Comparing NN and ARMA models in artificial market

Transkript

1 in artificial market Matematicko fyzikalní fakulta Univerzity Karlovy v Praze ÚTIA AV ČR 26. listopadu 2009

2 Motivace Co je to neuronová sít? pokus vytvořit umělou inteligenci inspirováno přírodou mozkem schopnost učit se a zobecňovat Použití NN rozpoznávání vzorů předpovídání ČŘ komprese optimalizace

3 Výhody a nevýhody při předpovídání ČŘ Pro můžeme aproximovat libovolnou funkci schopnost zobecňovat robustnost Proti volba topologie učení sítě černá skříňka

4 Proč umělý trh? nekonvenční soutěž v obchodování, ne v "trefení" správné ceny Nevýhody 1. zdlouhavé 2. jen pro určité modely

5 Perceptron Značení: vektor vstupů...x = (1, x 1,..., x n ) T výstup...y vektor vah...w = (w 0,..., w n ) T práh...θ w 0 aktivační funkce...f n f ( x i w i θ) = f (x T.w) = y i=1

6 Aktivační funkce Obrázek: I {x 1} Obrázek: signum Obrázek: sigmoida Obrázek: tanh

7 Třívrstvá dopředná neuronová sít Notation: vstupní vrstva...x skrytá vrstva...w j, j = 1,..., h, u = (u 1,..., u h ) T, f výstupní vrstva...y, v značení...η = (w T 1,..., wt h, vt ) T Dynamika sítě 1. u i = f (x T w i ), i = 1,..., h 2. y = u T v = ψ h (x, η)

8 Hornik, Stinchcombe, White Věta Necht f : R [0, 1] ryze rostoucí s lim x f (x) = 0 a lim x + f (x) = 1. Necht J = {ψ h (x, η); h 1, η R (n+1)h+h+1 }. Potom: 1. Pro každou borelovsky měřitelnou funkci g : R n R existuje posloupnout ψ k J, k 1, taková, že µ(x; g(x) ψ k (x) > ε) 0 pro k +, ε > 0, kde µ je libovolná pstní míra na B(R n ). 2. Pro každou rostoucí funkci g : R n R existuje posloupnout ψ k J, k 1, taková, že sup x C g(x) ψ k (x) 0 pro k +, kde C je libovolná kompaktní podmnožina R n.

9 Motivace Podstatou práce není zkoumat trh samotný Podobnost se skutečným trhem "Hrací hřiště" jeden agent = jedna strategie Agenti předpovídání jedna ze strategií FNN, SRN, VAR, VARMA různý počet vstupů dva výstupy dividenda a změna ceny akcie počáteční peníze počáteční počet akcií snaha co nejvíce rozmnožit počáteční bohatství všichni stejně rizikově averzní

10 h i,t+1 = E i,t[p t+1 + d t+1 ] (1 + r)p t 2 Stavba trhu Prostředí trhu Bezrizikové aktivum s pevnou mírou výnosnosti r Rizikové aktivum 1. cena v čase t...p t 2. dividenda v čase t...d t = d + ρ(d t 1 d) + ε d,t Agent i Počet akcií, které drží v čase t... h i,t Předpověd budoucí ceny rizikového aktiva E i,t [p t+1 ] a budoucí dividendy E i,t [d t+1 ] v čase t h i,t+1 t + 1 počet akcií, které by chtěl agent i držet v čase Předpoklad CARA užitkové funkce a normálního rozdělení předpovědí

11 σ 2 i,t Vzorec pro podmíněný rozptyl předpovědi (pro všechny stejný): σ 2 i,t = (1 θ)σ2 t 1 n + θ(p t + d t E i,t 1 [p t + d t ]) 2, kde s σ 2 t n σ 2 t n = n 1 j=0 [P t j P t n ] 2 n 1 P t n = je historická volatilita. n 1 (1) j=0 P t j. (2) n

12 Vývoj počtu akcií agentů a ceny rizikového aktiva I Značení: { h b i,t+1 = i,t+1 h i,t, hi,t+1 h i,t, 0, jinak. { hi,t h a i,t+1 = i,t+1, h i,t+1 < h i,t, 0, jinak. B t+1 = A t+1 = N i=1 N i=1 b i,t+1 a i,t+1

13 Vývoj počtu akcií agentů a ceny rizikového aktiva II Kolik bude mít agent i v čase t + 1 akcií? h i,t + b i,t+1 a i,t+1, B t+1 = A t+1, h i,t+1 = h i,t + A t+1 B t+1 b i,t+1 a i,t+1, B t+1 > A t+1, h i,t + b i,t+1 B t+1 A t+1 a i,t+1, B t+1 < A t+1. Jak se změní cena akcií? p t+1 = p t (1 + β(b t+1 A t+1 )) + ε r,t, kde β je např. tanh a ε r,t má např. N(0, σ 2 r ) šum.

14 Vývoj bohatství agentů Značení: W i,t...bohatství agenta i v čase t M i,t...peníze agenta i v čase t h i,t...počet akcií agenta i v čase t W i,t = M i,t + h i,t p t W i,t = M i,t 1 (1 + r) + h i,t 1 (p t + d t )

15 Vývoj agentů I. Učení agentů jen na úrovni přepočítávání parametrů daných strategií. Jednou za k časových kroků. 1. porovnání bohatství všech agentů nabitého od minulého kontrolního okamžiku...w i,t W i,t k, 2. utvoření žebříčku agentů pořadí agenta R i,t, 3. r i,t = R i,t N je pst, že agent přepočítá parametry své strategie, protože nabyl v mezidobí malého bohatství.

16 Vývoj agentů II. Druhý krok Označme χ k i,t = W i,t W i,t k W i,t k míru růstu bohatství agenta i. s i,t = exp{χ k i,t } je pst přepočítání parametrů ve 2. kroku byl málo efektivní. celková pst, že agent přepočítá parametry své strategie: u i,t = r i,t + (1 r i,t )s i,t = R i,t N + N R i,t N exp{χ k i,t }

17 Vlastnosti umělého trhu Jaké vlastnosti by měl trh mít? 1. výnosy r t = log(p t ) log(p t 1 ) mají rozdělení s těžkými konci 2. cena rizikového aktiva odpovídá náhodné procházce {pt } má jednotkový kořen r t jsou i.i.d.

18 Vývoj ceny rizikového aktiva Co bylo splněno? {p t } má jednotkový kořen r t jsou i.i.d. Nelze zamítnout hypotézu, že r t mají normální rozdělení.

19 Výsledky pořadí strategie bohatství počet učení 1 VARMA(3,2) VARMA(2,2) SRN(2,2) FNN(1,1) VARMA(1,2) VARMA(3,1) FNN(1,1) VAR(3) strategy pr. konečné bohatství pr. počet učení VAR VARMA FNN SRN

20 Nastavení simulace Market parameters Initial amount of money 100 Total amount of shares 30 interest rate r price adjustment function tanh price adjustment β price adjustment β Price process Initial mean µ p 150 Initial variance σp noise parameter σr Dividend process ρ 0.95 d 0.2 σ d 0.02 Learning parameters k 150 m 180 Traders Number of traders in each group 15 Total number of traders 60 Risk aversion parameter λ 3 parameter θ parameter n 10

21 Literatura [1] Šíma, J., and Neruda, R.: Teoretické Otázky Neuronových Sítí. Matfyzpress, Praha, [2] Lütkepohl, H.: New Introduction to Multiple Time Series Analysis. Springer, [3] Chen, S., and Yeh, C.: Genetic Programming in Agent-Based Artificial Markets: Simulations and Analysis. [4] Reinsel, G. C.: Elements of Multivariate Time Series Analysis. Springer, [5] Matassini, L., and Franci, F.: On Financial Markets Trading, Physica A: Statistical Mechanics and its Applications 3 4 (2001), [6] LeBaron, B.: Building the Santa Fe Artificial Stock Market. Brandeis University, [7] Saracoglu, R.: The Maximum Likelihood Estimation of Parameters in Mixed Autoregressive Moving-Average Multivariate Models. Federal Reserve Bank of Minneapolis, [8] Berndt, E. K., and Hall, B. H., and Hall, R. E., and Hausman, J. A.: Estimation and Inference in Nonlinear Structural Models, Annals of Economic and Social Measurement (1974), [9] Dorffner, G.: Neural Networks for Time Series Processing, Neural Network World 6 (1996), [10] Boden, M.: A Guide to Recurrent Neural Networks and Backpropagation. In the Dallas project, [11] Hamilton, J. D: Time Series Analysis. Princeton University Press, [12] Palmer, R. G., and Arthur, W. B., and Holland, J. H., and LeBaron, B., and Taylor, P.: Artificial Economic Life: A Simple Model of a Stockmarket, Physica D 75 (1994), [13] Mcnelis, P. D.: Neural Networks in Finance: Gaining Predictive Edge in the Market. Elsevier Academic Press, [14] Franke, J., and Härdle, W. K., and Hafner, C. M.: Statistics of Financial Markets: An Introduction. Springer, 2008.

22 Děkuji za pozornost. Vaše dotazy.