Pravděpodobnost a statistika pro SŠ
|
|
- Radovan Sedláček
- před 8 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 Pravděpodobnost a statistika pro SŠ RNDr. Blanka Šedivá, Ph.D., katedra matematiky, Fakulta aplikovaných věd Západočeské univerzity v Plzni sediva@kma.zcu.cz 28. března 2012 Počátky teorie pravděpodobnosti se kladou do 17. století a spojují se jmény Pascal a Fermat a s hazardními hrami. Dnes asi každý o pojmu pravděpodobnosti určitou představu má. Její použití v matematice však dlouho naráželo na absenci přesné a přitom použitelné definice tohoto pojmu. Základy dnešního matematického pojetí teorie pravděpodobnosti tak položil až ve 30. letech 20. století N. A. Kolmogorov třemi definičními požadavky: Pravděpodobnosti jevů jsou čísla mezi 0 a 1. Pravděpodobnost, že vůbec nějaký jev nastane, je 1. Pravděpodobnost, že nastane některý z navzájem se vylučujících jevů, je rovna součtu jejich pravděpodobností. A to pro každých spočetně mnoho jevů. Novinkou nebyl případ konečného počtu jevů, kdy jde o požadavky jistě přirozené a intuitivní, ale rozřešení případu, kdy je jevů víc - s nekonečnem je v matematice vždycky nějaký problém. V praxi a tedy i v teorii pravděpodobnosti se přitom s nekonečným počtem jevů nutně setkáváme. A právě požadavek platnosti třetího axiomu i pro spočetně mnoho jevů (σ-aditivita pravděpodobnosti) se ukázal pro rozvoj pravděpodobnosti podstatný. Tento materiál je ukázkou vybraných motivačních úloh, které jsou založené na principu pravděpodobnosti, a které mají zajímavé nebo nečekané výsledky. Cílem je ukázat studentům zajímavé úlohy, které by je motivovali pro další studium a hlubší zájem o pravděpodobnost a statistiku. 1
2 V dalším budeme potřebovat následující znalosti z oblasti kombinatoriky a pravděpodobnosti: Základní pojmy z oblasti náhodných jevů Náhodný pokus je každý proces, jehož výsledek je při jinak stejných počátečních podmínkách nejistý; výsledek nejsme schopni s jistotou předpovědět; množinu všech možných výsledků náhodného pokusu označujeme Ω. Náhodný jev je jev A je podmnožina množiny Ω (A Ω); náhodné jevy značíme velkými latinskými písmeny z počátku abecedy A,B,C,... ; celá množina Ω je jev jistý; prázdná množina je jev nemožný. Elementární jevy jsou ω i jsou minimální jevy různé od jevu nemožného elementární jevy jsou párově neslučitelné (ω 1, ω 2 různé elementární jevy, pak ω 1 ω 2 ); každý jev A lze vyjádřit jako množinu elementárních jevů (A {ω 1, ω 2,... }). Operace s jevy jedná se především o negaci jevu, průnik jevů, sjednocení jevů a podobně. Protože jevy mají charakter množin, můžeme je graficky znázorňovat pomocí Vénnových diagramů Kombinatorické vzorce pro určování počtu permutací, variací a kombinací permutace n prvků (kolika způsoby lze uspořádat n-tici prvků ); uspořádání prvků skupiny M v daném pořadí počet permutací P n = n! pokud M se skládá z i 1, i 2,..., i k stejných prvků, je počet permutací P n = počet permutací s opakováním P n = n n n! i 1!i 2!... i k! variace n prvků k-té třídy (kolika způsoby lze z n-tici prvků vybrat k-tici, přičemž záleží na pořadí výběru) počet variací V k n = n! (n k)! počet variací s opakováním V k n = n k = n(n 1)... (n k + 1) kombinace n prvků k-té třídy (kolika způsoby lze z n-tici prvků vybrat k-tici, přičemž nezáleží na pořadí výběru) ( ) n počet kombinací Cn k n! = = k (n k)!k! ( ) n + k 1 počet kombinací s opakováním Cn k = k 2
3 Klasická definici pravděpodobnosti a základní pravidla pro počítání s pravděpodobností Definice P (A) = počet možností odpovídajících jevu A ; počet všech možností Základní pravidla pro počítání s pravděpodobnostmi, především P (nona) = 1 P (A) a P (A B) = P (A) + P (B) P (A B) Zavedení pojmu nezávislost dvou jevů A a B a výpočet pravděpodobnosti průniku těchto jevů P (A B) = P (A) P (B) Zavedení pojmu jev A podmíněný jevem B a určení pravděpodobnosti tohoto podmíněného jevu P (A B) = P (A B) P (B) Větu o úplné pravděpodobnosti Necht B 1, B 2,... tvoří úplný systém disjunktních jevů, a necht P (B i ) > 0 pro i = 1, 2,..., dále uvažujme jev A je libovolný jev příslušný témuž náhodnému pokusu. Pak platí P (A) = P (A B i ) P (B i ) i Bayesovu inverzní větu Předpoklady stejné jako u předcházející věty (navíc P (A) 0) a platí platí pro všechna k = 1, 2,..., n P (B k A) = P (A B k) P (B k ) n P (A B i ) P (B i ) i=1 3
4 Vybrané motivační úlohy 1. Klasická definice pravděpodobnosti: Kolikrát minimálně musíme hodit kostkou, aby pravděpodobnost, že aspoň jednou padne šestka, byla větší než 99 procent? ( ) n 5 Řešení: Pravděpodobnost, že při n hodech ani jednou nepadne šestka je. Pravděpodobnost, ( ) 6 n 5 že při n hodech padne aspoň jednou šestka je P n = 1. 6 V Excelu můžeme vytvořit tabulku a graf, vyjadřující závislost P n na počtu hodů n. Hledáme nejmenší n tak, aby P n > 0.99 a dostáváme n = Paradox narozenin: Necht je v místnosti je n lidí. Cílem je určit pravděpodobnost, že dva lidé mají narozeniny ve stejný den. Alternativně, lze položit otázku: Kolik je třeba v místnosti lidí, aby pravděpodobnost, že se v místnosti nachází dva lidé, kteří mají narozeniny ve stejný den, byla 90%. Řešení: Budeme předpokládat, že narozeniny jsou rovnoměrně rozloženy během celého roku (uvažujeme nepřestupný rok 365 dnů). Počet všech možností je 365 n. Počet možností nepříznivých situaci je (365 n + 1), počet nepříznivých situací lze vyjádřit také jako permutace s parametry (365, n). Z údajů v tabulce vidíme, že pro skupinu n = 25 je pravděpodobnost, že alespoň dva mají narozeniny ve stejný den rovna 56.87%, pro skupinu n = 50 je tato pravděpodobnost rovna 97.04%. 3. Příběh o žalářníkovi: Výstřední žalářník se rozhodl dát vězni odsouzenému k smrti šanci. Přinese mu 12 černých a 12 bílých kuliček. Pak mu dá dvě prázdné urny. Sdělí mu, že zítra přijde kat, náhodně si vybere jednu urnu a z ní náhodně vybere jednu kuličku. Bude-li bílá, dostane vězeň milost. V opačném případě bude ortel smrti neprodleně vykonán. Jak má vězeň rozdělit kuličky do uren, aby maximalizoval pravděpodobnost svého osvobození? Řešení: Označme b počet bílých kuliček v první urně a c počet černých kuliček v první urně. Pak pravděpodobnost vytažení bílé kuličky je P (b, c) = 1 2 b c + b b (12 b) + (12 c) Rozborem v Excelu najdeme, že maximální pravděpodobnost je dosažena pro hodnoty b = 1 a c = 0, tedy do jedné urny dát jednu bílou kuličku a zbytek kuliček dát do druhé urny. Pravděpodobnost milosti je v takovémto případě p = 73.91%. 4
5 4. Použití Bayesovy věty: Někteří krtečci trpí zákeřnou žížalovkou. Touto chorobou trpí 0.01% krtčí populace. Na žížalovku existuje test s následující úspěšností: pokud krteček trpí žížalovkou, tak mu test s 90% úspěšností odpoví, že chorobu má (s 10% pravděpodobností, že chorobu nemá); pokud krteček netrpí žížalovkou, tak mu test s 98% úspěšností odpoví, že chorobu nemá (s 2% pravděpodobností, že chorobu má). Jeden krteček si nechal udělat test a test mu odpověděl, že chorobu má. Určete pravděpodobnost, že krteček opravdu chorobu má. Řešení: Jedná se aplikaci Bayesovy inverzní věty pro podmíněnou pravděpodobnost P (B i A) = P (A B i ) P (B i ) n i=1 P (A B i) P (B i ). Označme B 1 stav, kdy krteček žížalovkou trpí, podle zadání P (B 1 ) = 0.01% a Označme B 2 stav, kdy krteček žížalovkou netrpí, pravděpodobnost dopočteme P (B 2 ) = 1 P (B 1 ) = 99.99%. Dále označme A jev, kdy výsledek testu je positivní (test odpovídá, že krteček žížalovku má), pak pravděpodobnost, že výsledek testu je positivní, když krteček chorobu má, je podle zadání P (A B 1 ) = 90% a dopočteme též pravděpodobnost negativního výsledku P (nona B 1 ) = 1 P (A B 1 ) = 10%, analogicky pravděpodobnost positivního výsledku u zdravého krtečka je podle zadání P (A B 2 ) = 2% a dopočítaná pravděpodobnost negativního výsledku u zdravého krtečka je P (nona B 2 ) = 1 P (A B 2 ) = 98%. Pravděpodobnost, že krteček má positivní výsledek testu je P (A) = P (B 1 ) P (A B 1 ) + P (B 2 ) P (A B 2 ) = = Pravděpodobnost, že krteček, který má positivní test je opravdu nemocný je P (B 1 A) = P (A B 1) P (B i ) P (A) = Rozmyslete situaci, kdy krteček chodí na testy opakovaně. = = 0.448% 5. Dvojitě anonymní anketa: Provedeme následující pokus: Necháme studenty hodit korunou a dvojkorunou a ti, kterým padl na koruně líc napíšou na lísteček odpověd (ANO/NE) na citlivou otázku (např. zda opisují, pijí alkohol, chodí za školu, apod.). Ostatní studenti napíší, zda jim padl na dvojkoruně líc (ANO/NE). Jakým způsobem určíme podíl studentů, kteří na citlivou otázku odpověděli ANO? Řešení: Označme B 1 studenty, kteří odpovídají na citlivou otázku, zřejmě P (B 1 ) = 1 2 a dále B 2 jsou studenti, kteří odpovídali na otázku o dvojkoruně. Dále označme A situaci, že odpověděli ANO, pak P (A B 2 ) = 1 2 a P (A B 1) je námi hledaný podíl studentů, kteří odpovídali na citlivou otázku a odpověděli ANO. Přitom P (A) známe, tuto hodnotu určíme jako podíl všech studentů, kteří odpověděli ANO - na libovolnou otázku. Dostáváme rovnici o jedné neznámé resp. P (A) = P (B 1 ) P (A B 1 ) + P (B 2 ) P (A B 2 ), P (A) = 1 2 P (A B 1)
6 6. Úloha demonstrující testování hypotéz: Mějme v pytlíku dvě naprosto identické kuličky, jedná je však modrá, druhá červená. Vytáhněme z pytlíku náhodně jednu kuličku a znovu ji do pytlíku vložme. Takto náhodně budeme z pytlíku tahat kuličku 30 krát. Lze určit, kdy je vytažení kuliček dané barvy náhodné (tj. ten, kdo tahá kuličky není schopen rozlišit modrou a červenou podle hmatu)? Řešení: Zavedeme pojem nulová hypotéza, tj. hypotéza odpovídající situaci, kdy kuličky jsou tahány náhodně. Pod pojmem alternativní hypotéza budeme rozumět situaci, kdy kuličky nejsou tahány náhodně, tj. podezřele často je vytažena červená kulička, resp. modrá kulička. Dále určíme pravděpodobnost, že vytáhneme k krát červenou kuličku a tím (30 k) krát modrou kuličku. Jedná se o binomické rozdělení založené na kombinacích P k = ( ) 30 k ( ) k 1 2 ( 1 2 Hodnoty pro jednotlivé k je v následující tabulce. ) 30 k = ( ) 30 k ( 1 2 ) 30 k pravděpodobnost v % obor k pravděpodobnost v % obor 0 0, Z 16 13,54354 P 1 0, Z 17 11,15351 P 2 0, Z 18 8,05531 P 3 0,00038 Z 19 5,08756 Z 4 0,00255 Z 20 2,78916 Z 5 0,01327 Z 21 1,33246 Z 6 0,05530 Z 22 0,54510 Z 7 0,18960 Z 23 0,18960 Z 8 0,54510 Z 24 0,05530 Z 9 1,33246 Z 25 0,01327 Z 10 2,78916 Z 26 0,00255 Z 11 5,08756 P 27 0,00038 Z 12 8,05531 P 28 0, Z 13 11,15351 P 29 0, Z 14 13,54354 P 30 0, Z 15 14,44644 P 6
7 Bude-li někdo tvrdit, že 30 krát vytáhl červenou kuličku, nebudeme mu věřit a pojmeme podezření, například že jeho ruce jsou schopny nějak odlišit modrou a červenou barvu. Jeho tvrzení zamítneme (v tabulce označeno jako obor Z). Budeme se zdráhat uvěřit i případům, kdy vytáhl modrou kuličku pouze jednou nebo dvakrát. Musíme se však rozhodnout, dokdy budeme tvrzení odmítat. Ve statistice a dalších oblastech využívajících statistiku, např. v biomedicíně, volíme hranici, kdy součet pravděpodobností nejméně pravděpodobných případů dosáhl 5%. Naše případy, které spadají do tohoto intervalu jsou označeny Z. Obor Z představuje platnost alternativní hypotézy. My jsme si to vysvětlili například tím, že obě kuličky lze nějak odlišit a tedy, že statistika neodpovídá statistice, kdy jsou kuličky - jinak než zrakem - neodlišitelné. V medicíně bychom konstatovali, že léčba lékem B vykazuje statisticky významně jiné výsledky, než léčba lékem A. Statistický soubor můžeme dostat z výsledků, které jsme získali v minulosti (retrospektivní výzkum) nebo z výsledků postupu, který předem naplánujeme (prospektivní výzkum). Nejkvalitnějším typem studií, které v současnosti významně ovlivňují chod medicíny, jsou prospektivní dvojitě slepé, placebem kontrolované randomizované studie. Po celou dobu léčby ani pacient, ani lékař neví zda léčba probíhá pomocí léku A, léku B nebo placebem. 7
8 7. Úloha o rozdělení sázky: Hráči A a B spolu hrají sérii partií. Pravděpodobnost, že partii vyhraje hráč A je 50%, pravděpodobnost, že partii vyhraje hráč B je tedy také 50%. Výsledky jednotlivých partií jsou nezávislé. Celou částku, která je do hry vsazena získá ten hráč, který jako první vyhraje 6 partií. Hra byla přerušena ve chvíli, kdy hráč A dosáhl 5 vítězství a hráč B dosáhl 3 vítězství. V jakém poměru má být rozdělena částka mezi hráče Kolik průměrně partií je potřeba k tomu, aby se od stavu 5:3 dospělo do konce? Řešení: Za stavu 5:3 může hra pokračovat maximálně ještě 3 partie. Označme symbolem a vítězství hráče A a symbolem b vítězství hráče B. Pak všechny možné průběhy následujících her jsou uvedeny v tabulce. průběh pravděpodobnost vyhrávající počet her aaa 1/8 a 1 aab 1/8 a 1 aba 1/8 a 1 abb 1/8 a 1 baa 1/8 a 2 bab 1/8 a 2 bba 1/8 a 3 bbb 1/8 b 3 Vzhledem k tomu, že pravděpodobnost výhry hráče A je 7/8, měla by být vsazená částka rozdělena v poměru 7 : 1 ve prospěch hráče A. Průměrný počet partií potřebných k dokončení je střední hodnota náhodné veličiny vyjadřující počet partií k dokončení a podle obecného vztahu pro střední hodnotu EX = n p i x i i=1 dostáváme EX = = 1, 75 8
9 8. Skupina m studentů chodí společně na oběd. Po jídle se náhodně určí jeden, kdo zaplatí za všechny. Jaká je pravděpodobnost, že se při k tém obědě (k = 1, 2,... ) stane, že bude platit někdo podruhé? Jaká je střední hodnota počtu obědů než k této situaci dojde? Označme X náhodnou veličinu, která udává pořadí obědu, na kterém se stane, že bude někdo platit podruhé. Počet všech možných posloupností placení k obědů je m k, počet takových posloupností, že pokaždé platí někdo jiný je m (m 1) (m 2) (m k+1). Pravděpodobnost, že do k tého m (m 1) (m 2) (m k + 1) oběda včetně nedošlo k situaci, že musí platit někdo podruhé je, m k pravděpodobnost, že k této situaci během prvních k obědů došlo je P (X k) = 1 m (m 1) (m 2) (m k + 1) m k. Pravděpodobnost, že k dané situaci (někdo platí podruhé) dojde právě na k tém obědě je P (X = k) = P (X k) P (X k 1) = = m (m 1) (m 2) (m k + 1) m k = m (m 1) (m 2) (m k + 2) (k 1) m k Pro m = 5, tj. společně chodí na oběd 5 studentů, platí Pořadí oběda pravděpodobnost, že bude někdo platit podruhé k = 1 p 1 = 0 k = 2 p 2 = 5 1 = 0, k = 3 p 3 = = 0, k = 4 p 4 = = 0, k = 5 p 5 = = 0, k = 6 p 5 = = 0, k = 7 p 6 = 0 m (m 1) (m 2) (m k + 2) m k 1 = Střední hodnota počtu obědů, kdy poprvé dojde k situaci, že někdo platí podruhé je EX = 3, 51. 9
10 9. Pomocí simulačních metod odhadněte hodnotu čísla π. Využijeme grafickou definici pravděpodobnosti, kde vyjádříme jednotlivé jevy jako plochy a pravděpodobnost vypočítáme pomocí podílu obsahu ploch. Budeme uvažovat čtverec o straně 2 a kružnici vepsanou do tohoto čtverce. Obsah čtverce označíme O c = 2 2 = 4 a obsah kruhu O k = πr 2 = π. Nyní budeme náhodně generovat body ležící uvnitř čtverce a zjišt ovat, zda leží též uvnitř kružnice. Podíl počtu bodů uvnitř kružnice P k a počtu bodů uvnitř čtverce P c aproximuje podíl obsahu kružnice a obsahu čtverce. P k O k = π P c O c 4 Tento vztah nám umožňuje odhadnout hodnotu π na základě simulací náhodných čísel. π P k P c 4 10
11 10. Máme řešit kvadratickou rovnici x 2 + px + q = 0, kde p, q jsou náhodná čísla v intervalu n; n. Cílem je určit pravděpodobnost, že kořeny kvadratické rovnice budou imaginární. Kořeny kvadratické rovnice x 1,2 = p ± p 2 4q jsou určeny známým vzorcem. Budeme hledat 2 pravděpodobnost, že kořeny jsou imaginární, tj. q > p2. Graficky se jedná o obsah plochy nad 4 parabolou: Obrázek 1: Paraboly q(p) = p2 4 pro různé definiční obory p 2; 2, p 4; 4 a p 8; 8 Obsah plochy můžeme odhadnout jako v předcházejícím příkladu pomocí generování náhodných čísel. V rámci pokročilejší matematiky lze obsah plochy nad parabolou spočítat pomocí integrálního počtu Pro n (0; 4) platí, že obsah plochy pod parabolou je n n x 2 4 n3 dx =, obsah plochy nad parabolou 6 je 2n 2 n3 6, obsah celkového čtverce je (2n)2. Pravděpodobnost, že kořeny kvadratické rovnice budou komplexní je P n = 2n2 n3 6 = 1 (2n) 2 2 n 24. Pro n 4; + ) platí, že obsah plochy pod parabolou je 2 n 2 n x 2 4 dx = 4 3 ( n) 3, obsah plochy nad parabolou je 4 nn 4 3 ( n) 3 = 8 3 ( n) 3, obsah celkového čtverce je (2n) 2. Pravděpodobnost, že kořeny kvadratické rovnice budou komplexní je P n = 8 ( n) 3 3 = 2 (2n) n 11
12 V následující tabulce jsou uvedeny hodnoty pravděpodobnosti, že kořeny budou komplexní, pro různé definiční obory parametrů p a q. (tj. p, q n; n n; n ) n pravděpodobnost v % n pravděpodobnost v % Z údajů je vidět, že pravděpodobnost, že kořeny budou komplexní je pro větší parametry kvadratické rovnice poměrně malá. 12
Pravděpodobnost a aplikovaná statistika
Pravděpodobnost a aplikovaná statistika MGR. JANA SEKNIČKOVÁ, PH.D. 1. KAPITOLA - PRAVDĚPODOBNOST 2.10.2017 Kontakt Mgr. Jana Sekničková, Ph.D. jana.seknickova@vse.cz Katedra softwarového inženýrství Fakulta
VícePravděpodobnost je. Martina Litschmannová Katedra aplikované matematiky, FEI, VŠB-TU Ostrava
Pravděpodobnost je Martina Litschmannová Katedra aplikované matematiky, FEI, VŠB-TU Ostrava ŠKOMAM, 24. 1. 2017 Čím se zabývá teorie pravděpodobnosti? Pokus děj, který probíhá, resp. nastává opakovaně
VíceIntuitivní pojem pravděpodobnosti
Pravděpodobnost Intuitivní pojem pravděpodobnosti Intuitivní pojem pravděpodobnosti Pravděpodobnost zkoumaného jevu vyjadřuje míru naděje, že tento jev nastane. Řekneme-li, že má nějaký jev pravděpodobnost
VíceKOMBINATORIKA. 1. cvičení
KOMBINATORIKA 1. cvičení Co to je kombinatorika Kombinatorika je vstupní branou do teorie pravděpodobnosti. Zabývá se různými způsoby výběru prvků z daného souboru. 2011 Ing. Janurová Kateřina, FEI VŠB-TU
Více2. přednáška - PRAVDĚPODOBNOST
2. přednáška - PRAVDĚPODOBNOST NÁHODNÝ POKUS A JEV Každá opakovatelná činnost prováděná za stejných nebo přibližně stejných podmínek, jejíž výsledek je nejistý a závisí na náhodě, se nazývá náhodný pokus.
VíceIB112 Základy matematiky
IB112 Základy matematiky Základy kombinatoriky a kombinatorická pravděpodobnost Jan Strejček Obsah IB112 Základy matematiky: Základy kombinatoriky a kombinatorická pravděpodobnost 2/57 Výběry prvků bez
VíceB) EX = 0,5, C) EX = 1, F) nemáme dostatek informací.
Hlasovací otázka 9 Náhodná veličina X nabývá jen dvou různých hodnot, 0 a 1. Předpokládejme P(X = 0) = 0,5. Co můžeme říci o EX? Hlasovací otázka 9 Náhodná veličina X nabývá jen dvou různých hodnot, 0
VícePravděpodobnost a statistika
Pravděpodobnost a statistika 1 Náhodné pokusy a náhodné jevy Činnostem, jejichž výsledek není jednoznačně určen podmínkami, za kterých probíhají, a které jsou (alespoň teoreticky) neomezeně opakovatelné,
VíceTEORIE PRAVDĚPODOBNOSTI. 2. cvičení
TEORIE RAVDĚODONOSTI 2. cvičení Základní pojmy Klasická def. Statistická def. Geometrická def. odmíněná prav. ayesův teorém Test Základní pojmy Náhodný pokus - je každý konečný děj, jehož výsledek není
VíceMatematika III. 4. října Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava. Matematika III
Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava 4. října 2018 Podmíněná pravděpodobnost Při počítání pravděpodobnosti můžeme k náhodnému pokusu přidat i nějakou dodatečnou podmínku. Podmíněná pravděpodobnost
VíceDiskrétní matematika. DiM /01, zimní semestr 2016/2017
Diskrétní matematika Petr Kovář petr.kovar@vsb.cz Vysoká škola báňská Technická univerzita Ostrava DiM 470-2301/01, zimní semestr 2016/2017 O tomto souboru Tento soubor je zamýšlen především jako pomůcka
VíceDiskrétní matematika. DiM /01, zimní semestr 2018/2019
Diskrétní matematika Petr Kovář petr.kovar@vsb.cz Vysoká škola báňská Technická univerzita Ostrava DiM 470-2301/01, zimní semestr 2018/2019 O tomto souboru Tento soubor je zamýšlen především jako pomůcka
VícePravděpodobnost a její vlastnosti
Pravděpodobnost a její vlastnosti 1 Pravděpodobnost a její vlastnosti Náhodné jevy Náhodný jev je výsledek pokusu (tj. realizace určitého systému podmínek) a jeho charakteristickým rysem je, že může, ale
Vícepravděpodobnosti a Bayesova věta
NMUMP0 (Pravděpodobnost a matematická statistika I) Nezávislost, podmíněná pravděpodobnost, věta o úplné pravděpodobnosti a Bayesova věta. Házíme dvěma pravidelnými kostkami. (a) Jaká je pravděpodobnost,
Více5.1. Klasická pravděpodobnst
5. Pravděpodobnost Uvažujme množinu Ω všech možných výsledků náhodného pokusu, například hodu mincí, hodu kostkou, výběru karty z balíčku a podobně. Tato množina se nazývá základní prostor a její prvky
VíceMotivace. 1. Náhodné jevy. Poznámky k předmětu Aplikovaná statistika, 1. téma
Poznámky k předmětu Aplikovaná statistika, 1. téma Motivace Na otázku, při jaké teplotě vře voda, nejspíš neodpovíte. Budete chtít znát podmínky, které máte uvažovat. Víme, že za normálního tlaku, tj.
VíceInženýrská statistika pak představuje soubor postupů a aplikací teoretických principů v oblasti inženýrské činnosti.
Přednáška č. 1 Úvod do statistiky a počtu pravděpodobnosti Statistika Statistika je věda a postup jak rozvíjet lidské znalosti použitím empirických dat. Je založena na matematické statistice, která je
VícePravděpodobnost Podmíněná p. Úplná p. III. Pravděpodobnost. III. Pravděpodobnost Statistika A (ZS 2015)
III Pravděpodobnost Pravděpodobnost Podmíněná p. Úplná p. Odkud se bere pravděpodobnost? 1. Pravděpodobnost, že z balíčku zamíchaných karet vytáhmene dvě esa je přibližně 0:012. Modely a teorie. 2. Pravděpodobnost,
Vícepravděpodobnosti Pravděpodobnost je teorií statistiky a statistika je praxí teorie pravděpodobnosti.
3.1 Základy teorie pravděpodobnosti Pravděpodobnost je teorií statistiky a statistika je praxí teorie pravděpodobnosti. Co se dozvíte Náhodný pokus a náhodný jev. Pravděpodobnost, počítání s pravděpodobnostmi.
VíceTeorie pravěpodobnosti 1
Teorie pravěpodobnosti 1 1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004. Náhodný jev a pravděpodobnost Každou zákonitost sledovanou v přírodě lze zjednodušeně charakterizovat jako
VíceKomplexní čísla, Kombinatorika, pravděpodobnost a statistika, Posloupnosti a řady
Předmět: Náplň: Třída: Počet hodin: Pomůcky: Matematika Komplexní čísla, Kombinatorika, pravděpodobnost a statistika, Posloupnosti a řady 4. ročník a oktáva 3 hodiny týdně PC a dataprojektor, učebnice
VíceNáhodný pokus Náhodným pokusem (stručněji pokusem) rozumíme každé uskutečnění určitého systému podmínek resp. pravidel.
Základy teorie pravděpodobnosti Náhodný pokus Náhodným pokusem (stručněji pokusem) rozumíme každé uskutečnění určitého systému podmínek resp. pravidel. Poznámka: Výsledek pokusu není předem znám (výsledek
VíceNáhodné jevy. Teorie pravděpodobnosti. Náhodné jevy. Operace s náhodnými jevy
Teorie pravděpodobnosti Náhodný pokus skončí jedním z řady možných výsledků předem nevíme, jak skončí (náhoda) příklad: hod kostkou, zítřejší počasí,... Pravděpodobnost zkoumá náhodné jevy (mohou, ale
VíceKombinatorika, pravděpodobnost a statistika, Posloupnosti a řady
Předmět: Náplň: Třída: Počet hodin: Pomůcky: Matematika Kombinatorika, pravděpodobnost a statistika, Posloupnosti a řady 4. ročník 3 hodiny týdně PC a dataprojektor Kombinatorika Řeší jednoduché úlohy
Více5 Pravděpodobnost. Sestavíme pravděpodobnostní prostor, který modeluje vytažení dvou ponožek ze šuplíku. Elementární jevy
Typické příklady pro zápočtové písemky DiM 70-30 (Kovář, Kovářová, Kubesa) (verze: November 5, 08) 5 Pravděpodobnost 5.. Jiří má v šuplíku rozházených osm párů ponožek, dva páry jsou černé, dva páry modré,
VícePoznámky k předmětu Aplikovaná statistika, 1. téma
Poznámky k předmětu Aplikovaná statistika, 1. téma Motivace Na otázku, při jaké teplotě vře voda, nejspíš neodpovíte. Budete chtít znát podmínky, které máte uvažovat. Víme, že za normálního tlaku, tj.
VíceMgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014. 1. Obor reálných čísel
Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014 1. Obor reálných čísel - obor přirozených, celých, racionálních a reálných čísel - vlastnosti operací (sčítání, odčítání, násobení, dělení) -
Více2. Definice pravděpodobnosti
2. Definice pravděpodobnosti 2.1. Úvod: V přírodě se setkáváme a v přírodních vědách studujeme pomocí matematických struktur a algoritmů procesy dvojího druhu. Jednodušší jsou deterministické procesy,
Vícemezi 12:00 a 13:00. D) jevy A, B, C jsou nezávislé,
Hlasovací otázka 6 Dva kamarádi dorazí na místo schůzky náhodně, nezávisle na sobě, mezi 12:00 a 13:00. Hlasovací otázka 6 Dva kamarádi dorazí na místo schůzky náhodně, nezávisle na sobě, mezi 12:00 a
VíceTomáš Karel LS 2012/2013
Tomáš Karel LS 2012/2013 Doplňkový materiál ke cvičení z předmětu 4ST201. Na případné faktické chyby v této presentaci mě prosím upozorněte. Děkuji. Tyto slidy berte pouze jako doplňkový materiál není
VíceUčební plán 4. letého studia předmětu matematiky. Učební plán 6. letého studia předmětu matematiky
Učební plán 4. letého studia předmětu matematiky Ročník I II III IV Dotace 3 3+1 2+1 2+2 Povinnost povinný povinný povinný povinný Učební plán 6. letého studia předmětu matematiky Ročník 1 2 3 4 5 6 Dotace
VíceKGG/STG Statistika pro geografy
KGG/STG Statistika pro geografy 4. Teoretická rozdělení Mgr. David Fiedor 9. března 2015 Osnova Úvod 1 Úvod 2 3 4 5 Vybraná rozdělení náhodných proměnných normální rozdělení normované normální rozdělení
VíceMatematika III. 27. září Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava. Matematika III
Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava 27. září 2018 Teorie pravděpodobnosti Teorie pravděpodobnosti je odvětvím matematiky, které studuje matematické modely náhodných pokusu, tedy zabývá se
VícePravděpodobnost a statistika
Pravděpodobnost a statistika Teorie pravděpodobnosti popisuje vznik náhodných dat, zatímco matematická statistika usuzuje z dat na charakter procesů, jimiž data vznikla. NÁHODNOST - forma existence látky,
VícePodmíněná pravděpodobnost, nezávislost
Podmíněná pravděpodobnost, nezávislost Úloha 1: Do třídy 1.A chodí 10 chlapců a 20 dívek, z toho jsou 3 chlapci se jménem Jakub a 2 dívky se jménem Katka. Martina tvrdí, že ráno potkala někoho ze třídy
VícePravděpodobnost a statistika (BI-PST) Cvičení č. 2
Pravděpodobnost a statistika (BI-PST) Cvičení č. 2 J. Hrabáková, I. Petr, F. Štampach, D. Vašata Katedra aplikované matematiky Fakulta informačních technologií České vysoké učení technické v Praze ZS 2014/2015
VíceMaturitní témata z matematiky
Maturitní témata z matematiky G y m n á z i u m J i h l a v a Výroky, množiny jednoduché výroky, pravdivostní hodnoty výroků, negace operace s výroky, složené výroky, tabulky pravdivostních hodnot důkazy
Více3. Podmíněná pravděpodobnost a Bayesův vzorec
3. Podmíněná pravděpodobnost a Bayesův vzorec Poznámka: V některých úlohách řešíme situaci, kdy zkoumáme pravděpodobnost náhodného jevu za dalších omezujících podmínek. Nejčastěji má omezující podmínka
Více5. Náhodná veličina. 2. Házíme hrací kostkou dokud nepadne šestka. Náhodná veličina nabývá hodnot z posloupnosti {1, 2, 3,...}.
5. Náhodná veličina Poznámka: Pro popis náhodného pokusu jsme zavedli pojem jevového pole S jako množiny všech možných výsledků a pravděpodobnost náhodných jevů P jako míru výskytů jednotlivých výsledků.
VíceCvičení 1. Přednášející: Mgr. Rudolf B. Blažek, Ph.D. prof. RNDr. Roman Kotecký, DrSc.
1 Přednášející: Mgr. Rudolf B. Blažek, Ph.D. prof. RNDr. Roman Kotecký, DrSc. Katedra počítačových systémů Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologií České vysoké učení technické v
VíceLékařská biofyzika, výpočetní technika I. Biostatistika Josef Tvrdík (doc. Ing. CSc.)
Lékařská biofyzika, výpočetní technika I Biostatistika Josef Tvrdík (doc. Ing. CSc.) Přírodovědecká fakulta, katedra informatiky josef.tvrdik@osu.cz konzultace úterý 14.10 až 15.40 hod. http://www1.osu.cz/~tvrdik
VíceStatistika (KMI/PSTAT)
Statistika (KMI/PSTAT) Cvičení šesté aneb Podmíněná pravděpodobnost Statistika (KMI/PSTAT) 1 / 13 Pravděpodobnost náhodných jevů Po dnešní hodině byste měli být schopni: rozumět pojmu podmíněná pravděpodobnost
Více10. cvičení z PST. 5. prosince T = (n 1) S2 X. (n 1) s2 x σ 2 q χ 2 (n 1) (1 α 2 ). q χ 2 (n 1) 2. 2 x. (n 1) s. x = 1 6. x i = 457.
0 cvičení z PST 5 prosince 208 0 (intervalový odhad pro rozptyl) Soubor (70, 84, 89, 70, 74, 70) je náhodným výběrem z normálního rozdělení N(µ, σ 2 ) Určete oboustranný symetrický 95% interval spolehlivosti
VíceÚvod do teorie pravděpodobnosti
Úvod do teorie pravděpodobnosti Michal Fusek Ústav matematiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 9. přednáška z ESMAT Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 1 / 33 Obsah 1 Náhodné jevy 2 Pravděpodobnost 3 Podmíněná
VíceZáklady teorie pravděpodobnosti
Základy teorie pravděpodobnosti Náhodný jev Pravděpodobnost náhodného jevu Roman Biskup (zapálený) statistik ve výslužbě, aktuálně analytik v praxi ;-) roman.biskup(at)email.cz 15. srpna 2012 Statistika
VíceMaturitní otázky z předmětu MATEMATIKA
Wichterlovo gymnázium, Ostrava-Poruba, příspěvková organizace Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA 1. Výrazy a jejich úpravy vzorce (a+b)2,(a+b)3,a2-b2,a3+b3, dělení mnohočlenů, mocniny, odmocniny, vlastnosti
VíceJevy A a B jsou nezávislé, jestliže uskutečnění jednoho jevu nemá vliv na uskutečnění nebo neuskutečnění jevu druhého
8. Základy teorie pravděpodobnosti 8. ročník 8. Základy teorie pravděpodobnosti Pravděpodobnost se zabývá matematickými zákonitostmi, které se projevují v náhodných pokusech. Tyto zákonitosti mají opodstatnění
VíceMATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY
MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY 1. Základní poznatky z logiky a teorie množin Pojem konstanty a proměnné. Obor proměnné. Pojem výroku a jeho pravdivostní hodnota. Operace s výroky, složené výroky, logické
VíceMatematika PRŮŘEZOVÁ TÉMATA
Matematika ročník TÉMA 1-4 Operace s čísly a - provádí aritmetické operace v množině reálných čísel - používá různé zápisy reálného čísla - používá absolutní hodnotu, zapíše a znázorní interval, provádí
VíceKombinatorika. Michael Krbek. 1. Základní pojmy. Kombinatorika pracuje se spočitatelnými (tedy obvykle
Kombinatorika Michael Krbek. Základní pojmy. Kombinatorika pracuje se spočitatelnými (tedy obvykle konečnými) strukturami a patří kvůli tomu mezi nejstarší oblasti matematiky. Je těžké podat přesný výčet
VíceJevy, které za daných podmínek mohou, ale nemusí nastat, nazýváme náhodnými jevy. Příklad: při hodu hrací kostkou padne trojka
Náhodný jev Mějme určitý soubor podmínek. Provedeme pokus, který budeme chtít zopakovat. Pokud opakování pokusu při zachování nám známých podmínek nevede k jednoznačnému výsledku, můžeme se domnívat, že
VícePRAVDĚPODOBNOST Náhodné pokusy. Náhodný jev
RAVDĚODOBNOST Náhodné pokusy okusy ve fyzice, chemii při splnění stanov. podmínek vždy stejný výsledek ř. Změna skupenství vody při 00 C a tlaku 00 ka okusy v praxi, vědě, výzkumu při dodržení stejných
Více1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1
1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 2 Aritmetické vektorové prostory 7 3 Eukleidovské vektorové prostory 9 Levá vnější operace Definice 5.1 Necht A B. Levou vnější
VíceMotivace. Náhodný pokus, náhodný n jev. Pravděpodobnostn. podobnostní charakteristiky diagnostických testů, Bayesův vzorec
Pravděpodobnostn podobnostní charakteristiky diagnostických testů, Bayesův vzorec Prof.RND.Jana Zvárov rová,, DrSc. Motivace V medicíně má mnoho problémů pravěpodobnostní charakter prognóza diagnoza účinnost
Vícenáhodný jev je podmnožinou
Pravděpodobnost Dovednosti a cíle - Chápat jev A jako podmnožinu množiny, která značí množinu všech výsledků náhodného děje. - Umět zapsat jevy pomocí množinových operací a obráceně umět z množinového
VíceMaturitní témata profilová část
Seznam témat Výroková logika, úsudky a operace s množinami Základní pojmy výrokové logiky, logické spojky a kvantifikátory, složené výroky (konjunkce, disjunkce, implikace, ekvivalence), pravdivostní tabulky,
VíceTeoretická rozdělení
Teoretická rozdělení Diskrétní rozdělení Obsah kapitoly Studijní cíle Doba potřebná ke studiu Pojmy k zapamatování Úvod Některá teoretická rozdělení diskrétních veličin: Alternativní rozdělení Binomické
VícePravděpodobnost a aplikovaná statistika
Pravděpodobnost a aplikovaná statistika MGR. JANA SEKNIČKOVÁ, PH.D. 2. KAPITOLA PODMÍNĚNÁ PRAVDĚPODOBNOST 3. KAPITOLA NÁHODNÁ VELIČINA 9.11.2017 Opakování Uveďte příklad aplikace geometrické definice pravděpodobnosti
VícePravděpodobnost a statistika, Biostatistika pro kombinované studium. Jan Kracík
Pravděpodobnost a statistika, Biostatistika pro kombinované studium Letní semestr 2016/2017 Tutoriál č. 1: Kombinatorika, úvod do teorie pravděpodobnosti Jan Kracík jan.kracik@vsb.cz Kombinatorika Kombinatorika
VícePRAVDĚPODOBNOST JE. Martina Litschmannová
RAVDĚODOBNOST JE Martina Litschmannová Čím se zabývá teorie pravděpodobnosti? Teorie pravděpodobnosti je matematická disciplína popisující zákonitosti týkající se náhodných jevů, tj. používá se k modelování
VíceInformační a znalostní systémy
Informační a znalostní systémy Teorie pravděpodobnosti není v podstatě nic jiného než vyjádření obecného povědomí počítáním. P. S. de Laplace Pravděpodobnost a relativní četnost Pokusy, výsledky nejsou
VíceCvičení ze statistiky - 5. Filip Děchtěrenko
Cvičení ze statistiky - 5 Filip Děchtěrenko Minule bylo.. Začali jsme pravděpodobnost Klasická a statistická definice pravděpodobnosti Náhodný jev Doplněk, průnik, sjednocení Podmíněná pravděpodobnost
Vícea) 7! 5! b) 12! b) 6! 2! d) 3! Kombinatorika
Kombinatorika Kombinatorika se zabývá vytvářením navzájem různých skupin z daných prvků a určováním počtu takových skupin. Kombinatorika se zabývá pouze konečnými množinami. Při určování počtu výběrů skupin
Více( ) ( ) 9.2.7 Nezávislé jevy I. Předpoklady: 9204
9.2.7 Nezávislé jevy I Předpoklady: 9204 Př. : Předpokládej, že pravděpodobnost narození chlapce je stejná jako pravděpodobnost narození dívky (a tedy v obou případech rovna 0,5) a není ovlivněna genetickými
Více1. Házíme hrací kostkou. Určete pravděpodobností těchto jevů: a) A při jednom hodu padne šestka;
I Elementární pravděpodonost 1 Házíme hrací kostkou Určete pravděpodoností těchto jevů: a) A při jednom hodu padne šestka; Řešení: P A) = 1 = 01; Je celkem šest možností {1,,, 4,, } a jedna {} je příznivá
VícePRAVDĚPODOBNOST A JEJÍ UŽITÍ
PRAVDĚPODOBNOST A JEJÍ UŽITÍ Základním pojmem teorie pravděpodobnosti je náhodný jev. náhodný jev : výsledek nějaké činnosti nebo pokusu, o němž má smysl prohlásit že nastal nebo ne. Náhodné jevy se označují
VíceMatematika B101MA1, B101MA2
Matematika B101MA1, B101MA2 Zařazení předmětu: povinný předmět 1.ročníku bc studia 2 semestry Rozsah předmětu: prezenční studium 2 + 2 kombinované studium 16 + 0 / semestr Zakončení předmětu: ZS zápočet
VíceMatematika I 2a Konečná pravděpodobnost
Matematika I 2a Konečná pravděpodobnost Jan Slovák Masarykova univerzita Fakulta informatiky 24. 9. 2012 Obsah přednášky 1 Pravděpodobnost 2 Nezávislé jevy 3 Geometrická pravděpodobnost Viděli jsme už
VíceŘešené příklady z pravděpodobnosti:
Řešené příklady z pravděpodobnosti: 1. Honza se ze šedesáti maturitních otázek 10 nenaučil. Při zkoušce si losuje dvě otázky. a. Určete pravděpodobnost jevu A, že si vylosuje pouze otázky, které se naučil.
VíceKOMBINATORIKA (4.ročník I.pololetí DE, 2.ročník I.pololetí NS)
KOMBINATORIKA (4.ročník I.pololetí DE,.ročník I.pololetí NS) Kombinatorika je část matematiky, zabývající se uspořádáváním daných prvků podle jistých pravidel do určitých skupin a výpočtem množství těchto
VíceDiskrétní pravděpodobnost
Diskrétní pravděpodobnost Jiří Koula Definice. Konečným pravděpodobnostním prostorem nazveme dvojici(ω, P), kde Ω jekonečnámnožina {ω 1,..., ω n}apfunkcepřiřazujícíkaždépodmnožiněωčíslo zintervalu 0,1,splňujícíP(
Více1.3. Číselné množiny. Cíle. Průvodce studiem. Výklad
1.3. Cíle Cílem kapitoly je seznámení čtenáře s axiomy číselných oborů a jejich podmnožin (intervalů) a zavedení nových pojmů, které nejsou náplní středoškolských osnov. Průvodce studiem Vývoj matematiky
VíceJiří Neubauer. Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel
Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Definice P(A/B) pravděpodobnost nastoupení jevu A za předpokladu, že nastal jev B (P(B) > 0) definujeme vztahem
VíceTematický plán Obor: Informační technologie. Vyučující: Ing. Joanna Paździorová
Tematický plán Vyučující: Ing. Joanna Paździorová 1. r o č n í k 5 h o d i n t ý d n ě, c e l k e m 1 7 0 h o d i n Téma- Tematický celek Z á ř í 1. Opakování a prohloubení učiva základní školy 18 1.1.
VíceMATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT)
MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) 1. Číselné obory 1.1 Přirozená čísla provádět aritmetické operace s přirozenými čísly rozlišit prvočíslo
Více2 ) 4, Φ 1 (1 0,005)
Příklad 1 Ze zásilky velkého rozsahu byl náhodně vybrán soubor obsahující 1000 kusů. V tomto souboru bylo zjištěno 26 kusů nekvalitních. Rozhodněte, zda je možné s 99% jistotou tvrdit, že zásilka obsahuje
VíceDIGITÁLNÍ ARCHIV VZDĚLÁVACÍCH MATERIÁLŮ
DIGITÁLNÍ ARCHIV VZDĚLÁVACÍCH MATERIÁLŮ Číslo projektu Číslo a název šablony klíčové aktivity Tematická oblast CZ.1.07/1.5.00/34.0963 IV/2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti
VícePravděpodobnost a statistika (BI-PST) Cvičení č. 1
Pravděpodobnost a statistika (BI-PST) Cvičení č. 1 Katedra aplikované matematiky Fakulta informačních technologií České vysoké učení technické v Praze ZS 2014/2015 (FIT ČVUT) BI-PST, Cvičení č. 1 ZS 2014/2015
VíceMETODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gymnázia a základní vzdělávání
METODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gymnázia a základní vzdělávání Jaroslav Švrček a kolektiv Rámcový vzdělávací program pro gymnázia Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Tematický okruh: Práce s
Vícea způsoby jejího popisu Ing. Michael Rost, Ph.D.
Podmíněná pravděpodobnost, náhodná veličina a způsoby jejího popisu Ing. Michael Rost, Ph.D. Podmíněná pravděpodobnost Pokud je jev A vázán na uskutečnění jevu B, pak tento jev nazýváme jevem podmíněným
VíceJiří Neubauer. Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel
Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Výsledky některých náhodných pokusů jsou přímo vyjádřeny číselně (např. při hodu kostkou padne 6). Náhodnou veličinou
VíceGymnázium Česká a Olympijských nadějí, České Budějovice, Česká 64, 37021
Maturitní témata MATEMATIKA 1. Funkce a jejich základní vlastnosti. Definice funkce, def. obor a obor hodnot funkce, funkce sudá, lichá, monotónnost funkce, funkce omezená, lokální a globální extrémy funkce,
VíceDobývání znalostí. Doc. RNDr. Iveta Mrázová, CSc. Katedra teoretické informatiky Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy v Praze
Dobývání znalostí Doc. RNDr. Iveta Mrázová, CSc. Katedra teoretické informatiky Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy v Praze Dobývání znalostí Pravděpodobnost a učení Doc. RNDr. Iveta Mrázová,
Více1. Statistická analýza dat Jak vznikají informace Rozložení dat
1. Statistická analýza dat Jak vznikají informace Rozložení dat J. Jarkovský, L. Dušek, S. Littnerová, J. Kalina Význam statistické analýzy dat Sběr a vyhodnocování dat je způsobem k uchopení a pochopení
Více2. Množiny, funkce. Poznámka: Prvky množiny mohou být opět množiny. Takovou množinu, pak nazýváme systém množin, značí se
MNOŽIN, ZÁKLDNÍ POJMY Pojem množiny patří v matematice ke stěžejním. Nelze jej zavést ve formě definice pomocí primitivních pojmů; považuje se totiž rovněž za pojem primitivní. Představa o pojmu množina
VíceTeorie. Kombinatorika
Teorie Kombinatorika Kombinatorika Jak obecně vybrat k prvkové množiny z n prvkové množiny? Dvě možnosti: prvky se v množině neopakují bez opakování. prvky se v množině opakují s opakováním. prvky jsou
VíceTomáš Karel LS 2012/2013
Tomáš Karel LS 2012/2013 Doplňkový materiál ke cvičení z předmětu 4ST201. Na případné faktické chyby v této presentaci mě prosím upozorněte. Děkuji. Tyto slidy berte pouze jako doplňkový materiál není
VíceZáklady matematické analýzy
Základy matematické analýzy Spojitost funkce Ing. Tomáš Kalvoda, Ph.D. 1, Ing. Daniel Vašata 2 1 tomas.kalvoda@fit.cvut.cz 2 daniel.vasata@fit.cvut.cz Katedra aplikované matematiky Fakulta informačních
VíceUNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA KATEDRA MATEMATICKÉ ANALÝZY A APLIKACÍ MATEMATIKY BAKALÁŘSKÁ PRÁCE
UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA KATEDRA MATEMATICKÉ ANALÝZY A APLIKACÍ MATEMATIKY BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Sbírka řešených příkladů z pravděpodobnosti: náhodný jev Vedoucí bakalářské práce:
VíceMINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY. Učební osnova předmětu MATEMATIKA. pro nástavbové studium. varianta B 6 celkových týd.
MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY Učební osnova předmětu MATEMATIKA pro nástavbové studium (hodinová dotace: varianta A 4 až 5 celkových týd. hodin, varianta B 6 celkových týd. hodin) Schválilo
Více1 Rozptyl a kovariance
Rozptyl a kovariance Nechť X je náhodná veličina s konečnou střední hodnotou EX Potom rozptyl náhodné veličiny X definujeme jako: DX E(X EX, pokud střední hodnota na pravé straně existuje Podobně jako
VíceProjekt ŠABLONY NA GVM Gymnázium Velké Meziříčí registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0948
Projekt ŠABLONY NA GVM Gymnázium Velké Meziříčí registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0948 IV-2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol PRAVDĚPODOBNOST
VíceZadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od jara 2014
Zadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od jara 2014 Zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia
VíceNáhodný jev. Jevy, které za daných podmínek mohou, ale nemusí nastat, nazýváme náhodnými jevy.
Náhodný jev Mějme určitý soubor podmínek. Provedeme pokus, který budeme chtít zopakovat. Pokud opakování pokusu při zachování nám známých podmínek nevede k jednoznačnému výsledku, můžeme se domnívat, že
Víceletní semestr Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy Matematická statistika
Šárka Hudecová Katedra i a matematické statistiky Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy letní semestr 2012 1 1 Založeno na materiálech doc. Michala Kulicha Organizační pokyny k přednášce přednáškové
Více( ) ( ) Binomické rozdělení. Předpoklady: 9209
9..1 Binomické rozdělení Předpoklady: 99 Př. 1: Basketbalista hází trestný hod (šestku) s pravděpodobností úspěchu,9. Urči pravděpodobnosti, že z pěti hodů: a) dá košů b) dá alespoň jeden koš c) dá nejdříve
VíceNáhodný jev a definice pravděpodobnosti
Náhodný jev a definice pravděpodobnosti Obsah kapitoly Náhodný jev. Vztahy mezi náhodnými jevy. Pravidla pro počítání s pravděpodobnostmi. Formule úplné pravděpodobnosti a Bayesův vzorec. Studijní cíle
VíceCVIČNÝ TEST 25. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 13 IV. Záznamový list 15
CVIČNÝ TEST 25 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 13 IV. Záznamový list 15 I. CVIČNÝ TEST VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 1 V lidové výkupně barevných kovů vykoupili
Více