1 Klasická pravděpodobnost. Bayesův vzorec. Poslední změna (oprava): 11. května 2018 ( 6 4)( 43 2 ) ( 49 6 ) 3. = (a) 1 1 2! + 1 3!

Transkript

1 Výsledky příkladů na procvičení z NMSA0 Klasická pravděpodobnost. 5. ( 4( 43 ( ! 3! 0! = 5 Poslední změna (oprava:. května (a! + 3! + ( n+ n! = n k= ( k+ /k! = n k=0 ( k /k!; (b n k=0 ( k /k! e = /e pro n 5. (a ( n 7 (b (n ( n 3 5 n 5 7 n (c i= ( i+( ( 7 7 i n i 7 m. (a n+m ; (b (K k( n+m K m k pokud m k, n K k, K k, jinak 0; (c (n+m k ( n+m m ( n+m m. Nezávislost, podmíněná pravděpodobnost, úplná pravděpodobnost, Bayesův vzorec. jevy jsou závislé. (a neplatí, A C a B C jsou nezávislé, (b platí (c neplatí (d platí (e neplatí profesor: = studenti: (a 8/45 (b ze skupiny B (c (0, 3 (0,4 4 (0, 5. krabice s míčky: 58/595 = 0,089. HUMOR: 5/ 7. mince: pro k = 0,,,... (e (k +! 8. obrazy: (a 0,977 (b 0,4 9. HIV test: (a 0,77, (b 0 5, (c 0, kostky: (a P( = 7/7, P( = /4, (b 4/7 (c P( chlapec = 5/54, P( dívka = 9/80, P( = 57/0

2 3 Náhodná veličina diskrétní rozdělení. c = /4, E X = 8 7, Var X = 9 49, F (x = 0 x <, 4 x [,, 5 x [, 3, 4 x 3. P(X = 3 4. Rozdělení Y : P(Y = 0 = 4/4 = /7 a P(Y = = /4 + 9/4 = 0/4 = 5/7, tj. Y má alternativní rozdělení A(p s parametrem p = 5/7; E Y = 5 7. a = /4, E X = 5/, Var X = 55/44, rozdělení Y : P(Y = 0 = /, P(Y = = P(Y = 4 = /4, E Y = 5/4 3. basketbalista: P(X = n = ( n+k n p k ( p n pro n = 0,,, kostky: /3 5. (a E N = 7/, Var N = 35/ (b (c. Adam a Bedřich: (a ( 3 P(N = i součet je 5 = 9 40, i =, 84 40, i =, 40, i = 3, 4 40, i = 4, 40, i = 5, 0, i =. 0, i =,, 3 P(N = i právě 4 šestky = 87, i = 4, 50 87, i = 5, 5 87, i =. k 8 k 9, k =,,...; (b 5 ; (c A a B: (a ( 5 k ( 4, k =,,...; (b 3 8 ; (c P(B hodí k-krát = ( 5 k ( 4 k + ( 5 k ( 4 k (d E (počtu hodů = k= (k ( 5 k ( 4 8. Počet přestupků má Poissonovo rozdělení s parametrem pλ. 4 Náhodná veličina spojité rozdělení, k =,,... a P(B hodí 0-krát = ; k =... = k + k= (k ( 5 k ( 4. c = /(e, 0 x < 0, e F (x = x, x [0, ], e x >.

3 E X = e, Var X = e 3e+ (e. Medián X je log( e + a medián ex je e c = log((k+/k, E X = 0 = medián X (plyne ihned ze symetrie hustoty, k+ Var (X = c(k + = log((k+/k 4. (a Y má rovnoměrné rozdělení na intervalu [0, ], (b E Z = 3/, Var (Z = 3/4 5. (a distr. funkce Y : 0 y < 0, G(y = y/, y [0, ], y > hustota: g(y = y I{y (0, }, E Y = /3. (b distribuční funkce Z: 0, z < 0, arcsin(z H(z =, 0 z,, z > hustota h(z = I{z (0, ]}. E Z = / z (c distribuční funkce W = max{x, Y }: 0, w < 0, w F W (w =, 0 w, w, < w,, w > hustota f W (z = w I{w (0, ]} + I{w (, }. (a c = /, 0, x < 0, F (x = ( cos x/ = sin (x/, 0 x,, x > (b E X = / = medián X (plyne ihned ze symetrie hustoty (c F (u = arccos( u, u (0, (d rovnoměrné rozdělení na intervalu (0, 3

4 F(x F (u x u 7. trojúhelník: (a 0 (b rozdělení je rovnoměrné na intervalu (0, /; hledaná pravděpodobnost je /3 (c distribuční funkce a hustota: P(a > / = /3 0, y 0, G(y = arcsiny, y (0,,, y, (d E a =, Var (a = 4 = 8, (e E V =. 5 Náhodné vektory, y (0,, g(y = y 0 jinak.. hody mincí (a sdružené rozdělení: Y /8 /8 X /8 /4 /8 /8 /8 0 (b marginální rozdělení: P(X = 0 = /4, P(X = = /, P(X = = /4, totéž pro Y, veličiny jsou závislé (c Cov (X, Y = /4, ρ XY = /. (a c = 4, (b f X (x = xe x I{x 0}, f Y (y = ye y I{y 0}, X a Y jsou nezávislé (c E (X + Y = 3. c = /, f X (x = x I{x (, } = f Y (x, veličiny nejsou nezávislé. 4

5 4. (a hustota f(z = ( z I{z (, }, E Z = 0, Var (Z = /; (b E (ZW = X + Y má binomické rozdělení Bi(m + n, p. (a 3 (b Nejsou nezávislé. (c (d maximum a minimum: (a F U (u = [F (u] n, f U (u = n[f (u] n f(u (b F V (v = [ F (v] n, f V (v = n[ F (v] n f(v (c E U = n/(n +, Var (U = n/[(n + (n + ], E V = /(n +, Var (V = n/[(n + (n + ] 8. Cov (H, D = /3, jsou závislé 9. vlak a autobus: (a hustota a distribuční funkce Z = A + V : Je-li λ µ, pak λµ ( e µz e λz, z > 0, λe µz µe λz, z > 0 g(z = λ µ G(z = λ µ 0 z 0, 0, z 0 Je-li λ = µ, pak g(z = { λ ze λz, z > 0, 0 z 0, G(z = { e λz λze λz, z > 0 0, z 0, (b E Z = µ + λ, Var (Z = +, µ λ (c rozdělení W = V A: G(w = { µ λ+µ e λw, w > 0, λ λ+µ eµw, w 0. g(w = { λµ λ+µ e λw, w > 0, λµ λ+µ eµw, w < 0, P(V A > k = G(k, P(V A = k = 0. µ (d P(V > ka = λk + µ Limitní věty. 0. plyne z 0- zákonů (Borelova věta a z nerovnosti P( X n E X n=0 P( X n, která platí pro libovolnou náhodnou veličinu X (např. viz Lemma 4.7 ve skriptech 3. (a 0; (b 0; (c ; (d (a plyne ze SZVČ pro nezávislé nestejně rozdělené náhodné veličiny; (b Je splněna Ljapunovova podmínka. (b Plyne z definice konvergence v pravděpodobnosti. 5. (a E X = m +, Var (X = m +,. bankomat: alespoň 0 30 tisícikorunových bankovek 7. kostka: 0,9 8. hostina: nejvýše 45 hostů 5 n=0

6 9. konzultace: 0,03 0. a 0,858 b c 337. terč: 0, Bodový odhad. (a Je třeba ukázat, že věrohodnost je maximalizována v bodě â = max i n X i. (c V n = n+ n U n = n+ n max X i je nestranný odhad parametru a, V n je konzistentní odhad parametru a. (d T n je nestranný i konzistentní odhad parametru a. a (e Var (V n = n(n +, Var (T n = a 3n (f Odhad V n má menší rozptyl. (a Maximálně věrohodný odhad je µ n = n n i= log(x i. Odhad je nestranný a konzistentní odhad parametru µ. (b Momentovým odhadem je µ n = log(x n. Tento odhad je konzistentní. 3. Xn = n n i= X i není nestranný ani konzistentní odhad parametru µ. Nicméně X n je nestranným a konzistentním odhadem parametrické funkce E X = exp{µ + }. 4. Maximálně věrohodný odhad parametru σ je n n i= (X i µ 0. Tento odhad je nestranný i konzistentní. 5. Výběrový rozptyl je nestranný i konzistentní odhad parametru σ. V případě známého µ 0 má však o něco větší rozptyl než maximálně věrohodný odhad σ n = n n i= (X i µ 0. Zatímco Var ( σ n = σ4 n, je Var (S n = σ4 n.. (a Maximálně věrohodný odhad parametru p je n n i= X i. (b ˆp n není nestranný, ale je konzistentní odhad parametru p. (c p n je nestranný, ale není konzistentní odhad parametru p. 7. Odhad není nestranný, ale je konzistentní. 8. (a Maximálně věrohodný odhad parametru θ je θ n = min i n X i. Odhad není nestranný, ale je konzistentní. (b Momentový odhad parametru θ je θ n = Xn. Odhad není nestranný, ale je konzistentní. 9. Maximálně věrohodný odhad parametru θ je θ n =. Odhad není nestranný, ale je konzistentní. X n 8 Intervalový odhad. Označme X i výšku i-tého chlapce, i =,..., 5. Model: X,..., X 5 nezávislé náhodné veličiny s rozdělením N(µ, 39,. (a ( X σ n u α/ n ; X σ n + u α/ n = (34,97; 43,9 (b ( X n u α σ n ; + = (35,37; + (c ( ; X n u α σ n = ( ; 4,89. (a ( X S n t n α/,n n ; X S n + t n α/,n n = (3,94; 4,7 ( (b = (0,4; 0,943 (n Sn ; (n S χ n χ α/,n α/,n

7 3. (a Předpokládaný model: Necht X i je indikátor toho, zda i-tá osoba souhlasí. Předpokládáme, že X,..., X 400 jsou nezávislé a stejně rozdělené s alternativním (tj. nula-jedničkovým rozdělením s neznámým parametrem p (0,. Bodový odhad je ˆp = 0,. (b (0,55; 0,48, (c n Model: X,..., X 5 výška chlapců v cm, náhodné veličiny s N(µ, σ, Y,..., Y 0 výška dívek v cm, náhodné veličiny s N(µ, σ, všechny veličiny X,..., X 5, Y,..., Y 0 jsou nezávislé. 95%-ní intervalový odhad spolehlivosti pro µ µ je (4,0; 7, (a Asymptotický oboustranný intervalový odhad o spolehlivosti 95% je ( λl, λ U = ( X n u X n n, X n + u X n n. Pro data z příkladu (.55,.58. (b Asymptotický oboustranný intervalový odhad o spolehlivosti 95% je ( exp{ λ U }, exp{ λ L }. Pro data z příkladu (0.08, 0.. (c Asymptotický oboustranný intervalový odhad o spolehlivosti 95% je ( k= ( λ L k exp{ λ L }, k! Pro data z příkladu ( , k= ( λ U k k! exp{ λ U }.. (a Bodový odhad mediánu životnosti je 0 a asymptotický intervalový oboustranný odhad o spolehlivosti 90% je (., 3.8. (b Bodový odhad mediánu životnosti je.9 a asymptotický intervalový oboustranný odhad o spolehlivosti 90% je (4.3,