O ODHADU PARAMETRŮ V JEDNODUCHÉM NELINEÁRNÍM MODELU KLOUZAVÝCH SOUČTŮ

HTML
DOWNLOAD

Rozměr: px

Začít zobrazení ze stránky:

Download "O ODHADU PARAMETRŮ V JEDNODUCHÉM NELINEÁRNÍM MODELU KLOUZAVÝCH SOUČTŮ"

Peter Jaroš
před 5 lety
Počet zobrazení:

1 ROBUST, c JČMF O ODHADU PARAMETRŮ V JEDNODUCHÉM NELINEÁRNÍM MODELU KLOUZAVÝCH SOUČTŮ TOMÁŠ MAREK Abstrakt. The paper is concerned with a parameter estimation in the simple non-linear moving average time series model given b X t = ε t+αε t +βε tε t. The model mentioned in Tong (99) is a stochastic perturbation of the linear MA() model, where the constant coefficient α is substituted b a random one α + βε t. Moment and maimum likelihood estimators are presented. Abstrakt.V to$i stat~i m zanimaemc ocenko$i parametrov v sluqae prosto$i neline$ino$i modeli skol~zwego srednego. Issledovann$i process imeet vid X t = ε t + αε t + βε tε t, on upomnut$i v knige Tonga (99) i imeet formu stohastiqesko$i perturbacii line$inogo processa skol~zwego srednego, gde nahodits vmesto koefficienta α sluqa$ina peremenna α+βε t. M issleduem metod ispol~zuwie moment i funkci pravdopodobi.. Úvod Nelineární model klouzavých součtů jsou velmi obecnou třídou náhodných procesů,které jsou definován nějakou nelineární transformací bílého šumu. V tomto článku se budeme zabývat speciálním modelem daným vzorcem X t = ε t + αε t + βε t ε t, kde ε t je posloupnost nezávislých stejně rozdělených náhodných veličin s nulovou střední hodnotou a konečným rozptlem σ,parametr α, β jsou z intervalu (; ). Námi zkoumaný model ve srovnání s dobře známým lineárním modelem MA() obsahuje navíc ještě součin posledních dvou hodnot bílého šumu. Tento součin je také příčinou některých zajímavých vlastností náhodného procesu,které zmiňuje Tong (99). Patří mezi ně například schopnost produkovat náhle velké hodnot X t, stejně jako například některá hdrologická data. V dalších částech na základě pozorovaných hodnot X t odhadneme parametr α a β a to momentovou metodou a metodou maimální věrohodnosti. Část věnovaná metodě maimání věrohodnosti navazuje na publikaci uvedenou ve sborníku WDS 99 - viz. Marek(999). Na závěr pak zmíníme některé výhod a nedostatk obou metod.. Momentové odhad Předpokládejme v této části,že bílý šum ε t má konečné moment aspoň čtvrtého řádu. Za této podmínk označme a = E Xt =(+α )σ + β σ 4, b = E X t X t = ασ, c = E X t X t X t = αβσ 4. Mathematics Subject Classification. Primar 6M. Klíčová slova. Nelineárním model klouzavých součtů. Tato práce vznikla za podpor grantů GAČR //77 a VZ MŠMT MSM 38.

2 O odhadu parametrů v jednoduchém nelineárním modelu klouzavých součtů 85 Snadno ověříme,že c/b = βσ a a (c/b) =(+α )σ, z čehož vplývá,že α je jedním z kořenů rovnice ( ) a b c b 3 +=. Při známém α je pak σ = b α a β = c ασ 4. Výše zmíněná úvaha vede k následující konstrukci momentových odhadů neznámých parametrů. Označme Budiž dále ˆα N kořen rovnice â N = N ˆbN = N ĉ N = N který padne do intervalu (-;),a Xt, t= X t X t, t= X t X t X t. t=3 ( ) â N ĉ N +=, ˆbN ˆb3 N ˆσ N = ˆb N ĉ N a ˆβ = ˆα N ˆα N ˆσ N 4. Tuto metodu navrhl Robinson (977),který rovněž dokázal konsistenci a asmptotickou normalitu takto definovaných odhadů. Následující tabulka udává průměrné hodnot a směrodatné odchlk zkoumaných odhadů získané ze simulací pro každou délku časové řad a uvedené hodnot parametrů,za předpokladu,že veličin ε t mají rovnoměrné rozdělení na intervalu (-;). α =.3 β =. σ =/3 N průměr sm. odch. průměr sm. odch. průměr sm. odch Odhad metodou maimální věrohodnosti Předpokládejme nní,že bílý šum ε t má nějakou známou hustotu g. Z nezávislosti veličin ε t tak známe sdruženou hustotu vektoru e N =(ε,...,ε N ) T, která má tvar g N (t,...,t N )= N g(t i ). i=

3 86 Tomáš Marek Označme h zobrazení,jež převádí vektor e N na vektor Z N =(ε,x,...,x N ) T a Jac(h) budiž jeho jakobián. Snadno zjistíme,že Jac(h) = ( + βε i ) N i= a zobrazení je ted skoro jistě regulární kdkoliv je P (ε t = /β) =. Užitím vět o transformaci ( tak lze najít sdruženou hustotu Z N, která obecně bude tvaru Jac(h) g N h (Z N ) ). Zobrazení h je určeno rekurentním vztahem ε t = X t αε t, t N. +βε t Je zřejmé,že pro rostoucí N je eplicitní předpis pro h a tudíž i pro sdruženou hustotu Z N stále složitější,což do značné mír komplikuje výpočet marginální hustot f N vektoru pozorování X N =(X,...,X N ) T, neboťtajedánaintegrálem f N ( N )= Jac(h) g N (t, N )dt. Vnecháme-li nní pozorování X k,x k,... pro k, zbývající veličin tvoří vzájemně nezávislé podvektor X (k) j =(X +jk,...,x k +jk ) T,j, s hustotou f k. Při některých rozděleních bílého šumu tak můžeme získat eplicitní vzorec pro věrohodnostní funkci vektoru zbývajících pozorování,která má tvar l k (X N α, β) = ( )] log [f k X (k) j. j Jak ukáže i následující příklad,je maimalizace věrohodnostní funkce l k možná pouze numerick přes určitou předem zvolenou síť bodů. Příklad: Nejjednodušší přiklad pro k = uvádí Marek(999). Zabývejme se nní proto poněkud složitější situací,jež nastává,jestliže k =3. Nechť ε t R( ; ). Odvoďme sdruženou hustotu podvektoru (X t,x t ) T. Užijeme zobrazení U V = ε t ε t h X t X t = X Y. W ε t ε t Z Jakobián transformace je roven +βvα + βu Jac(h )= +βw α + βv = ( + βv)(α + βv). Pro zjednodušení budeme předpokládat,že čísla β a α β leží mimo interval ( ; ). Inverzní zobrazení je dáno předpisem u = αz +βz, v = z, w = z α + βz. Označme χ A indikátor množin A = (,, z) R 3 : αz +βz < & z < & z } α + βz <.

4 O odhadu parametrů v jednoduchém nelineárním modelu klouzavých součtů 87 Podle vět o transformaci ted sdruženou hustotu vektoru (X, Y, Z) T můžeme zapsat ve tvaru χ A g(,, z) = 8( + βz)(α + βz). Hledanou hustotu vektoru (X, Y ) T vpočteme vintegrováním proměnné z f (, ) = 8 = s ( + βz)(α + βz) dz s s 8( α) s ( α + βz +βz ) dz = 8β( α) log ( + βs )(α + βs ) ( + βs )(α + βs ). Integrační meze s,s určíme jako s =ma ; α + β ; α } +, s =min ; +β α β ; + α }. β Na následujícím obrázku je graf f (, ) a rozdělení rovin podle hodnot s,s pro hodnot parametrů α =.3 aβ =...4. Oblasti Další obrázek ukazuje věrohodnostní funkci l 3 získanou z N = 5 pozorování při výše zmíněném rozdělení.

5 β 88 Tomáš Marek α 85 Následující tabulka udává průměrné hodnot a směrodatné odchlk zkoumaných odhadů získané ze simulací pro každou délku časové řad a stejné hodnot parametrů jako v části věnované momentovým odhadům. Veličin ε t mají i tentokrát rovnoměrné rozdělení na intervalu (-;). Při maimalizaci bla použita síť bodů (α, β) s krokem. v α a.5 v β. α =.3 β =. N průměr sm. odch. průměr sm. odch Závěr Z obou zmíněných metod odhadu neznámých parametrů zkoumaného modelu je momentová metoda méně náročná na výpočetní čas,její nevýhodou je pomalejší konvergence. Metoda založená na maimální věrohodnosti konverguje rchleji,při některých rozděleních bílého šumu však nejsme schopni najít eplicitní vjádření hustot vektoru X (k) j a numerická integrace značně zvšuje nárok na výpočetní čas. 5. Literatura Marek T. (999): Maimum likelihood estimation in the simple NLMA model. WDS 99 Proceedings of contributed papers - Part I., (ed. J. Šafránková), pp Matfzpress Praha. Praha 999. Robinson P. M. (977): The estimation of a nonlinear moving average models. Stochastic processes Appl. 5,8 9. Tong H. (99): Nonlinear Time Series. Clarendon Press,Oford. UK MFF, KPMS, Sokolovská 83, 86 75, Praha 8 marek@karlin.mff.cuni.cz

Podobné dokumenty

9. T r a n s f o r m a c e n á h o d n é v e l i č i n y

9. T r a n s f o r m a c e n á h o d n é v e l i č i n Při popisu procesů zpracováváme vstupní údaj, hodnotu x tak, že výstupní hodnota závisí nějakým způsobem na vstupní, je její funkcí = f(x). Pokud