Princip inkluze a exkluze

Rozměr: px

Začít zobrazení ze stránky:

Download "Princip inkluze a exkluze"

Lenka Bednářová
před 5 lety
Počet zobrazení:

1 Princip inkluze a exkluze Jan Paseka Masarykova univerzita Brno Princip inkuze a exkluze p.1/15

2 Abstrakt Opakování principu inkluze a exkluze. Princip inkuze a exkluze p.2/15

3 Obsah přednášky Princip inkluze a exkluze. Příklad na počet surjektivních zobrazení. Příklad na počet permutací bez pevného bodu. Princip inkuze a exkluze p.3/15

4 Princip inkluze a exkluze I Je dána konečná množina Q objektů, u nichž rozlišujeme konečný počet jistých vlastností, indexovaných prvky nějaké konečné množiny I. Každý z objektů množiny Q může mít některé ze zmíněných vlastností a jiné mít nemusí. Princip inkuze a exkluze p.4/15

5 Princip inkluze a exkluze I Je dána konečná množina Q objektů, u nichž rozlišujeme konečný počet jistých vlastností, indexovaných prvky nějaké konečné množiny I. Každý z objektů množiny Q může mít některé ze zmíněných vlastností a jiné mít nemusí. Problém, který zkoumáme, spočívá v tom, jak určit, kolik je objektů nemajících žádnou z uvedených vlastností. Princip inkuze a exkluze p.4/15

6 Princip inkluze a exkluze I Je dána konečná množina Q objektů, u nichž rozlišujeme konečný počet jistých vlastností, indexovaných prvky nějaké konečné množiny I. Každý z objektů množiny Q může mít některé ze zmíněných vlastností a jiné mít nemusí. Problém, který zkoumáme, spočívá v tom, jak určit, kolik je objektů nemajících žádnou z uvedených vlastností. Jestliže pro každé i I označíme A i množinu všech těch objektů z Q, které mají vlastnost s indexem i, pak jde o to, jak zjistit, kolik prvků má množina A(0)=Q i I A i. Princip inkuze a exkluze p.4/15

7 Vennův diagram A B C = A + B + C A B A C B C + A B C Princip inkuze a exkluze p.5/15

8 Vennův diagram Q A B C = Q A B C + A B + A C + B C A B C Princip inkuze a exkluze p.6/15

9 Princip inkluze a exkluze II Věta. Bud Q konečná množina. Mějme konečnou indexovou množinu I a mějme konečný soubor množin A i, kde i I, jež jsou všechny podmnožinami množiny Q. To znamená, že A i Q pro každé i I. Princip inkuze a exkluze p.7/15

10 Princip inkluze a exkluze II Věta. Bud Q konečná množina. Mějme konečnou indexovou množinu I a mějme konečný soubor množin A i, kde i I, jež jsou všechny podmnožinami množiny Q. To znamená, že A i Q pro každé i I. Potom pro množinu A(0)=Q i I A i platí A(0) = ( 1) K A i. K I i K Princip inkuze a exkluze p.7/15

11 Princip inkluze a exkluze II Věta. Bud Q konečná množina. Mějme konečnou indexovou množinu I a mějme konečný soubor množin A i, kde i I, jež jsou všechny podmnožinami množiny Q. To znamená, že A i Q pro každé i I. A(0)=Q i I A i platí A(0) = K I ( 1) K i K Potom pro množinu A i. Poznámka. Poněvadž A i Q pro i I, klademe i A i= Q. Princip inkuze a exkluze p.7/15

12 Princip inkluze a exkluze III Vztah dokázaný v předchozí větě lze přepsat na Princip inkuze a exkluze p.8/15

13 Princip inkluze a exkluze III Vztah dokázaný v předchozí větě lze přepsat na Q A i = Q Ai + Ai A j i I i I {i,j,k} I i j k i {i,j} I i j A i A j A k + +( 1) I i I A i. Princip inkuze a exkluze p.8/15

14 Princip inkluze a exkluze III Vztah dokázaný v předchozí větě lze přepsat na Q A i = Q Ai + Ai A j i I i I {i,j,k} I i j k i {i,j} I i j A i A j A k + +( 1) I i I A i. Tento vztah kvůli střídání znamének bývá právě označován termínem princip inkluze a exkluze. Princip inkuze a exkluze p.8/15

15 Princip inkluze a exkluze - příklady I Příklad IE1. Necht n,k N {0} splňují k n. Necht S, resp. U jsou konečné množiny mající n, resp. k prvků. Je třeba určit, kolik existuje surjektivních zobrazení g: S U. Princip inkuze a exkluze p.9/15

16 Princip inkluze a exkluze - příklady I Příklad IE1. Necht n,k N {0} splňují k n. Necht S, resp. U jsou konečné množiny mající n, resp. k prvků. Je třeba určit, kolik existuje surjektivních zobrazení g: S U. Řešení. Jako základní množinu Q vezmeme množinu všech možných zobrazení f: S U. Indexovou množinu I položíme rovnu U. Princip inkuze a exkluze p.9/15

17 Princip inkluze a exkluze - příklady I Příklad IE1. Necht n,k N {0} splňují k n. Necht S, resp. U jsou konečné množiny mající n, resp. k prvků. Je třeba určit, kolik existuje surjektivních zobrazení g: S U. Řešení. Jako základní množinu Q vezmeme množinu všech možných zobrazení f: S U. Indexovou množinu I položíme rovnu U. Pro w U máme A w = {f: S U; w / f(s)}. Princip inkuze a exkluze p.9/15

18 Princip inkluze a exkluze - příklady I Příklad IE1. Necht n,k N {0} splňují k n. Necht S, resp. U jsou konečné množiny mající n, resp. k prvků. Je třeba určit, kolik existuje surjektivních zobrazení g: S U. Řešení. Jako základní množinu Q vezmeme množinu všech možných zobrazení f: S U. Indexovou množinu I položíme rovnu U. Pro w U máme A w = {f: S U; w / f(s)}. Tedy A(0)={f: S U; f(s)=u}. Princip inkuze a exkluze p.9/15

19 Princip inkluze a exkluze - příklady II Víme, že ( ) A(0) = V U ( 1) V w V A w. Princip inkuze a exkluze p.10/15

20 Princip inkluze a exkluze - příklady II Víme, že ( ) A(0) = V U ( 1) V w V A w. Zároveň w V A w = {f: S U; V f(s)= } = {f: S U; f(s) U V }. Princip inkuze a exkluze p.10/15

21 Princip inkluze a exkluze - příklady II Ale w V A w = {f: S U; f(s) U V } = {f: S U V } = U V S = U V n =(k V ) n. Princip inkuze a exkluze p.11/15

22 Princip inkluze a exkluze - příklady II Ale w V A w = {f: S U; f(s) U V } = {f: S U V } = U V S = U V n =(k V ) n. Po dosazení do( ) obdržíme ( ) A(0) = V U ( 1) V (k V ) n = ( ) k k j=0 ( 1)j (k j) n. j Princip inkuze a exkluze p.11/15

23 Princip inkluze a exkluze - příklady IV Příklad IE2. Řekneme, že číslo i {1,2,...,n} je pevný bod takto permutace σ: {1,2,...,n} {1,2,...,n}, platí-li, že σ(i)=i. Princip inkuze a exkluze p.12/15

24 Princip inkluze a exkluze - příklady IV Příklad IE2. Řekneme, že číslo i {1,2,...,n} je pevný bod takto permutace σ: {1,2,...,n} {1,2,...,n}, platí-li, že σ(i)=i. Určete, kolik existuje permutací množiny {1,2,...,n}, které nemají ani jeden pevný bod. Princip inkuze a exkluze p.12/15

25 Princip inkluze a exkluze - příklady IV Příklad IE2. Řekneme, že číslo i {1,2,...,n} je pevný bod takto permutace σ: {1,2,...,n} {1,2,...,n}, platí-li, že σ(i)=i. Určete, kolik existuje permutací množiny {1,2,...,n}, které nemají ani jeden pevný bod. Řešení. Jako základní množinu Q vezmeme množinu S n všech možných permutací σ: {1,2,...,n} {1,2,...,n}. Princip inkuze a exkluze p.12/15

26 Princip inkluze a exkluze - příklady IV Příklad IE2. Řekneme, že číslo i {1,2,...,n} je pevný bod takto permutace σ: {1,2,...,n} {1,2,...,n}, platí-li, že σ(i)=i. Určete, kolik existuje permutací množiny {1,2,...,n}, které nemají ani jeden pevný bod. Řešení. Jako základní množinu Q vezmeme množinu S n všech možných permutací σ: {1,2,...,n} {1,2,...,n}. Za indexovou množinu I vezmeme množinu {1,2,...,n}. Princip inkuze a exkluze p.12/15

27 Princip inkluze a exkluze - příklady V Pro každé i {1,2,...,n} položíme A i = {σ S n σ(i)=i}. Princip inkuze a exkluze p.13/15

28 Princip inkluze a exkluze - příklady V Pro každé i {1,2,...,n} položíme A i = {σ S n σ(i)=i}. Množinu A(0) tvoří právě ty permutace σ S n, které nemají žádný pevný bod. Princip inkuze a exkluze p.13/15

29 Princip inkluze a exkluze - příklady V Pro každé i {1,2,...,n} položíme A i = {σ S n σ(i)=i}. Množinu A(0) tvoří právě ty permutace σ S n, které nemají žádný pevný bod. Podle principu inkluze a exkluze máme ( ) A(0) = ( 1) K K {1,2,...,n} i K A i. Princip inkuze a exkluze p.13/15

30 Princip inkluze a exkluze - příklady V Množinu i K A i tvoří právě ty permutace σ S n, pro něž každé číslo z K je pevným bodem. Princip inkuze a exkluze p.14/15

31 Princip inkluze a exkluze - příklady V Množinu i K A i tvoří právě ty permutace σ S n, pro něž každé číslo z K je pevným bodem. Tj. permutace množiny {1,2,...,n} K. Princip inkuze a exkluze p.14/15

32 Princip inkluze a exkluze - příklady V Množinu i K A i tvoří právě ty permutace σ S n, pro něž každé číslo z K je pevným bodem. Tj. permutace množiny {1,2,...,n} K. Máme pak i K A i =(n K )!. Princip inkuze a exkluze p.14/15

33 Princip inkluze a exkluze - příklady V Množinu i K A i tvoří právě ty permutace σ S n, pro něž každé číslo z K je pevným bodem. Tj. permutace množiny {1,2,...,n} K. Máme pak i K A i =(n K )!. Dosazením do rovnosti ( ) dostáváme ( ) A(0) = K {1,2,...,n} ( 1) K (n K )!. Princip inkuze a exkluze p.14/15

34 Princip inkluze a exkluze - příklady V Jednotliví sčítanci v sumě ( ) závisí pouze na K. Princip inkuze a exkluze p.15/15

35 Princip inkluze a exkluze - příklady V Jednotliví sčítanci v sumě ( ) závisí pouze na K. Pro každé l {0,1,2,...,n} je počet těch sčítanců, v nichž K =l, roven ( n l). Princip inkuze a exkluze p.15/15

36 Princip inkluze a exkluze - příklady V Jednotliví sčítanci v sumě ( ) závisí pouze na K. Pro každé l {0,1,2,...,n} je počet těch sčítanců, v nichž K =l, roven ( n l). Je tedy ( ) A(0) = = n l=0 n l=0 ( 1) l ( 1) l n! l! ( ) n l (n l)! Princip inkuze a exkluze p.15/15

37 Princip inkluze a exkluze - příklady V Jednotliví sčítanci v sumě ( ) závisí pouze na K. Pro každé l {0,1,2,...,n} je počet těch sčítanců, v nichž K =l, roven ( n l). Je tedy ( ) A(0) = = n l=0 n l=0 ( 1) l ( ) n l (n l)! ( 1) l n! l! n! e. Princip inkuze a exkluze p.15/15

Podobné dokumenty

Lineární zobrazení. V prvním z následujících tvrzení navíc uvidíme, že odtud plynou a jsou tedy pak rovněž splněny podmínky:

Lineární zobrazení. V prvním z následujících tvrzení navíc uvidíme, že odtud plynou a jsou tedy pak rovněž splněny podmínky: Lineární zobrazení Nechť (V, +, ) a (W, +, ) jsou dva vektorové prostory nad týmž tělesem (T, +, ). Nechť f : V W je zobrazení splňující následující podmínky: ( u, v V)(f(u + v) = f(u) + f(v)), ( s T )(