Statika soustavy těles v rovině

Transkript

1 Statka soustavy těles v rovně Zpracoval: Ing. Mroslav yrtus, Ph.. U mechancké soustavy s deálním knematckým dvojcem znázorněné na obrázku určete: počet stupňů volnost početně všechny reakce a moment M 2 v rovnovážné poloze určené úhlem ϕ 2 = 20 grafcky moment M 2 pro rovnovážnou polohu určenou úhlem ϕ 2 = 20 Úlohu řešte numercky pro dané velčny: = 250 N, a = 0.3 m, e = 0.1 m, h = 0.4 m, b = 0.2 m, r 2 = 0.35 m, = 0.35 m, ω 21 = 10 rad/s, α = 0. 5 h a 4 2 r 2 M 2 =? e ϕ 2 b 1 Obrázek 1: Zadání Řešení Počet stupňů volnost Pro počet stupňů volnost n vázané soustavy těles v rovně platí n = 3(m 1) 2(r + p + v) o, (1)

2 kde m je počet těles soustavy včetně rámu, r počet rotačních vazeb, p počet posuvných vazeb, v počet valvých vazeb a o je počet obecných vazeb v soustavě 1. V našem případě dosazením do (1) dostáváme n = 3( 1) 2( ) 0 = = 1. (2) Výpočet všech reakcí a momentu M 2 Použjeme metodu uvolňování, která využívá vlastnost soustavy ve statcké rovnovážné poloze: Jel soustava ve statcké rovnovážné poloze, musí být ve statcké rovnovážné poloze každý člen soustavy. Pak postupně každý člen ze soustavy myšleně vyjmeme (uvolníme) a přpojíme slové účnky ostatních členů a případného vnějšího zatížení. Je-l každý člen soustavy ve statcké rovnovážné poloze, pak musí být pro každý člen (těleso) soustavy splněny podmínky statcké rovnováhy. člen 2 ruhý člen uvolníme v rotačních vazbách od rámu v bodě A a od členu tř v bodě, do každého z bodů A, tedy přpojíme dvě na sebe kolmé reakce, které rotační vazby přenáší a které vyjadřují slový účnek okolních členů na člen 2. Orentac sl jsme zvoll lbovolně. ále zahrneme prozatím neznámý moment M 2. Ve statcké rovnovážné poloze musí být splněny podmínky rovnováhy (dvě slové, jedna momentová), dostáváme x = 0 :A x + x = 0, y = 0 :A y + y = 0, M A = 0 : M 2 x r 2 sn ϕ 2 y r 2 cos(π ϕ 2 ) = 0. člen 3 Třetí člen uvolníme v rotačních vazbách od členu čtyř v bodě a od členu dva v bodě, dle pak v bodě od členu pět. o každého z bodů A, tedy přpojíme dvě na sebe kolmé reakce, které rotační vazby přenáší a které vyjadřují slový účnek okolních členů na člen 3. V bodě je člen tř vázán posuvnou vazbou, která vzhledem k tomu, že člen pět je nazatíženým bnárním členem, přenese normálovou reakc procházející bodem. Orentac sl jsme zvoll v bodech a lbovolně. V bodě jsou přpojené reakce opačně orentované, než tomu bylo u členu dva (zde vyjadřujeme účnek členu dva na tř). Stejně jako v předchozím musí být splněny podmínky rovnováhy x = 0 : x x + N sn ϕ 3 = 0, y = 0 : y y N cosϕ 3 = 0, M A = 0 : x sn ϕ 3 y r 2 cosϕ 3 N l 3 = 0. Pro výpočet je třeba určt zdvhové závslost ϕ 3 = ϕ 3 (ϕ 2 ) a l 3 = ϕ 3 (ϕ 2 ). 1 těleso v rovně má 3 stupně volnost r, p, v... odebírají 2 stupně volnost, o... odebírá jeden stupeň volnost (3) (4)

3 člen 4 (nezatížený bnární člen) Čtvrtý člen uvolníme v rotační vazbě od členu tř a v posuvné vazbě od rámu v bodě. o bodu tedy přpojíme dvě na sebe kolmé reakce, které rotační vazba přenáší a normálovou reakc N v posuvné vazbě. Orentac sl x a y jsme zvoll opačně než tomu bylo u členu dva (opět zde máme reakce členu tř na člen čtyř). Směr normálové reakce jsme voll lbovolně. Opět musí být splněny podmínky rovnováhy (zde pro rovnnou soustavu sl se společným působštěm, tedy dvě slové podmínky) x = 0 : x = 0, y = 0 : y N = 0. člen 5 (nezatížený bnární člen) Pátý člen uvolníme obdobně jako člen čtyř. Platí podmínky rovnováhy (zde pro rovnnou soustavu sl se společným působštěm) x = 0 : x N sn ϕ 3 = 0, y = 0 : y + N cosϕ 3 = 0. člen Šestý člen uvolníme obdobně jako člen tř. Od rámu se přenesou dvě reakce N E a N na rovnoběžných nostelkách, směr volíme lbovolně. V místě rotační vazby přpojíme po uvolnění opačně orentované reakce x a y (reakce členu pět na člen šest). Platí podmínky rovnováhy (zde pro rovnnou soustavu sl se společným působštěm) x = 0 :N E N x = 0, y = 0 : y + = 0, M = 0 :a + x (y 3 b) N E h = 0. Pro konkrétní výpočet je třeba určt zdvhovou závslost y 3 = y 3 (ϕ 2 ). (5) () (7) Výpočet všech reakcí a momentu M 2 Všechny podmínky rovnováhy sestavené pro jednotlvé členy soustavy představují soustavu lneárních algebrackých rovnc pro neznámé reakce A x, A y, x, y, x, y, N, N, x, y, N, N E a hledaný moment M 2. Máme tedy tedy soustavu 13 rovnc pro 13 neznámých, kterou je třeba pro konkrétně zadané hodnoty vyřešt.

4 y x E N E 2 M 2 A AY A x y + x x y N l 3 3 N 4 y x N x x ϕ 3 y y y 3 N 5 y x Obrázek 2: Uvolněná soustava. Grafcké určení všech reakcí a momentu M 2 Pro grafcké řešení využjeme toho, že ve statcké rovnovážné poloze vázané soustavy těles musí být ve statcké rovnováze každé těleso. Řešíme tedy grafcky rovnováhu každého členu samostatně. ůležtou rol zde sehrávají nezatížení bnární členy, nebot u nch známe směr přenášených reakcí (zde členy 4 a 5). Začínáme řešt od zatíženého členu. Na členu použjeme metodu částečné výslednce, na těleso působí čtyř síly u nchž známe nostelky a u jedné velkost (zátěžná síla ). Aby byla splněna rovnováha na uvedeném členu, musí pro výslednc působících sl platt + N }{{ E + N } + = 0. (8) }{{} V V Nostelka částečné výslednce prochází průsečíky nostelek sl, N E a N,. Grafcky provedeme náhradu uvedených dvojc sl částečnou výsledncí a zajstíme podmínky rovnováhy. Na členu 3 pak známe velkost a směr síly a dále známe směry nostelek sl procházející body a. Využjeme podmínky pro rovnováhu tří obecně orentovaných sl na tělese (nostelky musí procházet společným bodem a síly musí tvořt uzavřený slový trojúhelník). Na členu 3 zajstíme rovnováhu přdáním síly velkost do bodu A, čímž vznkne slová dvojce, jejíž moment uvedeme do rovnováhy hledaným momentem M 2. Pro jeho velkost platí Směr momentu M 2 je opačný vůč směru slové dvojce na členu 2. M 2 = r. (9)

5 Nostelka èásteèné výslednce E V N E N -V 2 r l M 2 A y 3 ϕ 3 Obrázek 3: Grafcké řešení.