Úrok a diskont. Úroková míra závisí především na úrokové míře, kterou vyhlašuje ČNB. ČNB vyhlašuje 3 sazby

Transkript

1 Úrok a diskont Obsah: Jednoduché a složené úrokování. Úroková a diskontní míra, jednoduchá a složená. Vícenásobné úročení během období, nominální úroková míra, roční efektivní úroková míra, reálná úroková míra. 1 Úrok Z pohledu věřitele se jedná o odměnu, kterou dostává za poskytnutí prostředků jinému subjektu. Z pohledu dlužníka jde o poplatek, který musí zaplatit za půjčené prostředky. Existuje několik způsobů úročení, které budou ukázány dále. Úrok je také nutné chápat v širších souvislostech především s ohledem na inflaci, ale také riziko. Úroková míra závisí především na úrokové míře, kterou vyhlašuje ČNB. ČNB vyhlašuje 3 sazby diskontní sazbu (k lednu 2014 je 0.05 %), 2T repo sazbu (k lednu 2014 je 0.05 %) a lombardní sazbu (k lednu 2014 je 0.25 %). Většinou platí, že diskontní sazba je o jeden procentní bod nižší než 2T repo sazba a 2T repo sazba je zase o jeden procentní bod nižší než lombardní sazba. Nejvyužívanějším nástrojem jsou repo operace, kdy ČNB odebírá od bank přebytečnou likviditu výměnou za dohodnuté cenné papíry. Po uplynutí doby splatnosti proběhne opačná transakce, ČNB vrátí zapůjčenou jistinu zvýšenou o úrok a banka vrátí zapůjčené cenné papíry. 2T repo sazba zde vystupuje jako maximální sazba, za kterou je ČNB ochotna tyto operace provádět. Banky mají možnost uložit přebytečnou likviditu u ČNB přes noc (overnight). K úročení je používána diskontní sazba 1. Banky mají rovněž možnost si u ČNB zapůjčit likviditu přes noc. Pro úročení je v tomto případě používána lombardní sazba (vzhledem k přebytečné likviditě není využívána často). Aktuální repo tendry lze nalézt na ČNB Repo tendry. Vývoj uvedených sazeb je zaznamenán na obrázku 1. V květnu 1997 probíhala měnová krize v ČR, což lze na obrázku pozorovat prudkým zvýšením sazeb. Detail klidnější doby od roku 2000 lze nalézt na obrázku 2. Otázka : Otázka : Jaký vliv má snížení (zvýšení) úrokové sazby na ekonomiku, především na inflaci? Lze reálně uvažovat o záporných úrokových sazbách? Co to znamená? 1 Pozor, nepleťte si s diskontní mírou (bude zavedena později v tomto textu). Jedná se o dvě rozdílné věci. Patrice MAREK KMA FAV ZČU (poslední úprava ) Stránka 1 z 14

2 01/ / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / /2014 Sazba [%] Sazba [%] Finanční a pojistná matematika Přednáška 1 a 2: Úrok a diskont Datum diskontní sazba 2T repo sazba lombardní sazba Obrázek 1: Vývoj sazeb od roku Datum diskontní sazba 2T repo sazba lombardní sazba Obrázek 2: Detail vývoje sazeb od roku Typy úročení Existují dva základní typy a následně jejich kombinace o jednoduché úročení, o složené úročení, o smíšené úročení. V případě jednoduchého úročení nedochází k připisování úroku k původnímu kapitálu a úrok tedy není dále úročen. Používá se převážně pro krátké období do jednoho roku. Pro delší období je používáno úročení složené, kde dochází k připisování úroku a základ je tedy navyšován. Třetím způsobem je Patrice MAREK KMA FAV ZČU (poslední úprava ) Stránka 2 z 14

3 kombinace uvedených, kdy se pro celé časové jednotky (např. roky, čtvrtletí, měsíce) používá složené úročení a pro necelé části pak jednoduché úročení. Otázka : Jaké funkce lze použít k popisu jednotlivých variant úročení? 2 Jednoduché úročení a diskontování 2.1 Jednoduché úročení Velikost úroku se spočte dle vzorce kde jsou U = P i t, (1) U P i t úrok, základ, roční úroková míra a doba, po kterou úročíme (vyjádřená v rocích). Splatná částka S za dobu t je při daném základu P a jednoduchém úročení po dobu t dána takto S = P(1 + it). (2) Př. 1 Na účet bylo uloženo Kč. Roční úroková míra činí 2 % a k úročení je používáno jednoduché úročení. Jaký bude stav účtu po čtvrt roce, půl roce, tři čtvrtě roce a celém roce? [S 1 = ; S 2 = ; S 3 = ; S 4 = ] Př. 2 Klient získá od banky úvěr ve výši Kč na 9 měsíců. Roční úroková míra činí 12.6 % s podmínkou, že klient na svém účtu musí udržovat alespoň 15 % z vypůjčené částky (tzv. kompenzační zůstatek). Kolik musí klient po 9 měsících bance zaplatit? Jaká je ve skutečnosti úroková míra, když zohledníme, že kompenzační zůstatek nelze využívat? Předpokládejte jednoduché úročení. [S = , skutečný úrok činí %.] Standardy úročení V příkladě 2 bylo počítáno, že 9 měsíců je tři čtvrtě roku, ovšem ne vždy to musí být stejný počet dnů, jelikož měsíce mohou mít 28 až 31 dnů. Existují standardní metody přepočtu doby na části roku. Základní jsou tyto o 30E/360 (evropský standard, obchodní metoda, německá metoda), o 30U/360 (americký standard), Patrice MAREK KMA FAV ZČU (poslední úprava ) Stránka 3 z 14

4 o ACT/360 (mezinárodní metoda, francouzská metoda), o ACT/365 (anglická metoda), o ACT/ACT Metoda 30E/360 Doba t (vyjádřená v rocích) mezi daty D 1. M 1. R 1 a D 2. M 2. R 2 vyjádřena takto t = 360(R 2 R 1 ) + 30(M 2 M 1 ) + (D 2 D 1 ). 360 (3) Před dosazením do tohoto vzorce je potřeba provést následující změny. o Pokud D 1 = 31, tak je změněno na 30. o Pokud D 2 = 31, tak je změněno na 30. Existuje i varianta úročení 30E/360 ISDA, kde probíhají změny i pro únor. Metoda 30U/360 Opět se využívá vzorce (3), kde jsou prováděny následující změny dle uvedeného pořadí. o Pokud je D 2 poslední únorový den a D 1 je poslední únorový den, tak D 2 = 30. o Pokud je D 1 poslední únorový den, tak D 1 = 30. o Pokud D 2 = 31 a D 1 = 30 nebo 31, tak D 2 = 30. o Pokud D 1 = 31, tak D 1 = 30 Př. 3 Rozdíl metod 30E/360 a 30U/360 lze demonstrovat na datech a Dle metody 30E/360 bude v čitateli dnů 15 a dle metody 30U/360 bude v čitateli dnů 16. Metoda ACT/360 V čitateli vzorce (3) je dosazen přesný počet dnů. Metoda ACT/365 V čitateli vzorce (3) bude dosazen přesný počet dnů a ve jmenovateli bude vždy 365 (i pro přestupný rok). Metoda ACT/ACT Na rozdíl od minulé metody bude brát v úvahu i přestupné roky a ve jmenovateli bude tedy přesný počet dnů. Otázka : Které roky jsou u gregoriánského kalendáře definovány jako přestupné? Patrice MAREK KMA FAV ZČU (poslední úprava ) Stránka 4 z 14

5 Př. 4 K měl klient volné prostředky ve výši Kč. Věděl, že je bude potřebovat Rozhodl se, že tyto prostředky uloží. Který typ úročení by mu přinesl nejvyšší úrok za předpokladu, že k úročení je používána jednoduchá úroková míra ve výši 2 %? Jaký úrok by v jednotlivých metodách obdržel? [Dle toho, jak byly metody uvedeny: ; ; ; ; Nejvýhodnější je ACT/360.] Úrokové číslo a úrokový dělitel Úrokové číslo UC a úrokový dělitel UD je vhodné používat v situaci, kdy se výše úročeného kapitálu často mění. Úrokové číslo je definováno takto (P je základ a k počet dní) UC = P k 100 (4) a úrokový dělitel kde p je úroková míra vyjádřená v procentech, tedy p = 100 i. Úrok definovaný v (1) pak přejde do tohoto tvaru UD = 360 p, (5) U = UC UD. (6) Pokud se výše kapitálu v průběhu mění, ale úroková sazba zůstává stejná, tak lze jednoduchý úrok vyjádřit jako kde UC i, i = 1,2,, n jsou příslušná úroková čísla. U = UC 1 + UC UC n, (7) UD Př. 5 Klient si založil běžný účet, na který uložil Kč. Dále prováděl následující operace: o vybral Kč, o vybral Kč, o vložil Kč a o vybral Kč. Patrice MAREK KMA FAV ZČU (poslední úprava ) Stránka 5 z 14

6 Jaký úrok bude klientovi připsán na konci roku, tj , pokud je používán jednoduchý úrok ve výši 3 % a jako metoda připisování je použito 30U/360? (využijte úrokových čísel) [UC 1 = ; UC 2 = ; UC 3 = ; UC 4 = ; UC 5 = ; UD = 120; U = ] 2.2 Jednoduché diskontování V případě úročení bylo zjišťováno, o kolik se zvýší prostředky (uložené např. na účet v bance) za danou dobu při známé úrokové míře. V případě diskontu známe budoucí hodnotu, tj. splatnou částku S, tzv. diskontní míru d a dobu t, kdy má dojít ke splacení. Z těchto dat chceme spočítat základ P, který bude tedy o diskont D nižší než splatná částka S. Příkladem situace, kdy je využíváno diskontování, je postoupení pohledávky dodavatelskou firmou bance. Dodavatel dodá a vyfakturuje odběrateli zboží. Místo toho, aby dodavatel čekal až do konce doby splatnosti, tak postoupí bance pohledávku. Banka vyplatí dodavateli smluvenou částku P (nižší než původní splatná částka S musí se započítat časová hodnota, někdy i riziko, dle toho na koho přechází ručení za pohledávku). Dále se diskontování uplatňuje při krátkodobých obchodech s cennými papíry. Poznámka: Diskontní míra není totožná s úrokovou mírou (bude ukázáno dále) a diskontní míra nemá nic společného s diskontní sazbou, diskontní sazba je jedna z úrokových měr ČNB, viz první část přednášky. Jednoduchý diskont se spočte takto D = S d t, (8) kde je S d t splatná částka, diskontní míra a doba, po kterou provádíme diskontování. Základ P tedy dopočteme jako S D, tedy P = S (1 dt). (9) Př. 6 Jaká je cena 6měsíčního depozitního certifikátu (vkladového listu) v nominální hodnotě Kč s roční diskontní mírou 5 %? Nominální hodnota depozitního certifikátu vyjadřuje částku, která nám bude vyplacena za 6 měsíců. S pomocí diskontní míry chceme dopočítat, kolik nás tento certifikát bude stát teď. Dopočtěte odpovídající jednoduchou úrokovou míru, tedy míru, která by byla potřebná na to, aby se základ P zúročil za 6 měsíců přesně na Porovnejte. [P = , i = ] Patrice MAREK KMA FAV ZČU (poslední úprava ) Stránka 6 z 14

7 2.3 Vztah mezi jednoduchou úrokovou mírou a jednoduchou diskontní mírou Obecně lze vyjádřit vztah takto i = d 1 dt. (10) Př. 7 Odvoďte výraz (10). Co tento vztah vyjadřuje? Co je důvodem toho, že míry jsou jiné? 3 Složené úročení a diskontování Rozdíl oproti jednoduchému úročení spočívá v tom, že se úroky k základu připočítávají a tedy se dále úročí. V případě složeného úročení získáme splatnou částku takto kde je i je roční složená úroková míra a n je počet let, po které se úročí. S = P (1 + i) n, (11) Při diskontování opět každoročně diskont odečteme, snižujeme tedy splatnou částku S. Základ P zjistíme z tohoto výrazu P = S (1 + i) n = Svn = S (1 d) n, (12) kde v = (1 + i) 1 je diskontní faktor (nebo také znám jako odúročitel), d = 1 v = diskontní míra. i 1+i je roční složená Př. 8 Zjistěte, jaká bude splatná částka při roční složené úrokové míře 2 % ze základu P = 1 Kč po 1, 2, 5, 10, 50, 100, 200 a 500 rocích. Načrtněte obrázek, o jaký růst se jedná? [S 1 = 1.02; S 2 = ; S 5 = ; S 10 = ; S 50 = ; S 100 = ; S 200 = ; S 500 = ; exponenciální růst.] Př. 9 Jaký bude základ P, pokud je po 3 rocích splatná částka S = Kč a dále a) roční složená diskontní míra činí 6 %, b) roční složená úroková míra činí 6 %. V tomto případě dopočtěte i odpovídající diskontní míru. [P a = Kč, P b = Kč a odpovídající diskontní míra d = 5.66 %.] Patrice MAREK KMA FAV ZČU (poslední úprava ) Stránka 7 z 14

8 Př. 10 Kolik let je potřeba k tomu, aby byl původní vklad zdvojnásoben? Nalezněte obecný vzorec a poté vyjádřete pro následující hodnoty úrokové míry a) i = 0.01, b) i = 0.02 a c) i = [Vzorec: n = ln 2 ln(1+i) ; n a = 69.66; n b = 35.00; n c = 14.21] Poznámka: K předchozímu byla dříve odvozena pravidla pro snadné počítání (dnes to již není problém, ale lze je použít k rychlému vyhodnocení z hlavy. Případně pro rychlou kontrolu výpočtu. Ve všech uvedených vzorcích je p úroková míra vyjádřená v procentech. o Pravidlo 69: počet let potřebných pro zdvojnásobení základu lze určit takto n (13) p o Pravidlo 72: počet let potřebných pro zdvojnásobení základu lze určit takto n 72 p (14) o Pravidlo 110: počet let potřebných pro ztrojnásobení základu lze určit takto n (15) p Př. 11 Zkuste uvedená pravidla aplikovat na předchozí příklad. Jaká jsou omezení pro tato pravidla? Př. 12 Jaká úroková míra je potřebná k tomu, abychom zúročili základ na dvojnásobek během 10 let? Spočtěte jak přesně, tak i pomocí uvedené aproximace. [Přesně: i = ; Pravidlo 69: i = ; Pravidlo 72: i = ] 3.1 Področní složené úročení a diskontování Do této doby byl úrok připočítáván vždy jednou ročně, základ se spolu s tímto úrokem stal základem pro další období. Připisování úroků ovšem může probíhat i s jinou frekvencí (ozn. p) než jen jednou ročně (zpravidla vyšší). Patrice MAREK KMA FAV ZČU (poslední úprava ) Stránka 8 z 14

9 Z těchto frekvencí jsou nejvýznamnější tyto Frekvence Slovně Zkratka Míra p = 1 ročně p. a. per annum p = 2 pololetně p. s. per semestre p = 4 čtvrtletně p. q. per quartale p = 12 měsíčně p. m. per mensem p = 52 týdně p. sept. per septimanam p = 365 denně p. d. per diem Tabulka 1: Přehled nejvýznamnějších druhů úročení V případě področního úročení se udává tzv. nominální úroková míra, ozn. i (p). U této míry platí, že připisování úroků probíhá pkrát ročně s mírou i (p) /p. Například při čtvrtletním úročení s nominální úrokovou mírou 6 % p. a. se úročí přes jednotlivá čtvrtletí s použitím míry 1.5 % pro každé čtvrtletí. Časová jednotka tedy není rok, ale čtvrtletí. Pro výpočet splatné částky se používá S = P (1 + i(p) np+k p ), (16) kde je i (p) n k nominální úroková míra splatná pkrát za období, celkový počet celých let a je počet ptin posledního roku. Př. 13 Na účet bylo uloženo Kč. Na tomto účtu je úročeno čtvrtletně s nominální úrokovou mírou ve výši i (4) = 2 % p. a. Za předpokladu, že se úroková míra po celou dobu nezmění, tak jaký bude stav tohoto účtu po 2 rocích? Jak se situace změní, pokud bude úročeno měsíčně s nominální úrokovou mírou i (12) = 2 % p. a.? Co je pro klienta výhodnější? [První případ: Kč; druhý případ: Kč.] Pro diskontování platí obdobný vzorec P = S (1 d(p) np+k p ), (17) Př. 14 Pro předchozí příklad dopočtěte odpovídající nominální diskontní míry d (4) a d (12). [d (4) = ; d (12) = ] Patrice MAREK KMA FAV ZČU (poslední úprava ) Stránka 9 z 14

10 3.1.1 Spojité úročení a diskontování Vychází z představy področního úročení, kdy je intenzita připisování neustále zvyšována, tj. ve vzorci S = P (1 + i(p) np p ) (18) roste parametr p do nekonečna. Splatná částka je tedy rovna následující limitě S = P Po spočtení limity ve výrazu (19) tedy platí v případě spojitého úročení np i(p) lim (1 + p + p ). (19) S = P e n i(p). (20) Pokud se jedná o spojité úročení, tak se místo i (p), kde p + používá symbol δ, což je intenzita úročení. Výraz (20) pak přejde do podoby Podobně se dá ukázat pro spojité diskontování, že platí S = P e n δ. (21) P = S e n δ. (22) 3.2 Roční efektivní úroková a diskontní míra Roční efektivní úroková míra je vhodným nástrojem pro porovnání různých úrokových měr, kde je frekvence připisování úroků různá. Pokud chceme vědět, která úroková míra, ze dvou následujících, je pro investora lepší, tak odpověď nemusí být (a nebude) tak zřejmá, jak by se mohlo na první pohled zdát. o i (12) = 0.1 o i (2) = Roční efektivní úroková míra i je taková míra odpovídající nominální úrokové míře i (p), která dává za rok stejnou splatnou částku jako při úročení pomocí i (p). Lze ji tedy určit z rovnice 1 + i = (1 + i(p) p p ). (23) Př. 15 Pro míry i (12) = 0.1 a i (2) = spočtěte roční efektivní úrokovou míru a rozhodněte, která je pro investora výhodnější. [Pro i (12) je i = a pro i (2) je i = , vhodnější je tedy i (12).] Patrice MAREK KMA FAV ZČU (poslední úprava ) Stránka 10 z 14

11 Př. 16 Spočtěte a porovnejte pro vklad o velikosti Kč, na kolik vzroste za dva roky, pokud budeme používat níže uvedené úrokové míry. Dopočtete příslušné roční efektivní míry. a) i = 2 % p. a. b) i (2) = 2 % p. a. c) i (4) = 2 % p. a. d) i (12) = 2 % p. a. e) i (365) = 2 % p. a. f) δ = 2 % p. a. [a) ; b) ; c) ; d) ; e) ; f) ; Odpovídající roční efektivní míry: a) 2 %; b) %; c) %; d) %; e) %; f) %] Podobně jako u úroků, tak i v případě diskontování můžeme používat roční efektivní diskontní míru d. V tomto případě se jedná o roční diskontní míru, která pro danou splatnou částku dává stejný základ jako při diskontování s mírou d (p). Lze ji tedy určit z rovnice 1 d = (1 d(p) p p ). (24) Př. 17 Jaké je potřeba úroková míra na to, aby Kč během 5 let zúročila na Kč? Jaká je potřeba diskontní míra, aby pro splatnou částku Kč byl základ roven Kč? Spočtěte odpovídající nominální úrokové a diskontní míry pro roční, půlroční, čtvrtletní, měsíční a denní úročení. Dále spočtěte odpovídající intenzitu úročení. Výsledky porovnejte. [i = %; i (2) = %; i (4) = %; i (12) = %; i (365) = %; δ = %; d (365) = %; d (12) = %; d (4) = %; d (2) = %; d = %, vše p. a.] Pro efektivní úrokovou a diskontní míru platí: i = e δ 1, d = 1 e δ, δ = ln(1 + i) = ln(1 d). (25) (26) (27) Př. 18 Pro základ P = a splatnou částku (po 1 roce) S = spočtěte: i, i (2), i (4), δ, d (4), d (2), d. Porovnejte! [i = 2 %, i (2) = %, i (4) = %, δ = %, d (4) = %, d (2) = %, d = %, vše p. a.] Patrice MAREK KMA FAV ZČU (poslední úprava ) Stránka 11 z 14

12 4 Smíšené úročení Jedná se o kombinaci předchozích dvou způsobů, kdy se pro celé časové jednotky používá složené úročení a pro poslední neúplné časové období je použito úročení jednoduché. To lze zapsat takto kde [t] t [t] označuje celý počet jednotek a je délka neúplného časového období. S = P(1 + i) [t] (1 + i(t [t])), (28) Př. 19 Klient uložil na účet částku Kč. Po celou dobu byla tato částka úročena nominální úrokovou mírou s čtvrtletním úročením ve výši 2 % p. a. Kolik bude mít tento klient na účtu ? Pro področní úročení předpokládáme metodu ACT/360. [ Kč] Př. 20 Za jakou dobu by klient z předchozího příkladu měl na účtu Kč? Uvažujte stejné parametry jako v předchozím příkladě a dobu spočtěte přesně na dny. Pro področní úročení používejte metodu ACT/360. [9 let a 50 dnů, tj ] 5 Reálná úroková míra Jedná se o úrokovou míru očištěnou o inflaci a případné nesražené daně (buď se jedná o srážkovou daň 15 %, nebo pokud nemůže být daň sražena, např. u instituce, která není bankou, tak je úrok součástí daně z příjmů). Vyjadřuje, o kolik se skutečně změní kupní síla věřitele v daném období. Inflaci je možno vyjadřovat více způsoby, my si uvedeme míru inflace vyjádřenou přírůstkem indexu spotřebitelských cen ke stejnému měsíci předchozího roku. Na stránkách ČNB naleznete tuto definici: Míra inflace vyjádřená přírůstkem indexu spotřebitelských cen ke stejnému měsíci předchozího roku vyjadřuje procentní změnu cenové hladiny ve vykazovaném měsíci daného roku proti stejnému měsíci předchozího roku. Jedná se tedy o dosaženou cenovou úroveň, která vylučuje sezónní vlivy tím, že se porovnávají vždy stejné měsíce. Tato míra inflace je vhodná ve vztahu ke stavovým veličinám, které měří změnu stavu mezi začátkem a koncem období bez ohledu na průběh vývoje během tohoto období. Bere se v úvahu při propočtech reálné úrokové míry, reálného zvýšení cen majetku, valorizací apod. Patrice MAREK KMA FAV ZČU (poslední úprava ) Stránka 12 z 14

13 01/ / / / / / / / / / / / / / / / / /2014 Inflace [%] Finanční a pojistná matematika Přednáška 1 a 2: Úrok a diskont Obrázek 3: Vývoj míry inflace vyjádřené přírůstkem indexu spotřebitelských cen ke stejnému měsíci předchozího roku Reálná úroková míra se spočte takto Datum kde je tax i π daň efektivní úroková míra míra inflace. r = 1 + (1 tax) i 1 + π 1, (29) Př. 21 Uložíte si v bance ,- Kč s roční nominální úrokovou mírou splatnou 2krát za období ve výši 2 % p. a. Spočtěte roční reálnou úrokovou míru a jakou bude mít uložených Kč kupní sílu za jeden rok, pokud: a) Úroková míra je udávána již po zdanění, inflace činí 4 %. b) Úroková míra podléhá srážkové dani ve výši 15 % a inflace činí 1.5 %. c) Úroková míra podléhá srážkové dani ve výši 15 % a inflace činí 5 %. [a) Kč; b) Kč; c) Kč.] Poznámka: Důsledně rozlišujte následující pojmy. Úroková míra Diskontní míra Diskontní sazba Nominální úroková (diskontní) míra Efektivní úroková (diskontní) míra Reálná úroková míra Patrice MAREK KMA FAV ZČU (poslední úprava ) Stránka 13 z 14

14 Použité materiály a zdroje pro další studium Cipra, T. (2005). Praktický průvodce finanční a pojistnou matematikou. Praha: Ekopress. Česká národní banka [online] [cit ]. Dostupné z: Český statistický úřad [online] [cit ]. Dostupné z: Friesl, M. a Šedivá, B. Finanční matematika hypertextově [online] [cit ]. Dostupné z: Radová, J. a Dvořák, P. (1993). Finanční matematika pro každého. Praha: Grada. SIX Swiss Exchange: Bond Calculator. SIX - Home [online] [cit ]. Dostupné z: Patrice MAREK KMA FAV ZČU (poslední úprava ) Stránka 14 z 14