DISKRÉTNÍ MATEMATIKA a ÚVOD DO TEORIE GRAFŮ ( příklady k procvičení)

Transkript

1 DISKRÉTNÍ MATEMATIKA a ÚVOD DO TEORIE GRAFŮ ( příklady k procvičení) Petr Kovář Text byl vytvořen v rámci realizace projektu Matematika pro inženýry 1. století(reg. č. CZ.1.07/..00/07.033), na kterém se společně podílela Vysoká škola báňská Technická univerzita Ostrava a Západočeská univerzita v Plzni

2 Úvodem Tento text je zatím pracovní. Původně soubor obsahoval přípravy na cvičení a poznámky k předmětu Diskrétní matematika pro zimní semestr 006/007. Nyní je k dispozici také celá řada příkladů k procvičení. V plánu je zařadit do každé kapitoly i řešené příklady. Chtěl bych poděkovat studentům Pavle Kabelíkové a Tomáši Kupkovi, kteří pomáhali s přípravou některých příkladů a také Michalovi Kubesovi, ktery pozorně prošel řešené příklady. Poděkování patří i Martinu Čermákovi a Oldřichu Vlachovi, kteří odhalili celou řadu chyb a překlepů. K použitým symbolům Příkladyoznačené * patříknáročnějším.jejichřešeníobvyklevyžadujedelšívýpočetnebopečlivější rozbor.přiřešenípříkladůoznačených ** jetřebanějakýnápadnebovýsledekzjinéoblastimatematiky. Zdůrazněmeale,žehvězičkaneznamenánutně tonikdynevyřeším. Naprotitomupříkladyoznačené jsoutaklehké,žejejichřešeníjemožnézpamětijensužitím základních pojmů.

3 OBSAH 3 Obsah 0 První cvičení před přednáškou Podmínkyzápočtu Zápočtovépísemky Samostatnýprojekt Zkouška Dalšípoznámky Motivačnípříklady Množiny a výběry prvků Čísla,operace,množiny Výběrybezopakování Výběrysopakováním Příkladykprocvičení Diskrétní pravděpodobnost 17.1 Motivačnípříklady Konečnýpravděpodobnostníprostor Disjunktníanezávisléjevy Podmíněnápravděpodobnost Středníhodnota Náhodnévýběry Příkladykprocvičení Kapitola 3 Důkazy v diskrétní matematice Motivačnípříklady Základnílogickésymboly Pojemmatematickéhodůkazu Principmatematickéindukce Vztahyskombinačnímičísly Důkazypočítáním Příkladykprocvičení Relace a zobrazení Motivačnípříklady Pojemrelace Uspořádáníaekvivalence Funkceazobrazení Skládánízobrazeníapermutace Principinkluzeaexkluze Příkladykprocvičení Úvoddoteoriegrafů Motivačnípříklady Pojemgrafu Stupněvrcholůvgrafu Podgrafyaisomorfismus Orientovanégrafyamultigrafy Implementacegrafů Příkladykprocvičení... 44

4 4 OBSAH 7 Souvislost Souvislostakomponentygrafu Prohledávánígrafu Vyššístupněsouvislosti Eulerovskégrafy Příkladykprocvičení Vzdálenost a metrika Motivačnípříklady Vzdálenostvgrafu Vážená(ohodnocená)vzdálenost Dijkstrůvalgoritmus Příkladykprocvičení Stromyales Motivačnípříklady Základnívlastnostistromů Kořenovéapěstovanéstromy Isomorfismusstromů Kostrygrafů Příkladykprocvičení Barvení a rovinné kreslení grafů Motivačnípříklady Vrcholovébarvenígrafů Rovinnékreslenígrafu Rozpoznánírovinnýchgrafů Barvenímaparovinnýchgrafů Bonus Hamiltonovskégrafy Příkladykprocvičení Kapitola11 Tokyvsítích Definicesítě Hledánímaximálníhotoku Zobecněnísítíadalšíaplikace Příkladykprocvičení Reference 71

5 5 0 První cvičení před přednáškou 0.1 Podmínky zápočtu Oficiální informace o předmětu v Edisonu( hodnocení v průběhu studia, termínech písemných testů, termínyzkoušky, možnost(závazného) přihlášení ke zkoušce. Vtomtopředmětuje100bcelkem,ztoho30bběhemsemestru: 10b za projekt: projekty se nevrací k dopracování(pozor na dead line) 0b za písemky: každý týden 0/1/b ze zadaných příkladů 0. Zápočtové písemky Každý týden semestru se na cvičení bude psát krátká zápočtová písemka(10 11 písemek). K vyřešení bude zhruba 10 minut, podle obtížnosti příkladu. Během písemek není možno používat literaturu, ani zápisky. Za každou písemku můžete získat 0/1/ body(ne/téměř SPRÁVNĚ/ZCELA SPRÁVNĚ). Při absenci se písemka hodnotí 0 body. Celkem je za zápočtové písemky až 0 bodů. Na konci semestru se každému vezmou body osmi nejlepších písemek a jejich součet se vynásobí koeficientem 1,5. Témata písemek najdete Alespoň týden předem budou k dispozici také zadání příkladů. Přineúčastimátemožnostzjistit,cobyloprobránoanajakétémasebudepsátdalšípísemka. 0.3 Samostatný projekt Během semestru budou zveřejněna témata samostatných písemných projektů. Každý student vypracuje jedno zadání podle čísla, které mu bude přiděleno. Pro získání zápočtu musíte mít přijatý referát, tj. kromě řešení musí vyhovět i formálním požadavkům. Referát obsahuje cca 5 příkladů Příklady se hodnotí buď za 0, 1 nebo bodů, (opět stylem NE/TÉMĚŘ SPRÁVNĚ/ZCELA SPRÁVNĚ). Vpřípadě,žesistudentzvolívariantu Projektproty,kteřísechtějíněconaučit,takvpřípadě mimořádně kvalitního referátu lze udělit až 5 bodů navíc. Celkem je za samostatné referáty 10(ve výjimečných případech až 0) bodů. Referát má pevně stanovený termín odevzdání, který musíte dodržet. Každý musí sepsat svůj referát sám, žádná spolupráce na výsledném textu referátu není dovolena. Je dovoleno o zadání referátu diskutovat se spolužáky a věnovat příkladům nějaký čas na cvičeních. Referát odevzdáváte em nebo na papíře příslušnému vyučujícímu(kontakt je uveden u každého zadání). Předepsaný formát je PDF nebo postscript.

6 6 0 PRVNÍ CVIČENÍ PŘED PŘEDNÁŠKOU 0.4 Zkouška Předmět je zakončen písemnou zkouškou, až 70 bodů. Přihlašení ke zkouškce je možné pouze prostřednictvím Edisonu. Ke zkoušce mohou jít pouze studenti, kteří získali zápočet. Přihlášky jsou závazné a v případě nepřítomnosti na zkoušce je student hodnocen 0 body. Podrobné informace jsou v Edisonu a také na stránkách Další poznámky pokudmáněkdouznanýzápočetzloňskéhoroku,musíserozhodnout,zdahobudechtítuznatnebo zdabudechoditznovuavýsledkyvedisonumuzrušíme 14 dní na přesuny mezi skupinami při přesunu dát vědět oběma vyučujícím Literatura: P. Hliněný. Diskrétní matematika, výukový text on-line, FEI VŠB TUO, 004. J. Matoušek, J. Nešetřil. Kapitoly z diskrétní matematiky, Karolinum Praha 000. přednášky jsou/budou dopředu na webu dm prubeh.php

7 0.6 Motivačnípříklady Motivační příklady Devět kamarádů si na Vánoce dalo dárky. Každý dal dárky třem svým kamarádům. Ukažte, že není možné,abykaždýdostaldárkyprávěodtěchtříkamarádů,kterýmdárkysámdal. [dlevěty Třidomyatřistudny. PodlepověstižilyvTemnémhvozdutřičarodejnice.Každábydlelavesvé vlastní sluji a každá potřebovala k provozování své živnosti vodu ze tří studánek: s živou vodou, s mrtvou vodou a s pitnou vodou. Jenomže cestou ke studánkám se čarodejnice nesmí potkat, ani zkřížit vyšlapanou cestičku jiné čarodejnice. Jak mohla vypadat mapa lesa se slujemi, studnami a cestičkami? Pokud řešení neexistuje, pečlivě zdůvodněte. [ taková uspořádání nemůže existovat, pověst není pravdivá SedmmostůměstaKrálovce MěstemKrálovec(nyníKaliningradnaúzemíRuska)tečeřeka Pregola, která vytváří dva ostrovy. V 18. století byly ostrovy spojeny s oběma břehy i navzájem celkem sedmimosty.otázkazní,zdajemožnévšechnymostypřejíttak,abyten,kdoseotopokouší,vstoupil na každý most pouze jednou. [ řešení nemůže neexistovat Dokonalýkompresníalgoritmus Najdětealespoňjedenpříkladdokonaléhokompresníhoadekompresního algoritmu,(máte najít dva algoritmy): 1. postup,jakzlibovolnéposloupnostibajtů b 1,b,...,b n sestavitkratšíposloupnost c 1,c,...,c m,kde m < n,asoučasně. postup,jakzposloupnosti c 1,c,...,c m sestavitzpětposloupnost b 1,b,...,b n. Pokud takový algoritmus neexistuje, pečlivě zdůvodněte. [ algoritmus nemůže existovat Lámáníčokolády Tabulkačokoládyseskládázm nčtverečků.chcemejinalámatnajednotlivé čtverečky. Najděte(a dokažte) jaký je nejmenší počet zlomů, abychom čokoládu m n rozdělili na jednotlivé čtverečky? [nejmenšímožnýpočetlámáníje mn Handshakingproblem Mámeskupinu nlidí(n )znichžněkteřísipodaliruce.ukažte,že ve skupině jsou alespoň dva lidé, kteří podali ruku stejnému počtu lidí ve skupině. [ rozborem a užitím Dirichletova principu

8 8 1 MNOŽINY A VÝBĚRY PRVKŮ 1 Množinyavýběryprvků Druhé cvičení je věnováno kapitole o kombinatorických výběrech. Řešené příklady Známý vztah pro součet prvních n kladných celých čísel je Vypočtěte 4 i= 3 3+i. Pro přehlednost si sumu rozepíšeme, což zkušenější počtář dělat nemusí. 4 i= 3 3+i n i=1 i= n (n+1). (1) = Dálepostupujemesubstitucí j= i+3asvyužitímvztahu(1). 4 i= 3 3+i = 1 4 (3+i)= 1 i= 3 7 j=0 j= 1 7 (1+7)= Upravte na celočíselný zlomek 31, 71. Označímesi a=31,71.protožesezadesetinoučárkouopakujíčíslice71,vynásobímečíslo ačíslem100, dostaneme 100a = 317, 171. Nyní odečteme čísla tak, aby se periodický rozvoj odečetl. Dostaneme 100a a = 317,171 31,71 99a = 3095,9 990a = a = Proto31,71= Vypočítejte, kolika způsoby lze na klasické šachovnici(8 8 polí) vybrat a) trojici libovolných políček, Jedná se o neuspořádaný výběr(nezáleží na pořadí, v jakém políčka vybereme) tří políček z 64. C(64,3)= ( ) 64 3 = =3 1 6= b) trojicipolíčektak,žežádnédvěneležívtémžesloupci, Nejprve vybereme tři sloupce z osmi. Jedná se o neuspořádaný výběr C(8, 3), protože nezáleží který sloupec vybereme nejdřív a který později. Potom, podle principu nezávislých výběrů, v každém sloupci vybereme jedno políčko. Bude se jednat o upořádaný výběr s opakováním tří políček z osmi, protoževkaždémsloupcimůžemevybratlibovolnézosmipolíček.c(8,3) V (8,3)= =867. c) trojicipolíčektak,žežádnédvěneležívtémžesloupcianivtéžeřadě, Opět nejprve vybereme tři sloupce z osmi, což je celkem C(8, 3) možností. Potom, opět podle principu nezávislých výběrů, v každém sloupci vybereme jedno políčko. Bude se jedna o upořádaný výběr bez opakování tří políček z osmi, protože v každém řádku můžeme vybrat nejvýše jedno políčko. C(8,3) V(8,3)= =56 6= d) trojici políček, která jsou všechna téže barvy. Máme dvě možnosti, jaké barvy budou políčka. Podle principu nezávislých ) výběrů můžeme pro každou barvuvybrattřilibovolnápolíčkazmnožiny3políčekstejnébarvy. (3 3 = = = 990.

9 1.1 Čísla, operace, množiny Kolikazpůsobyjemožnénapsatčíslo kjakosoučet nsčítanců1a?(početsčítanců njepěvnědán) Předpokládáme, že rozlišujeme pořadí sčítanců. Zezadáníplyne,že k n k(neboli n k n).hledámepočetceločíselnýchřešenírovnice k= x 1 +x + +x n. Představímesičíslo kjesoučetjedniček.dokaždéznproměnných x 1,...,x n přiřadímejednujedničkua zbývajících k n jedniček rozdělíme do různých proměnných ( ) n. k n Kolika způsoby můžeme na šachovnici rozestavit všech 3 figur? Započítáme i ty možnosti, které nemohou nastat během regulérní hry(pěšec v první řadě, dva králové na sousedních polích, dva bílí střelci načernýchpolích,...). Protože se jedná o rozmístění všech figur na šachovnici, úlohu snadno vyřešíme pomocí permutací s opakováním(uspořádaný výběr, kde počet opakování každé figury je přesně dán). Na šachovnici je 1bílýa1černýkrál, 1 bílá 1 černá královna, bíléačernévěže, bílíačernístřelci, bílíačerníjezdci, 8bílýcha8černýchpěšců a 3 neobsazených polí. Šachovnici si můžeme představit jako posloupnost 64 polí(pole rozlišujeme podle toho,kdesenašachovnicinebovposoupnostinachází).sestavímevšchnamožnápořadíz3figura3 neobsazených polí. Nerozlišíme pořadí dvojice věží, jezdců ani střelců, nerozlišíme pořadí pěšců stejné barvy ani pořadí neobsazených polí. Pro pořet různých rozestavení dostaneme vztah P(1,1,1,1,,,,,,,8,8,3)= 64! (1!) 4 (!) 6 (8!) 3! = 64! 6 (4030) 3! = = = = Čísla, operace, množiny Vypočítejte následující sumy nebo produkty. a) Vypočtěte 5 i= 1 j. b) Vypočtěte 5 j= 1 j. [ j [ c) Vypočtěte 4 i=1 i3. [100 d) Vypočtěte n i i=0 i+1. [0 e) Vypočtěte n i=1 i i+1. [ 1 n+1

10 10 1 MNOŽINY A VÝBĚRY PRVKŮ Najděte obecný vztah pro součet prvních k lichých čísel Najděteobecnývztahprosoučetprvních ksudýchkladnýchčísel. [ k [k(k+1) [ Ukažte, že aritmetický průměr libovolného sudého počtu po sobě jdoucích čísel není celé číslo. a 1+k+ 1 [ Zapištefunkcisoučetprvkůmnožiny A={18,5,31,67,0,301,356}pomocísumy. i A i= i {18,5,31,67,0,301,356} i Vypočítejte a).7. [ b).7. [ 3 c) 10. [ d) 10. [ 3 e) π. [ 4 f) e. [ 3 g) P= n+1 n,pro n N 0 [pro n=0nemásmysl,pro n=1vyjde P=,jinak P= *Zapištefunkci pomocí *Zapištefunkci pomocí Upravte na celočíselný zlomek 1, 3. [ x = x [ x = x * Ukažte, že 1.9 = [ úpravou na celočíselný zlomek * Ukažte, že 1.9 = [ úpravou na celočíselný zlomek Ukažte,že x = x [ 1 99 [ x jeceléčíslo Jak vyjádříte klasické zaokrouhlení pomocí? [ x * Jak vyjádříte klasické zaokrouhlení pomocí? [ 0.5 x Nakresletegraffunkcí sinx, cosx a tanx Kolikprvkůmá {1,,3,4} [?Rozepište. 16prvků, A = {,{1},{},{3},{4},{1,},{1,3},{1,4},{,3},{,4},{3,4},{1,,3},{1,,4},{1,3,4},{,3,4},{1,,3,4}} Rozepište potenční množinu množiny B = {1,, 3}. {,{1},{},{3},{1,},{1,3},{,3},{1,,3}} Mámedánymnožiny A={1,,3}, B= {, }. [ B = a) Kolikprvkůmásjednocení A B? [5 b) Kolikprvkůmáprůnik A B? [0 c) Kolikprvkůmározdíl A\B? [3 d) Kolikprvkůmákartézskýsoučin A B? [6 e) Kolikprvkůmásoučin A B? [1 f) Rozepištekartézskýsoučin A B. [A B= {(1, ),(, ),(3, ),(1, ),(, ),(3, )} g) Rozepištekartézskýsoučin B A. [B A={(,1),(,),(,3),(,1),(,),(,3)} h) Rozepišterozdíl A\B. [A\B= A

11 1. Výběry bez opakování 11 i) Rozepišterozdíl B \A. [B \A=B j) Rozepištesoučin A B [. A B = {(1, ),(1,{ }),(1,{ }),(1,{, }),(, ),(,{ }), (,{ }),(,{, }),(3, ),(3,{ }),(3,{ }),(3,{, })} Určetedoplněkmnožiny Bvmnožině A,kde A=R, B= {x R: x }. R: x <0} [ B=(,)={x Určeteprůnikasjednocenímnožin A=N 0, B= {x Z: x 3}. [A B= {x N 0 : x 3}= N 0 \{0,1,}, A B= {x Z:x 3 x 0}=Z\{, 1} Určeterozdíly A\B, B \A,kde A=N 0, B= {x Z: x 7}. B \A={x Z:x 7}={ 7 x:x N 0 } Kdyplatí [A\B=[0,6, a) A B= A? [je-li A B b) A B= A? [je-li B A c) A B= A B? [pro A=B *Dokažtematematickouindukcí,že A = A. [Indukcívzhledemk A. 1. Výběry bez opakování Máme prázdnou množinu. a) Kolika způsoby můžeme seřadit prvky do posloupnosti? [ 1 b) Kolikazpůsobymůžemevybrat znějakémnožiny? [1 c) Jakbysetytopočtyzměnily,kdyby0! 1? [početvýběrustejný,nebylobyvšakmožnopoužít vztahy pro kombinační čísla a faktoriál 1... Projakéhodnoty nakjevíce k-prvkovýchpodmnožinznprvkovémnožinynež(n k)-prvkových podmnožin? [stejněprovšechnyhodnoty nak 1..3.Projakéhodnoty nakjevíce k-prvkovýchvariacíznprvkovémnožinynež(n k)-prvkových [ variací? pro k > n 1..4.Vyjádřetebezkombinačníchčísel ( ) [ 3n 1 3 n(3n 1)(3n ) Tenisový turnaj se hraje systémem každý s každým. Kolik se bude hrát zápasů, jestliže a) seturnajezúčastní8hráčů? [8 b) seturnajezúčastní1hráčů? [ Tenisového turnaje se účastní 8 hráčů. Kolik je různých pořadí na stupních vítězů? [ Upravteaporovnejte ( ) ( 6n 3 a 3n ) [ ( 6. pro n=,3,4jevětší 6n ) ( 3 apro n 5jevětší 3n ) Kolikzpůsobysemůžepostavitpětartistůnasebe? [P(5)=5!= Kolika způsoby můžeme postavit šest artistů do pyramidy , přičemž [ rozlišujeme pouze kdo stojínazemi,kdovprvnívrstvěakdonahoře? P(3,,1)= 70 6 = Máme šest karet. a) Kolikazpůsobymůžemevybratdvěkarty? [15 b) Kolika způsoby můžeme vybrat dvě karty, jestliže rozlišuje pořadí? [ 30

12 1 1 MNOŽINY A VÝBĚRY PRVKŮ Házíme dvakrát kostkou a výsledky zapisujeme. a) Kolik různých výsledků můžeme dostat, jestliže rozlišujeme pořadí hodů? [ 36 b) Kolik různých výsledků můžeme dostat, jestliže nerozlišujeme pořadí hodů? [ 1 [ Máme n lidí. Jak velké skupinky vybírat, aby byl počet možností co největší? k= n Ukažteněkolikazpůsoby,že ( ) ( n k = n ) n k [ úpravou faktoriálů nebo kombinatoricky jako počet k-prvkových podmnožin Ukažteněkolikazpůsoby,že ( ) ( n k + n ) ( k+1 = n+1 ) k+1 [ úpravou faktoriálů nebo kombinatoricky jako počet k + 1-prvkových podmnožin s jedním významným prvkem * Hokejový trenér má k dispozici 13 útočníků a 9 obránců. Kolika způsoby vybereme pětku( obránce + 3 útočníci), jestliže jeden konkrétní útočník může hrát i v obraně? [ Vlajka má být sestavena ze tří různobarevných vodorovných pruhů. K dispozici jsou látky barvy bílé, červené, modré, zelené a žluté. a) Kolik různých vlajek můžeme sestavit? [ 60 b) Kolikznichmámodrýpruh? [36 c) Kolikjichmámodrýpruhuprostřed? [1 d) Kolikjichnemáuprostředčervenýpruh? [ Určete počet všech pěticiferných přirozených čísel, v jejichž dekadickém zápisu se každá z deseti číslicvyskytujenejvýšejednou.kolikznichjemenšíchnež50000? [716, Na konferenci vystoupí šest přednášejících: A, B, C, D, E, F. Určete počet a) všech možných pořadí jejich vystoupení; [ 70 b) všechpořadí,vnichžvystoupíapoe; [360 c) všechpořadí,vnichžvystoupíaihnedpoe. [ Kolika způsoby můžeme n lidí posadit a) dořady [n! b) dořady,vnížječlověkanakraji; [(n 1)! c) dořadytak,abylidéaabnesedělivedlesebe; [(n ) (n 1)! d) kolemkulatéhostolu(záležíjennatom,jakéhomákdosouseda,nikolinakteréžidlisedí).[(n 1)! 1..0.Kolikazpůsobymůžemezesedmimužůačtyřženvybratšestičlennouskupinu,takabyvníbyly a) právědvěženy; [10 b) alespoňdvěženy; [371 c) nejvýšedvěženy; [301

13 1.3 Výběry s opakováním Výběry s opakováním Kolik existuje anagramů slova MISSISSIPPI? [ Kolik existuje anagramů slova MISSISSIPPI, které neobsahují IIII? [ Kolik existuje anagramů slova MISSISSIPPI, které neobsahují II? [ Kolik existuje anagramů slova ABRAKADABRA, a) všech? [83160 b) kterézačínajíakončípísmenemb? [151 c) které začínají nebo končí písmenem B? [ 878 d) kterézačínajíakončípísmenema? [1510 e) kteréneobsahujíbb? [68040 f) které neobsahují AA? [ 3780 g) vekterýchpísmenokpředcházápísmenod? [ Na patnáct stožárů v řadě budou pověšeny vlajky pěti zemí, každá třikrát. Kolik existuje možností? [ Kolik je tříciferných čísel dělitelných a) dvěma? [450 b) pěti? [180 c) třemi? [300 d) sedmi? [ Příklady k procvičení Existujetakováposloupnost(a i ) n i=1,že n i=1 a i < n i=1 ( a i)?pokudano,uveďtepříklad! [ano, (a i ) n i=1 =( 1)n i=1 pro n N 0,n Existujetakováposloupnost(a i ) n i=1,že n i=1 a i >0a n i=1 a i <0?Pokudano,uveďtepříklad! [ano, například(a 1,a )=( 1,3) Existujetakováposloupnostkladnýchčísel(a i ) n i=1,že n i=1 a i > n i=1 a i?pokudano,uveďtepříklad! [ano,například(a 1,a )=(0.1,0.) Kolika způsoby, je možné napsat 7 jako součet právě čtyř přirozených sčítanců?(dovolíme i nulové sčítance!) Předpokládáme, že rozlišujeme pořadí sčítanců. [ Kolika způsoby, je možné napsat 7 jako součet právě čtyř kladných přirozených sčítanců? Předpokládáme, že rozlišujeme pořadí sčítanců. [ Kolika způsoby, je možné napsat k jako součet n sčítanců? Předpokládáme, že rozlišujeme [ pořadí (n+k 1 ) sčítanců Kolika způsoby, je možné napsat k jako součet n kladných sčítanců? Předpokládáme, že rozlišujeme [ (k 1 ) pořadí sčítanců Máme 10 stejných figurek a čtyři různé barvy. Kolik existuje možností, jak všechny figurky obarvit? [86 k n 1

14 14 1 MNOŽINY A VÝBĚRY PRVKŮ Máme 7 různých figurek a tři různé barvy. Kolik existuje možností, jak všechny figurky obarvit? [ Máme 10 stejných figurek a čtyři různé barvy. Kolik existuje možností, jak některé figurky obarvit? [ Máme 10 stejných figurek a čtyři různé barvy. Kolik existuje možností, jak všechny figurky obarvit, přičemžodkaždébarvybymělabýtalespoňjednafigurka? [ Kolika způsoby můžeme posadit n lidí kolem kulatého stolu? Ve dvou rozdílných rozesazeních má některýčlověkjinéhosousedapolevénebopopravéruce. [(n 1)! Kolika způsoby můžeme posadit n manželských párů kolem kulatého stolu tak, aby manželé seděli vždy vedle sebe? Ve dvou rozdílných rozesazeních má některý člověk jiného souseda po levé nebo po pravé ruce. [ n (n 1)! Dříve byly státní poznávací značky osobních automobilů tvořeny uspořádanou sedmicí, jejíž první tři členy byly písmena a další čtyři číslice. Kolik poznávacích značek bylo možno sestavit, jestliže pro první část značky bylo možno použít každé z 6 písmen(každá možnost povolena nebyla). [ ( Určete počet všech nejvýše k-prvkových podmnožin n-prvkové množiny. n i) [ k i= Kolikjevšechpěticifernýchpřirozenýchčísel?Kolikznichjemenšíchnež50000? [90000, Určete počet všech čtyřciferných přirozených čísel dělitelných 9, v jejichž dekadickém zápisu mohou býtpouzečíslice0,1,,5,7. [ V sáčku jsou červené, modré a zelené kuličky(kuličky téže barvy jsou nerozlišitelné). Určete, kolika způsoby lze vybrat pět kuliček, jestliže v sáčku je a) aspoňpětkuličekodkaždébarvy; [1 b) pětčervených,čtyřimodréačtyřizelenékuličky. [ Jeněkterámnožinapodmnožinoukaždémnožiny? [ano,prázdnámnožina Čemu se rovná a) A (B C)=? [(A B) (A C) b) A (B C)=? [(A B) (A C) c) A B=?(Xznačídoplněkmnožiny X) [ A B Kdyjepotenčnímnožina A a) jednoprvková? [pouzepro A= b) dvouprvková [pouzepro A =1 c) tříprvková [ nikdy d) prázdná [ nikdy 1.4..Kdyjekartézskýsoučindvoumnožin A Bprázdný? [pouzekdyž A= nebo B= Jemožnonajítdvětakovémnožiny A, B,abysoučasněplatilo A Bi A B? [ano,například pro A=, B= { } Jemožnonajítdvětakovéneprázdnémnožiny A, B,abysoučasněplatilo A Bi A B? [ano, například A={a}, B= {a,{a}} * Kolika způsoby je možné napsat číslo k jako součet sčítanců 1 a? Předpokládáme, [ že rozlišujeme k ( pořadí sčítanců. n ) n= k k n

15 1.4 Příklady k procvičení * Jaký je počet všech trojúhelníků, z nichž žádné dva nejsou shodné a každá jejich [ strana má velikost vyjádřenouněkterýmzčísel n+1,n+,n+3,...n,kde njepřirozenéčíslo. 1 6 n(n+1)(n+) Kolikpřímeklzeproložit7body,jestližežádnétřibodyneležívpřímce? [ Kolikpřímeklzeproložit7body,jestližeprávětřibodyležívpřímce? [ Mámedánydvěmimoběžky.Najednéje mbodů,nadruhé nbodů.koliklzesestrojitčtyřstěnů ) ( s vrcholy v daných bodech? n ) Kolika způsoby můžete seřadit v poličce pět učebnic angličtiny, čtyři učebnice matematiky a dvě učebnice českého jazyka, jestliže mají zůstat rozděleny do skupin po jednotlivých předmětech? [ Nahlídkupůjdou4vojácizčety.Kolikvojákůmáčeta,jestliževýběrjemožnoprovést10způsoby? [10vojáků Palindrom je slovo, které se píše stejně jako pozpátku. Anglická abeceda má 6 písmen. Kolik existuje palindromů(i nesmyslných) délky n z písmen anglické abecedy? [6 n Házíme třikrát kostkou. Kolik existuje takových možností, kdy v každém dalším hodu padají větší avětšíčísla? [ Byli jsme čtyři, seděli v baru a popíjeli. Trápilo nás špatné svědomí, že místo abychom v životě dělali něco pořádného, jsme závislí na alkoholu. Tu k nám přistoupil rozjařený barman a namíchal nám sedm různých drinků tak, aby každý dostal alespoň jeden. Kolika způsoby to mohl provést, jestliže rozlišujeme pořadí drinků, které jsme vypili. [ HraTic-tac-toejehrastužkouapapíremprodvahráčeXaO.Hráčistřídavězapisujíkřížkya kolečkadočtvercovésítěpolíček3 3.ObvyklezačínáX,jakonaObrázku1.1.Hráč,kterýjakoprvní umístí tři své symboly v jedné řadě, sloupci nebo diagonále, vyhraje. [( m Obrázek 1.1: Jedna hra Tic-tac-toe. a) Kolikexistujerůznýchrozmístěníkřížkůakoleček(pětkřížkůačtyřikolečka)nahernímplánu? [( 9 4) b) Kolik existuje různých rozmístění křížků a koleček na herním plánu, jestliže rozlišujeme pořadí tahů, křížky a kolečka se střídají? [ c) KolikexistujerůznýchherTic-tac-toe,kdyvyhrajeXvpátémtahu? [1440 d) Kolik existuje různých her Tic-tac-toe, kdy vyhraje O v šestém tahu? [ 538 e) Kolik existuje různých her Tic-tac-toe, kdy vyhraje X v sedmém tahu? [ 4795 f) Kolik existuje různých her Tic-tac-toe, kdy vyhraje O v osmém tahu? [ 7576 g)* Kolik existuje různých her Tic-tac-toe, kdy vyhraje X v devátém tahu? [ 8179 h) Kolik existuje různých her Tic-tac-toe, které končí remízou? [ i) Kolik existuje všech různých her Tic-tac-toe? [ Dělové koule si dělostřelci stavěli do pyramid. a) Pyramidabuďmělačtvercovouzákladnunapř.4 4koule,nanídalivrstvu3 3koule,pak kouleanavrchol1kouli.tatopyramidamělacelkem30koulí.kolikcelkemkoulíbymělapyramida [ ozákladně n nkoulí? 1 6 n(n+1)(n+1)

16 16 1 MNOŽINY A VÝBĚRY PRVKŮ b) Pyramida mohla mít založenou podstavu ve tvaru rovnoramenného trojúhelníku z 15 koulí, na ní byladalšívrstva10koulí,dalšívrstvaměla6koulí,pak3kouleanavrcholubyla1koule.celkem mělatakovápyramida35koulí.kolikcelkemkoulíbymělapyramidaozákladněshranouznkoulí? [ 1 6 n(n+1)(n+) Počítač Kecálek ve filmu Rumburak dostal za úkol najít všechny dvojice slouv složené [ z dvanácti písmen(mezeru nepočítáme). Kolik takových slov z 6 písmen existuje? Zaklínadlo pro přesun do říše pohádek ve filmu Rumburak zní HUBERO KORORO. Kolik existuje anagramů tohoto zaklínadla složených ze dvou šestipísmených slov? [ Zaklínadlo pro změnu počasí ve filmu Rumburak zní RABERA TAREGO. Kolik existuje anagramů tohoto zaklínadla složených ze dvou šestipísmených slov? [ Naběžnýchdominovýchkostkáchsevyskytujíokavpočtu0,1,...6.Každádvojicepočtuokse ssaděvyskytujenaprávějednékostce.všechnykostkydominajemožnépoložitdojedinéřadytak,aby navazující kostky sdílely stejný počet ok. Nyní n-dominem budeme rozumět takovou sadu kostek, která obsahujevšechnydvojicepočtůokzrozsahu0,1,...,n.projakápřirozenáčísla nlzevšechnykostky n-dominapoložitdojedinéřady? [prosudá n > Mámečtverečkovanousíť m nčtverečků.kolikrůznýchobdélníkůnajdemevsíti? [( m+1 ) ( n+1 )

17 17 Diskrétní pravděpodobnost Pokud nebude řečeno jinak, tak budeme předpokládat, že balíček obsahuje 3 karet, od sedmičky po eso ve čtyřech různých barvách(srdce, piky, káry a kříže). Klasická šestistěnná kostka je vyrobena tak, že součet ok na protilehlých stěnách je vždy sedm. Všimněte si, že i v případě, kdy máme zamíchaný celý balíček karet, nemusíme někdy uvažovat šech 3! pořadí. Pokud se zajímáme o nějaký výběr, stačí pracovat s nějakým náhodným výběrem. Řešené příklady.0.1. Hodíme současně sedmi kostkami. Jaká je pravděpodobnost, že a) padne součet 1? Nejmenšímožnýsoučetje7.Zbývá rozdělitpětjednotek mezisedmkostek.jednáseoneuspořádanývýběrsmožnostíopakování.existujecelkem C (7,5)= ( ( 11 6) = 11 5) =46takovýchmožností. Protožeuniformnípravděpodobnostníprostormá V(6,7)=6 7 prvků,hledanápravděpodobnostje b) padne součet 13? P= ( 11 5) 6 7 = = Nejmenšímožnýsoučetje7.Zbývá rozdělitšestjednotek mezisedmkostek,nikolivšakvšechny do jedné přihrádky. Jedná se o neuspořádaný výběr s možností opakování. Odečteme počet takových možností,kdyvšechnyjednotkyjsoupřidánynajednuzesedmikostek.existujecelkem C (7,6) C(6,1)= ( ( 1 6) 7 1) =94 7=917takovýchmožností.Protožeuniformnípravděpodobnostní prostormá V(6,7)=6 7 prvků,hledanápravděpodobnostje P= ( 1 6 ) ( 7 1) 6 7 = Hoďmedvěmakostkami.Jsoujevpadlsoučet6ajevpadlsoučin8nezávislé? Zavedeme pravděpodobnostní prostor Ω={(a,b):1 a,b, 6}. Jev A,kdypadnesoučet6,je A={(1,5),(,4),(3,3),(4,),(5,1)}.Jev B,kdypadnesoučin8,je B= {(, 4),(4, )}. Protože se jedná o uniformní pravděpodobnostní prostor, máme P(A)= A Ω = 5 B, P(B)= 36 Ω = 36, P(A B)=P(B)= 36. Pokud jsou jevy nezávislé, musí podle definice platit P(A) P(B)=P(A B). Dosazením dostaneme , protojevy AaBnejsounezávislé. Jiné řešení: Vyjdeme z alternativní definice nezávislosti jevů, která říká, že A a B jsou nezávislé, jestliže pravděpodobnostjevu Anezávisínatom,zdasoučasněnastalnebonenastaljev B: P(A) P(Ω) = P(A B). P(B)

18 18 DISKRÉTNÍPRAVDĚPODOBNOST Dosazením dostaneme a proto jevy A, B nejsou nezávislé(jsou závislé) Vkrabicije5koulí,3jsoubíléačerné.Vytáhnemepostupnědvěkoule.Jakájepravděpodobnost, žeprvníjebíláadruháčerná?.0.4.mámedvasáčkyskuličkami.vprvnímsáčkujsoudvěkuličkysčíslematřikuličkysčíslem3. Vedruhémsáčkujsou3kuličkysčíslem4akuličkysčíslem5.Tahámezobousáčkůpojednékuličce. Jaký je průměrný součet tažených čísel? Proprvnísáčekje P()= 5 a P(3)= 3 5.Prodruhýsáčekje P(4)= 3 5 a P(5)= 5.Označíme Xnáhodnou veličinu udávající číslo tažené z prvního sáčku. Potom je E(X)= =4+9 = Označíme Y náhodnou veličinu udávající číslo tažené z druhého sáčku. Potom je Pro součet náhodných veličin platí Průměrný součet tažených čísel je 7..1 Motivační příklady E(Y)= =1+10 = 5 5. E(X+Y)=E(X)+E(Y)= =35 5 = Na jednom Americkém televizním kanálu běžela Montyho Show. Soutěžící měli možnost získat automobil, jestliže si vyberou ze tří dveří ty dveře, za kterými se automobil nachází. Soutěžící si jedny dveře zvolil a potom Monty šel a otevřel některé ze dvou zbývajících dveří. Vždy otevřel ty dveře, za kterými nestál automobil, ale koza. Nyní měl soutěžící možnost změnit svou volbu a vybrat si libovolné ze dvou stále zavřených dveří. Předpokládáme, že pořadatelé vyberou na začátku náhodně jedny ze tří dveří, za které zaparkují automobil a za další dvě postaví kozy. Je lepší změnit svoji volbu, nebo zůstat u původního tipu a nebo je to jedno? S jakou pravděpodobností získá soutěžící výhru jestliže změní svoji volbu? Svou odpověď vysvětlete. [ je lepší volbu změnit. Konečný pravděpodobnostní prostor..1. Hodíme kostkou. a) Jaká je pravděpodobnost, že padne sudé číslo? b) Jaká je pravděpodobnost, že padne prvočíslo? c) Jaká je pravděpodobnost, že padne jednička nebo dvojka? [ 1 [ 1 [ 1 3 d) Jakájepravděpodobnost,žesoučethorníaspodnístěnyje7? [1 e) Jakájepravděpodobnost,žesoučethorníaspodnístěnyje3? [0... Hodíme kostkou, která není spravedlivá, různá čísla padají s různou pravděpodobností. Čísla 1, padnouspravděpodobností 1 5,čísla4,5a6padnouspravděpodobností 1 7.Pravděpodobnostčísla3není udána. a) Jsou uvedené pravděpodobnosti konzistentní? [ ano

19 . Konečný pravděpodobnostní prostor 19 b) S jakou pravděpodobností padne číslo 3? c) Jaká je pravděpodobnost, že padne sudé číslo? d) Jaká je pravděpodobnost, že padne prvočíslo? e) Jaká je pravděpodobnost, že padne jednička nebo dvojka? [ 1 /5 3/7= 6 35 [ [ [ 5 f) Jakájepravděpodobnost,žesoučethorníaspodnístěnyje7? [1 g) Jakájepravděpodobnost,žesoučethorníaspodnístěnyje3? [0..3. Hodíme dvěma kostkami. a) Jepravděpodobnější,žepadne5a6nebožepadnoudvě3?[pravděpodobnějšíjsoudvěrůznáčísla b) Jaká je pravděpodobnost, že padne součin 1? [ 1 9 c) Jaká je pravděpodobnost, že padne součin 4? [ 1 1 d) Jakájepravděpodobnost,žepadnesoučin14? [0 e) Jaká je pravděpodobnost, že padne součet 10?..4. Sestavte funkci P(n), která bude udávat pravděpodobnost, že při současném hodu n 1 kostkami [ a) padnesoučet n. P(n)= 1 6 n b) padnesoučet3. n 4. [ P(n)= 1 6 pro n=1, P(n)= 1 18 pro n=, P(n)= 1 16 [ 1 1 pro n=3ap(n)=0pro..5.hodíme n-stěnnoukostkouočíslovanou1,,...,n.jakájepravděpodobnost,žepadnelichéčíslo? [ n n..6. Hodíme n-stěnnou prvočíselnou kostkou(stěny jsou očíslované užitím prvních n prvočísel). Jaká je pravděpodobnost, že padne liché číslo?..7. Máme zamíchaný balíček 3 hracích karet. Jaká je pravděpodobnost, že a) prvníkartavbalíčkujeeso? b) třetíkartavbalíčkujedesítka? c) třetíkartavbalíčkujedesítka,víme-li,žeprvnídvěkartyjsoudámaakrál? d) třetíkartavbalíčkujedesítka,víme-li,žeprvnídvěkartyjsousedmičkaadesítka?..8. Házíme dvěma kostkami: šestistěnnou a dvanáctistěnnou. Jaká je pravděpodobnost, že na obou padne stejné číslo?..9. Házíme třemi kostkami: čtyřstěnnou, šestistěnnou, desetistěnnou. Jaká je pravděpodobnost, že na všech padne stejné číslo?..10. Házíme třemi šestistěnnými kostkami. a) Jelepšívsaditsi,ženepadnežádnášestka,nebožepadnealespoňjednašestka? [jelepšísivsadit, že nepadne žádná šestka [ b) Jaká je pravděpodobnost, že padne právě jedna šestka? c) Jaká je pravděpodobnost, že padnou alespoň dvě šestky? [ n 1 n [ 1 8 [ 1 8 [ 15 [ 1 10 [ 1 1 [ 1 60 [ 7

20 0 DISKRÉTNÍPRAVDĚPODOBNOST..11. Házíme desetistěnnou kostkou. a) Hodíme jednou. Jaká je pravděpodobnost, že padne prvočíslo? b) Házíme dvakrát. Jaká je pravděpodobnost, že padne lichý součet? c) Házíme dvakrát. Jaká jsou pravděpodobnosti jednotlivých součtů? pro i [,0..1. Házíme čtyřikrát mincí. Jaká je pravděpodobnost, že a) padne čtyřikrát za sebou hlava? b) padne nejprve hlava, potom orel, znovu orel a nakonec hlava? c) padne dvakrát hlava a dvakrát orel(v libovolném pořadí)? d) padne alespoň jednou hlava?..13. Hodíme třemi stejnými kostkami. a) Jakájepravděpodobnost,žepadne,4,6? b) Jakájepravděpodobnost,žepadne,4,4? [ 5 [ 1 [ P(i)=min{ i 1 19,1 i 19 } [ 1 16 [ 1 16 [ 3 8 [ [ 1 36 [ Ve třídě je 5 žáků. S jakou pravděpodobností budou alespoň dva spolužáci slavit narozeniny ve stejný den? Kolik nejméně musí být ve třídě žáků, aby byla pravděpodobnost společného data narozenin dvouspolužákůvětšínež 1?Předpokládejme,ženikdozžákůnemánarozeniny9.února(vpřestupném roce). [P 5 =0.5687,pro3žáků.3 Disjunktní a nezávislé jevy.3.1.dvahráčiházíkostkou.jsoujejichhodynezávislé?ikdyžněkdohodítřišestkyzasebou? [ano.3.. Mějme dva různé elementární jevy. a) Jsou různé elementární jevy vždy disjunktní? [ ano b) Jsou různé elementární jevy vždy nezávislé? [ ne.3.3. Mějme dva disjunktní jevy. a) Mohou být dva disjunktní jevy nezávislé? [ ano b) Jeprázdnýjevnezávislýslibovolnýmjevem? [ano.3.4. Udejte příklad dvou různých jevů, které nejsou disjunktní. [ Například při hodu kostkou: jev padlo lichéčísloajevpadloprvočíslo Hodíme dvěma kostkami. a) Jsoujevy A:padlsoučet4aB:padlsoučin4disjunktní? [ne b) Jsoujevy A:padlsoučet6aB:padlsoučin6disjunktní? [ano.3.6.mějmetřijevy A,B,C.Víme,žejevy AaBjsounezávislé,jevy Ba Cjsounezávisléajevy AaC jsou nezávislé. a) Jsoujevy A,B,Cnezávisléjakotrojice? [ne b) Mohou být ve speciálním případě nezávislé? Kdy? [ ano, je-li alespoň jeden z jevů prázdný

21 .4 Podmíněnápravděpodobnost Máme zamíchaný balíček 3 karet. a) Rozdáme dvěma hráčům po třech kartách. Jsou výběry karet nezávislé? [ ne b) Dáme prvnímu hráči tři karty a zbylé karty zamícháme. Potom druhý hráč dostane také tři karty. Jsou výběry karet nezávislé? [ ne c) Dámeprvnímuhráčitřikarty.Onsijezapamatujeavrátídobalíčku.Potomkartyzamíchámea druhý hráč dostane tři karty. Jsou výběry karet nezávislé? [ ano d) Hráčdostanepětkaret,potomkartyvrátíapozamíchánídostaneznovupětkaret.Jakájepravděpodobnost, že měl pokaždé fullhouse(3+ stejné [ hodnoty)? e) Hráč dostane pět karet, schová si je dostane dalších pět karet. Jaká je pravděpodobnost, že měl královskýpoker(4esaadalšíkartastejnéhodnoty)dvakrátzasebou? [ Hodíme dvěma kostkami, jednou zelenou a jednou červenou. Jsou jevy A: na obou padne stejné číslo ab: nazelenékostcepadnešestka nezávislé? [ano.3.9. Mějme pravděpodobnostní prostor Ω = {1,, 3, 4, 5, 6, 7, 8} s uniformní pravděpodobností(házíme osmistěnnoukostkou).jsoujevy A={1,,3,4}aB= {5,6,7,8}nezávislé? [jevy AaBnejsou nezávislé Mějme pravděpodobnostní prostor Ω = {1,, 3, 4, 5, 6, 7, 8} s uniformní pravděpodobností(házíme osmistěnnoukostkou).jsoujevy A={1,,3,4}(padlomaléčíslo)aB= {1,3,5,7}(padlolichéčíslo) nezávislé? [jevy AaBjsounezávislé Mějme pravděpodobnostní prostor Ω = {1,, 3, 4, 5, 6} s uniformní pravděpodobností(házíme šestistěnnoukostkou).jsoujevy A={1,,3}(padlomaléčíslo)aB= {1,3,5}(padlolichéčíslo)nezávislé? [jevy AaBnejsounezávislé.3.1.Házíme n-stěnnoukostkou.nadefinujemejev A,žepadnemaléčíslo1,,..., n ajev B,žepadne lichéčíslo.projaká njsoujevy AaBnezávislé? [jevyjsounezávisléjenpro n 0 (mod4).4 Podmíněná pravděpodobnost.4.1. Jaká je pravděpodobnost při hodu klasickou kostkou, že padne číslo větší než 3 víme-li, že padlo liché číslo..4..vkrabicije5koulí,3jsoubíléačerné.vytáhnemepostupnědvěkoule.počítejme:všechny možnosti, jak mohou dopadnout losování jsou: bílá-bílá, bílá-černá, černá-černá a černá-bílá. Pouze jedna znichjepříznivá:bílá-černá.dostanemepravděpodobnost P= 1 4.Coješpatně?Vysvětlete! [nelzeužít vztah platný pro uniformní pravděpodobnostní prostor.4.3.vkrabicije5koulí,3jsoubíléačerné.vytáhnemepostupnědvěkoule.počítejme:všechmožností, jakmůžedopadnoutlosováníje ( 5 ) =10.Příznivéjsouty,kdyvyberemenejprvebílouapotomčernou: Dostanemepravděpodobnost P= (3 1) ( 1) Ω = 3 10 = 3 5.Coješpatně?Vysvětlete! [rozlišitneuspořádanýa uspořádaný výběr.4.4. Z celkové produkce závodu jsou 4% zmetků. Z dobrých výrobků je 75% standardních. Určete pravděpodobnost, že náhodně vybraný výrobek je standardní. [ 7%.5 Střední hodnota.5.1. Házíme kostkou, která není spravedlivá, různá čísla padají s různou pravděpodobností. Čísla 1, padnouspravděpodobností 1 5,čísla4,5a6padnouspravděpodobností 1 7.Pravděpodobnostčísla3není [ udána. Jaký je střední počet počtu ok, která na kostce padnou? E(X)= Jaká je střední hodnota počtu šestek, které padnou při hodu pěti kostkami?.5.3. Máme šestistěnnou kostku. [ 1 3 [ 5 6

22 DISKRÉTNÍPRAVDĚPODOBNOST a) Jakýjeprůměrnýsoučetčíselnahorníaspodnístěněkostkyvyrobenétak,že1jenaproti6, naproti5a3naproti4? [7 b) Jakýjeprůměrnýsoučetčíselnahorníaspodnístěněkostkyvyrobenétak,že1jenaproti,3 naproti5a4naproti6? [7.5.4.Umělibysterozmístitčísla1až6napoctivoukostkutak,abystředníhodnotasoučtuhorníaspodní stěny byla jiná než 7? [ pro poctivou kostku takové rozdělení není možné.5.5.najdětevhodnáčísla a 1,a,...,a 6 arozmístětejenapoctivoukostkutak,abystředníhodnota součtuhorníaspodnístěnybylajinánežprůměrhodnot a 1 až a 6 vynásobenýdvěma. [propoctivou kostku takové rozdělení není možné.5.6.najdětevhodnáceláčísla a 1,a,...,a 6 arozmístětejenapoctivoukostkutak,abystředníhodnota součinuhorníaspodnístěnybylajinánežprůměrhodnot a 1 až a 6 umocněnýnadruhou. [například klasická kostka.5.7.*najdětevhodnárůznáceláčísla a 1,a,...,a 6 arozmístětejenapoctivoukostkutak,abystřední hodnotasoučinuhorníaspodnístěnybylastejnájakoprůměrhodnot a 1 až a 6 umocněnýnadruhou. [napříkladkostkasdvojicemiprotilehlýchstěn1a6, 1a 6,0a Kolik je třeba průměrně hodů mincí, aby vyšly dva stejné výsledky?.5.9.*kolikjetřebaprůměrněhodůmincí,kdehlavamápravděpodobnost p(pnemusíbýt [ 1 ),abyvyšly dva stejné výsledky? (1+p p ).5.10.* Kolik je třeba průměrně hodů poctivou mincí, aby padla první hlava? [.5.11.*Kolikjetřebaprůměrněhodůmincí,kdehlavamápravděpodobnost p(pnemusíbýt 1 ),abypadla [ první hlava? 1 p.5.1. Jaká je střední hodnota počtu políček, o které se vaše figurka přesune v jednom kole hry Člověče, nezlobse!,pokudse [ a) potřetíšestcezaseboujižznovunehází? b) opakovaně hází dokud padají šestky? Při objednávání obědů u terminálu vedle jídelny nevíte, která jídla jsou k dispozici a která ne. Jestliže tři z pěti jídel již není možné objednat. Jaký je střední počet pokusů než si objednáme jídlo, které seještěvaří? [ Při objednávání obědů u terminálu vedle jídelny nevíte, která jídla jsou k dispozici a která ne. Je-li vmenuvýběrznjídelajestliže k njepočetjídelzpěti,kterájemožnoobjednat,jakýjestřednípočet [ pokusů než si objednáme jídlo, které se ještě vaří? E(X)= (n k)! n k (n i)! n! i=1 (n i k+1)! i.6 Náhodné výběry.6.1. Máme sedmiprvkovou množinu A. a) S jakou pravděpodobností vybereme náhodně jednu konkrétní pětiprvkovou množinu mezi pětiprvkovými podmnožinami? b) S jakou pravděpodobností vybereme náhodně jednu konkrétní pětiprvkovou množinu mezi všemi podmnožinami? c) S jakou pravděpodobností vybereme náhodně některou pětiprvkovou množinu mezi všemi podmnožinami? [ 5 [ 1 5 [ 1 1 [ 1 18 [ 1 18

23 .7 Příklady k procvičení [ S jakou pravděpodobností vybereme náhodně jednu k-prvkovou podmnožinu n-prvkové množiny? 1 ( n k).6.3. S jakou pravděpodobností vybereme náhodně k-prvkovou podmnožinu mezi všemi podmnožinami [ ( n n-prvkové množiny? k) n.6.4. Jaká je pravděpodobnost, že náhodná podmnožina n-prvkové množiny obsahuje jeden pevně zvolený prvek?.6.5. Máme náhodnou posloupnost čtyř bitů. a) Sjakoupravděpodobnostísejednáo 0011? b) S jakou pravděpodobností obsahuje dvě jedničky a dvě nuly?.6.6. S jakou pravděpodobností obsahuje více jedniček než nul? [ 1 [ 1 16 [ 3 8 [ Máme náhodnou permutaci pětiprvkové množiny. a) Jakou pravděpodobnost má jedna náhodná permutace? b) Jakou pravděpodobnost má permutace, kde číslo 1 následuje bezprostředně za číslem? c) Jakou pravděpodobnost má permutace, kde číslo 1 následuje za číslem? d) Jakou pravděpodobnost má permutace, kde čísla 1, jsou vedle sebe? [ 1 10 [ 1 5 [ 1 [ 5.7 Příklady k procvičení.7.1. Házíme opakovaně poctivou mincí. a) Jaká je pravděpodobnost, že při šesti hodech mincí padne hlava i orel stejněkrát? b) Jaká je pravděpodobnost, že při n hodech mincí padne hlava i orel stejněkrát? [ 5 16 [ ( n ) n.7.. Máme zamíchaný balíček 3 karet. Vytáhneme postupně dvě karty. Jaká je pravděpodobnost, že a) oběkartybudouesa? b) oběkartybudoudevítkaadesítka(vtomtopořadí)? c) obě karty budou devítka a desítka(v libovolném pořadí)? d) ani jedna karta nebude král? e) obě karty budou stejné barvy? [ 3 48 [ 1 6 [ 1 31 [ [ Kuchař upustil omylem do polévky dva různé prsteny. Všechna polévka byla rozdělena mezi 5 hostů, ztoho8žen.jakájepravděpodobnost,že [ a) oba prsteny dostane jedna osoba? 1 5 [ b) prstenybudoumítvpolévcedvamuži? 7 65 [ c) prstenybudoumítvpolévcejedenmužajednažena? d) prstenybudoumítvpolévcedvěženy? e) Jak se pravděpodobnosti změní, jestliže prsteny budou stejné? [ pravděpodobnosti se nezmění [ 56 65

24 4 DISKRÉTNÍPRAVDĚPODOBNOST.7.4. Hodíme dvěma šestistěnnými kostkami. Jaká je pravděpodobnost, že větší číslo bude m? [ m Všuplíkumámerozházenýchpo6ponožkáchodkaždézbarevčerná,šedáabílá.Kolikponožek musíme průměrně vytáhnout(postupně a poslepu), abychom dostali jednobarevný pár? Nerozlišujeme levou a pravou ponožku V šuplíku máme rozházených po p ponožkách od každé z b barev. Kolik ponožek musíme průměrně vytáhnout(postupně a poslepu), abychom dostali jednobarevný pár? Nerozlišujeme levou a pravou ponožku..7.7.* Magnet má dva póly, které se přitahují. Barevné dětské magnetky mají na sobě umělohmotnou čepičku. Čepička zakrývá celý jeden pól magnetu, proto přitahovat se mohou pouze jedním pólem. Magnetky jsou balené po 40 kusech, 10 od každé ze čtyř barev. Předpokládejme, že zakryté póly těchto magnetků jsou zvolenynáhodněspravděpodobností 1.Jakájepravděpodobnost,žetěchto40magnetkůlzepospojovat [ do 5 4 stejnobarevných dvojic tak, že každá dvojice se navzájem přitahuje opačnými nezakrytými póly? (( ) ) HraTic-tac-toejehrastužkouapapíremprodvahráčeXaO,kteřístřídavězapisujíkřížkya kolečka do čtvercové sítě políček 3 3, viz Cvičení Při řešení využijte výsledku Cvičení a) Jaká je střední hodnota počtu tahů do vítězství, jestliže remízy nebudeme uvažovat(předpokládáme, že remíza nemůže nastat). Předpokládejme, že každá hra má stejnou pravděpodobnost(což nemusí být pravda). [ [ b)* Jaká je střední hodnota počtu tahů do prvního vítězství, jestliže remízy započítáme jako 9 tahů a další hra pokračuje dalším(desátým) tahem. Předpokládejme, že každá hra má stejnou pravděpodobnost (což nemusí být pravda). [ Krabice dřevěných dětských vláčků obsahuje jednu lokomotivu a tři vagónky. Vagónky a lokomotiva sespojujípomocímagnetů.lokomotivamájedenmagnetakaždývagónekmámagnetydva nakaždém konci jeden. Póly magnetů jsou otočeny tak, aby bylo možno zapojit do vláčku všechny vagónky a to v libovolném pořadí. a) S jakou pravděpodobností by se dal sestavit vláček s vagónky v libovolném pořadí, pokud by v továrně [ orientaci magnetů přiřazovali náhodně? 3 16 [ 3 b)* Uměli byste předchozí úlohu zobecnit pro n vagónků? n+1 c) S jakou pravděpodobností by se dal sestavit vláček s vagónky v alespoň jednom pořadí, pokud by v továrně orientaci magnetů přiřazovali náhodně? d)* Uměli byste předchozí úlohu zobecnit pro n vagónků? V balíčku je 8 karet, dvě od každé barvy. Balíček pečlivě rozmícháme. S jakou pravděpodobností [ dostaneme takové rozmíchání, ve kterém nejsou žádné dvě karty stejné barvy vedle sebe? = Jaký je střední počet hodů šestistennou kostkou než padne každá stěna alespoň jednou?.7.1. Čtyřicet sportovců bude rozděleno na čtyři stejně početné skupiny. Jaká je pravděpodobnost, že dvakonkrétnísportovci AaBbudouvestejnéskupině? S jakou pravděpodobností bude přijato binární slovo délky 8 znaků, které obsahuje čtyři nuly, jestliže zdroj signálu generuje 7krát více nul než jedniček? [ 3 4 [ 3 13 [

25 5 3 Kapitola 3 Důkazy v diskrétní matematice Řešené příklady Kolik různých binárních operátorů existuje(může existovat)? Sestavte jejich pravdivostní tabulky. Podívejme se na operátor A B. Jsou čtyři různé kombinace pravdivostních hodnot proměnných A a B. Pro každou existují dvě možnosti, jaká bude výsledná logická hodnota operátoru. Dostáváme tak celkem V(,4)= 4 =16různýchlogickýchbinárníchoperátorů. Označímesije 1,,..., 16.Jejichtabulkypravdivostníchhodnotjsou A B A 1 B A B A 3 B A 4 B A 5 B A 6 B A 7 B A 8 B Tabulka3.1:Tabulkypravdivostníchhodnotoperátorů 1 až 8. A B A 9 B A 10 B A 11 B A 1 B A 13 B A 14 B A 15 B A 16 B Tabulka3.:Tabulkypravdivostníchhodnotoperátorů 9 až Dokažtežepro a Z,je-li a liché,potom ajeliché. Tvrzení dokážeme nepřímo. Místo původního výroku dokážeme jeho obměnu a Z, je-li a sudé, potom a jesudé.víme,žeexistuje k Ztakové,že a=k.potom a =(k) =4k =(k ).Vidíme,že a je opětsudé,neboťexistuje k =k tak,že a =k Ukažte,žekaždépoštovnévětšínež1Kčmůžebýtzaplacenoužitímznámekvhodnotě4Kča 5Kč. Ukážeme matematickou indukcí vzhledem k ceně c. Základ indukce: Nejprve ukážeme, že je možno vyplatit částky 1Kčjako =1 13Kčjako =13 14Kčjako =14 15Kčjako =15 Indukční krok: Ukážeme, že když jde zaplatit poštovné v ceně c, tak jde zaplatit také poštovné o hodnotě c + 4. Stačí nalepit o jednu čtyřkorunovou známku navíc Dva zloději ukradli náhrdelník. Náhrdelník je sestaven z drahokamů(rubínů a diamantů) po řadě spojených řetízkem. Svůj lup by si chtěli rozdělit tak, aby každý dostal stejný počet diamantů i rubínů. Ukažte, že pokud náhrdelník obsahuje sudý počet diamantů(d) a sudý počet rubínů r, je vždy možné rozdělit náhrdelník na dvě části tak, aby každá část obsahovala polovinu rubínů i polovinu diamantů. Tvrzení ukážeme přímo. Navíc důkaz bude konstruktivní a poskytne návod, jak místo pro dělení najít. Náhrdelník rozložíme na stůl tak, abychom mohli určovat směr po a proti směru hodinových ručiček. Najdemetakovédvačlánky c 1 a c nanáhrdelníkuřetízku(vždyvedlediamantu,měřenoprotisměru hodinovýchručiček),žepřirozděleníbyvjednomidruhémdílubylstejnýpočetdiamantů d 1 = d. Takové rozdělení jistě existuje, neboť náhrdelník obsahuje sudý počet diamantů. Podíváme se, jaký je početrubínů r 1 a r voboučástech.je-li r 1 = r,takjetvrzenídokázáno.jinakmůžemebezújmy naobecnostipředpokládat,žerubínůjevíceposměruod c 1 ažeplatí r 1 > r (obějsousudáneboobě lichá čísla). Nyní rozlišíme následující případy:

26 6 3 KAPITOLA 3 DŮKAZY V DISKRÉTNÍ MATEMATICE 1.drahokamposměruod c 1 (resp.protisměruod c )jerubín posunememístodělení c 1 ojedendrahokam(rubín)posměru(resp. c protisměru)namísto c 1 (resp. c );nyníje r 1 = r 1 1ar = r +1.drahokamposměruod c 1 iprotisměruod c diamant posunememístodělení c 1 ojedendrahokam(diamant)posměru(resp. c posměru)namísto c 1 (resp. c );jistězůstane d 1 = d 1= d = d Všimnemesi,žepřiopakovánípostupusevpřípaděprvnímrozdíl r 1 r vždysnížíonejmenšímožnou hodnotu,zatímcovdruhémpřípaděsezůstanerozdíl r 1 r stejnýnebosezvýší(onějakousudou hodnotu). Postup je jistě konečný, neboť náhrdelník obsahuje konečný počet drahokamů a navíc se určitě podaří rozdělitnáhrdelníknadvěstejněhodnotnéčástidříve,nežsemístodělení c 1 dostanenapůvodnímísto c,neboťpotombymuselobýt r 1 r = (r 1 r )záporné.přidělenísnižujemerozdílpouzevpřípadě prvním a to vždy o nejmenší možnou hodnotu, proto získáme všechna možná dělení s rozdílem mezi hodnotou r 1 r ahodnotou (r 1 r ). Jiné řešení: Náhrdelník, který obsahuje d diamantů a r rubínů rozložíme na stůl tak, abychom mohli určovat směr po a proti směru hodinových ručiček. Najdeme na náhrdelníku takové dva protilehlé články řetízku A a B, žepřirozděleníbyvjednéidruhéčástibylstejnýpočetdrahokamů:(d+r)/=d+r. Pokudobsahujejednačástvícediamantů d+x(améněrubínů d x)neždruhátakbudemeposouvat místa dělení o jeden drahokam ve směru hodinových ručiček. V každém kroku se vymění jedna dvojice drahokamů. Jsou-li vyměněné drahokamy stejné, nezmění se počty diamantů ani rubínů v každé části. Jsou-livyměněnédrahokamyrůzné,taksepočetdiamantůvjednéčástio1zvýší(na d+x+1)neboo1 sníží(na d+x 1). Postup je jistě konečný, neboť náhrdelník obsahuje konečný počet drahokamů a navíc se určitě podaří rozdělit náhrdelník na dvě stejně hodnotné části dříve, než se místa dělení posunou o polovinu obvodu (d+r),neboťpotombymělajednačásttolikdiamantů,jakopůvodněměladruháčást: d x.vkaždém krokuseceločíselnáhodnota d+xměnío1,protodříveněžotočímeod+rdrahokamůmusínastat x=0. Jakmile mají části v některém kroku stejný počet diamantů, musí mít i stejný počet rubínů, neboť obě mají stejný počet drahokamů. 3.1 Motivační příklady Tabulka čokolády se skládá z m n čtverečků. Chceme ji nalámat na jednotlivé čtverečky. Najděte a dokažte jaký je nejmenší počet zlomů, abychom čokoládu m n rozdělili na jednotlivé čtverečky? [ přímo nebo silnou indukcí 3.1..Dokažte,žeprokaždé n N 0 platí,že npřímekrozdělírovinunanejvýše 1 n(n+1)+1oblastí. [indukcívzhledemkn 3. Základní logické symboly 3..1.Sestavtenegacivýroku Všechnaautajsoučervená. 3...Sestavtenegacivýroku Každýstudentuzkouškyuspěje. neuspěje [alespoňjednoautoneníčervené [alespoňjedenstudentuzkoušky 3..3.Sestavtenegacivýroku Jednoujsemvyhrálvesportce. [vesportcejsemvyhrálalespoňdvakrát nebonikdy [ 3..4.Sestavtenegacivýroku Kdoneskáče,neníČech. kdoneskáče,můžebýtičech 3..5.Sestavtenegacivýroku n: n > n [. n: n n 3..6.Sestavtenegacivýroku x >1:x [ > x. x >1:x x 3..7.Sestavtenegacivýroku x R\{0}:ln x <0. [ x R\{0}:ln x 0