KVADRATICKÁ KALIBRACE

Transkript

1 Petra Širůčková, prof. RNDr. Gejza Wimmer, DrSc. Finanční matematika v praxi III. a Matematické modely a aplikace

2 Osnova Kalibrace 1 Kalibrace Pojem kalibrace Cíle kalibrace Předpoklady

3 Pojem kalibrace Kalibrace Pojem kalibrace Cíle kalibrace Předpoklady Kalibrací rozumíme soubor úkonů, které dávají za určitých podmínek závislost mezi hodnotami indukovanými měřidlem A a mezi příslušnými hodnotami indukovanými jiným měřidlem B. Fáze kalibrace Sestavení kalibračního modelu (kalibrace přístroje) Použití kalibračního modelu (měření kalibrovaným přístrojem)

4 Cíle kalibrace Kalibrace Pojem kalibrace Cíle kalibrace Předpoklady Stanovení hodnot vybraných parametrů, které charakterizují vybraný objekt Určení oblastí spolehlivosti Testování hypotéz o hodnotách vybraných parametrů

5 Předpoklady Kalibrace Pojem kalibrace Cíle kalibrace Předpoklady Měříme m různých objektů pomocí dvou různých přístrojů (přístroje A a přístroje B), měření provedeme n - krát, všechna měření jsou nezávislá. Předpokládáme,že: přístroj A je méně přesný a přístroj B přesnější naměřené hodnoty na obou přístrojích mají normální rozdělení pro každý z m objektů platí, že při měření přístrojem A jsou bezchybně měřené hodnoty µ = (µ 1,..., µ m ) při měření přístrojem B jsou bezchybně měřené hodnoty cµ 2 i + bµ i + a, kde a, b, c R, i = 1, 2,..., m

6 Náhodné veličiny X ij N ( µ i, σx) 2 resp. Y ij N ( cµ 2 i + bµ i + a, σy) 2 realizujeme pomocí přístroje A resp. B Cíl: najít vektor parametrů Θ = ( a, b, c, µ 1,..., µ m, σx, 2 σy 2 ) Známe rozdělení pravděpodobnosti náhodných veličin X ij a Y ij a víme, že jsou nezávislé, můžeme určit jejich hustotu a k určení Θ použít odhadu pomocí metody maximální věrohodnosti

7 Určíme věrohodnostní funkci, jejím zlogaritmováním pak logaritmickou věrohodnostní funkci: 1 2σ 2 x l (x 11,, y mn ; Θ) = ln L (x 11,, y mn ; Θ) = = mn ln(2π) mn 2 ln σ2 x mn 2 ln σ2 y m n ( ) 2 1 m n ( ) 2. xij µ i y ij a bµ i cµ 2 i i=1 j=1 2σ 2 y i=1 j=1 Minimalizací funkce l (x 11,, y mn ; Θ) získáme realizace maximálně věrohodných odhadů parametru Θ.

8 Maximálně věrohodný odhad je asymptoticky normální a nestranný odhad Θ. Pro dostatečně velké n platí: a Θ abc N b, 1 ( n J Θ abc) 1 c kde J (Θ) je Fisherova informační matice

9 Asymptotická (1 α).100% - ní konfidenční oblast pro vektor parametrů (a, b, c) je a â a ( C(1 α) 1 = b : b b ) â a Σ abc 1 b b χ 2 3 (1 α) c ĉ c ĉ c, Pro vektor L = ( 1, x, x 2) a L Θ dostaneme P { L Θ x abc L Σ x abc L x χ 2 1 (1 α) < L xθ abc < } < L Θ x abc + L x Σ abc L x χ 21 (1 α) = 1 α.

10 a+bx+cx 2 â+ˆbx+ĉx Červeně označený - konfidenční pás okolo kalibrační křivky, modře označená - kalibrační křivka, čárkovaně označená - skutečná kalibrační křivka. Obrázek je vykreslen pro hodnoty µ = (1, 2,..., 5), σ x = 0, 2, σ y = 0, 1, n = 10.

11 hodnoty namerene pristrojem B a+bx+cx 2 â+ˆbx+ĉx hodnoty namerene pristrojem A Červeně označený - konfidenční pás okolo kalibrační křivky, modře označená - kalibrační křivka, čárkovaně označená - skutečná kalibrační křivka. Pro µ = (1, 2,..., 5), σ x = 0.2, σ y = 0.1, n = 10 a naměřenou hodnotu x = 2.5 je interval (13.585, ) nejméně 90% konfidenční interval pro hodnotu ν x = a + bµ x + cµ 2 x.

12 Předpokládáme nejdříve, že provedeme pouze jedno měření, tak získáme model ( ) [( ) ( )] X µ σ 2 N, x I m 0 m Y ν 0 m σyi 2, m kde ν i = cµ 2 i + bµ i + a. Máme tedy regresní model, ten linearizujeme pomocí Taylorova polynomu ( ) δµ (diag (b 0 1 m + 2c 0 µ 0 ), I m ) + (1 ) a 2 ν m, µ 0, µ 0 b = 0. c

13 Za předpokladu, že měření zopakujeme n krát získáme replikovaný model X 1 µ 0 Y 1. X n µ 0 Y n N [ 1 n (kde je Kronekerova δ) ( ) ( )] δµ σ 2, I ν n x I m 0 m 0 m σyi 2 m Takto získáme model neúplného nepřímého měření s podmínkami II. typu na parametry 1. řádu.

14 Odhadneme parametry a, b, c, µ 1,..., µ m, podle knihy Statistika a metrologie, parametry σ 2 x, σ 2 y odhadneme pomocí MINQUE metody. Dostáváme â a ( ( ) ) b N b 1 1 1, A n W A. ĉ c

15 Pro výpočet konfidenční oblasti, použijeme metodu Kenwarda Rogera C(1 α) 2 = a â a â a 1 b : b b Σ A b b 3 F 3,u (1 α) c λ ĉ c ĉ c Pro vektor L = (1, x, x 2 ) a L Θ dostaneme { P â + bx + ĉx 2 F 1,u (1 α) (L x Σ ) A L x a + bx + cx 2 λ â + bx + ĉx 2 F 1,u (1 α) (L x Σ ) A L x } = 1 α. λ

16 a+bx+cx 2 â+ˆbx+ĉx Červeně označený - konfidenční pás okolo kalibrační křivky, modře označená - kalibrační křivka, čárkovaně označená - skutečná kalibrační křivka. Obrázek je vytvořen pro hodnoty µ = (1, 2,..., 5), σ x = 0, 2, σ y = 0, 1, n = 10.

17 30 hodnoty namerene pristrojem B a+bx+cx 2 â+ˆbx+ĉx hodnoty namerene pristrojem A Červeně označený - konfidenční pás okolo kalibrační křivky, modře označená - kalibrační křivka, čárkovaně označená - skutečná kalibrační křivka. Pro µ = (1, 2,..., 5), σ x = 0.2, σ y = 0.1, n = 10 a naměřenou hodnotu x = 2.5 je interval (14.954, ) nejméně 90% konfidenční interval pro hodnotu ν x = a + bµ x + cµ 2 x.

18 µ, n C1 α 2 C1 α 1 µ = (1, 2, 3, 4), n = 2 70, 76% 65, 90% µ = (1, 2, 3, 4), n = 5 85, 07% 83, 60% µ = (1, 2, 3, 4), n = 10 90, 09% 89, 50% µ = (1, 2, 3, 4), n = 20 92, 76% 93, 80% µ = (1, 2, 3, 4), n = 50 94, 14% 93, 00% µ (1, 2, 3, 4, 5), n = 2 72, 27% 72, 20% µ (1, 2, 3, 4, 5), n = 5 87, 24% 87, 20% µ (1, 2, 3, 4, 5), n = 10 91, 47% 90, 70% µ (1, 2, 3, 4, 5), n = 20 93, 51% 92, 60% µ (1, 2, 3, 4, 5), n = 50 94, 03% 94, 20% µ (1,... 6), n = 2 71, 59% 77, 10% µ (1,... 6), n = 5 87, 20% 88, 60% µ (1,... 6), n = 10 91, 38% 89, 90% µ (1,... 6), n = 20 93, 29% 92, 80% µ (1,... 6), n = 50 94, 31% 92, 90% C1 α 2, C1 1 α... empirické pokrytí

19 Srovnání konfidenčních intervalů (1.2) a (2.2). 35 Metoda maximalni verohodnosti Replikovany model hodnoty namerene pristrojem B hodnoty namerene pristrojem A Obrázky jsou generovány pro hodnoty µ = (1, 2,..., 5), σ x = 0.2, σ y = 0.1, n = 10.

20 Kalibrace WIMMER, G. Niektoré matematicko - štatistické metody kalibrácie, In ROBUST 2006, Zborník prací 14. zimní školy, ledna 2006, Lhota nad Rohanovem.Praha, s , 12 s. ISBN MYŠKOVA, Kateřina. One-dimensional calibration with quadratic calibration function. Forum Statisticum Slovacum 2 (2011), KENWARD, Michael, G., ROGER, James H. Small Sample Inference for Fixed Effects from Restricted Maximum Likelihood, Biometric, Volume 53, Issue 3 (Sep.,1997), ANDĚL, Jiří. Základy matematické statistiky. 1. vyd. Praha: Matfyzpress, 2005, 358 s. ISBN KUBÁČEK, Lubomír a Ludmila KUBÁČKOVA, Statistika a metrologie, 1. vyd. Olomouc: Univerzita Palacke ho, 2000, 307 s. ISBN ANDĚL, Jiří. Matematická statistika. 2. vyd. Praha: SNTL - nakladatelství technické literatury, Alfa, vydavatelstvo technickej a ekonomickej literatury, 1985, 346 s