FYZIKA I. Pohybová rovnice. Prof. RNDr. Vilém Mádr, CSc. Prof. Ing. Libor Hlaváč, Ph.D. Doc. Ing. Irena Hlaváčová, Ph.D. Mgr. Art.

Transkript

1 VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA FAKULTA STROJNÍ FYZIKA I Pohybová rovnce Prof. RNDr. Vlém Mádr, CSc. Prof. Ing. Lbor Hlaváč, Ph.D. Doc. Ing. Irena Hlaváčová, Ph.D. Mgr. Art. Dagmar Mádrová Ostrava 013 Prof. RNDr. Vlém Mádr, CSc., Prof. Ing. Lbor Hlaváč, Ph.D., Doc. Ing. Irena Hlaváčová, Ph.D., Mgr. Art. Dagmar Mádrová Vysoká škola báňská Techncká unverzta Ostrava ISBN Tento studjní materál vznkl za fnanční podpory Evropského socálního fondu (ESF) a rozpočtu České republky v rámc řešení projektu: CZ.1.07/..00/ , MODERNIZACE VÝUKOVÝCH MATERIÁLŮ A DIDAKTICKÝCH METOD

2 OBSAH 1 POHYBOVÁ ROVNICE Defnce Inercální a nenercální vztažná soustava Pohybová rovnce posuvného pohybu Pohybová rovnce otáčvého pohybu Moment setrvačnost tělesa Stenerova věta... 9 CZ.1.07/..00/

3 Pohybová rovnce 3 1 POHYBOVÁ ROVNICE STRUČNÝ OBSAH PŘEDNÁŠKY: Inercální a nenercální vztažná soustava Pohybová rovnce posuvného pohybu Pohybová rovnce otáčvého pohybu Moment setrvačnost tělesa Stenerova věta CZ.1.07/..00/

4 Pohybová rovnce DEFINICE Inercální a nenercální vztažná soustava Kld nebo rovnoměrný přímočarý pohyb ve formulac prvního pohybového zákona jsou vzhledem k volbě vztažné soustavy pojmy relatvní. Položme s otázku, zda první pohybový zákon platí ve všech vztažných soustavách. Předpokládejme např., že pozorovatel uvntř vagónu rozjíždějícího se vzhledem k Zem rovnoměrně zrychleným pohybem položí na deálně hladkou podlahu vagónu kulčku. Zjstí, že se bude pohybovat vzhledem k vagónu rovnoměrně zrychleným pohybem (prot směru jízdy), když na n okolní tělesa nepůsobí slam. To znamená, že v soustavě souřadnc spojené s rozjíždějícím se vlakem první pohybový zákon neplatí. První pohybový zákon neplatí také v rotující soustavě. Vztažná soustava nebo soustava souřadnc, v níž platí první pohybový zákon, se nazývá nercální (nerta - setrvačnost). Pohybuje-l se soustava souřadnc S' vzhledem k jné nercální soustavě souřadnc S rovnoměrně přímočaře, pak soustava S' je opět nercální, pohybuje-l se zrychleně, je nenercální. Částce (těleso), na které okolní částce (tělesa) nepůsobí slam, nazýváme volnou částcí (volným tělesem). V nercální vztažné soustavě je zrychlení volné částce (volného tělesa) rovno nule. Podle toho, zda zrychlení volného tělesa se rovná nule nebo je různé od nuly, může se pozorovatel v určté vztažné soustavě (např. ve vlaku, na Zem, apod.) měřením provedeným uvntř této soustavy přesvědčt, zda soustava je nercální nebo nenercální. Inercální soustava je deální. Každá reálná vztažná soustava je spojena s konkrétním reálným tělesem (např. se Zemí, s umělou družcí obíhající kolem Země, s automoblem, s pohybující se kabnou výtahu), vzhledem k němuž se sleduje pohyb jných těles. Protože ve vesmíru neexstují nehybná tělesa, může být lbovolná vztažná soustava považována za nercální jen s určtým (dohodnutým) stupněm přesnost. Na těleso vzhledem k nenercální vztažné soustavě působí setrvačná síla. V nercální vztažné soustavě setrvačná síla neexstuje. Význačné vlastnost nercální a nenercální soustavy Těleso pohybující se v určtém okamžku vzhledem k jedné nercální vztažné soustavě se zrychlením a se v témže okamžku pohybuje se stejným zrychlením vzhledem ke každé jné nercální vztažné soustavě. Př přechodu od jedné nercální vztažné soustavy k jné používáme pro vyjádření vztahů mez prostorovým souřadncem vektorových velčn a časem v klascké Newtonově mechance Galleovy transformace a v relatvstcké mechance Lorencovy transformace. Těleso, pohybující se v určtém okamžku vzhledem k nenercální vztažné soustavě se zrychlením a se pohybuje v témž okamžku vzhledem k jným nenercálním CZ.1.07/..00/

5 Pohybová rovnce 5 vztažným soustavám obecně s jným zrychlením. Tato zrychlení závsí na vlastnostech různých nenercálních vztažných soustav. Poznámka: Skládání setrvačné síly F s a tíhové síly F G, které působí současně na určté těleso vzhledem k nenercální vztažné soustavě lze objasnt na následujícím příkladě: Na vodorovnou podlahu kabny výtahu je upevněn dolní konec pružny sloměru se svslou osou. Na horním konc pružny je upevněna vodorovná deska, na které leží těleso o hmotnost m. Jak velkou sílu naměříme na sloměru a) je-l kabna výtahu v kldu nebo v rovnoměrném přímočarém pohybu b) stoupá-l kabna výtahu se stálým zrychlením a vzhledem k Zem c) klesá-l kabna výtahu se stálým zrychlením a vzhledem k Zem. Na podlaze kabny stojí expermentátor, který je v kldu vzhledem ke kabně. Zvolme kabnu jako vztažnou soustavu. a) V tomto případě je kabna nercální vztažnou soustavou. Těleso působí na vodorovnou podložku tlakovou slou F 1 svsle dolů, F 1 = mg. Uvedenou velkost naměří expermentátor. b) V tomto případě je kabna stoupající se stálým zrychlením a vzhledem k Zem nenercální vztažnou soustavou. Na těleso působí setrvačná síla F s svsle dolů a ta uděluje tělesu zrychlení a s = a. Na těleso působí také tíhová síla F G, takže výslednce je F = F G + Fs. Její velkost je F = m( g + as ). Stejně velkou tlakovou slou působí těleso svsle dolů na podložku. Expermentátor naměří větší hodnotu než v případě a); F > mg. (Podobný jev nastává v kabně rakety po dobu zrychleného výstupu rakety z povrchu Země). Ve stoupající kabně nastává přetížení těles. c) I v tomto případě je kabna klesající se stálým zrychlením a vzhledem k Zem nenercální vztažnou soustavou. Na těleso působí setrvačná síla F s svsle vzhůru, která uděluje tělesu zrychlení a s = a. Dále působí tíhová síla F G, takže výslednce je F3 = F G + F s. Její velkost je F3 = m( g a s ). Stejně velkou tlakovou slou působí těleso svsle dolů na podložku, je-l a < g. Expermentátor naměří na sloměru menší hodnotu než v případě a); F 3 < mg. V mezním případě pro a = g je F 3 = 0 N. Těleso nepůsobí na podložku žádnou slou a sloměr zaznamenává nulovou hodnotu. Uvedený stav tělesa vzhledem k nenercální vztažné soustavě se nazývá beztížný stav. Kabna všechna tělesa uvntř padají se stejným tíhovým zrychlením g k Zem. Družce obíhající kolem Země po kružnc a všechna tělesa, která se v ní nacházejí, se pohybují v určtém okamžku se stejným gravtačním zrychlením. CZ.1.07/..00/

6 Pohybová rovnce Pohybová rovnce posuvného pohybu Pohybovou rovncí posuvného pohybu částce (tělesa), jejíž hmotnost m je stálá, rozumíme rovnc d r F = m (.65) kde F je výslednce všech sl, které na částc (těleso) působí. Vektorová rovnce (.65) představuje tř skalární rovnce pro souřadnce d x F x = m m Z rovnce (.65) je možno získat následující nformace: d y d z F y = F z = m (.66) ze známé síly F působící na částc lze stanovt rychlost částce v a její polohový vektor r v závslost na čase t a obráceně ze známé polohy r v závslost na čase t lze vypočítat vnější sílu F Pohybová rovnce otáčvého pohybu Předpokládejme, že tuhé těleso otáčvé kolem osy se skládá z velkého počtu částc (hmotných bodů) o stálých hmotnostech m, m, 1..., jejchž vzdálenost od osy otáčení jsou postupně r 1, r,... Nechť r je vzdálenost částce hmotnost m od osy rotace (obr..37), a je tečné zrychlení částce, pak podle druhého pohybového zákona je síla F ve směru pohybu F = m a a vzhledem ke vztahu mez tečným zrychlením a a úhlovým zrychlením ε ve tvaru a = ε je F = m r ε. r Uvedená síla vyvolá vzhledem k ose rotace moment síly velkost M = F r = m r ε (.148) Sečteme rovnce (.148) pro všechny částce, a poněvadž všechny se otáčí se stejným úhlovým zrychlením, je ε = ε a pro velkost celkového momentu tečných sl dostaneme Velčna n M = ε m r = 1 n J = m r = 1 (.149) CZ.1.07/..00/

7 Pohybová rovnce 7 se nazývá moment setrvačnost tuhého tělesa (sestávajícího z velkého počtu částc) vzhledem k ose otáčení. Jednotka momentu setrvačnost [ J ] = kg m. Působením síly F (obr..37) se uvede tuhé těleso s konstantním momentem setrvačnost J vzhledem k ose 0 do otáčvého pohybu s úhlovým zrychlením ε. Obr..37 Působení síly na tuhé těleso Tento pohyb popsuje pohybová rovnce otáčvého pohybu tuhého tělesa M = Jε (.150) nebo vektorově M = J ε Rovnce umožňuje určt úhlové zrychlení ε, úhlovou rychlost ω a úhlovou dráhu ϕ pohybu tuhého tělesa, známe-l výsledný moment sl M. Proto je výhodné j zapsat ve tvaru d ϕ M = J (.151) Důsledky pohybové rovnce: Pro M = 0 je 0 ε = a ω = konst., Pro M = konst. kružnc. je ε = konst., což charakterzuje rovnoměrný pohyb po kružnc. což charakterzuje rovnoměrný zrychlený pohyb po Moment setrvačnost tělesa Užtím ntegrálního počtu můžeme upřesnt defnc momentu setrvačnost vzhledem k dané ose (.149). Tuhé těleso rozložíme na elementy dm o vzdálenost r od osy otáčení (obr..38). Moment setrvačnost dj vzhledem k ose otáčení elementu tělesa o hmotnost dm, který můžeme pokládat za částc (hmotný bod) je dj = r dm Moment setrvačnost vzhledem k dané ose je skalární velčna a proto celkový moment setrvačnost tělesa vzhledem k ose je roven součtu elementárních momentů dj, tj. CZ.1.07/..00/

8 Pohybová rovnce 8 J = r ( m) dm (.15) kde (m) znamená, že ntegrujeme přes celé těleso. Moment setrvačnost homogenního tuhého tělesa vzhledem k ose otáčení závsí na hmotnost tělesa, na jeho tvaru a na poloze osy otáčení vzhledem k tělesu. Obr..38 K defnc momentu setrvačnost Vztah (.15) lze převést na ntegrac přes objem (V) celého tělesa vyjádřením J = ( V ) ρ r dv (.153) Zavedením poloměru setrvačnost (gyračního poloměru) R s, tj. vzdálenost od osy, v níž by musela být soustředěna celá hmotnost tělesa, aby její moment setrvačnost J byl týž jako př daném rozdělení hmotnost m kolem osy otáčení, je J = mr S, kde J R S = (.154) m Pro tuhé těleso jednoduchého tvaru lze moment setrvačnost vzhledem k dané ose určt výpočtem. Např. pro stálou hmotnost m vzhledem k ose, která prochází těžštěm tuhého tělesa pro homogenní koul o poloměru r: pro tenkostěnnou dutou koul o poloměru r: pro homogenní válec o poloměru r: pro tenkostěnný dutý válec o poloměru r: J = 5 mr (.155) J = 3 mr (.156) J = 1 mr (.157) J = mr (.158) CZ.1.07/..00/

9 Pohybová rovnce Stenerova věta Obr..39 Ke Stenerově větě Změní-l se poloha osy otáčení vzhledem k tuhému tělesu, změní se jeho moment setrvačnost vzhledem k nové ose. Známe-l moment setrvačnost tuhého tělesa J T vzhledem k ose, která prochází jeho těžštěm, dovedeme určt moment setrvačnost J téhož tělesa vzhledem k ose, která je s touto osou rovnoběžná, použtím Stenerovy věty J = J ml T + (.159) kde m je hmotnost tělesa, l kolmá vzdálenost osy otáčení od osy, která je s ní rovnoběžná a prochází těžštěm T tělesa (obr..39). CZ.1.07/..00/