Kombinatorika November 12, 2008
Příklad Do školní jídelny přišla skupina 35 žáků. Určete kolika způsoby se mohli seřadit do fronty u výdeje obědů. Řešení: Počet možností je 1 2... 35 = 35!
(Permutace bez opakování) Permutací bez opakování z n-prvkové množiny M nazýváme každou usp. n tici navzájem různých prvků, vytvořenou z prvků množiny M. Počet všech permutací je P(n) = 1 2 3 n = n!
Příklad V noclehárně je 50 lůžek. Určete, kolika způsoby se na ně může uložit 35 nocležníků. (na jedno lůžko, jen jeden nocležník!) Řešení: Počet možností je 50 49 48... (50 35 + 1)
(Variace bez opakování) Variací bez opakování k té třídy z n-prvkové množiny M nazýváme každou usp. k tici navzájem různých prvků, vytvořenou z prvků množiny M. Počet všech variací je V k (n) = n (n 1) (n 2) (n k + 1) = n! (n k)! = ( ) n k! k
Příklad V noclehárně je 50 lůžek. Určete, kolika způsoby se dají vybrat lůžka, když je 35 nocležníků. (zajímá nás jenom to, které postele byly použity) Řešení: Počet možností je 50 49 48... (50 35 + 1) 35!
(Kombinace bez opakování) Kombinací bez opakování k té třídy z n-prvkové množiny M nazýváme každou k prvkovou podmnožinu vytvořenou z prvků množiny M. Počet všech kombinací je C k (n) = n (n 1) (n 2) (n k + 1) k (k 1)... 2 1 = n! (n k)!k! = ( ) n k
(Pascalův trojúhelník) Kombinační čísla se dají snadno vypočítat pomocí tzv. Pascalova trojúhelníka. Tímto názvem označujeme tabulku trojúhelníkového tvaru n = 0 1 n = 1 1 1 n = 2 1 2 1 n = 3 1 3 3 1 n = 4 1 4 6 4 1 n = 5 1 5 10 10 5 1 n = 6 1 6 15 20 15 6 1
Příklad Máme k dispozici číslice 1, 2, 3. Kolik z nich můžeme sestavit 5-ciferných čísel? Řešení: Počet možností je 3 3 3 3 3 = 3 5
Příklad V pytlíku máme 5 barevných kuliček (bílá, modrá, zelená, červená, žlutá). Budeme 3-krát tahat, po každém tahu kuličku vracíme do pytlíku. Kolik je všech možností? Zajímá nás uspořádaní kuliček. Řešení: Počet možností je 5 5 5 = 5 3
(Variace s opakováním) Variací s opakováním k té třídy z n-prvkové množiny M nazýváme každou usp. k tici vytvořenou z prvků množiny M tak, že v této k tici se každý prvek může vyskytnout až k krát. Počet všech variací je V k (n) = nk.
Příklad V pytlíku máme 5 barevných kuliček (bílá, modrá, zelená, červená, žlutá). Budeme 3-krát tahat, po každém tahu kuličku vracíme do pytlíku. Kolik je všech možností? Zajímají nás jenom barevné kombinace, ne uspořádaní. Řešení: ( ) 5 1+3 Počet možností je 3
Příklad V pytlíku máme hodně barevných kuliček (bílé, modré, zelené, červené, žluté - z každé barvy aspoň 3). Budeme 3-krát tahat, po každém tahu kuličku vracíme do pytlíku. Kolik je všech možností? Zajímají nás jenom barevné kombinace. Řešení: ( ) 5 1+3 Počet možností je 3
(Kombinace s opakováním) Kombinací s opakováním k té třídy z n-prvkové množiny M nazýváme každou skupinu o k prvcích vytvořenou z prvků množiny M tak, že v této skupině se každý prvek může vyskytnout až k krát. Počet všech kombinací je ( ) n 1 + k C k(n) = k
Příklad Kolik různých slov lze vytvořit ze slova TRAMTÁRIA změnou pořadí písmen? Řešení: 9! Počet možností je 2!2!2!
(Permutace s opakování) Permutací s opakováním z n-prvkové množiny M ={a 1, a 2,...a p } s opakováním prvku a i právě k i -krát nazýváme každou usp. n tici navzájem různých prvků, vytvořenou ze všech prvků množiny M, že se prvek a i vyskytuje právě k i krát (k 1 + k 2 +... + k p = n.) Počet všech permutací je P (n) = n! k 1!k 2!...k p!
(Dirichletův princip) Příklady najdete na záznamu z přednášky
(Princip inkluze a exkluze)
Příklad Kolik je přir. čísel od 1 do 1000, které nejsou dělitělné 2, ani 3 ani 5? Výsledek: 1000 (500 + 333 + 200 166 100 66 + 33) = 266. Stejný výsledek dostaneme i pro čísla od 1 do 999. Problémik: Zjistěte o kolik můžeme posunout horní hranici (1000) a kterým směrem, abychom dostali stejný výsledek. Podrobné řešení najdete na záznamu z přednášky.
Příklad Kolika způsoby můžeme rozdělit 4 manželské páry do tanečních párů tak, aby ani jeden manžel netančil se svou manželkou? Výsledek: 1 manž. pár 0 možností 2 manž. páry 1 možnost 3 manž. páry 2 možnosti 4 manž. páry 9 možností Podrobné řešení najdete na záznamu z přednášky.
Rekurze
Příklad Kolik je 8 - členných posloupností z nul a jedniček takových, že nestojí vedele sebe 2 nuly? Výsledek: 1- členné posl. 2 možnosti 2- členné posl. 3 možnosti 3- členné posl. 5 možností 4- členné posl. 8 možností... 8- členné posl. 55 možností Podrobné řešení najdete na záznamu z přednášky.