1.5. DYNAMIKA OTÁČIVÉHO A SLOŽENÉHO POHYBU TĚLESA

Transkript

1 .5. OTÁČIVÉHO A SLOŽENÉHO POHYBU TĚLESA.5. ZÁKLADNÍ ROVNICE DYNAMIKY PRO ROTAČNÍ POHYB Fz F Z výsednce zrychujících s F m.a n m a t a n r z F Zrychující moment M F. r F. r z z z m.a t r6,5cm ρ r ω,ε r F Setrvačné síy m at M m. a t. m. a n M. D Aambertův prncp Podmínka rovnováhy: M F. r m. a., kde F. r t m.. at F. r z z. m. F. r. J z z M Fz. rz J. zákadní rovnce dynamky pro rotační pohyb, kde J kgm je moment setrvačnost těesa m. - -

2 .5. MOMENTY SETRVAČNOSTI TĚLES Moment setrvačnost je mírou setrvačných účnků těesa př rotačním pohybu. Tato večna závsí na hmotnostech eementů těesa a na jejch rozožení vzhedem k rotační ose. Setrvačnost hmotných eementů se upatňuje s druhou mocnnou jejch vzdáeností od osy rotace. O r Δm Eementární moment setrvačnost hmotného bodu o eementární hmotnost m (,,..., n ) vzdáeného od osy otáčení r je dán výrazem J m. r Cekový moment setrvačnost těesa k dané ose n n J J m r kg.m Je- moment setrvačnost vztažen k ose procházející těžštěm těesa, označuje se J a nazývá se centráním momentem setrvačnost Nahrazení těesa hmotným bodem V techncké prax často potřebujeme převést (redukovat) hmotnost otáčejícího se těesa s momentem setrvačnost J do jednoho hmotného bodu. Potom musí patt Redukovaná hmotnost J těěes J hmot. bodu Je- předepsána vzdáenost r hmotného bodu od osy otáčení, musí patt J mr.r. J Odtud m r je redukovaná hmotnost. r Takto ze redukovat např. hmotnost setrvačníku do čepu kky, hmotnost navíjecího bubnu na jeho obvod apod. Pooměr setrvačnost Soustředíme- hmotnost těesa do jednoho hmotného bodu, bude jeho vzdáenost j od osy rotace odvozena ze vztahu J m. j O r Δm J j m, kde j m pooměr setrvačnost Setrvačný moment Místo momentu setrvačnost se př výpočtech setrvačníků a rotačních část často používá výraz setrvačný moment - m.d, kde J D j m - -

3 Přehed momentů setrvačnost zákadních geometrckých těes Tyč k ose procházející koncovým bodem m sn α Momenty setrvačnost (u sožených těes) ze sučovat - -

4 Pozn. Př výpočtu momentu setrvačnost těes předpokádáme spojtě rozoženou hmotnost. Pak sumace nekonečné řady J ntegrac provádíme přes hmotnost m těesa. Je- těeso homogenní, pak konst. a dv je eement objemu. V n J n m r potom J r dv. Integrac provádíme přes ceý objem těesa přejde na určtý ntegrá, kde Příkad Vypočtěte moment setrvačnost homogenního kruhového váce k jeho rotační ose. Váec má pooměr R a hmotnost m. J r dv, kde dv r. dr V R dm. dv, 4 Potom J r dv r dr R mr, kde m r R Příkad Vypočtěte moment setrvačnost homogenní koue o hmotnost m a pooměru R vzhedem k ose, která prochází jejím středem. Kou s představíme soženou z eementárních desek (vrstev) o pooměru r a toušťce dy. Deska má v souadu s eementární moment setrvačnost dj r dm, kde dm r dy, r R y. Po ntegrac R dostaneme J R y dy R mr R 4 m R je hmotnost koue. 5, kde - 4 -

5 MOMENTY SETRVAČNOSTI K OSÁM ROVNOBĚŽNÝM S OSOU PROCHÁZEJÍCÍ TĚŽIŠTĚM Stenerova věta - 5 -

6 .5. IMPULS MOMENTU A MOMENT HYBNOSTI Točvý moment vnější síy na těeso: M.I, kde t M I. /.t t M. t I. M. t mpus momentu I moment hybnost. Je- počáteční úhová rychost - konečná úhová rychost, pak M. t I. I M. -.mpusová věta: Výsedný t moment vnějších s k bovonému pevnému bodu nebo ose je roven časové změně momentu hybnost soustavy hmotných bodů k témuž bodu nebo ose - 6 -

7 .5.4. KINETICKÁ ENERGIE ROTUJÍCÍHO TĚLESA Uvažujme bovoné nepravdené těeso rotující konstantní úhovou rychostí koem pevné osy. Pokud s vybereme nějaký mačký kousek těesa o hmotnost m, můžeme určt jeho knetckou energ jako Ek m. v () kde v je obvodová rychost tohoto eementárního hmotného bodu k ose daná vztahem v r. () kde r je komá vzdáenost bodu od osy otáčení. Takovýmto způsobem můžeme vyjádřt knetckou energ všech eem. hmotných bodů, ze kterých je těeso tvořeno a cekovou knetckou energ rotačního pohybu těesa pak získáme jako součet všech eementárních energí energí: E k Ek m. v () Dosadíme- za obvodovou rychost ze vztahu (), dostáváme pro knetckou energ rotačního pohybu těesa výraz: Ek m momentem setrvačnost těesa. r. (4) kde výraz m r I. je I. Ek (5) Moment setrvačnost těesa je ovvněn rozožením hmoty v těese. Pokud je hmota soustředěna bízko u osy otáčení je moment setrvačnost maý, stejně těžké těeso s hmotou rozprostřenou dáe od osy otáčení má moment setrvačnost větší

8 .5.5 ZMĚNA ROTAČNÍ ENERGIE PRÁCE ZRYCHLUJÍCÍCH SIL Těeso se rovnoměrně otáčí úhovou rychostí koem pevné osy o Účnkem momentu zrychujících s (F, F, F) M = F.r se otáčvý pohyb těesa začne zrychovat. Pootočením o úhe vykoná zrychující moment prác: W = F.s = F.r. = M. W M. Tato práce zvětší počáteční energ těesa z energ těesa otáčení. E k I', kde ' E k I' na pohybovou I moment setrvačnost těesa k ose Práce zrychujícího momentu se pak rovná přírůstku rotační energe těesa: W M. I ' I ' I ' Pro pohyb z kdu, kdy =, patí: W M. I' - 8 -

9 .5.6 ODSTŘEDIVÁ SÍLA TĚLESA Odstředvá sía těesa řešena podobně jak odstředvá sía hmotného bodu, kdy hmotnost těesa je soustředěna do těžště F c m. a m. r. n T Otáčející se tyč F c m a. n m. rt. m. r. Působštěm odstředvé síy je však těžště trojúheníku díčích odstředvých s T Těeso s osou rovnoběžnou s osou otáčení F m a c. n m. rt. m. r

10 e e SPŠ a VOŠ KLADNO KRITICKÉ OTÁČKY T Průhyb nosníku př působení odstředvé síy (ze stroj.tab.) y Fc, kde my e F c / / m y e y y ym em T y y m em em y m e m S rostoucí se zvětšuje y. Bíží- se jmenovate nue, roste y nade všechny meze a hrozí porušení hřídee m y max m G g g G g, kde y max je největší průhyb způsobený vastní tíhou hřídee n krt g y max - -

11 Posuvný pohyb Otáčvý pohyb hmotnost m J moment setrvačnost rychost v úhová rychost zrychení a úhové zrychení dráha s úhe pootočení sía F M točvý moment Zákadní rovnce dynamky F m. a M J. setrvačná sía F s m. a M s J. moment setrvačných s Impuz a hybnost F. t mv v M. t J práce zrychující síy (momentu) = přírůstek knetcké energe W F. s m( v v ) W M. J Výkon P F. v P M..5.7 POHYBOVÁ ENERGIE PŘI OBECNÉM POHYBU Př obecném pohybu se těeso otáčí úhovou rychostí koem okamžté osy otáčení. Užtím Stenerovy věty: r ω ' v E k I '. ( I mr ) I. m. r. E k I m v. Obecný pohyb v tomto případě = rotace úhovou rychostí + posun rychostí v - -