0.1 Problém tří těles

Transkript

1 .1 Problém tří těles Naším cílem je nahlédnout, jak se pohybují Slunce, Jupiter a kometa(tělesa 1,, 3). Abychom si problém zjednodušili na únosnou úroveň, budeme předpokládat,žekometamáhmotnost m 3 =ažejupiterseokolosluncepohybuje nerušeně po kružnici(jako v problému dvou těles s excentricitou e = ). Takovou úlohu nazýváme kruhový omezený problém tří těles. Omezený proto, že kometa nepůsobí gravitací na Jupiter a Slunce, pouze Slunce a Jupiter působínakometuanasebenavzájem.(beztakbykometanemělašanciobíhání Jupitera ovlivnit.) Pro Slunce a pro Jupiter ani nemusíme psát pohybové rovnice, protože jejich řešeníznáme vinerciálnísoustavěspočátkemvhmotnémstředujsouto rovnice kružnic: r 1 =( a J r =( a J µ {}}{ m m m 1+m cosnt, a J m 1+m sinnt,), 1 µ {}}{ m 1 m m 1+m cosnt, a 1 J m 1+m sinnt,), kde a J. =5,AUjevzdálenostSlunce Jupiteran= G(+m ) a 3 J. =,15 rad den jeho střední pohyb(neboli úhlová frekvence vzájemného obíhání). Pro kometu platí pohybová rovnice(odvozená z Newtonových zákonů): r 3 = Gm 1 r 3 r 1 3(r 3 r 1 ) Gm r 3 r 3(r 3 r ). (1) Bohužel, v těchto třech diferenciálních rovnicích. řádu vystupují explicitní funkcečasu r 1 (t), r (t)ajejichprůběhneznáme.naštěstísealemůžeme t zbavit... y O 3 r 3 1 r r 3 y 1 r O r 1 x r x Obr.1 Nákrestřítělesvinerciálnívztažnésoustavě O xyzspočátkemvehmotnémstředu adefinice vektorů r 1, r, r 3, r 1, r, r 3.Naznačena jetéžotočená souřadnicovásoustava O x y z Otáčející se soustava. Coriolisovo a odstředivé zrychlení Otočíme-li souřadnicovou soustavu okolo osy z o úhel ϕ = nt, Slunce a Jupiter se v nových čárkovaných souřadnicích nehnou z místa: r 1=( µa J,,), r =((1 µ)a J,,). Tutotransformacisouřadnicmůžemezapsatmaticovějako r = R z (ϕ) r,respektive r= R z ( ϕ) r,čilivesložkách: x y z cosnt sinnt = sin nt cos nt 1 x y z = x cosnt y sinnt x sinnt+y cosnt. () z Pro dosazení do pohybové rovnice(1) budeme ovšem potřebovat také druhé derivace souřadnic podle času, které teď musíme vypočítat. Nejprve rychlosti: poté zrychlení: ẋ ẏ = ẋ cosnt x nsin nt ẏ sin nt y ncosnt ẋ sin nt+x ncosnt+ẏ cosnt y nsinnt ż ż = (ẋ ny )cosnt (ẏ + nx )sin nt (ẏ + nx )cosnt+(ẋ ny )sin nt, (3) ż ẍ ÿ = (ẍ nẏ )cos nt (ẋ ny ) nsin nt (ÿ +nẋ )sin nt (ẏ +nx ) ncos nt (ÿ +nẋ )cos nt (ẏ +nx ) nsin nt+(ẍ nẏ )sin nt+(ẋ ny ) ncos nt z z a Coriolisovo a odstředivé {}}{{}}{ = (ẍ nẏ n x )cosnt (ÿ +nẋ n y )sin nt (ÿ +nẋ n y )cosnt+(ẍ nẏ n x )sin nt. () z Vidíme,jaksenámzde vyloupla dvěnovázrychlení:coriolisovoaodstředivé;prvnízávisínarychlostijako n v(zdejevektorovýsoučin)adruhé nasouřadnicíchjako n r odosy otáčení přesnějakjsmeuodstředivésíly zvyklí. Jejich podstatou není nějaké fyzikální působení(jako je třeba gravitace), ale objevují se pouze z důvodu transformace souřadnic do neinerciálního systému. Proto jim ostatně říkáme zrychlení zdánlivá.

2 Dosazení provedeme nejprve pro složku x(vzdálenosti se při otáčení zachovávají, tudíž jsme je ve jmenovatelích napsali rovnou v nových souřadnicích): (ẍ 3 nẏ 3 n x 3)cosnt (ÿ 3+nẋ 3 n y 3)sin nt= Gm 1 = (x 3 + µa J) + y 3 + z 3 ]3/ (x 3+ µa J )cosnt y 3sinnt] Gm (x 3 (1 µ)a J) + y 3 + z 3 ]3/ (x 3 (1 µ)a J )cos nt y 3sinnt]. Použijeme teď dva triky: 1.sdružímečlenyscosntačlenysesin ntauvědomímesi,žemají-lirovnice platit pro libovolné t, musejí se rovnat koeficienty u těch sínů a kosínů;.vynechámečárkyaindex 3,abychomseznichnezbláznili(beztaktamnic jinéhonež x 3, y 3 a z 3 nevystupuje). Výsledkem jsou tyto pohybové rovnice pro kometu v korotujícím systému: ] ẍ nẏ n x+ µa J x (1 µ)a J x= G m m R 3, (5) ÿ+nẋ n y= G 3 + m ] R 3 y, (6) z= G 3 + m ] R 3 z, (7) kde relativní vzdálenosti jsou: R 1 = (x+ µa J ) + y + z ] 1/, R = (x (1 µ)a J ) + y + z ] 1/ a µ= m m 1+m (tj.malýparametrřádu1 3 projupiteraslunce).žel,anityto rovnice neumíme obecně řešit(tzn. najít 6 skalárních funkcí x(t), y(t), z(t), ẋ(t), ẏ(t)aż(t)).zdálobyse,žejsmesiotáčenímpřílišnepomohli,nicméně Jacobiho integrál Alespoň můžeme najít jeden velmi užitečný integrál pohybu: rovnice(5),(6), (7)vynásobímepořadě ẋ, ẏ, ż,sečteme: ] ẍẋ+ÿẏ+ zż n x+ µa J x (1 µ)a J (xẋ+yẏ)= G m m R 3 ẋ G 3 + m ] R 3 (yẏ+ zż) 3 ajednouintegrujemepodlečasu: 1 1 (ẋ + ẏ + ż ) n (x + y )=G + m ] + C, R 1 R kde Cjeintegračníkonstanta.Nakonecnásobímedvěmaaznačíme C= C J jako Jacobiho integrál: U {}}{ v C J = n (x + y )+G + m ] {}} { (ẋ + ẏ + ż ), (8) R 1 R kde U(x, y, z) označuje efektivní potenciál(funkci souřadnic) a v rychlost komety vzhledem k neinerciální rotující soustavě(v níž jsou Slunce a Jupiter vklidu).hodnotu C J prodanoukometumůžemevypočítatzpočátečních podmínek(souřadnic a rychlostí) komety prostým dosazením do(8). UžitečnostJacobihointegráluspočívávtomto: v jepochopitelněnezáporné, čili musí vždy platit: v =U C J >. Toaleznamenáomezenípropohybkomety kdyžsinakreslíme vrstevnice funkce U(obr.),takpouzevmístech,kdeU > C J,jepohybdovolen! U / (a J n) L L 3 L 1 L L y / AU Obr. GrafefektivníhopotenciáluU(x, y,)apříslušnéizočáry;prosystémspoměrem hmotností µ=,.hodnotyujsouuváděnyvjednotkách(a J n). 1 Svědomím,žederivacevýrazu 1 R 1 =(x+ µa J ) +y +z ] 1/ jerovna 1 (x+ µa J) + + y + z ] 3/ (x+ µa J )ẋ+yẏ+zż]apodobněpro 1 R.

3 Prourčitoudráhukomety,tedyurčité C J lzenakreslitkřivkunulovérychlosti. Když se bude kometa přibližovat k příslušné křivce, mohu si být jist, že jinepřekročí,alekolmoseodní odrazí. Všimněme si vzhledu grafu funkce U z hlediska topologického: je na něm pětinflexníchbodů,označených L 1 až L 5.Podlehodnoty C J můžemerozlišit pět případů, jak vypadají dovolené a zakázané oblasti(obr. 3): 1. C J <potenciálu(vbodě L )=U(L 5 ):pohybjedovolenvcelérovině x, y. To je ostatně přirozené když kometě udělím obrovskou rychlost (a C J pakvycházímalé),doletíkamkoliv..u(l )=U(L 5 ) < C J <U(L 3 ):dvězakázanéoblastijsouvokolíbodů L a L 5,jindejepohybdovolen. 3.U(L 3 ) < C J <U(L ):zakázánéoblastiobepínajíbody L 3, L a L 5 ve tvaru podkovy; kometa může letět pryč od Slunce pouze kolem Jupitera..U(L ) < C J <U(L 1 ):kometamůželétatvblízkostislunceijupitera, alenemůžeseodtuddostatzabod L.Takésezpozabodu L nemůže dostat dovnitř. 5. C J >U(L 1 ):kometamůžebuďobíhatslunce,nebojupiter,aneboobíhá tuto dvojici ve velké vzdálenosti, nemůže však mezi orbitami přecházet jsou nulové: ẍ=ÿ= z= ẋ=ẏ= ż=. (9) Dosazením této podmínky do pohybových rovnic(5) až(7) obdržíme: ] n x+ µa J x (1 µ)a J x= G m m R 3, n y= G 3 + m ] R 3 y, = G 3 + m ] R 3 z. Zetřetírovniceokamžitěplyne,že z=,tedyvšechnylibračníbodynutně leží v rovině Jupiterovy dráhy kolem Slunce. Jedním z řešení druhé rovnice je y=,pakovšempodleprvnírovnice: ] f(x) n sgn(x+ µa J ) sgn(x (1 µ)a J ) x+g m 1 (x+ µa J ) + m (x (1 µ)a J ) =. (1) Kořeny této funkce f(x) jsou polohami libračních bodů(její průběh je obr. )...1 f(x) / m/s L 3 S L L 1 J Obr. 3 Tvary dovolených(bílých) a zakázaných(šedých) oblastí v problému tří těles. Obrázkyodpovídajípřípadům.,3.,.a5.diskutovanýmvtextu.Porovnejtetéžsobr.. Převzatoz]. Dva zvláštní tvary drah dostaly svoje názvy: pokud se těleso pohybuje pouzevokolíbodu L (nebo L 5 ),jednáseoorbitutypu pulec (angl.tadpole); napříkladtrojanémajítakovédráhy.obíhá-litělesobody L, L 3 a L 5 tam azpět,jdeotyp podkova (horseshoe);pěknýmikomplikovanýmipříklady ze sluneční soustavy mohou být asteroid(3753) Cruithne v rezonanci 1/1 se Zemí nebo koorbitální satelity Saturnu Janus a Epimetheus..1.3 Lagrangeovy librační body Librační body jsou místa, kde se kometa nepohybuje(myšleno samozřejmě v korotující soustavě, tzn. vzhledem ke Slunci a k Jupiteru; kdyby se nepohybovala v nekorotující, spadne na Slunce). To znamená, že všechny derivace Obr. Průběhfunkce f(x)aodpovídajícípolohykolineárníchlagrangeovýchbodůl 1, L al 3 prosoustavuslunce Jupiter. V případě nekolineárních bodů, když je y, musí zřejmě platit soustava dvou nelineárních rovnic: G + m ] R 3 n µa J x+g G 3 m ] (1 µ)a J R 3 =, G 3 R m R 3 n G ] y=. 6

4 Její řešení je možné zajistit tak, že výrazy v hranatých závorkách položíme identickyrovnynule,čímžobdržímejednodušísoustavu,pouzepro R 1 a R (navícdosadímeza n = G(+m), µ= m a 3 m J 1+m a(1 µ)= m 1+m ): m m R 3 m 1 m a J R 3 1 m 1+ m a 3 J m m 1 a J R 3 =, (11) =. (1) Řešení je evidentní: R 1 = R = a J, což znamená dva librační body L al 5 vevrcholechrovnostranných trojúhelníků Slunce Jupiter libračníbod (viz obr. 5). Bez odvození uvádíme přibližné vztahy pro výpočet poloh Lagrangeových bodůapříslušnéhodnoty C J vpřípaděmalýchpoměrůhmot(viz85], α ( m 3m 1 ) 1 3): Stabilitalibračníchbodů.Podrobnějšíanalýzaukazuje,žebody L a L 5 jsoulineárněstabilní,je-li µ,385,cožjeproslunce Jupitersplněno. Znamená to, že těleso může okolí těchto bodů setrvat velmi dlouhou dobu. Ostatně pozorujeme početnou populaci Trojanů a Řeků v Lagrangeových bodechpříslušejícíchjupiteru. 3 JednotlivéTrojanyznámeiujinýchplanet:čtyři umarsuapětuneptunu. Body L 1, L a L 3 jsounaprotitomuexponenciálněnestabilní.nestabilita alenení hrozivá prosystémslunce Zeměmůžetělesozůstatvjejichokolí řádověměsíc.poblíž L 1 a L jsounapříkladumístěnykosmickésondysoho awmap) ;jejichdráhasemusíjenněkolikrátročněkorigovatraketovými motory, aby neodlétly pryč. bod x/a J y/a J C J /(a J n) L 1 (1 µ) α+ 1 3 α α α + O(α 5 ) µ µ+o( µ ) L (1 µ)+α+ 1 3 α 1 9 α α + O(α 5 ) µ µ+o( µ ) L 3 µ 1+ 7 m 7 1 m 1 1 ( m ) m ( m ) +O( m ) 3+ µ+o( µ ) m 1 m 1 1 L µ µ+o( µ ) 1 L 5 µ 3 3 µ+o( µ ) y / AU L 3 S L L 5 L 1 L J C L,5 + ε C L3 C L C L1 Obr. 5 Polohy Lagrangeových libračních bodů L 1 až L 5 v soustavě Slunce Jupiter (s poměrem hmotností µ. = 1 3 ). Kostrbatost izočar potenciálu U je numerickým artefaktem. 7 Obr.6 TrajektoriesondySOHOajejípoloha přitransferuodZeměkbodu L 1,okolokteréhodnessondaobíhá.PronázornostjsouzakreslenytakéSlunce,Zeměa oběžná dráha Měsíce. Převzato z Tisserandův parametr Při obíhání samotné komety okolo Slunce(v problému dvou těles) by byly keplerovské orbitální elementy(a, e, I,, Ω) konstantami. Při blízkém přiblížení komety k Jupiteru(v problému tří těles), ale evidentně konstantní nebudou Jupiter může zcela změnit velkou poloosu, excentricitu i sklon její dráhy(viz obr. 9). I při výrazně odlišné dráze před přiblížením a po přiblížení však můžeme poznat, že se vlastně jedná o tutéž kometu, a to s využitím Jacobiho integrálu, Totoplatípřisoučasné konfiguraci planet.pokudsealejupiterasaturnnacházely vrezonancistředníchpohybů1:,bylaoblastokolo L a L 5 vtudobuzcelanestabilní. 3 K6.8.8byloznámo17asteroidůvL a17vl 5.CelápopulaceTrojanů, včetně malých, dosud nepozorovaných těles, je však nejpíš početnější než hlavní pás mezi Marsem a Jupiterem. V L3 bybyloumístěnísondynepraktické,protožetojedalekozasluncem. 8

5 který se v problému tří těles zachovává vždy, i při blízkých přiblíženích. Potřebujemepouzevyjádřit C J vinerciálních(nečárkovaných)souřadnicíchapak jakofunkci a, e, I. Nejprve opišme Jacobiho integrál v neinerciálních(čárkovaných) souřadnicích: C J = n (x + y )+G + m ] (ẋ + ẏ + ż ). R 1 R Proveďme zpětnou transformaci souřadnic(v(3) stačí zaměnit n za n): a {}}{ ẋ (ẋ+ny)cosnt+(ẏ nx)sin nt ẏ = (ẏ nx)cos nt (ẋ+ny)sin nt. ż }{{} ż b Prvnídvačleny C J jsouvůčirotaciinvariantní,pouzeutřetíhomusímepočítat: ẋ + ẏ + ż = a cos nt+absin ntcosnt+b sin nt+ + b cos nt absin ntcosnt+a sin nt+ż = a + b + ż = ẋ +ẋny+ n y + ẏ ẏnx+n x + ż. Jacobiho integrál v inerciálních souřadnicích je tedy: C J = n (x + y )+G + m ] (ẋ +ẏ +ż )+n(xẏ yẋ) n (x + y ). R 1 R Nyní využijeme dva známé vztahy z problému dvou těles integrál živé síly aintegrálmomentuhybnosti(představujemesipřitom,žedalekood Jupitera bude pohyb komety dobře aproximovaný keplerovskou elipsou; zde µ=g(m 1 + m )): ( ) v = µ r 1, a h= r ṙ = (,, xẏ yẋ) = a(1 e )µ. Vzhledem k tomu, že dráha komety může být skloněná k dráze Jupitera oúhel I,musímepronašesouřadnicevzít: xẏ yẋ=hcosi. Po dosazení je: C J =G + m ] Gm 1 1 ] +n a(1 e R 1 R R 1 a )Gm 1 cosi. 9 Budeme-liještěpředpokládat,že m m 1 (tojeprojupiter Sluncedobře splněno)azároveň R (C J prokometupočítáme,kdyžjsmedalekood Jupitera), platí přibližně: C J. = Gm 1 a Nakonecdosadímeza n =. G a 3 J parametr: +n a(1 e )Gm 1 cosi, aoznačíme T p = C J a J Gm 1 jakotisserandův T p = a J a a + (1 e a )cosi =konst.. (13) J AťužkometaprodělápřiblíženíkJupiterukolikchce,hodnota T p (a, e, I)se projejídráhu(přibližně)zachovává(vizpříkladynaobr.7až9avtab.1). y / AU T p =.973 kometa (T p =.973) Slunce Jupiter Obr. 7 Orbita komety před přiblížením k Jupiteru a po něm, přičemž Tisserandův parametr je pro obě dráhy přibližně stejný. Tenkou čarou jsou naznačeny také oskulační elipsy platné pro začátek a konec skutečné trajektorie; mimo blízké přiblížení k Jupiteru jsou velmi dobrou aproximací pohybu. Oskulační sklon je po celou dobu roven nule(tedy z = ). Výpočet numerickým integrátorem swift_bs. 1

6 y / AU kometa Slunce Jupiter Obr. 8 Tatážtrajektoriejakonaobr.7,alevkorotujícímsystému.Tenkoučarouje znázorněný další vývoj po dobu 3 let; namísto elips v inerciálním systému jsou patrné typické kličky vkorotujícím.(slunceajupiterstálezůstávajívtéžepoloze,vjakéje vidíme na obrázku.) T p t / rok Obr.9 Tisserandůvparametr T pavelkápoloosa avzávislostinačase tprodráhukomety zobrazenou na obr. 7. S výjimkou blízkého přiblížení(kdy neplatí použité aproximace) je Tisserandův parametr(alias Jacobiho integrál) prakticky konstantní, i když u velké poloosy (alias celkové energie) je evidentní skok. 11 T pa a / AU datum q/au e I/ T J ,789,16 3,8 3, ,5,13 3,98 3, ,71,3 1,95 3,5 Tab. 1 Vzdálenost pericentra q = a(1 e), excentricita, sklon a Tisserandův parametr pro kometu 39P/Oterma. Přestože kometa během. století prodělala dvě těsná přiblížení kjupiteru,7.října1937na,165aua1.dubna1963na,95au,zůstávájejí T J přilbižně zachováno..1.5 Komety Jupiterovy rodiny Velmi pěknou aplikací problému tří těles je vysvětlení původu komet Jupiterovy rodiny(jfc), tj. komet, které mají afélium(nebo perihélium) v blízkosti Jupitera. Původem se totiž jedná o tělesa Kuiperova pásu(kbo), která se díky blízkým přiblížením k velkým planetám přesouvají z vnější do vnitřní části sluneční soustavy. Právě popis tohoto mechanismu nyní provedeme. ZvolmepočátečníelementykometyvKuiperověpásu: a=39,5au, I= a excentricitu takovou, aby se kometa v periheliu přibližovala k Neptunu, tzn. q = a(1 e)=a Neptunu =3,1AU e. =,.Cosebudedítpři blízkém přiblížení komety k Neptunu? Jak se dráha komety může změnit? Především,podlepricipukauzality,musíi rozptýlená trajektoriestáleprocházetvblízkostineptunu!(nemůžepříliš odskočit ;představíme-lisipohyb komety v minulosti, nikdy by Neptun nepotkala.) V nejpříznivějším případě bude pozměněný afel komety u Neptunu: Q = a (1+e )=a N. (1) Zároveň ale musí zůstat zachována hodnota Tisserandova parametru vzhledem kneptunu: 1 T N = T N= a {}}{ N a a +cosi (1 e a ), (15) N. kterouspočtemezpočátečníchelementů a, ekomety(t N =,99).Vztahy(1) a(15)tvořísoustavudvounelineárníchrovnicproproměnné a, e.když vyjádřímezprvnírovnice a N a adosadímedodruhé,obdržímekvadratickou rovnicipro e : e +( T N +6)e +(T N T N 3)=, jejímž řešením v oboru kladných reálných čísel je: e = T N 3+ 3 T N. =,1. (16) 1

7 Snadnopakdopočteme,že a = a N (1+e ). =,8AUaperihélium q = a (1 e ). = 19,5 AU. Vidíme, že Neptun je schopen rozptýlit kometu nanejvýš k Uranu (s a U =19,AU),nikolikSaturnu(a S =9,6AU),natožrovnoukJupiteru (a J =5,AU). Co se bude dít dál? Jakmile se dráha komety začne přibližovat Uranu, může ji Uran začít rozptylovat stejným mechanismem. Jako počáteční a, e pro výpočetrozptyluuranemnevezmemekonečná a, e porozptyluneptunem, aletaková,že q= a U a Q=a N,konkrétně a=,6auae=,.stejně jako předtím spočteme Tisserandův parametr, ale tentokrát vzhledem k Uranu (T U =,99),azrovnice(16)zjistíme,že e =,, a =16,AU, q =1,8AU. Dráha se již přibližuje Saturnu dosti těsně. uvnitř dráhy Jupitera není. Komety pak mohou po tisíce oběhů vykazovat aktivitu tvořit komu a ohon v menších vzdálenostech od Slunce. Neaktivní komety se nám jeví jako asteroidy(na typicky kometárních dráhách). 5 komety Jupiterovy rodiny rozptyl na Jupiteru P/Encke planety kometa y / AU perihelia S J afelia -5 y / AU N S JFC S J U KBO Obr. 1 Dráhyčtyřechvelkýchplanetakometypostupně poskakující zkuiperova pásu mezi komety Jupiterovy rodiny Obr. 11 Orbity komet Jupiterovy rodiny(skloněné do roviny dráhy Jupitera a otočené tak, že všechna perihélia jsou vlevo a afélia vpravo) v porovnání s typickou dráhou rozptýlenou na Jupiteru(odvozenou z problému tří těles). Záhadou je původ aktivní komety P/Encke, která má orbitu od Jupitera oddělenou. Vývoj na takovou dráhu přitom trvá miliony let, během kterých by se měla kometa dávno vyčerpat. Asi je zřejmé, jak bychom pokračovali: stejně bychom popsali rozptylování na Saturnu a na Jupiteru. Konečná trajektorie komety, po rozptýlení na Jupiteru, vypadá takto: e =,7, a =,1AU, q =3,7AU. Podleobr.11vidíme,žesejednáodráhukometyJupiterovyrodiny.:) TělesaKuiperovapásutedy poskakují odneptunukuranu,oduranu ksaturnu,odsaturnukjupiteru 5,kdeskončí,protožežádnávelkáplaneta 5 Kentauři,tj.pozorovanéasteroidykřížícídráhyvelkýchplanet,jsouzřejměprávětakovátotělesa nacestě. 13 1

8 Literatura Učebnice 1] Beatty, J. K., Petersen, C. C., Chaikin, A.: The New Solar System. Cambridge: Cambridge University Press, ISBN ] Bertotti, B., Farinella, P., Vokrouhlický, D.: Physics of the Solar System. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, 3. ISBN ] de Pater, I., Lissauer, J. J.: Planetary Sciences. Cambridge: Cambridge University Press, 1. ISBN Reference ] Alvarez, L. W., Alvarez, W., Asaro, F., Michel, H. V.: Extraterrestrial cause for the Cretaceous Tertiary extinction. Science, 8, s. 195, ] Artemieva, N., Pierazzo, E., Stöeffler, D.: Numerical modeling of tektite origin in oblique impacts: Impications to Ries-Moldavites strewn filed. Bull. of the Czech Geological Survey, 77,, s ,. 6] Bernard, J. H., Rost, R. aj.: Encyklopedický přehled minerálů. Praha: Academia, ] Boček, M.: Petrologické složení povrchu a kůry Měsíce. Povětroň, 1, S1, 3, 6. 8] Bottke, W. F., Cellino, A., Paolicchi, P., Binzel, R. P.(editoři): Asteroids III. Tuscon: The University of Arizona Press,. ISBN ] Bottke,W.F.,Rubincam,D.P.,Burns,J.A.: Dynamicalevolutionofmainbelt meteoroids: Numerical simulations incorporating planetary perturbations and Yarkovsky thermal forces. Icarus, 15, s ,. 1] Bottke, W. F., Vokrouhlický, D., Nesvorný, D.: An asteroid breakup 16 Myr ago astheprobablesourceofthek/timpactor.nature,9,7158,s ] Bottke, W. F. aj.: Debiased orbital and absolute magnitude distribution of the near- Earth objects. Icarus, 156,, s ,. 1] Bowell, T.: AstOrbonline].cit ]. ftp://ftp.lowell.edu/pub/elgb/astorb.html. 13] Brož, M.: Impaktní kráter Steinheim. Povětroň S1/3, s ] Brož, M.: Impaktní krátery() Ries. Povětroň 5/1, s ] Brož, M.: Yarkovsky Effect and the Dynamics of the Solar System. Dizertační práce, Karlova univerzita, Praha, 6. 16] Brož, M.: Yarko-siteonline].cit ]. 17] Brož, M. aj.: Planetární stezka v Hradci Královéonline].cit ]. 18] Brož, M., Nosek, M., Trebichavský, J., Pecinová, D. Editoři: Sluneční hodiny na pevných stanovištích. Čechy, Morava, Slezsko a Slovensko. Praha: Academia,. ISBN ] Bruns,H.,ActaMath.,11,s.5,1887. ] Burbine, T. H. aj.: Meteoritic parent bodies: their number and identification. in AsteroidsIII,W.F.BottkeJr.,A.Cellino,P.Paolicchi,aR.P.Binzel(eds),Tuscon: University of Arizona Press,, s ] Burns,J.A.,Lamy,P.L.,Soter,S.: RadiationforcesonsmallparticlesintheSolar System. Icarus,, s. 1 8, ] Burns, J. A., Safronov, V. S.: Asteroid nutation angles. Mon. Not. R. Astr. Soc., 165, 3, ] Calligan, D. P., Baggaley, W. J.: The radiant distribution of AMOR radar meteors.mon.not.r.astron.soc.,359,s ,5. ] Carrol, S. M.: Lecture Notes on General Relativityonline].cit ]. 5] Ceplecha, Z.: Geometric, dynamic, orbital and photometric data on meteoroids from photographic fireball networks. Bull. Astron. Inst. Czechosl., 38, s. 3, ] Ceplecha, Z. aj.: Meteor phenomena and bolides. Space Science Reviews, 8, s , ] Cryovolcanism and Geologic Analogiesonline].cit. 9--3]. 8] Čapek, D., Vokrouhlický, D.: The YORP effect with finite thermal conductivity. Icarus, 17, s ,. 9] Earthquakesonline].cit ]. 3] Farinella, P., Vokrouhlický, D., Hartmann, W. K.: Meteorite delivery via Yarkovsky orbital drift. Icarus, 13, s , ] Fernández, J. A.: Comets. Nature, dynamics, origin and their cosmogonical relevance. Dordrecht: Springer, 5. 3] Festou,M.C.,Keller,H.U.,Weaver,H.A.(ed.): CometsII.Tuscon:TheUniversity of Arizona Press,. 33] Foukal, P. V.: Solar Astrophysics. Weinheim: Wiley-VCH,. ISBN ] Frankel, C.: Volcanoes of the Solar System. Cambridge: Cambridge Univ. Press, ISBN ] Gabzdyl, P.: Prohlídka Měsíceonline].cit. 9--5]. 36] Geologischer Wanderweg im Steinheimer Beckenonline].cit ]. 37] Grady, M. M.: Catalogue of meteorites. Cambridge: Cambridge University Press,. ISBN ] Gravity Probe Bonline].cit. 1--1]. 39] Groschopf, P., Reiff, W.: Der geologische Wanderweg im Steinheimer Becken. Steinheim am Albuch, ] Güdel, M.: The Sun in time: activity and environmentonline].cit ]. Living Rev. Solar Phys.,, 7. 1] Hacar, B.: Mechanika sluneční soustavy. Praha: Jednota československých matematiků a fysiků, 198. ] Hadley cell. Encyclopedia Britannicaonline].cit. 1--]. 3] Hagihara, Y.: Celestial Mechanics I. Cambridge: MIT Press, 197. ] Haloda, J.: Meteority a jejich význam pro studium procesů vzniku a vývoje těles sluneční soustavyonline].cit ]. 5] Hamilton, A.: Falling into a black holeonline].cit ]. ajsh/schw.shtml. 16

9 6] Harmanec, P., Brož, M.: Stavba a vývoj hvězdonline].cit ] ] Hirayama, K: Groups of asteroids probably of common origin. Astron. J., 31, 73, s , ] Holmes, N.: Shocking gas-gun experimentsonline].cit ]. 9] Holsapple, K. aj.: Asteroid spin data: no evidence of rubble-pile structures. 36th Lunar and Planetary Science Conference, League City, Texas, 5. 5] Horský, J., Novotný, J., Štefaník, M.: Mechanika ve fyzice. Praha: Academia, 1. ISBN ] Howe, R.: Solar internal rotation and its variationonline].cit ]. Living Rev. Solar Phys., 6, 9. 5] Hutchison, R.: Meteorites: A Petrologic, Chemical and Isotopic Synthesis. Cambridge: Cambridge University Press, 6. ISBN ] Chandrasekhar, S.: The Mathematical Theory of Black Holes. New York: Oxford University Press, ISBN ] Charbonneau, P.: Dynamo models of the solar cycleonline].cit ]. Living Rev. Solar Phys.,, 5. 55] Chesley, S. R., aj.: Direct detection of the Yarkovsky effect by radar ranging to asteroid 689 Golevka. Science, 3, s , 3. 56] Chlupáč, I. aj.: Geologická minulost České republiky. Praha: Academia,. 57] Christensen-Dalsgaard, J.: Stellar Oscilationsonline].cit ] ] International Earth Rotation and Reference Systems Serviceonline].cit ]. 59] Ivezić, Ž. aj.: Solar System objects observed in the Sloan Digital Sky Survey commissioning data. Astron. J., 1, 5, s , 1. 6] Jenniskens, P.: Meteor showers and their parent comets. Cambridge: Cambridge University Press, 6. ISBN ] Johansenn, A. aj.: Rapid planetesimal formation in turbulent circumstellar disks. Nature, 8, 7157, s. 1 15, 7. 6] Johnson, C.: Precession of a gyroscope and precession of the Earth s axisonline]. cit ]. 63] JPL Horizons systemonline].cit ]. 6] JPL planetary and lunar ephemerides, DE5online].cit ]. ftp://ssd.jpl.nasa.gov/pub/eph/planets/. 65] Kaasalainen, M. aj.: Acceleration of the rotation of asteroid 186 Apollo by radiation torques. Nature, 6, 713, s., 7. 66] Kavasch, J.: The Ries Meteorite Crater. A geological guide. Donauwörth: Ludwig Auer GmbH, ] Kelley, M. S.: Comet dust trailsonline].cit ]. 68] Kenkman,T.aj..:Structureandformationofacentraluplift:Acasestudyatthe Upheaval Dome impact crater, Utah. in Large Meteorite Impacts III, s. 85, 3. ISBN ] Kerr, R. P.: Gravitational Field of a Spinning Mass as an Example of Algebraically Special Metrics. Phys. Rev. Lett., 11, s , ] Kozai, Y.: Secular perturbations of asteroids with high inclination and eccentricity. Astron.J.,67,9,591, ] Kring, D. A., Bailey, J.: Terrestrial impact cratersonline].cit ]. 7] Kronk, G.: Cometographyonline].cit. 9-1-]. 73] Levison, H., Duncan, M.: Swiftonline].cit ]. hal/swift.html. 7] Mannings, V. aj.(ed.): Protostars and planets IV. Tuscon: The University of Arizona Press,. ISBN ] Marcan, S.: Phase diagram explanationonline].cit. 9-1-]. 76] McFadden, L. A., Weissman, P. R., Johnson, T. V.(Ed.): Encyclopedia of the Solar System. San Diego: Academic Press, 7. ISBN ] McSween, H. Y.: Meteorites and their parent planets. Cambridge: Cambridge University Press, ] MIAC. Antarctic meteoritesonline].cit ]. 79] Milani, A., Knežević, Z.: Asteroid proper elements and the dynamical structure of the asteroid main belt. Icarus, 17,, s. 19 5, ] Minor planet& comet ephemeris serviceonline].cit ] 81] Misner,C.W.,Thorne,K.S.,Wheeler,J.A:Gravitation.SanFrancisco:W.H. Freeman and Company, ISBN ] Morbidelli, A., Crida, A., Masset, F., Nelson, R. P.: Building giant-planet cores at a planet trap. Astron. Astrophys., 78, s , 8. 83] Morbidelli, A., Levison, H.: Scenarios for the origin of the orbits of the transneptunianobjectscr 15 and3vb 1 (Sedna).Astron.J.,18,56,. 8] Morbidelli, A. aj.: Source regions and timescales for the delivery of water to Earth. Meteoritics& Planetary Science, 35, 6, s ,. 85] Murray, C. D., Dermott, S. F.: Solar System Dynamics. Cambridge: Cambridge University Press, ] National Space Science Data Centeronline].cit ]. 87] Nesvorný, D., Morbidelli, A.: Three-body mean motion resonances and the chaotic structure of the asteroid belt. Astron. J., 116, 39, ] Nesvorný, D., Vokrouhlický, D.: Analytic theory of the YORP effect for nearspherical objects. Astron. J., 13, 5, s , 7. 89] Nesvorný, D. aj.: Evidence for asteroid space weathering from the Sloan Digital Sky Survey. Icarus, 173, 1, s , 5. 9] Norton, O. R.: The Cambridge Encyclopedia of Meteorites. Cambridge: Cambridge University Press,. ISBN ] Öpik, E. J.: Collision probability with the planets and the distribution of planetary matter. Proc. R. Irish Acad., 5, s , ] Ostro,S.J.aj.:Radarimagingofbinarynear-Earthasteroid(66391) 1999 KW. Science, 31, 583, s , 6. 93] Pecina, P., Ceplecha, Z.: New aspects of in single-body meteor physics.. Bull. Astron. Inst. Czechosl., 3, 1, ] Pecina, P., Nováková, D.: Meteorický radar v Ondřejově. Povětroň, 1, 6, s.,

10 95] Pechala, F., Bednář, J.: Příručka dynamické meteorologie. Praha: Academia, ISBN ] Peterson, C.: A source mechanism for meteorites controlled by the Yarkovsky effect. Icarus, 9, s , ] Pokorný, Z.: Astronomické algoritmy pro kalkulátory. Praha: Hvězdárna a planetárium hl. m. Prahy, ] Pösges, G., Schieber, M.: The Ries Crater Museum Nördlingen. München: Dr. Friedrich Pfeil, ] Pravec, P. aj.: Two-period lightcurves of 1996 FG3, 1998 PG, and(57) 199 AX: One probable and two possible binary asteroids. Icarus, 16, 1, s. 19 3,. 1] Pravec, P. aj.: Ondrejov Asteroid Photometry Projectonline].cit ]. 11] Press, W. R., Teukolsky, S. A., Vetterling, W., Flannery, B.P.: Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing. Cambridge: Cambridge University Press, ] Příhoda, P. aj.: Hvězdářská ročenka 8. Praha: Hvězdárna a planetárium hl. m. Prahy, 7. ISBN ] Quinn, T. R., Tremaine, S., Duncan, M.: A three million year integration of the earth s orbit. Astron. J., 11, s , ] Reduceonline].cit ]. 15] Rieskrater Museum Nördlingenonline].cit ]. -muenchen.de/sammlung/rieskrater/rieskratermuseum.html. 16] Robertson, H. P.: Dynamical effects of radiation in the Solar System. Mon. Not. R. Astr. Soc., 97, 3, ] Rubin, A. E.: Mineralogy of meteorite groups. Meteoritics and Planetary Science, 3, 31, ] Rubincam, D. P.: Polar wander on Triton and Pluto due to volatile migration. Icarus, 163,,s63 71,. 19] Russel, C. T. aj.: Dawn mission and operations. Asteroids, Comets, Meteors 5, editoři Lazzaro, D., Ferraz-Mello, S., Fernandez, J. A., Cambridge: Cambridge University Press, 6, s ] Sackmann,I.J.,Boothroyd,A.I.,Kraemer,K.E.:OurSun.III. Present and future. Astrophys. J., 18, s , ] Seidelman, P. K.(editor): Explanatory Supplement to the Astronomical Almanac. U. S. Naval Observatory, Washington, ] Sepkoski, J. J.: Ten years in the library: New data confirm paleontological patterns. Paleobiology, 19, s. 3 51, ] Skála, L.: Úvod do kvantové mechaniky. Praha: Academia, 5. ISBN ] Skála, R.: Impact process: An important geological phenomenon. Acta Mus. Nat- Pragae, Ser. B., Hist. Nat., 5, s , ] Spurný, P.: Fotografické sledování bolidů ve střední Evropě. Corona Pragensis,, 1, 116] Stardust, JPL, NASAonline].cit ] ] Staudacher,T.aj.: Ar/ 39 AragesofrocksandglassesfromtheNoerdlingerRies crater and the temperature history of impact breccias. J. of Geophysics, 51, 1, s. 1 11, ] Stix, M.: The Sun. An Introduction. Berlin: Springer-Verlag,. ISBN ] Stuart, J. S.: A Near-Earth asteroid population estimate from the LINEAR Survey. Science, 9, 557, s , 1. 1] Sundman,K.E.: Memoiresurleproblemedetroiscorps.ActaMath.,36,s , ] Šedivý, P.: Kapitoly ze speciální teorie relativity. Hradec Králové: MAFY, 3. ISBN ] Šidlichovský, M., Nesvorný, D.: Frequency modified Fourier transform and its applications to asteroids. Cel. Mech. Dyn. Astron., 65, 1, s , ] Tillotson, J. H.: Metallic equations of state for hypervelocity impact. General Atomic Report GA-316, ] The Ries/Steinheim impact crater field triponline].cit ]. earthsciences.ucl.ac.uk/research/planetaryweb/field/knodle.htm 15] The STScI Digitized Sky Surveyonline].cit ]. 16] Tsiganis, K., Gomes, R., Morbidelli, A., Levison, H. F.: Origin of the orbital architectureofthegiantplanetsofthesolarsystem.nature,35,s59,. 17] Tuček, K.: Meteority a jejich výskyty v Československu. Praha: Academia, ] Vernazza, J. E., Avrett, E. H., Loeser, R., Astrophys. J. Suppl., 5, 635, ] Vokrouhlický, D.: A complete linear model for the Yarkovsky thermal force on spherical asteroid fragments. Astron. Astrophys., 3, s , ] Vokrouhlický, D., Farinella, P.: Efficient delivery of meteorites to the Earth from a wide range of asteroid parent bodies. Nature, 7, 68, 66,. 131] Vokrouhlický, D., Nesvorný, D.: Pairs of asteroids probably of a common origin. Astron. J., 136, 1, s. 8 9, 8. 13] Vokrouhlický, D., aj.: Yarkovsky/YORP chronology of asteroid families. Icarus, 18, 1, s , ] Weidenschilling, S. J.: Formation of Planetesimals and Accretion of the Terrestrial Planets. Space Science Reviews, 9, 1/, s ,. 13] Wikipediaonline].cit. 8--1] ] Whipple, F.: A comet model. I. The acceleration of Comet Encke. Astrophys. J., 111, s , ] Wolf, M. aj.: Astronomická příručka. Praha: Academia, 199. ISBN 867X. 137] Zeĺdovitch, Ya. B. aj.: Physics of shock waves and high-temperature hydrodynamic phenomena ISBN ] Zhong, S., Zuber, M. T.: Degree-1 mantle convection and the crustal dichotomy on Mars. Earth and Planetary Science Letters, 189, s. 75 8, 1. 19