřeno den před 18. narozeninami, když šetří 25 % toho, co dostane? knih je seřazeno do řady od nejlevnější (vlevo) po nejdražší (vpravo). Rozdíl ceny dvou sousedních knih je vždy 2 Kč. Za cenu, kterou má nejdražší kniha, můžeme koupit prostřední knihu a k ní sousední knihu. Kolik stojí nejlevnější kniha? 42. Jednotlivé díly sedmidílného románu byly vydávány v devítiletých intervalech. Když byl vydán sedmý díl, byl součet roků vydání jednotlivých dílů Ve kterém roce byl vydán pátý díl? 43. Lupiči první den ukradli z 1. trezoru určité množství peněz. Druhý den ukradli z 2. trezoru dvakrát více peněz, třetí den ze 3. trezoru třikrát více peněz atd. až stý den ze 100. trezoru ukradli 100krát více peněz a v trezoru zůstala 1 Kč. Přitom ve všech trezorech zůstalo dohromady Kč. Kolik peněz bylo původně v každém trezoru, když ve všech trezorech bylo původně stejné množství peněz? 44. V náhrdelníku 33 perel je prostřední perla nejdražší ze všech. Začneme-li z jednoho konce, je každá perla o 100$ dražší než předchozí až k prostřední perle. 4

5 Z druhého konce je každá perla o 150$ dražší než předchozí až k prostřední perle. Celý náhrdelník stojí 65000$. Kolik stojí prostřední perla? 45. V ZOO si připravili k nakrmení 31 lvů zásobu ovcí. Jeden lev sní 10 ovcí za týden. Jenže lvi onemocněli neznámou nemocí a každý týden jeden lev zemřel. Zásoba ovcí tak vydržela dvojnásobnou dobu, než bylo původně naplánováno. Kolik měli připraveno ovcí a na kolik týdnů měli původně stačit? 46. Turista stoupající na horu vystoupal za první hodinu do výšky 800 m. Každou další hodinu pak zdolá výšku o 25 m menší než předcházející hodinu. Za kolik hodin se dostane na vrchol ve výšce 5700 m? 47. Strany pravoúhlého trojúhelníka tvoří aritmetickou posloupnost. Určete je, když obsah trojúhelníka je 6 dm Délky stran pravoúhlého trojúhelníku tvoří 3 po sobě jdoucí členy aritmetické posloupnosti. Delší odvěsna má délku 28 dm. Určete obvod a obsah trojúhelniku. 49. Vnitřní úhly v konvexním čtyřúhelníku tvoří aritmetickou posloupnost. Největší úhel je o 15 menší než dvojnásobek nejmenšího úhlu. Určete velikost největšího úhlu. 50. Vnitřní úhly v konvexním čtyřúhelníku tvoří aritmetickou posloupnost. Největší úhel je dvakrát větší než nejmenší úhel. Určete velikost největšího úhlu. 51. Vnitřní úhly konvexního devítiúhelníku tvoří aritmetickou posloupnost. Nejmenší úhel je 112. Jak velký je největší úlel? 52. Vnitřní úhly konvexního n-úhelníku tvoří aritmetickou posloupnost s diferencí 5. Nejmenší úhel je 120. Určete počet stran n-úhelníka. 53. Objem kvádru je 612 cm 3. Délky jeho hran jsou tři po sobě jdoucí členy aritmetické posloupnosti. Délka jedné z hran je 9 cm. Porovnejte povrchy kvádrů, které tyto podmínky splňují. 54. Určete součet všech přirozených čísel od 1 do Určete součet všech lichých přirozených čísel menších než Kolik celých čísel mezi 100 a 1000 je dělitelných sedmi? 57. Určete součet všech čísel od jedne do 100, která nejsou dělitelná čtyřmi. 5

6 58. Určete součet všech přirozených čísel menších než 45, která nejsou dělitelná třemi. 59. Určete počet čtyřciferných přirozených čísel, která jsou dělitelná třemi nebo sedmi. 60. Největší ze sedmi za sebou jdoucích sudých čísel je dvakrát větší než nejmenší číslo. Kolik je nejmenší číslo? 61. Součet třetího a čtvrtého členu posloupnosti po sobě jdoucích přirozených čísel je 47. Najděte součet prvních pěti členů posloupnosti. 62. Součet prvních 50-ti členů aritmetieké posloupnosti je 200. Součett druhých 50-ti členů této posloupnosti je Jaký je první člen posloupnosti? 63. Čísla 1, 26 a 36 jsou tři členy aritmetické posloupnosti. Je mezi nimi uveden první i poslední člen posloupnosti. Určete nejvyšší možnou diferenci posloupnosti. 64. Mezi čísla 1 až 13 jsou vložena čísla, jejichž součet je 49. Přitom daná čísla spolu s vloženými členy tvoří aritmetickou posloupnost. Určete posloupnost vzorcem pro n-tý člen. 65. Mezi čísla 1 a 1 vložte tři čísla tak, aby všech pět čísel tvořilo aritmetickou posloupnost. Jaký je součet tří vložených 4 2 čísel? 66. Ve které aritmetické posloupnosti o deseti členech je součet prostředních dvou členů 55 a součin krajních členů 250? 67. Součet prvních pěti členů aritmetické posloupnosti je 40 a součet prvních deseti členů je 155. Určete součet prvních patnácti členů. 68. Součet prvních osmi členů aritmetické posloupnosti celých čísel je 100. Znásobímeli osmý člen součtem všech předcházejících členů, obdržíme číslo Určete tuto posloupnost. 69. Napište číslo 55 jako součet několika přirozených čísel tak, aby každé následující číslo bylo o 4 větší než předcházející. 70. Najděte všechny množiny dvou nebo více za sebou jdoucích přirozených čísel, jejichž součet je Napište všechny způsoby, kterými můžeme napsat číslo 1986 jakou součet po sobě jdoucích přirozených čísel. 6

7 72. Součet několika přirozených, po sobě jdoucích čísel je Jestliže m je první člen posloupnosti, určete nejmenší možnou hodnotu čísla m. 73. Je dána rostoucí aritmetická posloupnost, která má lichý počet členů. Prostřední člen je 302. Když z posloupnosti odstraníme 4 největší členy, bude prostřední člen 296. Určete diferenci posloupnosti. 74. Posloupnost pěti za sebou jdoucích čísel má takovou vlastnost, že součet druhých mocnin prvních tří členů se rovná součtu druhých mocnin posledních dvou členů. Určete všechny takové posloupnosti. 75. Je dána posloupnost a n = ( 1) n 9n. Určete, pro které n je součet prvních n členů Kořeny rovnice x 4 10x 2 + a = 0 tvoří čtyři za sebou jdoucí členy aritmetické posloupnosti. Určete hodnotu parametru a. 77. Neznámý vandal vytrhl z knihy jeden list. Součet čísel zbývajících stran je Kolik stran měla knížka? Jaká čísla byla na vytrženém listu? 78. V jiné knize někdo vytrhl z první poloviny knihy dva sousední listy. Součet čísel zbývajících stran je Kolik stran měla knížka? Jaká čísla byla na vytržených listech? 7