Nelineární úlohy při výpočtu konstrukcí s využitím MKP

Nelineární úlohy při výpočtu konstrukcí s využitím MKP

Obsah přednášky Lineární a nelineární úlohy Typy nelinearit (geometrická, materiálová, kontakt,..) Příklady nelineárních problémů Teorie kontaktu, Hertzova teorie Kontaktní úloha Příprava modelu pro kontaktní úlohu, okrajové podmínky Dostupné výsledky u softwarových nástrojů pro řešení kontaktu Tření v kontaktu Příklad na výpočet kontaktního napětí

Lineární versus nelineární Historické nazírání na jevy v přírodě prvotní lineární vztahy. Pojem nelineární vznikl druhotně Leonardo da Vinci první uvažoval lineární vztah mezi dvěma veličinami Newtonův druhý zákon lineární vztah mezi silou a zrychlením Hookeův zákon - lineární vztah mezi napětím a přetvořením σ = E ε

Lineární versus nelineární Svět v němž žijeme je obecně nelineární řešení mechaniky kontinua (oblast pevných těles) vede obecně na nelineární úlohu Lineární modely jsou stále užitečným nástrojem pro řešení většiny úloh Pokud jsou lineární modely užity mimo oblast platnosti dávají zpravidla nesmyslné výsledky

Lineární a nelineární úlohy konstruktér se musí rozhodnout, co chce počítat a posoudit fyzikální chování zkoumaného děje, lineární předpoklady, případné zdroje nelinearit

Lineární a nelineární úlohy Nelineární modely jsou složité. Aby výsledek analýzy byl věrohodný je třeba znát: Zkoumaný fyzikální jev Matematický model a předpoklady pro jeho sestavení Matematické nástroje pro řešení úlohy a jejich omezení Zdroje nelinearit

Lineární a nelineární úlohy Předpoklady na nichž je postavena lineární mechanika kontinua pro oblast pevných těles Malé posuvy posuvy u i jsou malé vůči rozměrům tělesa Malá přetvoření (řádu 10-2 a menším) platí Cauchyho kinematické vztahy Platnost Hookeova zákona Podmínky rovnováhy se vztahují k nedeformované konfiguraci

Lineární a nelineární úlohy Často předpokládáme další podmínky pro kontinuum Homogenní kontinuum identické materiálové vlastnosti v celém objemu tělesa Isotropní kontinuum materiálové vlastnosti jsou nezávislé na směru

Lineární a nelineární úlohy Platnost Hookeova zákona F = K u F K u Lineární závislost síla posunutí nelineární závislost síla - posunutí

Lineární a nelineární úlohy Princip superpozice výsledné posunutí, napětí, deformace způsobené několika zatěžujícími silami je algebraický součet jejich hodnot pokud působí samostatně + = Pro nelineární úlohy nelze aplikovat princip superpozice

Lineární a nelineární úlohy Podmínky rovnováhy Po výpočtu posuvů následuje výpočet sil z podmínky rovnováhy pro nedeformovanou konstrukci F x R 1 - R 2 cos α = 0 F y R 2 sin α = 0 Napětí se též vztahuje k nedeformované konstrukci

Typy nelinearit geometrická nelinearita - velká posunutí, malá přetvoření např. deformace nosníků, skořepin, porušení stability u namáhání na vzpěr materiálová nelinearita nelineární jsou pouze konstitutivní vztahy např. plasticita, viskoelasticita materiálová a geometrická nelinearita např. rázové děje, tváření nelinearita v okrajových podmínkách např. kontakt, šíření trhliny

Příklady nelineárních problémů Tváření plechů Deformace plechovky Tažení trubek Namáhání pneumatiky Kontakt čep-pánev Zatížená skleněná deska Crash testy čelní náraz

Teorie kontaktu, Hertzova teorie kontaktní úloha řeší problém interakce těles, které se navzájem dotýkají a působí na sebe silami. vztah mezi zatěžující silou a vypočtenými deformacemi a napětími není lineární kontaktní plocha se zvětšuje nelineárně s rostoucím zatížením kontaktní plocha závisí na deformaci modelu 1, 2 jsou Poissonova čísla E 1, E 2 moduly pružnosti v tahu Znaménko + pro konvexní stykové plochy, - pro konkávní stykové plochy

Teorie kontaktu, Hertzova teorie Kontaktní procesy pevných těles Dva základní případy: v dotykovém bodě např. koule-koule v dotykové přímce např. válec-válec

Teorie kontaktu, Hertzova teorie Příklad na kontaktní namáhání

Kontaktní úloha Typickou úlohou modelování mechanických soustav je kontaktní problém Kontaktní vazba dvou těles je nelineární, přenáší sílu ve směru tlaku ale nikoliv ve směru tahu. Přenáší-li vazba tlak, pak není dopředu známo rozložení kontaktního tlaku a není známa ani velikost a tvar kontaktní plochy. Pro vybrané úlohy je známo Hertzovo řešení, s tím se však pro modelování praktických úloh nevystačí. Komerční programové balíky, určené pro modelování mechaniky kontinua metodou konečných prvků, dnes již nabízí řadu nástrojů pro řešení tohoto problému.

Kontaktní úloha Kontaktní úloha popisuje interakci mezi tělesy z hlediska vzájemného silového působení a dodržení podmínek kompatibility a nepropustnosti. Na obrázku je znázorněn jednoduchý příklad možného uspořádání kontaktní úlohy.

Kontaktní úloha Kontaktní úlohy jsou úlohy vysoce nelineární a tudíž velmi náročné jak z hlediska zkušeností výpočtáře, tak z hlediska SW a HW vybavení. V praxi se vyskytují dva základní typy kontaktů těles: tuhá tělesa - poddajná tělesa a poddajná tělesa - poddajná tělesa. Kontakt se může definovat buďto jako kontakt dvou ploch, které působí vzájemně na sebe jako kontaktní pár, nebo jako self-kontakt, který interaguje sám se sebou K definování kontaktu je potřeba vybrat plochy, které interagují mezi sebou. Tento proces je u některých komerčních softwarů realizován automaticky.

Kontaktní úloha Klasifikace kontaktních úloh Klasifikace podle způsobu diskretizace kontaktních ploch. Tři základní kontaktní algoritmy: node-to-node, node-to-surface, surface-to-surface.

Kontaktní úloha Výhody algoritmu surface-to-surface Podporuje kontakt elementů vyšších řádů Podporuje úlohy s velkými deformacemi Poskytuje větší přesnost výsledků a hladší rozložení napětí Významná penetrace se u tohoto algoritmu objevuje výjimečně a je případně rovnoměrně rozložena. Nemá žádná významnější omezení pro geometrii kontaktních povrchů

Příprava modelu pro kontaktní úlohu definice kontaktu - manuální nebo automatický výběr kontaktních ploch přizpůsobit hustotu sítě v předpokládaných kontaktních plochách využít symetrie modelu vytvořit co nejjednodušší model - potlačit detaily pro analýzu uvažovat pouze část modelu pokud je to možné okrajové podmínky stupeň volnosti zvážit potřebu vyšetření vzájemného pohybu kontaktních ploch zvážit využití dokonale tuhého tělesa

Příprava modelu pro kontaktní úlohu Využití dokonale tuhého tělesa Přinese zkrácení výpočtového času. Tuhé těleso je soubor uzlů, elementů a ploch, Pohyb dokonale tuhého tělesa může být předepsán v jediném uzlu - referenční uzel tělesa. Referenční uzel má šest stupňů volnosti. Relativní pozice uzlů a ploch, jako částí dokonale tuhého tělesa, zůstávají během simulace stejné. Proto se příslušné elementy nedeformují, mohou se jen pohybovat. Tuhá tělesa mohou interagovat jak mezi sebou, tak i s poddajnými tělesy.

Příprava modelu pro kontaktní úlohu Využití dokonale tuhého tělesa Tuhá tělesa mohou být použita pro velmi tuhé komponenty. Mohou být použita k modelování vazeb mezi ideálními tělesy a poskytnout výhodnou metodu k určení kontaktní interakce. Dají se s výhodou aplikovat při zjednodušování modelů v místech, která nejsou z hlediska analýzy stěžejní. Největší výhodou tuhých těles je jejich výpočetní nenáročnost. Výpočet není proveden pro elementy tohoto tělesa, pouze se přepočítá pohyb referenčního uzlu.

Dostupné výsledky při kontaktní analýze výsledná síla přenesená přes kontaktní plochu velikost kontaktní plochy maximální kontaktní tlak průměrná hodnota kontaktního tlaku tečná síla při uvažování tření parametr deklarující pohyb v tečném směru

Tření v kontaktu v kontaktu obvykle dochází ke tření Coulombův model tření koeficient tření statický, dynamický vyšetření vzájemného pohybu kontaktních ploch pro F mn: F f =F F s =0 pro F > mn: F f =0 F s =F

Příklad: výpočet kontaktního napětí v axiálním ložisku vřetena software Mechanica Structure (CREO) kontaktní plochy: kulová a rovinná využití osové symetrie modelu rovinná úloha zadání okrajových podmínek symetrie zahuštění sítě v kontaktu Kontaktní plochy

Příklad: výpočet kontaktního napětí v axiálním ložisku vřetena Zahuštění sítě v kontaktních plochách Průběh kontaktního napětí