M - Příprava na 2. čtvrtletku pro třídy 2P a 2VK
|
|
- Josef Čermák
- před 5 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 M - Příprava na. čtvrtletku pro třídy P a VK Autor: Mgr. Jaromír Juřek Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven a vytištěn v programu dosystem - EduBase. Více informací o programu naleznete na
2 ± Exponenciální funkce Exponenciální funkce Definice: Exponenciální funkce je funkce, která je dána rovnicí y = a x, kde a > 0 a zároveň a ¹ 1 Grafem exponenciální funkce je křivka, kterou nazýváme exponenciála (exponenciální křivka). její průběh je velmi závislý na velikosti čísla a. Je-li a > 1, pak je průběh následující: Je-li 0 < a < 1, pak je průběh následující: Je-li základ exponenciální funkce číslo 10, pak ji nazýváme dekadickou exponenciální funkcí. Má rovnici y = 10 x Je-li základem exponenciální funkce číslo e (Eulerovo číslo), pak se funkce nazývá přirozená exponenciální funkce. Má rovnici y = e x. Pozn.: Eulerovo číslo e =, Vlastnosti exponenciální funkce: 1 z 76
3 ± Exponenciální funkce - procvičovací příklady 1. Je dána funkce f: y = 0,5 x-3. Narýsujte graf funkce f(x) a > 1 z 76
4 z 76
5 7. Je dána funkce f: y = 0,5 x-3. Narýsujte graf funkce f( x ) Narýsujte graf funkce y = 0,5 x z 76
6 Je dána funkce f: y = 0,5 x-3. Narýsujte graf funkce f( x ) a > 5 z 76
7 Narýsujte graf funkce y = 0,5 x z 76
8 z 76
9 ± Logaritmická funkce Logaritmická funkce Definice: Logaritmická funkce je funkce, která je dána rovnicí y = log ax. Jedná se o funkci inverzní k exponenciální funkci o stejném základu. Pozn.: Inverzní funkci získáme záměnou x a y v předpisu funkce. Grafy funkce a funkce k této funkci inverzní jsou souměrné podle osy I. a III. kvadrantu. Pozn.: Zápis y = log ax vyjadřuje totéž jako zápis x = a y Graf logaritmické funkce se nazývá logaritmická křivka (logaritma). Průběh grafu logaritmické funkce v závislosti na velikosti a: 8 z 76
10 Funkční hodnoty logaritmické funkce se nazývají logaritmy. Vlastnosti logaritmické funkce: Při konstrukci grafu logaritmické funkce postupujeme zpravidla tak, že k zadané rovnici logaritmické funkce vytvoříme rovnici funkce k ní exponenciální. Graf vzniklé exponenciální funkce snadno narýsujeme a pak sestrojíme graf souměrný podle osy I. a III. kvadrantu. ± Logaritmická funkce - procvičovací příklady z 76
11 3. Je dána funkce f: y = log1/3(x + ). Narýsuj graf funkce f( x ) Určete definiční obor funkce a narýsujte její graf. f: y = log4x Určete definiční obor funkce a narýsujte její graf. f: y = -log4x z 76
12 Narýsuj graf funkce y = log1/3(x + ) z 76
13 11. Určete definiční obor funkce a narýsujte její graf. f: y = log4 x z 76
14 z 76
15 Určete definiční obor funkce a narýsujte její graf. f: y = log4(-x) z 76
16 Určete definiční obor funkce a narýsujte její graf. f: y = log4 x Je dána funkce f: y = log1/3(x + ). Narýsuj graf funkce f( x ) z 76
17 Je dána funkce f: y = log1/3(x + ). Narýsuj graf funkce f(x) z 76
18 3. Určete definiční obor funkce a narýsujte její graf. f: y = log4x ± Logaritmy Logaritmy a jejich vlastnosti Definice logaritmu daného čísla: Logaritmus daného kladného čísla při základu a > 0 a zároveň a ¹ 1 je takové číslo y, kterým musíme umocnit základ, abychom dostali logaritmované číslo x. Zapisujeme: log a x = y Û x = a y [Čteme logaritmus z čísla x při základu a] Určování logaritmů daných kladných čísel se nazývá logaritmování. Obrácená operace se nazývá odlogaritmování. Vlastnosti logaritmů: Logaritmus jedné při libovolném základu a > 0, a ¹ 1 je roven nule. Logaritmus z čísla stejného, jakým je i základ, je roven jedné. Logaritmus z čísla většího než jedna je kladný, logaritmus z čísla menšího než jedna je záporný. Logaritmus při základu 10 se nazývá logaritmus dekadický. Logaritmus při základu e se nazývá logaritmus přirozený. 17 z 76
19 Příklad 1: Vypočtěte log 5 5 Řešení: Podle definice převedeme na výpočet 5 = 5 y Odtud snadno zjistíme, že y = Příklad : Vypočtěte základ logaritmu, jestliže platí log z 16 = 3 Řešení Podle definice převedeme na výpočet z 3 = 16 Protože platí 16 = 6 3, pak z 3 = 6 3 a odtud z = 6 Příklad 3: Určete, jaké číslo musíme logaritmovat, abychom při základu logaritmu 0,1 dostali číslo -1 Řešení: Podle definice převedeme výpočet log 0,1x = -1 na tvar 0,1-1 = x. Odtud snadno vypočteme, že x = 10. ± Logaritmy - procvičovací příklady 18 z 76
20 , , , , , z 76
21 1. Stanovte číslo x, platí-li log1/10 x = Určete log4 (log4 4) / , ,5 0 z 76
22 . Stanovte číslo x, platí-li log10 x = , / , ± Věty o logaritmech Věty o logaritmech Podle definice logaritmů platí: log a x = y loga x x = a (1) Logaritmus daného kladného čísla x je takové číslo (log a x), kterým musíme umocnit základ - viz pravá strana výrazu (1), abychom dostali logaritmované číslo - tj. x. x = a y = a xy = a log log log a a a x y xy 1. Nelze logaritmovat součet log z (a + b) ¹ log z a + log z b. Logaritmus součinu je roven součtu logaritmů jednotlivých činitelů Důkaz: a = z b = z ab = z log log z z a b log ab z vše pro a > 0, b > 0, z > 0, z ¹ 1 ab = z log z ab = z log z a. z log b z = z log a+ log b z z 1 z 76
23 Protože mocniny jsou si rovny a mají shodné základy, musí se rovnat i příslušné exponenty. Proto: log z ab = log z a + log z b Např.: 3. Logaritmus podílu je roven rozdílu logaritmů dělence a dělitele Důkaz: a = z b = z a = z b log z a log b log z z a b vše pro a > 0, b > 0, z > 0, z ¹ 1 a b = z a logz b = z z log z a log b z = z log a-log b z z a log z = log z a - log b Např.: z b 4. Logaritmus mocniny je roven součinu exponentu a logaritmu základu dané mocniny Důkaz: a = z a n = z log z a log a z n = log n z a n.logz a ( z ) = z log z a n = n. log z a Např.: z 76
24 ± Věty o logaritmech - procvičovací příklady x = a 3.b.z x = 6 ab. ab 4 5z 3 z 76
25 Určete logzx, je-li a x = a x = abc x = ab/c x = a c b x = ( a - b). a. b 4 z 76
26 Určete logz x, je-li a. tga x = 3 3 b. c Určete logz x, je-li x = a. 4 b Určete logz x, je-li x = a 1/ b / z 76
27 x = a x = a 3 b (n+3) /z 3 3. Určete logz x, je-li 3 3 x =. a. a Určete logz x, je-li x = a -. b ± Exponenciální rovnice Exponenciální rovnice Exponenciální rovnice je taková rovnice, která má neznámou v exponentu. Exponenciální rovnici můžeme řešit zpravidla třemi postupy (využíváme v uvedeném pořadí): 1. Převodem obou stran rovnice na mocniny o stejném základu - v tomto případě využijeme vlastnost, že pokud má platit rovnost a mocniny na obou stranách mají stejné základy, musí se sobě rovnat i exponenty. Získáme tak většinou lineární nebo kvadratickou rovnici, kterou už umíme snadno vyřešit. Příklad 1: Řešte rovnici: x æ 3 ö ç è 4 ø = z 76
28 Řešení: æ 3 ö ç è 4 ø æ 3 ö ç è 4 ø x x 3 = æ 3 ö = ç è 4 ø 4 Závěr: x = 4 Příklad : Řešte rovnici: = 0,5 3 x x Řešení: 3 x-3 x-3 3 = 7 x-3 x-3 7 = x - 3 x - 3 = x - 1 = 3x x = 1 Závěr: x = 1/11 Příklad 3: Řešte rovnici: x-1 x- x + + x -1 -.( = 448 ) = 448 x æ ö. ç + + = 448 è 4 8 ø x 7 6. = 7. 8 x 6 = 8. x 9 = Závěr: x = 9. Substitucí Substituce nám usnadní řešení, většinou dostaneme kvadratickou rovnici, výjimečně i lineární. Příklad 4: Řešte rovnici v oboru reálných čísel: 7 z 76
29 x x = 0 Řešení: x ( 3 ) x = 0 Zavedeme substituci y = 3 x Dostaneme rovnici: y + y - 3 = 0 (y - 1). (y + 3) = 0 y 1 = 1 y = -3 Vrátíme se zpět k zavedené substituci: a) 3 x = 1 3 x = 3 0 x 1 = 0 b) 3 x = -3 V tomto případě není řešení, protože 3 x je vždy větší než 0. Závěr: Rovnice má jediné řešení, a to x = Logaritmováním Tento postup používáme tehdy, pokud ani jedním z předchozích dvou postupů nelze řešení dosáhnout. Výsledek většinou pak obsahuje logaritmus. Příklad 5: Řešte rovnici: 3 5x = 5 3x Řešení: Vzhledem k tomu, že nejsme schopni převést obě strany rovnice na stejný základ, použijeme postup, kdy celou rovnici zlogaritmujeme: log 3 5x = log 5 3x 5x. log 3 = 3x. log 5 x. (5log 3-3log 5) = 0 Součin je roven nule tehdy, když aspoň jeden z činitelů je roven nule, proto x = 0 (závorka být rovna nule nemůže). Poznámka: V některých případech se použije i kombinace substitučního postupu s postupem logaritmování. ± Exponenciální rovnice - procvičovací příklady z 76
30 . Řešte v oboru reálných čísel rovnici: æ 5 ö ç1 - è 9 ø 3-x -0,5 æ 9 ö = ç è 4 ø 3 x Řešte rovnici v oboru reálných čísel: x.3 3 x 1 = 4 x ,5 9. Řešte rovnici: 5-3x 7-x 10 = V oboru reálných čísel řešte rovnici: 4 x + 3 x+ 3 = 4 x+ 3-3 x z 76
31 x 1 = x = log 3 / log Řešte rovnici: -x 56 0,5 = + 3 x Řešte rovnici: x x+ 4 x = 4-3 x V oboru reálných čísel řešte rovnici: x 9 = 3 x+ 3 x+ - 7-x x Řešte rovnici: 3x+ 1 x+ 3 5x+ 1. =. 1 x+ 0. Řešte rovnici v oboru reálných čísel: 3. x 3 + -x = z 76
32 Řešte rovnici: x.4 x- = 8 x z 76
33 31. Řešte rovnici: æ 3 ö ç è 5 ø x 3 æ 5 ö = ç è 3 ø V oboru reálných čísel řešte rovnici: x-6 -x 4 log 7 = log Řešte rovnici: æ ç è 4 5 ö ø x+ 3 4x-1 æ15 ö. ç è 8 ø 1 = Řešte rovnici: x 3. 3 x+ 3m x x-3m = 7 Nemá řešení ± Logaritmické rovnice Logaritmické rovnice Logaritmická rovnice je taková rovnice, v níž se vyskytují logaritmy výrazů s neznámou x, přičemž x patří do množiny reálných čísel. Základní logaritmickou rovnicí je rovnice typu a > 0, a ¹ 1 Tato rovnice má pro libovolné b jediné řešení tvaru 3 z 76
34 Logaritmické rovnice složitějších typů se nejprve upraví na tvar kde a > 0, a ¹ 1, přičemž f(x) a g(x) nabývají kladných hodnot. K úpravám využijeme věty o logaritmování. Za těchto předpokladů pak platí: a dále řešíme rovnici bez logaritmů (protože jsme provedli odlogaritmování rovnice). Příklad 1: Řešte logaritmickou rovnici log x 3 - log x 4 + log x 5 = 8 Řešení: log x 3 - log x 4 + log x 5 = 8 3log x - 4 log x + 5 log x = 8 4 log x = 8 log x = x = 100 Příklad : log x 3 Řešení: log x log x + 7 log x 1 + log x + 7 log x = = 0 3log x + 0,5.. log x log x + 64 = 0 33 z 76
35 3 log x + log x + 8 log x + 64 = 0 3 log x = -64 log x = - x = 0,01 Příklad 3: 4 3 3log x + log x - log x Řešení: 4 3 3log x + log x - log x = 5 = 5 3log x + 4log x - (1/3)log x = 5 (0/3)log x = 5 log x = 0,75 x = ± Logaritmické rovnice - procvičovací příklady x = 3. log log 3 log x 4 = Řešte rovnici: log 3 x 4 - log = 11 5 x x = 10 = z 76
36 5. 1+ log x 3 = 10 log x x 1 = 0,01 x 3 = Nemá řešení x = z 76
37 / , z 76
38 , Řešte rovnici: , ± Stereometrie - Vzájemná poloha přímek a rovin Stereometrie Stereometrie je prostorová geometrie; zabývá se prostorovými útvary - tělesy. Vzájemná poloha přímek v prostoru Přímky v prostoru mohou být: rovnoběžné rovnoběžné různé (nemají žádný společný bod) rovnoběžné splývající (mají nekonečně mnoho společných bodů) různoběžné (mají právě jeden společný bod); zvláštním případem různoběžných přímek jsou přímky, které jsou na sebe kolmé. mimoběžné (nemají žádný společný bod, ale nejsou rovnoběžné) 37 z 76
39 Vzájemná poloha rovin v prostoru Roviny v prostoru mohou být: rovnoběžné rovnoběžné různé (nemají žádný společný bod a vzdálenost obou rovin v kterémkoliv místě je vždy stejná) rovnoběžné splývající (mají nekonečně mnoho společných bodů a kterákoliv z obou rovin je vždy podmnožinou roviny druhé) různoběžné (mají nekonečně mnoho společných bodů, které vytvářejí přímku, zvanou průsečnice rovin); zvláštním případem různoběžných rovin jsou dvě roviny, které jsou na sebe kolmé. ± Odchylky a vzdálenosti - procvičovací příklady , , 5. 54, , ,5 cm 38 z 76
40 , , , , , , , z 76
41 , , , ,5 ± Komolý jehlan Komolý jehlan Komolý jehlan je těleso, které vznikne z jehlanu klasického odříznutím jeho špičky. Pozn.: Budeme se zabývat pouze takovými komolými jehlany, kde rovina řezu je rovnoběžná s rovinou dolní podstavy jehlanu. Objem komolého jehlanu se vypočte tak, že sečteme obsahy obou podstav, k součtu připočteme druhou odmocninu součinu obsahů obou podstav a vzniklý výsledek vynásobíme jednou třetinou výšky jehlanu. 40 z 76
42 ( S + S S S ) 1 V = v Povrch komolého jehlanu se vypočte jako součet obsahů obou podstav a obsahu pláště tělesa. S = S 1 + S + S Q Příklad 1: Řešení: 41 z 76
43 ± Komolý kužel Komolý kužel Komolý kužel je těleso, které vznikne z klasického rotačního kužele odříznutím jeho špičky. Pozn.: Budeme se zabývat pouze takovým kuželem, kde rovina řezu je rovnoběžná s rovinou spodní podstavy kužele. Objem komolého kužele se vypočte jako jedna třetina součinu výšky kužele a Ludolfova čísla, násobená součtem druhé mocniny poloměru spodní podstavy, druhé mocniny poloměru horní podstavy a součinu obou poloměrů. Povrch komolého kužele je roven součtu obsahů obou kruhových podstav a obsahu pláště komolého kužele. S S + S + = 1 S Q Příklad 1: 4 z 76
44 Řešení: Příklad : Řešení: ± Posloupnosti Posloupnosti Posloupnost je funkce, jejímž definičním oborem je množina všech přirozených čísel. Funkční hodnota této funkce přiřazená každému kladnému číslu se nazývá n-tý člen posloupnosti. Nejčastěji se značí a n, b n,apod. a člen posloupnosti a.... člen posloupnosti 43 z 76
45 a člen posloupnosti... a člen posloupnosti a člen posloupnosti... a n... n-tý člen posloupnosti Posloupnost {a n} se zapisuje: Ohraničená posloupnost Nechť je dána posloupnost {a n} a číslo C > 0. Platí-li obecně pak, pak je posloupnost {a n} ohraničená. Rostoucí posloupnost Nechť je dána posloupnost {a n} = a 1, a, a 3,..., a n, a n+1,.... Platí-li: 44 z 76
46 pak je posloupnost rostoucí. Každý následující člen je tedy vždy větší než člen předcházející. Klesající posloupnost Nechť je dána posloupnost {a n} = a 1, a, a 3,..., a n, a n+1,.... Platí-li: pak je posloupnost klesající. Každý následující člen je tedy vždy menší než člen předcházející. 45 z 76
47 Konečná posloupnost Posloupnost se nazývá konečná (tj. má konečný počet členů), jestliže jejím definičním oborem je konečná množina D Ì N, tzn., že její definiční obor je množina prvních k přirozených čísel. Například předpis pro n-tý člen bude {n - 1}, číslo k = 6. Nekonečná posloupnost 46 z 76
48 Posloupnost se nazývá nekonečná (tj. má nekonečný počet členů), jestliže jejím definičním oborem je celá množina N. Zadání posloupnosti rekurentně Je-li u posloupnosti zadán její první člen a dále (n+1). člen vyjádřený pomocí n-tého členu, říkáme, že je posloupnost zadána rekurentně. ± Posloupnosti - procvičovací příklady 1. Určete níže uvedenou posloupnost rekurentním vzorce 946. Je dána posloupnost. Rozhodněte, zda je rostoucí, klesající, či omezená. 943 Posloupnost je rostoucí. 3. Jsou dány posloupnosti. Rozhodněte, které z nich jsou omezené. 95 Pouze poslední posloupnost je omezená. 4. Stanovte n-tý člen posloupnosti: 938 n z 76
49 5. Stanovte n- tý člen posloupnosti: Mějme posloupnost zadanou rekurentně. Vyjádřete ji vzorcem pro n-tý člen Je dána posloupnost. Rozhodněte, zda je rostoucí, klesající, či omezená. 955 Posloupnost je rostoucí. 8. Mějme posloupnost zadanou rekurentně. Vyjádřete ji vzorcem pro n-tý člen Vyjádřete následující posloupnost rekurentním vzorcem Napište prvních pět členů posloupnosti dané rekurentně 969 0; 1; ; 1; Je dána posloupnost. Rozhodněte, zda je rostoucí, klesající, či omezená. 951 Posloupnost je omezená. 1. Stanovte n-tý člen posloupnosti: z 76
50 13. Vyjádřete následující posloupnost rekurentním vzorcem Je dána posloupnost. Rozhodněte, zda je rostoucí, klesající, či omezená. 950 Posloupnost je omezená. 15. Stanovte n-tý člen posloupnosti: Je dána posloupnost. Rozhodněte, zda je rostoucí, klesající, či omezená. 956 Posloupnost je rostoucí. 17. Stanovte n-tý člen posloupnosti: Vyjádřete následující posloupnost rekurentním vzorcem Je dána posloupnost. Rozhodněte, zda je rostoucí, klesající, či omezená. 944 Posloupnost je klesající. 49 z 76
51 0. Posloupnost je dána rekurentním vzorcem 954 přičemž hodnotu členu a 1 udává přirozené číslo, které je řešením nerovnice Napište první čtyři členy této posloupnosti. 1; 1; 1/; 1/6 1. Zjistěte, které z čísel 10, 35, 50 je členem posloupnosti Vyjádřete následující posloupnost rekurentním vzorcem Je dána posloupnost. Rozhodněte, zda je rostoucí, klesající, či omezená. 958 Posloupnost není rostoucí ani klesající. 4. Vyjádřete následující posloupnost rekurentním vzorcem. a n = 1 kde n je přirozené číslo Mějme posloupnost zadanou rekurentně. Vyjádřete ji vzorcem pro n-tý člen Určete níže zadanou posloupnost rekurentním vzorcem Stanovte n-tý člen posloupnosti: z 76
52 8. Posloupnost je dána rekurentním vzorcem a n+1= - a n, přičemž a 1 = 0. Sledujte jednotlivé členy posloupnosti a určete její n-tý člen jako funkci indexu n Stanovte n-tý člen posloupnosti: Stanovte n-tý člen posloupnosti: Napište prvních šest členů posloupnosti dané rekurentně 970 1; ; 1; 1; 0; Stanovte n-tý člen posloupnosti: Je dána posloupnost. Rozhodněte, zda je rostoucí, klesající, či omezená. 945 Posloupnost je omezená. 34. Je dána posloupnost. Rozhodněte, zda je rostoucí, klesající, či omezená. 957 Posloupnost je nerostoucí. 35. Posloupnost je dána rekurentním vzorcem 968 přičemž hodnoty členů a 1, a udávají kořeny níže napsané kvadratické rovnice a platí a 1 < a. Určete prvních pět členů této posloupnosti. -14; 10; 34; 8; 51 z 76
53 36. Je dána posloupnost. Rozhodněte, zda je rostoucí, klesající, či omezená. 949 Posloupnost je omezená. 37. Vyjádřete následující posloupnost rekurentním vzorcem. 967 ± Aritmetická posloupnost Aritmetická posloupnost 1,, 3, 4, 5, 6,..., a n-1, a n, a n+1 V tomto případě platí, že (a n - a n-1) = 1, 4, 6, 8, 10,..., a n-1, a n, a n+1 V tomto případě platí, že (a n - a n-1) = 1, 3, 5, 7, 9,..., a n-1, a n, a n+1 V tomto případě platí, že (a n - a n-1) = 1, 3/,, 5/,..., a n-1, a n, a n+1 V tomto případě platí, že (a n - a n-1) = 1/ Ve všech uvedených případech platí, že a n+1= a n + d Jde o aritmetické posloupnosti. Číslu d říkáme diference aritmetické posloupnosti. Definice: Jestliže v posloupnosti {a n} platí rekurentní vzorec a n+1 = a n + d, kde d je dané číslo (tedy konstantní) a nezávislé na n, nazývá se taková posloupnost aritmetickou posloupností. Číslo d nazýváme diferencí. Mějme obecně aritmetickou posloupnost a 1 a = a 1 + d a 3 = a + d = a 1 + d a 4 = a 3 + d = a 1 + 3d... a n = a 1 + (n - 1)d Věta 1: Pro výpočet n-tého členu aritmetické posloupnosti pomocí prvního členu a diference platí vzorec a n = a 1 + (n - 1)d, kde n je přirozené číslo. Věta : Pro dva libovolné členy a r, a s aritmetické posloupnosti platí rovnost: a s = a r + (s - r)d Příklad 1: 5 z 76
54 První dva členy aritmetické posloupnosti jsou 40 a 37. Určete dvanáctý člen. Řešení: 40, 37, 34, 31, 8, 5,, 19, 16, 13, 10, 7,... a n = a 1 + (n - 1)d a 1= d Protože d = -3, pak a 1= (-3) = 7 Příklad : V aritmetické posloupnosti známe 10. a 0. člen. Jsou 5, -15 (po sobě). Určete d, a 1, a 50. Řešení: a 10= a 1 + 9d = 5 a 0= a d = Získali jsme soustavu dvou rovnic o dvou neznámých. Pokud ji vyřešíme, dostaneme a 1 = 61, d = -4 Pak stačí dopočítat a 50= (-4) = -135 Příklad 3: Mezi čísla 3,7 a 6,8 máme vložit 9 čísel tak, aby s danými čísly tvořila aritmetickou posloupnost. Pozn.: Říkáme, že provádíme tzv. interpolaci devíti členů mezi daná dvě čísla. Řešení: a 1 = 3,7 a 11= 6,8 = 3,7 + 10d d = 0,31 3,7; 4,01; 4,3; 4,63; 4,94; 5,5; 5,56; 5,87; 6,18; 6,49; 6,80 Věta 3: V aritmetické posloupnosti {a n} platí pro součet s n jejích prvních n členů následující vzorec: n s + ( a ) n = 1 a n Příklad 4: Vypočtěte součet prvních n lichých čísel. Řešení: a 1 = 1 a n = 1 + (n - 1). = n - 1 s n n ( a + a ) = ( 1+ n - ) n n = 1 n 1 = 53 z 76
55 ± Aritmetická posloupnost - procvičovací příklady řešení:. řešení: 3. řešení: z 76
56 Rozměry kvádru tvoří tři po sobě jdoucí členy aritmetické posloupnosti. Jak jsou velké, měří-li jejich součet 4 cm a objem kvádru je 31 cm 3? z 76
57 řešení je 4,. řešení je (-33) d = 0,5, a n+1= a n + 0,5, a 1 = (a + 1)/ z 76
58 řešení je 3, druhé řešení je ± Geometrická posloupnost Geometrická posloupnost 1,, 4, 8, 16, 3,... Zde platí: a = a 1 a 3 = a atd. 1, 1/3, 1/9, 1/7,... Zde platí: a = (1/3)a 1 a 3 = (1/3)a atd. obecně a n = (1/3)a n-1 Následující člen je vždy nějakým násobkem členu předcházejícího. Definice: Jestliže v posloupnosti {a n} platí rekurentní vzorec a n+1 = a n. q, kde q je dané číslo nezávislé na n (= konstanta), nazýváme takovou posloupnost geometrickou posloupností. Číslo q nazýváme kvocientem geometrické posloupnosti. a = a 1. q a 3 = a. q = a 1. q a 4 = a 3. q = a 1. q z 76
59 .. a n = a 1. q n-1 Věta 1: Pro výpočet n-tého členu geometrické posloupnosti z prvního členu a z kvocientu platí vzorec a n = a 1. q n-1, kde n je přirozené číslo. Věta : Pro libovolné dva členy a r, a s geometrické posloupnosti platí rovnost: a s = a r. q s-r Věta 3: Součet prvních n členů geometrické posloupnosti {a n} je určen vzorcem: s n n q -1 = a1. q -1 kde q ¹ 1 Pozn.: Je-li q < 1, pak je vhodné použít vztahu s n n 1- q = a1. 1- q Je-li q = 1, pak dostáváme posloupnost a 1, a 1, a 1,... a pro součet prvních n členů pak platí: s n = n.a 1 Příklad 1: Je dáno a 8 = -40, a 9 = -80. Určete příslušnou geometrickou posloupnost. Pozn.: Určit geometrickou posloupnost znamená zapsat její 1. člen a kvocient. Řešení: a 8 = a 1. q 7 = -40 a 9 = a 1. q 8 = Získali jsme soustavu rovnic. Při jejím řešení je vhodné použít postup, že druhou rovnici vydělíme rovnicí první. Dostaneme tak q = a dosazením do jedné z rovnic pak vypočteme, že a 1 = -5/16 Příklad : Najděte 4 čísla, která tvoří část geometrické posloupnosti o součtu 360, víte-li, že poslední číslo je 9krát větší než druhé číslo. Určete danou posloupnost. Řešení: n = 4 s n = 360 a 4 = 9. a 1. q q = a1. q -1 9.a 1.q = a 1. q Z druhé rovnice q 1 = +3 q = -3 Po dosazení do rovnice první dostáváme (a 1) 1 = 9 (a 1) = z 76
60 Hledané posloupnosti tedy mohou být dvě, a to: 9, 7, 81, 43-18, 54, -16, 486 ± Geometrická posloupnost - procvičovací příklady n = 4 s n = řešení: 1,, 4, 8. řešení: 8, 4,, 1 5. Doplňte zbývající čísla v tabulce: a 1 = 5, q = 59 z 76
61 Vložená čísla: 10, 0, 40, 80, 160, řešení: 16. řešení: / cm z 76
62 17. Doplňte zbývající čísla v tabulce: Úloha má tři řešení: s 10= a / a 1 = 6, q = ± Kombinatorika Kombinatorika Kombinatorika je odvětví matematiky, které se zabývá výpočty počtu možnosti, které mohou nastat v různých situacích; zabývá se například situacemi, kdy počítáme, kolik různých skupin můžeme vytvořit z několika prvků dané množiny. Můžeme při tom respektovat různá kritéria - můžeme například uvažovat situaci, že nám bude, nebo naopak nebude, záležet na pořadí prvků ve vytvořených skupinách, můžeme se předem rozhodnout, zda prvky povolíme opakovat, či ne. Podle toho v kombinatorice rozlišujeme tzv. variace (záleží na pořadí prvků ve skupině), kombinace (nezáleží na pořadí prvků ve skupině), případně permutace (zvláštní případ variací). Příkladem variací může být příklad, kdy máme množinu o třech prvcích, které tvoří číslice, 7, 9. V této množině chceme vytvořit skupiny číslic, které mohou tvořit všechna dvojciferná čísla. Pak je určitě každému jasné, že číslo 7 nebude totéž jako číslo 7. Pokud budeme uvažovat variace s opakováním, pak připustíme i možnost existence čísel, 77, 99. Pokud bychom chtěli z uvedených číslic vytvářet pouze trojciferná čísla, pak hovoříme o permutacích. I ty můžeme mít s opakováním prvků. S kombinacemi se setkáme například tehdy, půjdeme-li si vsadit Sportku. Budeme mít na výběr 49 čísel, z nichž 61 z 76
63 musíme vsadit skupinu šesti. Je ale úplně jedno, v jakém pořadí je do tiketu zapíšeme, stejně tak nezáleží na tom, v jakém pořadí budou čísla tažena. Kombinace s opakováním bude opět znamenat to, že připustíme možnost opakování prvků. To už ale není případ uvedené Sportky. Počet prvků, z nichž budeme skupiny (podmnožiny) vytvářet, budeme označovat písmenem n. Počet prvků ve skupině, kterou z dané množiny vytvoříme, budeme označovat písmenem k. Zapisovat budeme: V k(n)... čteme variace k-té třídy z n prvků C k(n)... čteme kombinace k-té třídy z n prvků P(n)... čteme permutace z n prvků V k(n)... čteme variace s opakováním k-té třídy z n prvků C k(n)... čteme kombinace s opakováním k-té třídy z n prvků P (n)... čteme permutace s opakováním z n prvků Pozn.: Permutace z n prvků není vlastně nic jiného než variace n-té třídy z n prvků Zatím se budeme zabývat pouze kombinatorikou bez opakování prvků, proto v našich případech bude číslo n vždy číslo přirozené a číslo k vždy menší nebo rovno n. Při výpočtech příkladů v kombinatorice budeme potřebovat tzv. faktoriály. Zapisujeme n! a čteme "en faktoriál". Pro faktoriály platí: 0! = 1 1! = 1! =. 1 = 3! = = 6 4! = = 4 5! = = n! = n. (n - 1). (n - ). (n - 3) S faktoriály můžeme řešit příklady, upravovat (zjednodušovat) výrazy, případně i řešit rovnice. Příklad 1: Upravte následující výraz, je-li n libovolné přirozené číslo: n n + 3! n +! n + 1 ( ) ( ) ( )! Řešení: n ( n + 3 )(. n - 3) = + - ( n + 3 )! ( n + )! ( n + 1 )! ( n + 3 )(. n + )! ( n + )! ( n + 1 )! n n ( n + ) 1 = + - = = ( n + )! ( n + )! ( n + 1 )! ( n + )! ( n + )! Příklad : Upravte následující výraz, je-li n libovolné přirozené číslo: ( n - ) ( n + ) Řešení: ( 3n + ) 1! 3! + 1! ( 3n + 4)! = 6 z 76
64 ( n -1)! ( 3n + 3 )! ( n -1)! ( 3n + 3 )! + = + = ( n + 1 )! ( 3n + 4 )! ( n + 1 ). n. ( n -1)! ( 3n + 4 )(. 3n + 3 )! 1 1 3n n. ( n + 1) n + 4n + 4 = + = = n. ( n + 1) ( 3n + 4) n. ( n + 1 )(. 3n + 4) n. ( n + 1 )(. 3n + 4) ( n + ) = n. ( n + 1 )(. 3n + 4) Příklad 3: Upravte nerovnici tak, aby její pravá strana byla rovna nule, a rozhodněte, zda je daná nerovnost pro libovolné přirozené n splněna. n! + (n + 3)! > (n + 1)! + (n + )! Řešení: n! + (n + 3)! - (n + 1)! - (n + )! > 0 n! + (n +3). (n + ). (n + 1). n! - (n + 1). n! - (n + ). (n + 1). n! > 0 n!. [1 + (n +3). (n + ). (n + 1) - (n + 1) - (n + ). (n + 1)] > 0 n!. (1 + n 3 + 5n + 6n +n + 5n n n - 3n - ) > 0 n!. ( n 3 + 5n + 7n + 4) > 0 Protože n! je zaručeně kladné číslo, můžeme tímto výrazem nerovnici vydělit a znaménko nerovnosti se nezmění n 3 + 5n + 7n + 4 > 0 Levá strana je pro přirozené číslo n zaručeně kladná, proto nerovnice je splněna vždy. Při řešení příkladů z kombinatoriky budeme potřebovat i tzv. kombinační čísla. Zapisujeme ænö ç èk ø Čteme "en nad k". Platí: ænö ç = èk ø n! ( n - k)!. k! Vlastnosti kombinačních čísel: ænö n! ç = = n è1 ø ( n -1)!.1! ænö n! ç = = 1 ènø ( n - n)!. n! ænö n! ç = = 1 è0ø ( n - 0 )!.0! æ0ö 0! ç = = 1 è0ø ( 0-0 )!.0! ænö æn ö ç = ç èk ø èn - k ø = 63 z 76
65 ænö æn ö æn + 1ö ç + ç = ç èk ø èk + 1ø èk + 1ø æn ö n - k ænö ç =. ç èk + 1ø k + 1 èk ø Příklad 4: V přirozených číslech řešte rovnici: æ7ö æ x + ö æ5ö æ x + 1ö æ xö ç. ç - ç. ç = 10. ç è1 ø è x ø è3ø è x -1ø è0ø Řešení: æ7ö æ x + ö æ5ö æ x + 1ö æ xö ç. ç - ç. ç = 10. ç è1 ø è x ø è3ø è x -1ø è0ø ( x + )! 5! ( x + 1 )! = 10.1!. x!!.3!!. ( x -1)! 7. ( x + )(. x + 1) 5.4 ( x + 1 ). x -. = 10 14x + 4x + 8-0x - 0x = 40-6x + x - 1 = 0 3x - 11x + 6 = 0 x 1 = 3 x = /3 - nevyhovuje (není přirozené číslo) Rovnice má tedy jediné řešení, a to x = 3. ± Kombinatorika - procvičovací příklady z 76
66 z 76
67 z 76
68 , ± Kombinace bez opakování Kombinace bez opakování prvků Mějme množinu M o n různých prvcích (n je přirozené číslo) a dále je dáno přirozené číslo k n. Pak skupina, která obsahuje k různých prvků množiny M sestavených v libovolném pořadí se nazývá kombinace k-té třídy z n prvků. Budeme zapisovat: C k (n) Pro výpočet kombinací bez opakování prvků můžeme snadno použít kombinační čísla. Platí totiž: ænö n! C k ( n) = ç = èk ø - ( n k)!. k! Pozn.: U kombinací bez opakování prvků musí být číslo k vždy menší nebo rovno číslu n. Příklad 1: 67 z 76
69 Určete výčtem všechny kombinace druhé třídy z prvků 3; 5; 7; 9. Řešení: 1. způsob: Úvahou {3; 5} {3; 7} {3; 9} {5; 7} {5; 9} {7; 9}. způsob: Pomocí kombinatoriky n = 4 k = C (4) =? ænö n! C k ( n) = ç = èk ø - æ4ö 4! C( 4) = ç = èø 4 -!. C (4) = 6 ( n k)!. k! ( )! Celkem můžeme vytvořit 6 různých skupin. Příklad : Určete, kolika způsoby může shromáždění 30 lidí zvolit ze svého středu tříčlenný výbor. Řešení: n = 30 k = 3 C 3 (30) =? ænö n! C k ( n) = ç = èk ø ( n - k)!. k! æ30ö 30! C3( 30) = ç = è3 ø 30-3!.3 C 3 (30) = ( )! Tříčlenný výbor může shromáždění zvolit celkem způsoby. Příklad 3: K účasti na volejbalovém turnaji se přihlásilo šest družstev. Určete počet všech utkání, hraje-li se turnaj systémem každý s každým. Řešení: n = 6 k = C (6) =? ænö n! C k ( n) = ç = èk ø - ( n k)!. k! 68 z 76
70 C ( 6) C (6) = 15 æ6ö = ç = èø Počet utkání je 15. Příklad 4: 6! ( 6 - )!.! Určete, kolik přímek je dáno deseti body, jestliže: a) žádné tři z nich neleží v přímce b) právě čtyři z nich leží v přímce Řešení: ad a) n = 10 k = C (10) =? ænö n! C k ( n) = ç = èk ø - æ10ö 10! C( 10) = ç = è ø 10 -!. C (10) = 45 ( n k)!. k! ( )! Pokud žádné tři body neleží v přímce, pak je deseti body určeno celkem 45 přímek. ad b) n 1 = 10 k = n = 4 p =? (celkový počet) p = C = ( n )- C ( n ) n! ( n - k)!. k! ( n - k) p = 1 p = 40 k ! æn1 ö æ 1 - n k + = ç ç èk ø èk n! - + 1!. k! 4! !.! ( 10 - )!.! ( ) ö + 1 = ø Deseti body, z nichž právě čtyři leží v jedné přímce, je určeno 40 různých přímek. Příklad 5: Určete, kolika způsoby může utvořit patnáct chlapců a deset dívek taneční pár. Řešení: Od celkového počtu dvojic musíme odečíst dvojice vytvořené jen z chlapců a dvojice vytvořené jen z dívek. 69 z 76
71 n 1 = = 5 k = n = 15 n 3 = 10 p =? (celkový počet) p = C = p = ( n )- C ( n )- C ( n ) n! æn1 ö æn = ç k - ç è ø èk n! ( n - k)!. k! ( n - k)!. k! ( n - k)!. k! 1 p = 150 k 1 1 5! - k - n ( 5 - )!.! ( 15 - )!.! ( 10 - )!.!! 15! k ! Celkem lze vytvořit 150 různých tanečních párů. ö æn - ç ø èk 3 ö = ø ± Kombinace bez opakování - procvičovací příklady z 76
72 z 76
73 ± Variace bez opakování prvků Variace bez opakování prvků Variace bez opakování prvků jsou skupiny prvků (podmnožiny) nějaké základní množiny, přičemž v těchto vytvořených podmnožinách záleží na pořadí prvků. Vzhledem k tomu budeme u variací spíše než pojem podmnožiny používat pojem uspořádané k-tice. Platí tedy definice: Variace k-té třídy z n prvků je každá uspořádaná k-tice sestavená pouze z těchto n prvků tak, že každý je v ní obsažen nejvýše jednou. Variace k-té třídy z n prvků zapisujeme V k (n) Pro výpočet variací k-té třídy z n prvků platí vzorec: n! V k ( n) = ( n - k)! Pomocí kombinačních čísel můžeme pro výpočet variací použít i vzorec následující: ænö V k ( n) = ç.k! èk ø Příklad 1: Napište všechny variace třetí třídy bez opakování z prvků 3, 5, 7, 9. Řešení: Variace představují uspořádané trojice vytvořené ze zadaných prvků. Můžeme je tedy vypsat: 7 z 76
74 [3; 5; 7], [3; 5; 9], [3; 7; 5], [3; 7; 9], [3; 9; 5], [3; 9; 7], [5; 3; 7], [5; 3; 9], [5; 7; 3], [5; 7; 9], [5; 9; 3], [5; 9; 7], [7; 3; 5], [7; 3; 9], [7; 5; 3], [7; 5; 9], [7; 9; 3], [7; 9; 5], [9; 3; 5], [9; 3; 7], [9; 5; 3], [9; 5; 7], [9; 7; 3], [9; 7; 5] V praxi nás ale většinou nezajímá výčet těchto uspořádaných k-tic, ale pouze jejich počet. Pokud bychom v zadaném příkladu chtěli spočítat počet vzniklých k-tic, pak můžeme použít následující postup: n = 4 k = 3 V 3(4) =? n! V k ( n) = ( n - k)! 4! V ( 4) = = 4! 4-3! ( ) 3 = 4 Celkový počet skupin, které je možno vytvořit, je 4. Příklad : Určete, kolika způsoby může shromáždění 30 lidí zvolit ze svého středu předsedu, místopředsedu a zapisovatele. Řešení: Protože v každé zvolené trojici záleží na tom, která ze zvolených osob je předsedou, která místopředsedou a která zapisovatelem, jde o uspořádané trojice; protože každá osoba z daného shromáždění je v této trojici nejvýše jednou, jsou tyto uspořádané trojice variacetřetí třídy ze třiceti prvků. Platí tedy: n = 30 k = 3 V 3(30) =? n! V k ( n) = ( n - k)! 30! V ( 30) = = ! ( ) 3 = 4360 Shromáždění může zvolit výbor celkem způsoby. Příklad 3: Určete počet všech přirozených čísel menších než 500, v jejichž zápisu jsou pouze cifry 4, 5, 6 a 7, a to každá nejvýše jednou. Řešení: Přirozená čísla menší než 500 mohou být jenom jednociferná, dvojciferná nebo trojciferná. U trojciferných máme navíc už omezení, že nesmí začínat ciframi 5, 6 a 7. n = 4 k 1 = 1 k = k 3 = 3 p =?... celkový počet čísel z 76
75 p = V 1(4) + V (4) + V 3(4)/4 æ4ö æ4ö æ4ö p = ç.1! + ç.! + ç.3!: 4 = = è1 ø èø è3ø Čísel splňujících dané podmínky je celkem. ± Variace bez opakování prvků - procvičovací příklady ± Permutace bez opakování prvků Permutace bez opakování prvků Permutace jsou vlastně zvláštní případ variací. Jedná se tedy opět o skupiny (podmnožiny) vytvořené z jisté základní množiny, přičemž opět záleží na pořadí prvků ve skupinách. Na rozdíl od variací ale vytváříme skupiny vždy ze všech prvků obsažených v základní množině. Platí tedy definice: 74 z 76
76 Permutace z n prvků je každá variace n-té třídy z těchto n prvků. Permutace z n prvků zapisujeme: P(n) Pro výpočet počtu permutací používáme vzorec: P(n) = n! Příklad 1: Vypište všechna možná pořadí trojčlenného zástupu, který mohou utvořit Petr, Jirka a Karel. Řešení: Jde o výčet všech uspořádaných trojic, v nichž je každý ze tří chlapců právě jednou, tj. o výčet všech permutací tří prvků; tyto prvky označíme P, J, K podle počátečních písmen jmen chlapců. Jsou právě tato pořadí: [P; J; K], [P; K; J], [J; P; K], [J; K; P], [K; P; J], [K; J; P] V praxi nás opět, podobně jako u variací, většinou nezajímá výčet skupin, ale jejich celkový počet. Kdyby v daném příkladu bylo zadáno to, mohli bychom postupovat podle následujícího postupu: n = 3 P(3) =? P(n) = n! P(3) = 3! = 6 Celkem si tedy žáci mohou do zástupu stoupnout šesti způsoby. Příklad : Určete počet všech pěticiferných přirozených čísel, v jejichž dekadickém zápisu je každá z číslic 0, 1, 3, 4 a 7. Řešení: Kdyby mezi zadanými číslicemi nebyla číslice nula, pak by se jednalo o běžný výpočet permutace z pěti prvků bez opakování. Výsledné číslo, které by ale začínalo číslicí nula, by nebylo pěticeferné, proto musíme tato čísla vyřadit. Pro určení počtu čísel, která musíme vyřadit, použijeme opět permutace. Pokud si totiž na první pozici pevně postavíme nulu, pak zbývající čtyři pozice musíme obsadit zbylými čtyřmi číslicemi. Počítáme tedy permutace ze čtyř prvků. n 1 = 5 n = 4 p =?... celkový počet p = n 1! - n! = 5! - 4! = 10-4 = 96 Hledaný počet všech pěticiferných přirozených čísel požadované vlastnosti je tedy 96. Příklad 3: Na schůzi má vystoupit pět řečníků A, B, C, D a E. Určete: a) kolik je možností pro pořadí jejich proslovů b) kolik je všech pořadí jejich proslovů takových, že řečník B mluví ihned po A c) kolik je všech pořadí jejich proslovů takových, že řečník B mluví po A Řešení: ad a) n = 5 75 z 76
77 p =? p = P(5) = 5! = 10 Celkový počet možností pro pořadí proslovů je 10. ad b) Pokud má v sestavě existovat pořadí AB, pak můžeme tuto sestavu nahradit pomyslně jediným prvkem a počítat tedy vlastně permutace ze čtyř prvků n = 4 p =? p = P(4) = 4! = 4 Celkový počet možností pro pořadí proslovů je 4. ad c) Ke každému pořadí proslovů, v němž B mluví po A, existuje pořadí, v němž A mluví po B, přičemž ostatní proslovy "zůstávají na místě". Vyhovujících je tedy pouze polovina ze všech možných proslovů. n = 5 p =? p = p(5)/ = 5!/ = 60 Celkový počet možností pro pořadí proslovů je tedy 60. ± Permutace bez opakování prvků - procvičovací příklady z 76
78 Obsah Exponenciální funkce 1 Exponenciální funkce - procvičovací příklady Logaritmická funkce 8 Logaritmická funkce - procvičovací příklady 9 Logaritmy 17 Logaritmy - procvičovací příklady 18 Věty o logaritmech 1 Věty o logaritmech - procvičovací příklady 3 Exponenciální rovnice 6 Exponenciální rovnice - procvičovací příklady 8 Logaritmické rovnice 3 Logaritmické rovnice - procvičovací příklady 34 Stereometrie - Vzájemná poloha přímek a rovin 37 Odchylky a vzdálenosti - procvičovací příklady 38 Komolý jehlan 40 Komolý kužel 4 Posloupnosti 43 Posloupnosti - procvičovací příklady 47 Aritmetická posloupnost 5 Aritmetická posloupnost - procvičovací příklady 54 Geometrická posloupnost 57 Geometrická posloupnost - procvičovací příklady 59 Kombinatorika 61 Kombinatorika - procvičovací příklady 64 Kombinace bez opakování 67 Kombinace bez opakování - procvičovací příklady 70 Variace bez opakování prvků 7 Variace bez opakování prvků - procvičovací příklady 74 Permutace bez opakování prvků 74 Permutace bez opakování prvků - procvičovací příklady :40:57 Vytištěno v programu dosystem - EduBase (
M - Příprava na 1. čtvrtletku - třída 3ODK
M - Příprava na 1. čtvrtletku - třída ODK Souhrnný studijní materiál k přípravě na čtvrtletní písemnou práci. Obsahuje učivo října až prosince 007. VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven
VíceKombinatorika. Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz.
Variace 1 Kombinatorika Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Kombinatorika, faktoriály, kombinační
VíceLogaritmy a věty o logaritmech
Variace 1 Logaritmy a věty o logaritmech Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Logaritmy Definice
VíceFunkce s absolutní hodnotou, funkce exponenciální a funkce logaritmická
Variace 1 Funkce s absolutní hodnotou, funkce exponenciální a funkce logaritmická Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu
VíceM - Příprava na 3. čtvrtletku - třída 3ODK
M - Příprava na 3. čtvrtletku - třída 3ODK Učebnice je určena pro přípravu na 3. čtvrtletní písemnou práci. Obsahuje učivo března až června. VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven a
VíceFunkce a lineární funkce pro studijní obory
Variace 1 Funkce a lineární funkce pro studijní obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Funkce
VíceExponenciální a logaritmická funkce
Variace 1 Exponenciální a logaritmická funkce Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Exponenciální
VíceM - Příprava na pololetní písemku č. 1
M - Příprava na pololetní písemku č. 1 Určeno pro třídy 3SA, 3SB. VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven a vytištěn v programu dosystem - EduBase. Více informací o programu naleznete
VíceM - Kvadratické rovnice a kvadratické nerovnice
M - Kvadratické rovnice a kvadratické nerovnice Určeno jako učební tet pro studenty dálkového studia. VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven a vytištěn v programu dosystem - EduBase.
VíceM - Příprava na 1. zápočtový test - třída 3SA
M - Příprava na 1. zápočtový test - třída 3SA Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. VARIACE 1 Tento
VíceFunkce pro studijní obory
Variace 1 Funkce pro studijní obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Funkce Funkce je přiřazení,
VíceM - Kvadratické rovnice
M - Kvadratické rovnice Určeno jako učební tet pro studenty denního i dálkového studia. VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven a vytištěn v programu dosystem - EduBase. Více informací
VíceM - Příprava na 3. čtvrtletní písemnou práci
M - Příprava na 3. čtvrtletní písemnou práci Určeno pro třídu ODK VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven a vytištěn v programu dosystem - EduBase. Více informací o programu naleznete
VíceFunkce - pro třídu 1EB
Variace 1 Funkce - pro třídu 1EB Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv využití výukového materiálu je povoleno pouze s odkazem na www.jarjurek.cz. 1. Funkce Funkce je přiřazení, které každému
VíceM - Příprava na 1. čtvrtletku pro třídy 2P a 2VK
M - Příprava na 1. čtvrtletku pro třídy P a VK Autor: Mgr. Jaromír Juřek Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu dovoleno pouze s odkazem na www.jarjurek.cz. VARIACE 1 Tento dokument byl
VíceVariace. Lineární rovnice
Variace 1 Lineární rovnice Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Rovnice Co je rovnice Rovnice je
VíceFunkce pro učební obory
Variace 1 Funkce pro učební obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Funkce Funkce je přiřazení,
VíceLineární rovnice pro učební obory
Variace 1 Lineární rovnice pro učební obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Rovnice Co je rovnice
VícePOSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky
POSLOUPNOSTI A ŘADY Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu
VícePOSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ
POSLOUPNOSTI A ŘADY Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu
VíceMATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY
MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY 1. Základní poznatky z logiky a teorie množin Pojem konstanty a proměnné. Obor proměnné. Pojem výroku a jeho pravdivostní hodnota. Operace s výroky, složené výroky, logické
VíceM - Matematika - třída 2DOP celý ročník
M - Matematika - třída DOP celý ročník Učebnice obsahující učivo celého. ročníku. VARIACE Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven a vytištěn v programu dosystem - EduBase. Více informací o programu
VíceCVIČNÝ TEST 1. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 21 IV. Záznamový list 23
CVIČNÝ TEST 1 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 21 IV. Záznamový list 23 I. CVIČNÝ TEST 1 Určete výraz V, který je největším společným dělitelem výrazů V 1 V 3 :
VícePožadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015
Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,
VíceM - Příprava na 1. čtvrtletku pro třídu 4ODK
M - Příprava na 1. čtvrtletku pro třídu 4ODK Autor: Mgr. Jaromír Juřek Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu povoleno pouze s odkazem na www.jarjurek.cz. VARIACE 1 Tento dokument byl
VíceNerovnice a nerovnice v součinovém nebo v podílovém tvaru
Variace 1 Nerovnice a nerovnice v součinovém nebo v podílovém tvaru Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz
VíceMgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014. 1. Obor reálných čísel
Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014 1. Obor reálných čísel - obor přirozených, celých, racionálních a reálných čísel - vlastnosti operací (sčítání, odčítání, násobení, dělení) -
VíceModelové úlohy přijímacího testu z matematiky
PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA UNIVERZITY KARLOVY V PRAZE Modelové úlohy přijímacího testu z matematiky r + s r s r s r + s 1 r2 + s 2 r 2 s 2 ( ) ( ) 1 a 2a 1 + a 3 1 + 2a + 1 ( a b 2 + ab 2 ) ( a + b + b b a
VíceBakalářská matematika I
1. Funkce Diferenciální počet Mgr. Jaroslav Drobek, Ph. D. Katedra matematiky a deskriptivní geometrie Bakalářská matematika I Některé užitečné pojmy Kartézský součin podrobnosti Definice 1.1 Nechť A,
VíceFunkce, elementární funkce.
Kapitola 2 Funkce, elementární funkce. V této kapitole si se budeme věnovat studiu základních vlastností funkcí jako je definiční obor, obor hodnot. Připomeneme si pojmy sudá, lichá, rostoucí, klesající.
VíceMaturitní témata profilová část
Seznam témat Výroková logika, úsudky a operace s množinami Základní pojmy výrokové logiky, logické spojky a kvantifikátory, složené výroky (konjunkce, disjunkce, implikace, ekvivalence), pravdivostní tabulky,
VíceCVIČNÝ TEST 5. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Václav Zemek. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19
CVIČNÝ TEST 5 Mgr. Václav Zemek OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19 I. CVIČNÝ TEST 1 Zjednodušte výraz (2x 5) 2 (2x 5) (2x + 5) + 20x. 2 Určete nejmenší trojciferné
VíceM - Matematika - třída 2DOP celý ročník
M - Matematika - třída DOP celý ročník Učebnice obsahující učivo celého. ročníku. VARIACE Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven a vytištěn v programu dosystem - EduBase. Více informací o programu
VíceM - Kvadratická funkce
M - Kvadratická funkce Autor: Mgr. Jaromír Juřek Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně
VíceM - Příprava na 13. zápočtový test
M - Příprava na. zápočtový test Určeno pro studenty dálkového studia. VARIACE Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven a vytištěn v programu dosystem - EduBase. Více informací o programu naleznete
VíceTematický plán Obor: Informační technologie. Vyučující: Ing. Joanna Paździorová
Tematický plán Vyučující: Ing. Joanna Paździorová 1. r o č n í k 5 h o d i n t ý d n ě, c e l k e m 1 7 0 h o d i n Téma- Tematický celek Z á ř í 1. Opakování a prohloubení učiva základní školy 18 1.1.
VíceCVIČNÝ TEST 15. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17
CVIČNÝ TEST 15 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 I. CVIČNÝ TEST VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 1 Je dána čtvercová mřížka, v níž každý čtverec má délku
VíceM - Příprava na 3. zápočtový test pro třídu 2D
M - Příprv n. ápočtový test pro třídu D Autor: Mgr. Jromír JUŘEK Kopírování jkékoliv dlší využití výukového mteriálu je povoleno poue s uvedením odku n www.jrjurek.c. VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně
VíceGymnázium Česká a Olympijských nadějí, České Budějovice, Česká 64, 37021
Maturitní témata MATEMATIKA 1. Funkce a jejich základní vlastnosti. Definice funkce, def. obor a obor hodnot funkce, funkce sudá, lichá, monotónnost funkce, funkce omezená, lokální a globální extrémy funkce,
VíceModelové úlohy přijímacího testu z matematiky
PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA UNIVERZITY KARLOVY V PRAZE Modelové úlohy přijímacího testu z matematiky r + s r s r s r + s 1 r2 + s 2 r 2 s 2 ( ) ( ) 1 a 2a 1 + a 3 1 + 2a + 1 ( a b 2 + ab 2 ) ( a + b + b b a
VíceM - Příprava na pololetní písemku č. 1
M - Příprava na pololetní písemku č. 1 Určeno jako studijní materiál pro třídu 2K. VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven a vytištěn v programu dosystem - EduBase. Více informací o programu
VíceMaturitní témata z matematiky
Maturitní témata z matematiky G y m n á z i u m J i h l a v a Výroky, množiny jednoduché výroky, pravdivostní hodnoty výroků, negace operace s výroky, složené výroky, tabulky pravdivostních hodnot důkazy
VíceM - Příprava na 2. čtvrtletku - třídy 1P, 1VK
M - Příprava na 2. čtvrtletku - třídy 1P, 1VK Souhrnný studijní materiál k přípravě na 2. čtvrtletní písemnou práci. Obsahuje učivo listopadu až ledna. VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně vytvořen,
VíceVektory a matice. Obsah. Aplikovaná matematika I. Carl Friedrich Gauss. Základní pojmy a operace
Vektory a matice Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah 1 Vektory Základní pojmy a operace Lineární závislost a nezávislost vektorů 2 Matice Základní pojmy, druhy matic Operace s maticemi
VícePraha & EU: investujeme do vaší budoucnosti. Daniel Turzík, Miroslava Dubcová,
E-sbírka příkladů Seminář z matematiky Evropský sociální fond Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti Daniel Turzík, Miroslava Dubcová, Pavla Pavlíková Obsah 1 Úpravy výrazů................................................................
VíceSoustavy rovnic pro učební obory
Variace 1 Soustavy rovnic pro učební obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Soustavy rovnic
VíceCvičné texty ke státní maturitě z matematiky
Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky Pracovní listy s postupy řešení Brno 2010 RNDr. Rudolf Schwarz, CSc. Státní maturita z matematiky Obsah Obsah NIŽŠÍ úroveň obtížnosti 4 MAGZD10C0K01 říjen 2010..........................
VíceMaturitní témata z matematiky
Maturitní témata z matematiky 1. Lineární rovnice a nerovnice a) Rovnice a nerovnice s absolutní hodnotou absolutní hodnota reálného čísla definice, geometrický význam, srovnání řešení rovnic s abs. hodnotou
VíceM - Příprava na 4. zápočtový test - třídy 1DP, 1DVK
M - Příprava na 4. zápočtový test - třídy 1DP, 1DVK Autor: Mgr. Jaromír Juřek Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je dovoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz VARIACE 1 Tento
VíceM - Příprava na 12. zápočtový test
M - Příprava na 1. zápočtový test Určeno pro studenty dálkového studia. VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven a vytištěn v programu dosystem - EduBase. Více informací o programu naleznete
VíceMaturitní otázky z předmětu MATEMATIKA
Wichterlovo gymnázium, Ostrava-Poruba, příspěvková organizace Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA 1. Výrazy a jejich úpravy vzorce (a+b)2,(a+b)3,a2-b2,a3+b3, dělení mnohočlenů, mocniny, odmocniny, vlastnosti
Více14. přednáška. Přímka
14 přednáška Přímka Začneme vyjádřením přímky v prostoru Přímku v prostoru můžeme vyjádřit jen parametricky protože obecná rovnice přímky v prostoru neexistuje Přímka v prostoru je určena bodem A= [ a1
VíceLogaritmické a exponenciální funkce
Kapitola 4 Logaritmické a exponenciální funkce V této kapitole se budeme zabývat exponenciálními a logaritmickými funkcemi. Uvedeme si definice vlastnosti a vztah mezi nimi. 4.1 Exponenciální funkce Exponenciální
VíceKOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ
KOMPLEXNÍ ČÍSLA Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTICE
VíceM - Příprava na 4. čtvrtletku - třídy 1P, 1VK.
M - Příprava na 4. čtvrtletku - třídy 1P, 1VK. Učebnice určená pro přípravu na 4. čtvrtletní písemnou práci. Obsahuje učivo března až června. VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven a
Vícea se nazývá aritmetická právě tehdy, když existuje takové číslo d R
Předmět: Ročník: Vytvořil: Datum: MATEMATIKA TŘETÍ Mgr. Tomáš MAŇÁK. březen 014 Název zpracovaného celku: ARITMETICKÁ POSLOUPNOST A JEJÍ UŽITÍ ARITMETICKÁ POSLOUPNOST Teorie: Posloupnost každé ( ) n n1
VíceMaturitní okruhy z matematiky - školní rok 2007/2008
Maturitní okruhy z matematiky - školní rok 2007/2008 1. Některé základní poznatky z elementární matematiky: Číselné obory, dělitelnost přirozených čísel, prvočísla a čísla složená, největší společný dělitel,
VíceLogaritmus. Logaritmus kladného čísla o základu kladném a různém od 1 je exponent, kterým. umocníme základ a, abychom dostali číslo.
Logaritmus Logaritmus kladného čísla o základu kladném a různém od 1 je exponent, kterým umocníme základ a, abychom dostali číslo. Platí tedy: logax = y a y = x ( Dekadický logaritmus základ 10 označení
Více1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy:
Opakování středoškolské matematiky Slovo úvodem: Tato pomůcka je určena zejména těm studentům presenčního i kombinovaného studia na VŠFS, kteří na středních školách neprošli dostatečnou průpravou z matematiky
VíceSlovní úlohy 1. 2,42cm; 7cm; 11,58cm; 2. původní cena; dní; 4. 2,3*10 15 kg; 5. 2,8*10 14 ; ; 27325; 7. 3, 9, 27; -3, 9, -27;
1. Posloupnosti 1.1. Úvod geometrické znázornění, monotonie posloupnosti, rekurentní vzorec a vzorec pro n-tý člen. 1.A) 15, 17, 19; B) 128, 256, 512; C) 45, 51, 57; D) 6, 2, 4; E) 32768, 131072, 524288;
Více14. Exponenciální a logaritmické rovnice
@148 14. Exponenciální a logaritmické rovnice Rovnicím, které obsahují exponencielu resp. logaritmus, říkáme exponenciální resp. logaritmické rovnice. Při řešení exponenciálních a logaritmických rovnic
VíceSTRUČNÉ OPAKOVÁNÍ STŘEDOŠKOLSKÉ MATEMATIKY V PŘÍKLADECH
STRUČNÉ OPAKOVÁNÍ STŘEDOŠKOLSKÉ MATEMATIKY V PŘÍKLADECH RNDr. Milada Rezková RNDr. Vlasta Sudzinová Mgr. Eva Valentová 2016 Předmluva Tento učební text je určen studentům 4. ročníku čtyřletých gymnázií,
VíceMATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA
MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA Osmileté studium 1. ročník 1. Opakování a prohloubení učiva 1. 5. ročníku Číslo, číslice, množiny, přirozená čísla, desetinná čísla, číselné
Více1 Řešení soustav lineárních rovnic
1 Řešení soustav lineárních rovnic 1.1 Lineární rovnice Lineární rovnicí o n neznámých x 1,x 2,..., x n s reálnými koeficienty rozumíme rovnici ve tvaru a 1 x 1 + a 2 x 2 +... + a n x n = b, (1) kde koeficienty
VíceNerovnice. Vypracovala: Ing. Stanislava Kaděrková
Nerovnice Vypracovala: Ing. Stanislava Kaděrková Název školy Název a číslo projektu Název modulu Obchodní akademie a Střední odborné učiliště, Veselí nad Moravou Motivace žáků ke studiu technických předmětů
VíceUčební plán 4. letého studia předmětu matematiky. Učební plán 6. letého studia předmětu matematiky
Učební plán 4. letého studia předmětu matematiky Ročník I II III IV Dotace 3 3+1 2+1 2+2 Povinnost povinný povinný povinný povinný Učební plán 6. letého studia předmětu matematiky Ročník 1 2 3 4 5 6 Dotace
VíceMatematika PRŮŘEZOVÁ TÉMATA
Matematika ročník TÉMA 1-4 Operace s čísly a - provádí aritmetické operace v množině reálných čísel - používá různé zápisy reálného čísla - používá absolutní hodnotu, zapíše a znázorní interval, provádí
VícePosloupnosti a jejich limity
KMA/MAT Přednáška č. 7, Posloupnosti a jejich ity 5. listopadu 203 Motivační příklady Prozkoumejme, zatím laicky, následující posloupnosti: Posloupnost, 4, 9,..., n 2,... : Hodnoty rostou nade všechny
VíceCVIČNÝ TEST 9 OBSAH. Mgr. Václav Zemek. I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 5 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19
CVIČNÝ TEST 9 Mgr. Václav Zemek OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 5 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19 I. CVIČNÝ TEST 1 Vypočítejte (7,5 10 3 2 10 2 ) 2. Výsledek zapište ve tvaru a 10 n, kde
VíceMATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT)
MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) 1. Číselné obory 1.1 Přirozená čísla provádět aritmetické operace s přirozenými čísly rozlišit prvočíslo
VíceIB112 Základy matematiky
IB112 Základy matematiky Řešení soustavy lineárních rovnic, matice, vektory Jan Strejček IB112 Základy matematiky: Řešení soustavy lineárních rovnic, matice, vektory 2/53 Obsah Soustava lineárních rovnic
VíceMATEMATIKA Tematické okruhy ke státní maturitní zkoušce Obor: mechanik elektronik
MATEMATIKA Tematické okruhy ke státní maturitní zkoušce Obor: mechanik elektronik R4 1. ČÍSELNÉ VÝRAZY 1.1. Přirozená čísla počítání s přirozenými čísly, rozlišit prvočíslo a číslo složené, rozložit složené
VíceGymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora
Předmět: Náplň: Třída: Počet hodin: Pomůcky: Cvičení z matematiky algebra (CZMa) Systematizace a prohloubení učiva matematiky: Číselné obory, Algebraické výrazy, Rovnice, Funkce, Posloupnosti, Diferenciální
VíceM - Algebraické výrazy
M - Algebraické výrazy Určeno jako studijní text pro studenty dálkového studia a jako shrnující textpro studenty denního studia. VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven a vytištěn v programu
VíceGymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora
Předmět: Cvičení z matematiky Náplň: Systematizace a prohloubení učiva matematiky Třída: 4. ročník Počet hodin: 2 Pomůcky: Učebna s dataprojektorem, PC, grafický program, tabulkový procesor Číselné obory
VíceJednoduché cykly 35. 36. 37. 38. 39. 40. 41. 42. 43. 44. 45.
Jednoduché cykly Tento oddíl obsahuje úlohy na první procvičení práce s cykly. Při řešení každé ze zde uvedených úloh stačí použít vedle podmíněných příkazů jen jediný cyklus. Nepotřebujeme používat ani
VíceCVIČNÝ TEST 37. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 5 III. Klíč 13 IV. Záznamový list 15
CVIČNÝ TEST 37 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 5 III. Klíč 13 IV. Záznamový list 15 I. CVIČNÝ TEST VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 1 Na staré hliněné desce je namalován čtverec
VíceSystematizace a prohloubení učiva matematiky. Učebna s dataprojektorem, PC, grafický program, tabulkový procesor. Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora
Předmět: Náplň: Třída: Počet hodin: Pomůcky: Cvičení z matematiky Systematizace a prohloubení učiva matematiky 4. ročník 2 hodiny Učebna s dataprojektorem, PC, grafický program, tabulkový procesor Číselné
Více6. ANALYTICKÁ GEOMETRIE
Vektorová algebra 6. ANALYTICKÁ GEOMETRIE Pravoúhlé souřadnice bodu v prostoru Poloha bodu v prostoru je vzhledem ke třem osám k sobě kolmým určena třemi souřadnicemi, které tvoří uspořádanou trojici reálných
VíceII. Zakresli množinu bodů, ze kterých vidíme úsečku délky 3 cm v zorném úhlu větším než 30 0 a menším než 60 0.
Ukázky typových maturitních příkladů z matematiky..reálná čísla. 3} x R; I. Zobrazte množiny A = {x є 3} < + x R; B = {x є II. Zapište ve tvaru zlomku číslo, 486.Komplexní čísla. I. Určete a + b, a - b,
Vícei=1 Přímka a úsečka. Body, které leží na přímce procházející body a a b můžeme zapsat pomocí parametrické rovnice
I. Funkce dvou a více reálných proměnných 1. Úvod Značení: V textu budeme používat označení: N pro množinu všech přirozených čísel; R pro množinu všech reálných čísel; R n pro množinu všech uspořádaných
VíceCVIČNÝ TEST 7. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Václav Zemek. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19
CVIČNÝ TEST 7 Mgr. Václav Zemek OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19 I. CVIČNÝ TEST 1 Určete přirozené číslo n tak, aby platilo: 3 + 12 + 27 = n. 1 bod 2 Doplňte
VícePožadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014
Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,
VíceM - Pythagorova věta, Eukleidovy věty
M - Pythagorova věta, Eukleidovy věty Určeno jako učební text pro studenty dálkového studia. VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven a vytištěn v programu dosystem - EduBase. Více informací
VíceNerovnice, grafy, monotonie a spojitost
Nerovnice, grafy, monotonie a spojitost text pro studenty Fakulty přírodovědně-humanitní a pedagogické TU v Liberci vzniklý za podpory fondu F Martina Šimůnková 29. prosince 2016 1 Úvod Na druhém stupni
VícePříklad. Řešte v : takže rovnice v zadání má v tomto případě jedno řešení. Pro má rovnice tvar
Řešte v : má rovnice tvar takže rovnice v zadání má v tomto případě jedno řešení. Pro má rovnice tvar takže rovnice v zadání má v tomto případě opět jedno řešení. Sjednocením obou případů dostaneme úplné
VíceFUNKCE POJEM, VLASTNOSTI, GRAF
FUNKCE POJEM, VLASTNOSTI, GRAF Zavedení pojmu funkce funkce Funkce f na množině D R je předpis, který každému číslu x z množiny D přiřazuje právě jedno reálné číslo y z množiny R. Množina D se nazývá definiční
VíceDeterminanty. Obsah. Aplikovaná matematika I. Pierre Simon de Laplace. Definice determinantu. Laplaceův rozvoj Vlastnosti determinantu.
Determinanty Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah 1 Determinanty Definice determinantu Sarrusovo a křížové pravidlo Laplaceův rozvoj Vlastnosti determinantu Výpočet determinantů 2 Inverzní
VíceCVIČNÝ TEST 13. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Zdeňka Strnadová. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17
CVIČNÝ TEST 13 Mgr. Zdeňka Strnadová OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 I. CVIČNÝ TEST VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 1 V trojúhelníku ABC na obrázku dělí úsečka
Více6 Skalární součin. u v = (u 1 v 1 ) 2 +(u 2 v 2 ) 2 +(u 3 v 3 ) 2
6 Skalární součin Skalární součin 1 je operace, která dvěma vektorům (je to tedy binární operace) přiřazuje skalár (v našem případě jde o reálné číslo, obecně se jedná o prvek nějakého tělesa T ). Dovoluje
VíceMATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ vyšší úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT)
MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ vyšší úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) 1. Číselné obory 1.1 Přirozená čísla provádět aritmetické operace s přirozenými čísly rozlišit prvočíslo a
VíceCVIČNÝ TEST 22. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 13 IV. Záznamový list 15
CVIČNÝ TEST 22 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 13 IV. Záznamový list 15 I. CVIČNÝ TEST VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 1 Kontroloři Státní zemědělské a potravinářské inspekce
VíceANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ
ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ Parametrické vyjádření přímky v rovině Máme přímku p v rovině určenou body A, B. Sestrojíme vektor u = B A. Pro bod B tím pádem platí: B = A + u. Je zřejmé,
VíceOdvození středové rovnice kružnice se středem S [m; n] a o poloměru r. Bod X ležící na kružnici má souřadnice [x; y].
Konzultace č. 6: Rovnice kružnice, poloha přímky a kružnice Literatura: Matematika pro gymnázia: Analytická geometrie, kap. 5.1 a 5. Sbírka úloh z matematiky pro SOŠ a studijní obory SOU. část, kap. 6.1
VíceVariace. Kvadratická funkce
Variace 1 Kvadratická funkce Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Kvadratická funkce Kvadratická
VíceCVIČNÝ TEST 2. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Václav Zemek. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17
CVIČNÝ TEST 2 Mgr. Václav Zemek OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 I. CVIČNÝ TEST 1 Od součtu libovolného čísla x a čísla 256 odečtěte číslo x zmenšené o 256.
Více0.1 Úvod do lineární algebry
Matematika KMI/PMATE 1 01 Úvod do lineární algebry 011 Lineární rovnice o 2 neznámých Definice 011 Lineární rovnice o dvou neznámých x, y je rovnice, která může být vyjádřena ve tvaru ax + by = c, kde
VíceSoustavy rovnic pro učební obor Kadeřník
Variace 1 Soustavy rovnic pro učební obor Kadeřník Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Soustavy
VíceKFC/SEM, KFC/SEMA Rovnice, nerovnice
KFC/SEM, KFC/SEMA Rovnice, nerovnice Požadované dovednosti: Řešení lineárních rovnic a nerovnic Řešení kvadratických rovnic Řešení rovnic s odmocninou Řešení rovnic s parametrem Řešení rovnic s absolutní
VíceLineární funkce, rovnice a nerovnice 3 Soustavy lineárních rovnic
Lineární funkce, rovnice a nerovnice Soustavy lineárních rovnic motivace Využívají se napřklad při analytickém vyšetřování vzájemné polohy dvou přímek v rovině a prostoru. Při řešení některých slovních
Více