Soustavy lineárních rovnic a determinanty
|
|
|
- Dalibor Moravec
- před 8 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 Soustavy lineárních rovnic a determinanty Petr Hasil Přednáška z matematiky Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny společného základu (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/ ) za přispění finančních prostředků EU a státního rozpočtu České republiky. c Petr Hasil (MENDELU) SLR a determinanty Matematika MT 1 / 51
2 Obsah 1 Soustavy lineárních rovnic I Definice a pojmy Řešení soustav lineárních rovnic 2 Determinanty Definice a determinanty do řádu 3 Determinanty vyšších řádů Úpravy determinantů 3 Soustavy lineárních rovnic II Cramerovo pravidlo 4 Příklady 5 Aplikace Leslieho model růstu - příklad 6 Wolfram Alpha c Petr Hasil (MENDELU) SLR a determinanty Matematika MT 2 / 51
3 Soustavy lineárních rovnic I Definice a pojmy Definice (Soustava lineárních rovnic) Necht a ij R, b i R, i = 1,..., m, j = 1,..., n. Soustavou m lineárních rovnic o n neznámých x 1, x 2,..., x n rozumíme soustavu rovnic a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2. a m1 x 1 + a m2 x a mn x n = b m (SLR) Věta Řešení soustavy lineárních rovnic (SLR) rozumíme uspořádanou n-tici reálných čísel r 1, r 2,..., r n, po jejichž dosazení za neznámé x 1, x 2,..., x n (v tomto pořadí) do soustavy lineárních rovnic dostaneme ve všech rovnicích identity. c Petr Hasil (MENDELU) SLR a determinanty Matematika MT 4 / 51
4 Soustavy lineárních rovnic I Definice a pojmy Definice (Matice soustavy) Matici a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = a m1 a m2 a mn nazýváme maticí soustavy (SLR). Matici a 11 a 12 a 1n b 1 a 21 a 22 a 2n b 2 A r = a m1 a m2 a mn b m nazýváme rozšířenou maticí soustavy (SLR). c Petr Hasil (MENDELU) SLR a determinanty Matematika MT 5 / 51
5 Soustavy lineárních rovnic I Definice a pojmy Poznámka Soustavu (SLR) můžeme zapsat v maticové formě: a 11 a 12 a 1n x 1 b 1 a 21 a 22 a 2n x 2. = b 2., a m1 a m2 a mn x n b m po příslušném označení Ax = b. c Petr Hasil (MENDELU) SLR a determinanty Matematika MT 6 / 51
6 Soustavy lineárních rovnic I Definice a pojmy Definice (Homogenní soustava lineárních rovnic) Jestliže v soustavě (SLR) platí b 1 = b 2 = = b m = 0, nazýváme tuto soustavu homogenní. V opačném případě se nazývá soustava nehomogenní. Poznámka Homogenní soustava lineárních rovnic má bud pouze triviální řešení (jestliže h(a) = n), nebo nekonečně mnoho řešení (jestliže h(a) < n), která lze vyjádřit pomocí n h(a) nezávislých parametrů. Věta (Frobeniova) Soustava lineárních rovnic Ax = b je řešitelná právě tehdy, když matice soustavy A a rozšířená matice soustavy A r = (A b) mají stejnou hodnost. c Petr Hasil (MENDELU) SLR a determinanty Matematika MT 7 / 51
7 Soustavy lineárních rovnic I Definice a pojmy Počet řešení SLR Jestliže h(a) h(a r ), soustava nemá řešení. Jestliže h(a) = h(a r ) = n, soustava má právě jedno řešení. Jestliže h(a) = h(a r ) < n, soustava má nekonečně mnoho řešení, která lze vyjádřit pomocí n h(a) nezávislých parametrů. c Petr Hasil (MENDELU) SLR a determinanty Matematika MT 8 / 51
8 Soustavy lineárních rovnic I Řešení soustav lineárních rovnic Definice (Ekvivalentní soustavy lineárních rovnic) Dvě soustavy lineárních rovnic se nazývají ekvivalentní, jestliže mají shodné řešení. Postup (i) Pomocí GEM převedeme rozšířenou matici soustavy A r = (A b) na schodovitý tvar. (ii) Pomocí Frobeniovy věty rozhodneme, zda má soustava řešení. (iii) Je-li soustava řešitelná, přiřadíme schodovité matici soustavu lineárních rovnic. Tato je ekvivalentní s původní soustavou. (iv) Postupně řešíme rovnice od poslední a získané výsledky dosazujeme do následujících rovnic. Má-li soustava nekonečně mnoho řešení, zvoĺıme vhodné proměnné za nezávislé parametry. c Petr Hasil (MENDELU) SLR a determinanty Matematika MT 10 / 51
9 Soustavy lineárních rovnic I Řešení soustav lineárních rovnic Poznámka Je-li matice A soustavy Ax = b regulární, pak má tato soustava vždy jediné řešení. Toto řešení je možné získat použitím inverzní matice A 1. Ax = b /A 1 A 1 Ax = A 1 b Ix = A 1 b x = A 1 b. Pozor, obě strany rovnice musíme vynásobit maticí ze stejné strany, protože násobení matic není komutativní. c Petr Hasil (MENDELU) SLR a determinanty Matematika MT 11 / 51
10 Soustavy lineárních rovnic I Řešení soustav lineárních rovnic Příklad x + y + z = 3 2x + 7y + z = 2 x + 2y + z = A = 2 7 1, b = 2, A 1 = x y = A 1 b = = 1 z Řešení je tedy x = 11, y = 1, z = 13. c Petr Hasil (MENDELU) SLR a determinanty Matematika MT 12 / 51
11 Determinanty Definice a determinanty do řádu 3 Definice (Permutace) Necht jsou dána čísla 1, 2,..., n. Permutací těchto prvků rozumíme uspořádanou n-tici, která vznikla jejich přeskládáním. Inverzí rozumíme záměnu i-tého a j-tého prvku v permutaci. Poznámka Počet permutací n-prvkové množiny je n! = n (n 1) 2 1. Např. permutací prvků 1, 2, 3 je 3! = = 6: (1, 2, 3), (1, 3, 2), (2, 1, 3), (2, 3, 1), (3, 1, 2), (3, 2, 1). c Petr Hasil (MENDELU) SLR a determinanty Matematika MT 14 / 51
12 Determinanty Definice a determinanty do řádu 3 Definice (Determinant) Necht A je čtvercová matice řádu n. Determinant matice A je číslo det A = A R, det A = ( 1) p a 1k1 a 2k2 a nkn, kde sčítáme přes všechny permutace (k 1, k 2,..., k n ) sloupcových indexů. Číslo p značí počet inverzí příslušné permutace. Poznámka Podle definice tedy stačí vzít po jednom prvku z každého řádku tak, aby žádné dva nebyly ze stejného sloupce. Tyto prvky mezi sebou vynásobit. Determinant je právě součtem všech těchto součinů. Z toho je vidět, že definice není vhodná pro počítání determinantů matic větších rozměrů. c Petr Hasil (MENDELU) SLR a determinanty Matematika MT 15 / 51
13 Determinanty Definice a determinanty do řádu 3 Výpočet determinantů nižších řádů Determinant řádu 1: det(a 11 ) = a 11. Determinant řádu 2 křížové pravidlo: ( ) a11 a det 12 = a 21 a 22 a 11 a 12 a 21 a 22 = c Petr Hasil (MENDELU) SLR a determinanty Matematika MT 16 / 51
14 Determinanty Definice a determinanty do řádu 3 Výpočet determinantů nižších řádů Determinant řádu 1: det(a 11 ) = a 11. Determinant řádu 2 křížové pravidlo: ( ) a11 a det 12 = a 21 a 22 a 11 a 12 a 21 a 22 = a 11 a 22 c Petr Hasil (MENDELU) SLR a determinanty Matematika MT 17 / 51
15 Determinanty Definice a determinanty do řádu 3 Výpočet determinantů nižších řádů Determinant řádu 1: det(a 11 ) = a 11. Determinant řádu 2 křížové pravidlo: ( ) a11 a det 12 = a 21 a 22 a 11 a 12 a 21 a 22 = a 11 a 22 a 21 a 12. c Petr Hasil (MENDELU) SLR a determinanty Matematika MT 18 / 51
16 Determinanty Definice a determinanty do řádu 3 Výpočet determinantů nižších řádů Determinant řádu 3 Sarrusova pravidlo a 11 a 12 a 13 a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 det A = det a 21 a 22 a 23 = a 31 a 32 a 33 a 31 a 32 a 33 a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 c Petr Hasil (MENDELU) SLR a determinanty Matematika MT 19 / 51
17 Determinanty Definice a determinanty do řádu 3 Výpočet determinantů nižších řádů Determinant řádu 3 Sarrusova pravidlo a 11 a 12 a 13 a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 det A = det a 21 a 22 a 23 = a 31 a 32 a 33 a 31 a 32 a 33 a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 = a 11 a 22 a 33 c Petr Hasil (MENDELU) SLR a determinanty Matematika MT 20 / 51
18 Determinanty Definice a determinanty do řádu 3 Výpočet determinantů nižších řádů Determinant řádu 3 Sarrusova pravidlo a 11 a 12 a 13 a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 det A = det a 21 a 22 a 23 = a 31 a 32 a 33 a 31 a 32 a 33 a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 = a 11 a 22 a 33 +a 21 a 32 a 13 c Petr Hasil (MENDELU) SLR a determinanty Matematika MT 21 / 51
19 Determinanty Definice a determinanty do řádu 3 Výpočet determinantů nižších řádů Determinant řádu 3 Sarrusova pravidlo a 11 a 12 a 13 a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 det A = det a 21 a 22 a 23 = a 31 a 32 a 33 a 31 a 32 a 33 a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 = a 11 a 22 a 33 +a 21 a 32 a 13 +a 31 a 12 a 23 c Petr Hasil (MENDELU) SLR a determinanty Matematika MT 22 / 51
20 Determinanty Definice a determinanty do řádu 3 Výpočet determinantů nižších řádů Determinant řádu 3 Sarrusova pravidlo a 11 a 12 a 13 a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 det A = det a 21 a 22 a 23 = a 31 a 32 a 33 a 31 a 32 a 33 a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 = a 11 a 22 a 33 + a 21 a 32 a 13 + a 31 a 12 a 23 a 31 a 22 a 13 c Petr Hasil (MENDELU) SLR a determinanty Matematika MT 23 / 51
21 Determinanty Definice a determinanty do řádu 3 Výpočet determinantů nižších řádů Determinant řádu 3 Sarrusova pravidlo a 11 a 12 a 13 a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 det A = det a 21 a 22 a 23 = a 31 a 32 a 33 a 31 a 32 a 33 a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 = a 11 a 22 a 33 + a 21 a 32 a 13 + a 31 a 12 a 23 a 31 a 22 a 13 a 11 a 32 a 23 c Petr Hasil (MENDELU) SLR a determinanty Matematika MT 24 / 51
22 Determinanty Definice a determinanty do řádu 3 Výpočet determinantů nižších řádů Determinant řádu 3 Sarrusova pravidlo a 11 a 12 a 13 a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 det A = det a 21 a 22 a 23 = a 31 a 32 a 33 a 31 a 32 a 33 a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 = a 11 a 22 a 33 + a 21 a 32 a 13 + a 31 a 12 a 23 a 31 a 22 a 13 a 11 a 32 a 23 a 21 a 12 a 33. c Petr Hasil (MENDELU) SLR a determinanty Matematika MT 25 / 51
23 Determinanty Determinanty vyšších řádů Definice Necht A je čtvercová matice řádu n. Vynecháme-li v matici A i-tý řádek j-tý sloupec, označujeme derminant vzniklé submatice M ij a nazýváme jej minor příslušný prvku a ij. Číslo A ij = ( 1) i+j M ij nazýváme algebraický doplněk prvku a ij. Věta (Laplaceův rozvoj) Necht A je čtvercová matice řádu n. Pro libovolný řádek (sloupec) determinantu det A platí det A = a 1j A 1j + a 2j A 2j + + a nj A nj = ( det A = a i1 A i1 + a i2 A i2 + + a in A in = n a ij A ij i=1 n a ij A ij ). c Petr Hasil (MENDELU) SLR a determinanty Matematika MT 27 / 51 j=1
24 Determinanty Determinanty vyšších řádů Příklad Je dán determinant det A = Protože druhý řádek a třetí sloupec obsahuje nulu, je vhodné zvolit pro Laplaceův rozvoj jeden z nich. Zvolme druhý řádek a počítejme: , a 21 = 4, M 21 = , A 21 = ( 1) 2+1 M 21 = ( 1) [ 12 ( 1)] = 11 c Petr Hasil (MENDELU) SLR a determinanty Matematika MT 28 / 51
25 Determinanty Determinanty vyšších řádů , a 22 = 5, M 22 = , A 22 = ( 1) 2+2 M 22 = 1 [8 3] = , a 23 = 0, M 23 = , A 23 = ( 1) 2+3 M 23 = ( 1) [2 9] = 7. Odtud det A = a 21 A 21 + a 22 A 22 + a 23 A 23 = = 69. c Petr Hasil (MENDELU) SLR a determinanty Matematika MT 29 / 51
26 Determinanty Determinanty vyšších řádů Poznámka Determinant řádu n se pomocí Laplaceova rozvoje převede na nejvýše n determinantů řádu n 1. Přitom cílem je převést determinant vyššího řádu na determinanty řádu 2 nebo 3, které lze snadno spočítat křížovým, resp. Sarrusovým pravidlem. Např. determinantřádu 5 vede na nejvýše 5 determinantů řádu 4. Z nich každý vede na nejvýše 4 determinanty řádu 3. Celkem tedy determinant řádu 5 vede na nejvýše 20 determinantů řádu 3, popř. na 60 determinantů řádu 2. Proto je velmi vhodné vybírat pro rozvoj řádek, nebo sloupec obsahující co největší počet nulových prvků. c Petr Hasil (MENDELU) SLR a determinanty Matematika MT 30 / 51
27 Determinanty Úpravy determinantů Věta (Operace neměnící hodnotu determinantu) Ponechání jednoho řádku/sloupce beze změny a přičtení jeho násobku k jinému řádku/sloupci nemění hodnotu determinantu. Příklad I II 2I = III + 3I = 1 ( 1) = 1 ( ) = 8. c Petr Hasil (MENDELU) SLR a determinanty Matematika MT 32 / 51
28 Determinanty Úpravy determinantů Věta (Operace měnící hodnotu determinantu) Záměna dvou řádků/sloupců determinantu změní jeho znaménko. Vynásobení řádku/sloupce nenulovým číslem α zvětší hodnotu determinantu α-krát. (Tj. z řádků/sloupců lze vytýkat před determinant.) Příklad I II = = c Petr Hasil (MENDELU) SLR a determinanty Matematika MT 33 / 51
29 Determinanty Úpravy determinantů Věta Jsou dány čtvercové matice A, B řádu n. (i) A = 0 řádky nebo sloupce matice A jsou lineárně závislé, (ii) matice A obsahuje nulový řádek nebo sloupec A = 0, (iii) A T = A, (iv) jestliže je A 0, pak A 1 = 1 A, (v) A B = A B, (vi) determinant matice ve schodovitém tvaru je roven součinu prvků na její hlavní diagonále. c Petr Hasil (MENDELU) SLR a determinanty Matematika MT 34 / 51
30 Soustavy lineárních rovnic II Cramerovo pravidlo Uvažujme soustavu n lineárních rovnic o n neznámých Ax = b. Matice A takovéto soustavy je tedy čtvercová matice řádu n. Jestliže je determinant matice A nenulový, tedy soustava Ax = b má právě jedno řešení, lze použít k jejímu vyřešení tzv. Cramerovo pavidlo. Jeho výhodou je, že je možné spočítat libovolnou neznámou bez znalosti ostatních. Věta (Cramerovo pravidlo) Necht je A čtvercová regulární matice řádu n. Potom má soustava lineárních rovnic Ax = b jediné řešení x, pro jehož i-tou složku platí x i = D i D, kde D = det A a D i je determinant matice řádu n vzniklé z matice A náhradou jejího i-tého sloupce za sloupec pravých stran b. c Petr Hasil (MENDELU) SLR a determinanty Matematika MT 36 / 51
31 Soustavy lineárních rovnic II Cramerovo pravidlo Příklad Určete hodnotu neznámé proměnné x 2 ze soustavy lineárních rovnic 2x 1 + x 2 x 3 = 1 x 1 + 3x 2 + x 3 = 0 x 1 + 2x 2 + x 3 = 3. Řešíme tedy soustavu lineárních rovnic Ax = b x x 2 = x 3 3 Pro výpočet neznámé x 2 je nutné určit determinanty D a D 2 : D = det A = = 5. c Petr Hasil (MENDELU) SLR a determinanty Matematika MT 37 / 51
32 Soustavy lineárních rovnic II Cramerovo pravidlo Protože je det A 0, lze použít Cramerov pravidlo D 2 = = 11. Tedy x 2 = D 2 D = 11 5 = c Petr Hasil (MENDELU) SLR a determinanty Matematika MT 38 / 51
33 Příklady Příklad Vyřešte soustavu lineárních rovnic. x + 3y + z = 2, 2x + 2y z = 1, 2x + 5y + 3z = 8. Řešení: x = 2, y = 1, z = 3. c Petr Hasil (MENDELU) SLR a determinanty Matematika MT 40 / 51
34 Příklady Příklad Vyřešte soustavu lineárních rovnic. Řešení: SLR nemá řešení. x + 3y + z = 2, 2x + 2y+6z = 1, 2x + 5y + 3z = 8. c Petr Hasil (MENDELU) SLR a determinanty Matematika MT 41 / 51
35 Příklady Příklad Vyřešte soustavu lineárních rovnic. x + 3y + z = 2, 2x + 2y+6z = 20, 2x + 5y + 3z = 8. Řešení: x 14 4p y = p 4, p R. z p c Petr Hasil (MENDELU) SLR a determinanty Matematika MT 42 / 51
36 Příklady Příklad Vypočtěte determinant. Řešení: c Petr Hasil (MENDELU) SLR a determinanty Matematika MT 43 / 51
37 Příklady Příklad Určete neznámou x 2 ze SLR. 2x 1 + 4x 2 + 3x 3 x 4 = 1, 3x 1 3x 2 + 2x 3 + 4x 4 = 3, 2x 1 2x 2 + x 4 = 0, x 1 + 2x 2 2x 4 = 1. Řešení: x 2 = 2. c Petr Hasil (MENDELU) SLR a determinanty Matematika MT 44 / 51
38 Aplikace Leslieho model růstu - příklad Příklad Mějme dán zjednodušený model populace jistého modrého ptáčka (lat. Ptacchus modrus). Populace je rozdělena do čtyř věkových skupin vajíčko, mládě v hnízdě, létající mládě a dospělý jedinec. Je známo, že bývá zničeno sedm vajíček ze šestnácti, osmina mlád at v hnízdě uhyne a další osmina zemře při pokusu o první let. Z létajících mlád at se dospělosti dožijí tři ze čtyř a pár dospělých ptáčků přivede na svět průměrně 32 vajíček. Napište matici modelu, určete přírůstek populace a výsledný poměr mezi věkovými skupinami. Řešení: Leslieho matice je A = c Petr Hasil (MENDELU) SLR a determinanty Matematika MT 46 / 51
39 Aplikace Leslieho model růstu - příklad Přírůstek a výsledný poměr populace získáme pomocí tzv. vlastních čísel a vlastních vektorů. Protože nás zajímá jen algoritmické řešení daného problému, nebudeme se zabývat teoríı na pozadí. Vlastní čísla získáme tak, že od každého prvku na hlavní diagonále Leslieho matice odečteme neznámou λ a spočítáme determinant. Determinantem je polynom s proměnnou λ a jeho kořeny jsou právě vlastní čísla naší matice. Z nich nás zajímá pouze jediné největší reálné. To udává přírůstek dané populace. λ λ λ 0 = λ λ ( ) Tedy řešíme rovnici λ 4 ( 3 4 2) = 0. Ta má pouze dva reálné kořeny a to 3 2 a 3 2. Větší jsou 3 2 = 1, 5, takže po jednom období bude mít populace 1, 5 násobek Ptacchusů. Populace tedy roste s přírůstkem 50%. c Petr Hasil (MENDELU) SLR a determinanty Matematika MT 47 / 51
40 Aplikace Leslieho model růstu - příklad Nyní zbývá určit výsledné složení populace. To udává vlastní vektor příslušný již použitému (dominantnímu) vlastnímu číslu. Získáme ho jako řešení homogenní soustavy lineárních rovnic dané Leslieho maticí, ve které od každého prvku na hlavní diagonále odečteme příslušné vlastní číslo x x 4 = x x 2 = x x 3 = x x 4 = 0 c Petr Hasil (MENDELU) SLR a determinanty Matematika MT 48 / 51
41 Aplikace Leslieho model růstu - příklad Soustava má nekonečně mnoho řešení závislých na jednom parametru: x 1 x 2 x 3 = x p 4p 2p p, p R. Nám stačí kterékoli nenulové z nich. Zvolme tedy např. parametr p = 1. Tím získéme jediné řešení (jediný vlastní vektor), jehož složky udávají poměr složení ke kterému populace směřuje, tedy 32 3 : 4 : 2 : 1. Srozumitelnější je samozřejmě udávat výsledné složení v procentech. Nejprve se zbavíme zlomku celý vektor vynásobíme trojkou 32 : 12 : 6 : 3, poté vyděĺıme jejich součtem a vynásobíme stovkou (tj. krát ). Odtud po zaokrouklení získáme složení populace v procentech: 60 : 23 : 11 : 6. Tedy na 60 vajíček připadá 23 mlád at v hnízdě, 11 mlád at letců a 6 dospělých. c Petr Hasil (MENDELU) SLR a determinanty Matematika MT 49 / 51
42 Wolfram Alpha Řešení soustavy lineárních rovnic. solve 2x+3y-z=2,5x-y-4z=7,x-y+6z=1 solve x1+3x2-5x3+x4=12,2x1-x2+x3-x4=-5,x3-5x4=1 Výpočet determinantu. det{(2,-1,1,3),(6,2,0,1),(-2,5,3,1),(2,2,0,1)} Výpočet vlastních čísel matice. eigenvalues{(0,0,0,16),(9/16,0,0,0),(0,3/4,0,0),(0,0,3/4,0)} Výpočet vlastních vektorů matice. eigenvectors{(0,0,0,16),(9/16,0,0,0),(0,3/4,0,0),(0,0,3/4,0)} c Petr Hasil (MENDELU) SLR a determinanty Matematika MT 51 / 51
Determinanty. Obsah. Aplikovaná matematika I. Pierre Simon de Laplace. Definice determinantu. Laplaceův rozvoj Vlastnosti determinantu.
Determinanty Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah 1 Determinanty Definice determinantu Sarrusovo a křížové pravidlo Laplaceův rozvoj Vlastnosti determinantu Výpočet determinantů 2 Inverzní
HODNOST A DETERMINANT MATICE, INVERZNÍ MATICE
MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA HODNOST A DETERMINANT MATICE, INVERZNÍ MATICE Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s
HODNOST A DETERMINANT MATICE, INVERZNÍ MATICE
MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA HODNOST A DETERMINANT MATICE, INVERZNÍ MATICE Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s
Soustavy lineárních rovnic
Soustavy lineárních rovnic Základy vyšší matematiky LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny společného
Soustavy lineárních rovnic
Přednáška MATEMATIKA č 4 Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel 973 442029 email:jirineubauer@unobcz 27 10 2010 Soustava lineárních rovnic Definice Soustava rovnic a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a
10. Soustavy lineárních rovnic, determinanty, Cramerovo pravidlo
0. Soustavy lineárních rovnic, determinanty, Cramerovo pravidlo (PEF PaA) Petr Gurka aktualizováno 9. prosince 202 Obsah Základní pojmy. Motivace.................................2 Aritmetický vektorový
0.1 Úvod do lineární algebry
Matematika KMI/PMATE 1 01 Úvod do lineární algebry 011 Vektory Definice 011 Vektorem aritmetického prostorur n budeme rozumět uspořádanou n-tici reálných čísel x 1, x 2,, x n Definice 012 Definice sčítání
SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC
MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipliny
Základy maticového počtu Matice, determinant, definitnost
Základy maticového počtu Matice, determinant, definitnost Petr Liška Masarykova univerzita 18.9.2014 Matice a vektory Matice Matice typu m n je pravoúhlé (nebo obdélníkové) schéma, které má m řádků a n
Vektory a matice. Obsah. Aplikovaná matematika I. Carl Friedrich Gauss. Základní pojmy a operace
Vektory a matice Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah 1 Vektory Základní pojmy a operace Lineární závislost a nezávislost vektorů 2 Matice Základní pojmy, druhy matic Operace s maticemi
Vektory a matice. Petr Hasil. Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF)
Vektory a matice Petr Hasil Přednáška z matematiky Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny společného základu
0.1 Úvod do lineární algebry
Matematika KMI/PMATE 1 01 Úvod do lineární algebry 011 Lineární rovnice o 2 neznámých Definice 011 Lineární rovnice o dvou neznámých x, y je rovnice, která může být vyjádřena ve tvaru ax + by = c, kde
Lineární algebra. Soustavy lineárních rovnic
Lineární algebra Operační program Vzdělávání pro konkurenceschopnost Název projektu: Inovace magisterského studijního programu Fakulty ekonomiky a managementu Registrační číslo projektu: CZ.1.07/2.2.00/28.0326
Soustava m lineárních rovnic o n neznámých je systém
1 1.2. Soustavy lineárních rovnic Soustava lineárních rovnic Soustava m lineárních rovnic o n neznámých je systém a 11 x 1 + a 12 x 2 +... + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n = b 2...
Číselné vektory, matice, determinanty
Číselné vektory, matice, determinanty Základy vyšší matematiky LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny
Matematika B101MA1, B101MA2
Matematika B101MA1, B101MA2 Zařazení předmětu: povinný předmět 1.ročníku bc studia 2 semestry Rozsah předmětu: prezenční studium 2 + 2 kombinované studium 16 + 0 / semestr Zakončení předmětu: ZS zápočet
MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA VEKTORY, MATICE
MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA VEKTORY, MATICE Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipliny společného
MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA VEKTORY, MATICE
MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA VEKTORY, MATICE Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipliny společného
(Cramerovo pravidlo, determinanty, inverzní matice)
KMA/MAT1 Přednáška a cvičení, Lineární algebra 2 Řešení soustav lineárních rovnic se čtvercovou maticí soustavy (Cramerovo pravidlo, determinanty, inverzní matice) 16 a 21 října 2014 V dnešní přednášce
Kapitola 11: Vektory a matice:
Kapitola 11: Vektory a matice: Prostor R n R n = {(x 1,, x n ) x i R, i = 1,, n}, n N x = (x 1,, x n ) R n se nazývá vektor x i je i-tá souřadnice vektoru x rovnost vektorů: x = y i = 1,, n : x i = y i
Operace s maticemi. 19. února 2018
Operace s maticemi Přednáška druhá 19. února 2018 Obsah 1 Operace s maticemi 2 Hodnost matice (opakování) 3 Regulární matice 4 Inverzní matice 5 Determinant matice Matice Definice (Matice). Reálná matice
Matematika (CŽV Kadaň) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic
Přednáška třetí (a pravděpodobně i čtvrtá) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o dvou neznámých x, y je
Necht tedy máme přirozená čísla n, k pod pojmem systém lineárních rovnic rozumíme rovnice ve tvaru
2. Systémy lineárních rovnic V této kapitole se budeme zabývat soustavami lineárních rovnic s koeficienty z pole reálných případně komplexních čísel. Uvádíme podmínku pro existenci řešení systému lineárních
1 Vektorové prostory.
1 Vektorové prostory DefiniceMnožinu V, jejíž prvky budeme označovat a, b, c, z, budeme nazývat vektorovým prostorem právě tehdy, když budou splněny následující podmínky: 1 Je dáno zobrazení V V V, které
1/10. Kapitola 12: Soustavy lineárních algebraických rovnic
1/10 Kapitola 12: Soustavy lineárních algebraických rovnic Soustavy lineárních algebraických rovnic 2/10 Definice: Soustavou m lineárních algebraických rovnic o n neznámých rozumíme soustavu rovnic a 11
Kapitola 11: Vektory a matice 1/19
Kapitola 11: Vektory a matice 1/19 2/19 Prostor R n R n = {(x 1,..., x n ) x i R, i = 1,..., n}, n N x = (x 1,..., x n ) R n se nazývá vektor x i je i-tá souřadnice vektoru x rovnost vektorů: x = y i =
Obsah. Lineární rovnice. Definice 7.9. a i x i = a 1 x a n x n = b,
Obsah Lineární rovnice Definice 77 Uvažujme číselné těleso T a prvky a 1,, a n, b T Úloha určit všechny n-tice (x 1,, x n ) T n, pro něž platí n a i x i = a 1 x 1 + + a n x n = b, i=1 se nazývá lineární
Poznámky z matematiky
Poznámky z matematiky Verze: 14. dubna 2015 Petr Hasil hasil@mendelu.cz http://user.mendelu.cz/hasil/ Ústav matematiky Lesnická a dřevařská fakulta Mendelova univerzita v Brně Vytvořeno s podporou projektu
Maticí typu (m, n), kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru:
3 Maticový počet 3.1 Zavedení pojmu matice Maticí typu (m, n, kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru: a 11 a 12... a 1k... a 1n a 21 a 22...
VI. Maticový počet. VI.1. Základní operace s maticemi. Definice. Tabulku
VI Maticový počet VI1 Základní operace s maticemi Definice Tabulku a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n, a m1 a m2 a mn kde a ij R, i = 1,, m, j = 1,, n, nazýváme maticí typu m n Zkráceně zapisujeme (a ij i=1m
Lineární algebra. Matice, operace s maticemi
Lineární algebra Matice, operace s maticemi Operační program Vzdělávání pro konkurenceschopnost Název projektu: Inovace magisterského studijního programu Fakulty ekonomiky a managementu Registrační číslo
Matice. Předpokládejme, že A = (a ij ) je matice typu m n: diagonálou jsou rovny nule.
Matice Definice. Maticí typu m n nazýváme obdélníkové pole, tvořené z m n reálných čísel (tzv. prvků matice), zapsaných v m řádcích a n sloupcích. Značíme např. A = (a ij ), kde i = 1,..., m, j = 1,...,
VĚTY Z LINEÁRNÍ ALGEBRY
VĚTY Z LINEÁRNÍ ALGEBRY Skripta Matematické metody pro statistiku a operační výzkum (Nešetřilová, H., Šařecová, P., 2009). 1. věta Nechť M = {x 1, x 2,..., x k } je množina vektorů z vektorového prostoru
1 Determinanty a inverzní matice
Determinanty a inverzní matice Definice Necht A = (a ij ) je matice typu (n, n), n 2 Subdeterminantem A ij matice A příslušným pozici (i, j) nazýváme determinant matice, která vznikne z A vypuštěním i-tého
IB112 Základy matematiky
IB112 Základy matematiky Řešení soustavy lineárních rovnic, matice, vektory Jan Strejček IB112 Základy matematiky: Řešení soustavy lineárních rovnic, matice, vektory 2/53 Obsah Soustava lineárních rovnic
Základy matematiky pro FEK
Základy matematiky pro FEK 3. přednáška Blanka Šedivá KMA zimní semestr 2016/2017 Blanka Šedivá (KMA) Základy matematiky pro FEK zimní semestr 2016/2017 1 / 21 Co nás dneska čeká... Co je to soustava lineárních
Lineární algebra Operace s vektory a maticemi
Lineární algebra Operace s vektory a maticemi Robert Mařík 26. září 2008 Obsah Operace s řádkovými vektory..................... 3 Operace se sloupcovými vektory................... 12 Matice..................................
Determinanty. Determinanty. Přednáška MATEMATIKA č. 3. Jiří Neubauer
Přednáška MATEMATIKA č. 3 Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz 21. 10. 2010 Uvažujme neprázdnou množinu přirozených čísel M = {1, 2,..., n}. Z kombinatoriky
Úvod do lineární algebry
Úvod do lineární algebry 1 Aritmetické vektory Definice 11 Mějme n N a utvořme kartézský součin R n R R R Každou uspořádanou n tici x 1 x 2 x, x n budeme nazývat n rozměrným aritmetickým vektorem Prvky
Matematika 1 MA1. 2 Determinant. 3 Adjungovaná matice. 4 Cramerovo pravidlo. 11. přednáška ( ) Matematika 1 1 / 29
Matematika 1 11. přednáška MA1 1 Opakování 2 Determinant 3 Adjungovaná matice 4 Cramerovo pravidlo 5 Vlastní čísla a vlastní vektory matic 6 Zkouška; konzultace; výběrová matematika;... 11. přednáška (15.12.2010
8 Matice a determinanty
M Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika II kap 8: Matice a determinanty 1 8 Matice a determinanty 81 Matice - definice a základní vlastnosti Definice Reálnou resp komplexní maticí A typu m n nazveme obdélníkovou
1 Řešení soustav lineárních rovnic
1 Řešení soustav lineárních rovnic 1.1 Lineární rovnice Lineární rovnicí o n neznámých x 1,x 2,..., x n s reálnými koeficienty rozumíme rovnici ve tvaru a 1 x 1 + a 2 x 2 +... + a n x n = b, (1) kde koeficienty
Uspořádanou n-tici reálných čísel nazveme aritmetický vektor (vektor), ā = (a 1, a 2,..., a n ). Čísla a 1, a 2,..., a n se nazývají složky vektoru
1 1. Lineární algebra 1.1. Lineární závislost a nezávislost vektorů. Hodnost matice Aritmetické vektory Uspořádanou n-tici reálných čísel nazveme aritmetický vektor (vektor), ā = (a 1, a 2,..., a n ).
Jedná se o soustavy ve tvaru A X = B, kde A je daná matice typu m n,
Soutavy lineárních algebraických rovnic Jedná se o soustavy ve tvaru A X = B, kde A je daná matice typu m n, X R n je sloupcový vektor n neznámých x 1,..., x n, B R m je daný sloupcový vektor pravých stran
Lineární algebra - I. část (vektory, matice a jejich využití)
Lineární algebra - I. část (vektory, matice a jejich využití) Michal Fusek Ústav matematiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 2. přednáška z ESMAT Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 1 / 40 Obsah 1 Vektory
Soustavy linea rnı ch rovnic
[1] Soustavy lineárních rovnic vlastnosti množin řešení metody hledání řešení nejednoznačnost zápisu řešení a) soustavy, 10, b) P. Olšák, FEL ČVUT, c) P. Olšák 2010, d) BI-LIN, e) L, f) 2009/2010, g)l.
Operace s maticemi
Operace s maticemi Seminář druhý 17.10. 2018 Obsah 1 Operace s maticemi 2 Hodnost matice 3 Regulární matice 4 Inverzní matice Matice Definice (Matice). Reálná matice typu m n je obdélníkové schema A =
a + b + c = 2 b + c = 1 a b = a 1 2a 1 + a a 3 + a 5 + 2a 2 + a 2 + a
Zadání A. 1. Polynom P (x) má v uspořádané bázi (x 2 + x 1, 2x 2 x 1, x 2 + x + 2) souřadnice (1, 1, 1). Najděte jeho souřadnice vzhledem k uspořádané bázi (x 2 1, x 2 + x 1, x 2 + x). Nejprve si spočítáme
Matematika 2 pro PEF PaE
Determinanty / 8 Matematika 2 pro PEF PaE 3 Determinanty Přemysl Jedlička Katedra matematiky, TF ČZU Permutace Determinanty Výpočet determinantu z definice 2 / 8 Permutací množiny {,, n} rozumíme prosté
Soustavy. Terminologie. Dva pohledy na soustavu lin. rovnic. Definice: Necht A = (a i,j ) R m,n je matice, b R m,1 je jednosloupcová.
[1] Terminologie [2] Soustavy lineárních rovnic vlastnosti množin řešení metody hledání řešení nejednoznačnost zápisu řešení Definice: Necht A = (a i,j ) R m,n je matice, b R m,1 je jednosloupcová matice.
7. Lineární vektorové prostory
7. Lineární vektorové prostory Tomáš Salač MÚ UK, MFF UK LS 2017/18 Tomáš Salač ( MÚ UK, MFF UK ) 7. Lineární vektorové prostory LS 2017/18 1 / 62 7.1 Definice a příklady Definice 7.1 Množina G s binární
Základy matematiky pro FEK
Základy matematiky pro FEK 2. přednáška Blanka Šedivá KMA zimní semestr 2016/2017 Blanka Šedivá (KMA) Základy matematiky pro FEK zimní semestr 2016/2017 1 / 20 Co nás dneska čeká... Závislé a nezávislé
MATICE. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij]
![MATICE. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij]](/thumbs/58/41721403.jpg "MATICE. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij]")
MATICE Matice typu m/n nad tělesem T je soubor m n prvků z tělesa T uspořádaných do m řádků a n sloupců: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij] a m1 a m2 a mn Prvek a i,j je prvek matice A na místě
α 1 α 2 + α 3 = 0 2α 1 + α 2 + α 3 = 0
Vzhledem k tomu, že jsem to psala ve velkém spěchu, mohou se vyskytnout nějaké chybičky. Pokud nějaké najdu, opravím je hned po prázdninách. Zadání A. 1. Vektory u, v, w jsou lineárně nezávislé. Rozhodněte,
Matice. Modifikace matic eliminační metodou. α A = α a 2,1, α a 2,2,..., α a 2,n α a m,1, α a m,2,..., α a m,n
[1] Základní pojmy [2] Matice mezi sebou sčítáme a násobíme konstantou (lineární prostor) měníme je na jiné matice eliminační metodou násobíme je mezi sebou... Matice je tabulka čísel s konečným počtem
vyjádřete ve tvaru lineární kombinace čtverců (lineární kombinace druhých mocnin). Rozhodněte o definitnosti kvadratické formy κ(x).
Řešené příklady z lineární algebry - část 6 Typové příklady s řešením Příklad 6.: Kvadratickou formu κ(x) = x x 6x 6x x + 8x x 8x x vyjádřete ve tvaru lineární kombinace čtverců (lineární kombinace druhých
[1] Determinant. det A = 0 pro singulární matici, det A 0 pro regulární matici
![[1] Determinant. det A = 0 pro singulární matici, det A 0 pro regulární matici](/thumbs/94/118721039.jpg "[1] Determinant. det A = 0 pro singulární matici, det A 0 pro regulární matici")
[1] Determinant je číslo jistým způsobem charakterizující čtvercovou matici det A = 0 pro singulární matici, det A 0 pro regulární matici používá se při řešení lineárních soustav... a v mnoha dalších aplikacích
Matematika. Kamila Hasilová. Matematika 1/34
Matematika Kamila Hasilová Matematika 1/34 Obsah 1 Úvod 2 GEM 3 Lineární algebra 4 Vektory Matematika 2/34 Úvod Zkouška písemná, termíny budou včas vypsány na Intranetu UO obsah: teoretická a praktická
2. Lineární algebra 2A. Matice a maticové operace. 2. Lineární algebra
2 Lineární algebra 2A Matice a maticové operace 2 Lineární algebra Verze října 201 Teorie matic a determinantů představuje úvod do lineární algebry Nejrozsáhlejší aplikace mají matice a determinanty při
LDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) LDR druhého řádu VMAT, IMT 1 / 22
Lineární diferenciální rovnice druhého řádu Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF)
DEFINICE Z LINEÁRNÍ ALGEBRY
DEFINICE Z LINEÁRNÍ ALGEBRY Skripta Matematické metody pro statistiku a operační výzkum (Nešetřilová, H., Šařecová, P., 2009). 1. definice Vektorovým prostorem rozumíme neprázdnou množinu prvků V, na které
Čtvercové matice. Čtvercová matice je taková matice, jejíž počet řádků je roven počtu jejích sloupců
Determinant matice Čtvercové matice Čtvercová matice je taková matice, jejíž počet řádků je roven počtu jejích sloupců Determinant je zobrazení, které přiřadí každé čtvercové matici A skalár (reálné číslo).
P 1 = P 1 1 = P 1, P 1 2 =
1 Výpočet inverzní matice Věta 1 Necht P U elementární matice vzniklá el úpravou U Pak je P U regulární Důkaz: Protože elementární úprava U je invertovatelná, existuje el úprava U, která vrací změny U
Aplikovaná numerická matematika - ANM
Aplikovaná numerická matematika - ANM 3 Řešení soustav lineárních rovnic iterační metody doc Ing Róbert Lórencz, CSc České vysoké učení technické v Praze Fakulta informačních technologií Katedra počítačových
Determinant matice řádu 5 budeme počítat opakovaným použitím rozvoje determinantu podle vybraného řádku nebo sloupce. Aby byl náš výpočet
Řešené příklady z lineární algebry - část 2 Příklad 2.: Určete determinant matice A: A = 4 4. Řešení: Determinant matice řádu budeme počítat opakovaným použitím rozvoje determinantu podle vybraného řádku
maticeteorie 1. Matice A je typu 2 4, matice B je typu 4 3. Jakých rozměrů musí být matice X, aby se dala provést
Úlohy k zamyšlení 1. Zdůvodněte, proč třetí řádek Hornerova schématu pro vyhodnocení polynomu p v bodě c obsahuje koeficienty polynomu r, pro který platí p(x) = (x c) r(x) + p(c). 2. Dokažte, že pokud
Matematika I pracovní listy
Matematika I pracovní listy Dagmar Dlouhá, Radka Hamříková, Zuzana Morávková, Michaela Tužilová Katedra matematiky a deskriptivní geometrie VŠB - Technická univerzita Ostrava Úvod Pracovní listy jsou určeny
ČTVERCOVÉ MATICE. Čtvercová matice je taková matice, kde počet řádků je roven počtu jejích sloupců. det(a) značíme determinant čtvercové matice A
ČTVERCOVÉ MTICE Čtvercová matice je taková matice, kde počet řádků je roven počtu jejích sloupců. det() značíme determinant čtvercové matice Regulární matice hodnost je rovna jejímu řádu determinant je
SOUČIN MATIC A m n B n p = C m p, přičemž: a i1 b 1j +a i2 b 2j + +a in b nj = c ij, i=1 m, j=1 p. Např: (-2) = -3
SOUČIN MATIC A m n B n p = C m p, přičemž: a i1 b 1j +a i2 b 2j + +a in b nj = c ij, i=1 m, j=1 p Např: 2 2 + (-2) 4 + 0 0 + 1 1 = -3 INVERZNÍ MATICE Pro čtvercovou matici B může (ale nemusí) existovat
MATEMATIKA PRO PŘÍRODNÍ VĚDY LINEÁRNÍ ALGEBRA, DIFERENCIÁLNÍ POČET MPV, LADP TUL, ZS 2009/10
1 MATEMATIKA PRO PŘÍRODNÍ VĚDY LINEÁRNÍ ALGEBRA, DIFERENCIÁLNÍ POČET 2 koncepce/slides: Jan Picek přednášející: Jiří Veselý KAP, tel. 485352290, budova H konzul. hodiny: dle úmluvy e-mail: jvesely@karlin.mff.cuni.cz
Podobnost matic. Definice 8.6. Dány matice A, B M n (C). Jestliže existuje regulární matice P M n (C) tak,
Podobnost matic Definice 84 Dány matice A, B M n (C) Jestliže existuje regulární matice P M n (C) tak, že B = P 1 AP, pak říkáme, že matice B je podobná matici A a píšeme A B Takto zavedená binární relace
Skalár- veličina určená jedním číselným údajem čas, hmotnost (porovnej životní úroveň, hospodaření firmy, naše poloha podle GPS )
LINEÁRNÍ ALGEBRA Úvod vektor Skalár- veličina určená jedním číselným údajem čas, hmotnost (porovnej životní úroveň, hospodaření firmy, naše poloha podle GPS ) Kartézský souřadnicový systém -je taková soustava
ftp://math.feld.cvut.cz/pub/olsak/linal/
Petr Olšák Výcuc z textu Lineární algebra určeno pro promítání na přednášce Úvod do algebry http://www.olsak.net/linal.html ftp://math.feld.cvut.cz/pub/olsak/linal/ http://math.feld.cvut.cz/skripta/ua/
z textu Lineární algebra
2 Úvodní poznámky Petr Olšák Výcuc z textu Lineární algebra určeno pro promítání na přednášce Úvod do algebry http://www.olsak.net/linal.html ftp://math.feld.cvut.cz/pub/olsak/linal/ http://math.feld.cvut.cz/skripta/ua/
2. Určete jádro KerL zobrazení L, tj. nalezněte alespoň jednu jeho bázi a určete jeho dimenzi.
Řešené příklady z lineární algebry - část 3 Typové příklady s řešením Příklad 3.1: Zobrazení L: P 3 R 23 je zobrazení z prostoru P 3 všech polynomů do stupně 3 (včetně nulového polynomu) do prostoru R
Vektorový prostor. Př.1. R 2 ; R 3 ; R n Dvě operace v R n : u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ), V (E 3 )...množina vektorů v E 3,
Vektorový prostor Příklady: Př.1. R 2 ; R 3 ; R n...aritmetický n-rozměrný prostor Dvě operace v R n : součet vektorů u = (u 1,...u n ) a v = (v 1,...v n ) je vektor u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ),
1 Soustavy lineárních rovnic
1 Soustavy lineárních rovnic 1.1 Základní pojmy Budeme uvažovat soustavu m lineárních rovnic o n neznámých s koeficienty z tělesa T (potom hovoříme o soustavě m lineárních rovnic o n neznámých nad tělesem
1 Linearní prostory nad komplexními čísly
1 Linearní prostory nad komplexními čísly V této přednášce budeme hledat kořeny polynomů, které se dále budou moci vyskytovat jako složky vektorů nebo matic Vzhledem k tomu, že kořeny polynomu (i reálného)
Hisab al-džebr val-muqabala ( Věda o redukci a vzájemném rušení ) Muhammada ibn Músá al-chvárizmího (790? - 850?, Chiva, Bagdád),
1 LINEÁRNÍ ALGEBRA 1 Lineární algebra Slovo ALGEBRA pochází z arabského al-jabr, což znamená nahrazení. Toto slovo se objevilo v názvu knihy islámského matematika Hisab al-džebr val-muqabala ( Věda o redukci
Gymnázium, Brno, třída Kapitána Jaroše 14. Matice. Konzultant: Mgr. Aleš Kobza Ph.D.
Gymnázium, Brno, třída Kapitána Jaroše 4 Závěrečná maturitní práce Matice Konzultant: Mgr. Aleš Kobza Ph.D. Brno 20 Jakub Juránek Prohlášení Prohlašuji, že jsem předloženou práci zpracoval samostatně a
Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice
Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice Vektorové podprostory K množina reálných nebo komplexních čísel, U vektorový prostor nad K. Lineární kombinace vektorů u 1, u 2,...,u
Matematika 2 (Fakulta ekonomická) Cvičení z lineární algebry. TU v Liberci
Matematika 2 (Fakulta ekonomická) Cvičení z lineární algebry TU v Liberci Jiří Hozman 1. dubna 2010 Cvičení 2 Příklad 1. Rozhodněte, zda lze vektor x vyjádřit jako lineární kombinaci vektorů u, v, w, v
Katedra aplikované matematiky FEI VŠB Technická univerzita Ostrava luk76/la1
Lineární algebra 5. přednáška: Báze a řešitelnost soustav Dalibor Lukáš Katedra aplikované matematiky FEI VŠB Technická univerzita Ostrava email: dalibor.lukas@vsb.cz http://homel.vsb.cz/ luk76/la1 Text
V předchozí kapitole jsme podstatným způsobem rozšířili naši představu o tom, co je to číslo. Nadále jsou pro nás důležité především vlastnosti
Kapitola 5 Vektorové prostory V předchozí kapitole jsme podstatným způsobem rozšířili naši představu o tom, co je to číslo. Nadále jsou pro nás důležité především vlastnosti operací sčítání a násobení
z = a bi. z + v = (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i. z v = (a + bi) (c + di) = (a c) + (b d)i. z v = (a + bi) (c + di) = (ac bd) + (bc + ad)i.
KOMLEXNÍ ČÍSLA C = {a + bi; a, b R}, kde i 2 = 1 Číslo komplexně sdružené k z = a + bi je číslo z = a bi. Operace s komplexními čísly: z = a + bi, kde a, b R v = c + di, kde c, d R Sčítání Odčítání Násobení
Kolik existuje různých stromů na pevně dané n-prvkové množině vrcholů?
Kapitola 9 Matice a počet koster Graf (orientovaný i neorientovaný) lze popsat maticí, a to hned několika různými způsoby. Tématem této kapitoly jsou incidenční matice orientovaných grafů a souvislosti
2.6. Vlastní čísla a vlastní vektory matice
26 Cíle V této části se budeme zabývat hledáním čísla λ které je řešením rovnice A x = λ x (1) kde A je matice řádu n Znalost řešení takové rovnice má řadu aplikací nejen v matematice Definice 261 Nechť
fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplíny společného základu http://akademie.ldf.mendelu.cz/cz (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.
Základy lineárního programování Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem
12. Determinanty. 12. Determinanty p. 1/25
12. Determinanty 12. Determinanty p. 1/25 12. Determinanty p. 2/25 Determinanty 1. Induktivní definice determinantu 2. Determinant a antisymetrické formy 3. Výpočet hodnoty determinantu 4. Determinant
3 Lineární kombinace vektorů. Lineární závislost a nezávislost
3 Lineární kombinace vektorů. Lineární závislost a nezávislost vektorů. Obrázek 5: Vektor w je lineární kombinací vektorů u a v. Vektory u, v a w jsou lineárně závislé. Obrázek 6: Vektor q je lineární
VEKTORY. Obrázek 1: Jediný vektor. Souřadnice vektoru jsou jeho průměty do souřadných os x a y u dvojrozměrného vektoru, AB = B A
VEKTORY Vektorem se rozumí množina všech orientovaných úseček, které mají stejnou velikost, směr a orientaci, což vidíme na obr. 1. Jedna konkrétní orientovaná úsečka se nazývá umístění vektoru na obr.
4. Trojúhelníkový rozklad p. 1/20
4. Trojúhelníkový rozklad 4. Trojúhelníkový rozklad p. 1/20 4. Trojúhelníkový rozklad p. 2/20 Trojúhelníkový rozklad 1. Permutační matice 2. Trojúhelníkové matice 3. Trojúhelníkový (LU) rozklad 4. Výpočet
[1] x (y z) = (x y) z... (asociativní zákon), x y = y x... (komutativní zákon).
![[1] x (y z) = (x y) z... (asociativní zákon), x y = y x... (komutativní zákon).](/thumbs/54/34227823.jpg "[1] x (y z) = (x y) z... (asociativní zákon), x y = y x... (komutativní zákon).")
Grupy, tělesa grupa: množina s jednou rozumnou operací příklady grup, vlastnosti těleso: množina se dvěma rozumnými operacemi příklady těles, vlastnosti, charakteristika tělesa lineární prostor nad tělesem
Úvodní informace Soustavy lineárních rovnic. 12. února 2018
Úvodní informace Soustavy lineárních rovnic Přednáška první 12. února 2018 Obsah 1 Úvodní informace 2 Soustavy lineárních rovnic 3 Matice Frobeniova věta Úvodní informace Olga Majlingová : Na Okraji, místnost
Limita a spojitost LDF MENDELU
Limita a spojitost Základy vyšší matematiky LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny společného základu
Cvičení z Numerických metod I - 12.týden
Máme systém lineárních rovnic Cvičení z Numerických metod I - týden Přímé metody řešení systému lineárních rovnic Ax = b, A = a a n a n a nn Budeme hledat přesné řešení soustavy x = x x n, b = b b n, x
LDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) Základy lineárního programování VMAT, IMT 1 / 25
Základy lineárního programování Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem
1 Zobrazení 1 ZOBRAZENÍ 1. Zobrazení a algebraické struktury. (a) Ukažte, že zobrazení f : x
1 ZOBRAZENÍ 1 Zobrazení a algebraické struktury 1 Zobrazení Příklad 1.1. (a) Ukažte, že zobrazení f : x na otevřený interval ( 1, 1). x x +1 je bijekce množiny reálných čísel R (b) Necht a, b R, a < b.
Přednáška 4: Soustavy lineárních rovnic
Přednáška 4: Soustavy lineárních rovnic Touto přednáškou vrcholí naše snažení o algebraický popis řešení praktických problémů. Většina inženýrských úloh má totiž lineární charakter (alespoň přibližně)