Fyzikální praktikum FJFI ČVUT v Praze

Fyzikální praktikum FJFI ČVUT v Praze Úloha 3: Měření modulu pružnosti v tahu a modulu pružnosti ve smyku Datum měření: 6. 11. 015 Skupina: 8, čtvrtek 7:30 Vypracoval: Tadeáš Kmenta Klasifikace: 1 Zadání 1. DÚ: V domácí přípravě odvoďte vzorec pro plošný moment setrvačnosti obdélníkového průřezu šířky a a výšky b.. DÚ: V domácí přípravě odvoďte vzorec pro výpočet modulu pružnosti ve smyku G a moment setrvačnosti základního systému torzního kyvadla I 0. 3. Změřte závislost relativního délkového prodloužení l ocelového drátu na napětí při l postupném zatěžování a postupném odlehčování drátu a sestrojte graf této závislosti. Vypočítejte metodou nejmenších čtverců modul pružnosti v tahu ocelového drátu. 4. Změřte závislost průhybu z na velikosti síly F při postupném zatěžování i postupném odlehčování ocelového nosníku a narýsujte graf této závislosti. Metodou nejmenších čtverců vypočítejte modul pružnosti v tahu. 5. Změřte závislost úhlu zkroucení φ ocelového drátu na velikosti kroutícího momentu při postupném zvětšování a postupném zmenšování tohoto momentu. Výsledky měření vyneste do grafu. Metodou nejmenších čtverců vypočtěte modul pružnosti ve smyku drátu G. 6. Na torzním kyvadle změřte moment setrvačnosti základního systému I 0 a modul pružnosti ve smyku G ocelového drátu. Dobu torzních kmitů změřte postupnou metodou. Pomůcky Stojan s indikátorovými hodinkami a ocelovým drátem, zařízení na měření modulu pružnosti v tahu z průhybu nosníku, zařízení na měření modulu pružnosti ve smyku z torze drátu statickou a dynamickou metodou, mikrometr, mikrometrický šroub, pásové měřítko, sada závaží, stopky. 3 Teoretický úvod K popisu pružných vlastností homogenních izotropních těles při malých deformacích používáme výhradně tři materiálové konstanty: Youngův modul pružnosti v tahu E, Poissonovo číslo μ a modul pružnosti ve smyku G, mezi nimiž platí vztah 1

G = E (1 + μ). (1) Mějme například hranol o průřezu S. Upevníme-li jednu jeho stranu a na druhou budeme působit kolmou silou o velikosti F, bude pro malé deformace platit Hookův zákon daný vztahem σ = F S = E l l, () kde l počáteční délka, l prodloužení délky při tahu silou F a E Youngův modul pružnosti v tahu daný materiálovými vlastnostmi. Jestliže hranol natahujeme v jednom směru l, potom se v kolmém směru jeho rozměry a, b zkracují podle a a = b l = μ b l, (3) kde značí prodloužení respektive zkrácení rozměru vyvolané silou F a μ je Poissonovo číslo, které charakterizuje vlastnosti materiálu a nabývá hodnot 0, 1, kde hodnotu 1 materiály. nabývá pro nestlačitelné Obrázek 1: Deformace tělesa smykem [1]. Pokud upevníme spodní podstavu tělesa a budeme na horní podstavu působit silou o velikosti F, jak je znázorněno na obrázku 1, posuneme ji o malou délku δ. Původně pravý úhel se změní na úhel γ. Poté mezi smykovým napětím σ (vztah 1) a smykovou deformací charakterizovanou úhlem γ platí F S = G δ l, (4) kde G je materiálová konstanta modul pružnosti ve smyku. V případě malých posunutí δ, lze aproximovat tan γ = γ a vztah přechází do jednoduššího tvaru F S = Gγ. (5) Obrázek : Ohyb nosníku [1]. Obrázek 3: Průřez nosníkem [1]. Uvažujme nosník délky L a libovolného průřezu, který je zakřiven s poloměrem křivosti R do tvaru zobrazeného na obrázku. Materiál na vnitřní straně nosníku je stlačen, na vnější straně roztažen a uvnitř nosníku je neutrální plocha s původními rozměry, která prochází těžištěm. Deformace, stejně jako působící

síly, jsou úměrné vzdálenosti od neutrální plochy. Situace je znázorněna na obrázku 3, kdy máme krátký příčný průřez nosníku o délce l. Prodloužení nosníku o l je tedy úměrné y a pro deformaci platí vztah Pro napětí, tj. síly působící na jednotku plochy platí vztah l l = y R. (6) F S = E y R. (7) Budeme-li uvažovat síly působící na libovolný průřez, pak na něj působí síly namířené na jednu stranu nad neutrální plochou a na opačnou stranu pod neutrální plochou (viz. obr. 3), čímž dostáváme dvojici sil, které mají ohybový moment. Velikost momentu dvojice sil je rovna momentu jedné ze sil vzhledem k neutrálnímu vláknu. Moment sil M působící na jednom průřezu S uvažované části nosníku je dán vztahem M = ydf. S použitím rovnice 7 můžeme celkový moment přepsat do tvaru S (8) M = EI R, (9) kde I je moment setrvačnosti geometrického příčného průřezu vzhledem k vodorovné ose procházející jeho těžištěm dán vztahem I = y ds. Pro plošný moment setrvačnosti obdélníkového průřezu šířky a a výšky b lze psát vztah I = S y ds S b = ay dy b = ab3 1 Rovnice 9 udává vztah mezi ohybovým momentem M a křivostí nosníku R. Úpravami popsanými v [] ji můžeme použít k vypočítání průhybu nosníku o z vztahem z = FL3 48EI, (1) kde uvažujeme nosník délky L s momentem setrvačnosti I a modulem pružnosti E, na nějž působí síla velikosti F. (10) (11) Obrázek 4: Torze válce kruhového průřezu [1]. Na obrázku 4 je znázorněn válec kruhového průřezu o délce L a poloměru R, jehož horní podstava je upevněna a spodní je vůči ní stočena o úhel φ. Tato deformace se nazývá torze a pro celkový moment sil vyvolávajících torzi platí vztah odvozený v [1] M = G πr4 L φ = Kφ, (13) kde direkční moment K je jednak závislý na materiálové konstantě modulu pružnosti ve smyku G a jednak na rozměrech válce R a L. 3

Pro výpočet modulu pružnosti v tahu a modulu pružnosti ve smyku budeme používat metodu nejmenších čtverců, kdy pro lineární závislost danou rovnicí y = ax + b pro odhady koeficientů a, b platí následující vztahy [3] n n n a = n i=1 x iy i i=1 x i i=1 y i, (14) n n x n i ( x i b = 1 n ( i=1 n y i i=1 a Pro směrodatnou odchylku koeficientů a a b platí vztahy [3] σ a = σ b = n i=1 (y i Y i ) n i=1 ) n i=1 (y i Y i ) n n x i i=1 n i=1 ) n xi ( x i i=1 n n i=1 x i n n x n i ( x i i=1 ). (15), (16) i=1 ), (17) kde Y i je hodnota vypočtená z rovnice y = ax + b, pro vypočtené parametry pomocí vzorců 14 a 15. Pro měření třetího úkolu poté ze vztahu a následně 14 dostáváme kde x i značí hmotnosti m i a y i prodloužení l i. E = m 4gl l π(r) = 1 gl a πr, (18) Pro měření čtvrtého úkolu modulu pružnosti v tahu získáváme ze vztahu 11 a 1 a následně 14 rovnici E = m gl 3 z 4ab 3 = 1 gl 3 a 4ab 3, (19) kde první a, tedy v 1 a, značí koeficient přímky a kde x i značí hmotnosti m i a y i prohyb o z i. Průhyb nosníku při našem měření bude v záporných hodnotách, při uvažování absolutních hodnot znaménko minus ze vzorce vypadne. Pro měření pátého úkolu vyjádříme modul pružnosti ve smyku ze vzorce 13, kdy moment tíhy je dán vztahem M = (m 1 + m )ga, (0) kde a je poloměr desky kruhového žlábku, m 1 a m hmotnost závaží (viz. obr. 5), potom modul pružnosti ve smyku je roven s využitím vztahu 14 G = m 1 + m gal φ πr 4 = 1 gal a πr 4, (1) kde první a, tedy v 1 a, značí koeficient přímky a kde x i značí součet hmotnosti m i a y i stočí o úhel φ i, který se dosazuje v radiánech. Pro určení periody u šestého úkolu budeme používat postupné metody, jejíž princip je popsán v [4]. Mějme sudý počet měření k. Pro průměrnou periodu poté platí T = k i=1 (t k+i t i ) k, () kde t jsou naměřené časy v rovnovážné poloze. Chyba měření periody je potom dána vztahem σ T = 1 k k (T i=1 (t k+i t i )). (3) k(k 1) 4

4 Postup měření Pro všechna měření budeme potřebovat znát přesné hmotnosti závaží. Ty určíme na analytických vahách na jedno desetinné místo. 4.1 Měření modulu pružnosti v tahu E z prodloužení drátu Modul pružnosti v tahu E ocelového drátu budeme měřit přímou metodou. Drát je na jednom konci pevně uchycen. Nejprve drát vypneme kilovým závažím a změříme jeho délku l pásovým měřítkem a jeho průměr r mikrometrickým šroubem. Dále budeme měřit délkové prodloužení Δl v závislosti na napětí, kdy drát je napínán silou F realizovanou vahou závaží, která zavěšujeme na volný konec drátu na kilové závaží. Postupně zavěšujeme zvážená závažíčka o přibližné hmotnosti 100g a po každém zavěšení změříme prodloužení drátu Δl indikátorovými hodinkami. Celkem zavěsíme 10 závaží. Poté chvíli počkáme a závaží po jednom sundáváme a opět zapisujeme hodnoty prodloužení drátu Δl odečtených z indikátorových hodinek. 4. Měření modulu pružnosti v tahu E z průhybu nosníku Měření je realizované v podobě podepřené tyče na dvou vodorovných břitech, které jsou od sebe vzdálené o délku L, kterou změříme pásovým měřítkem. Šířku a a výšku b hranolové tyče změříme mikrometrickým šroubem. Tyč budeme uprostřed zatěžovat silou F vyvolanou tíhou závaží, které na tyč upevňujeme. Průhyb tyče z v místě působení síly odečítáme mikroskopem z okulárním mikrometrem, kdy průhyb o jeden dílek v okulárním mikrometru odpovídá průhybu o 0.053 mm. Postupně zavěšujeme závaží a po každém zavěšení odečteme v mikroskopu průhyb v podobě počtu dílků. Po zavěšení všech závaží chvilku počkáme a mikroskopem odečítáme průhyb v podobě počtu dílků při postupném sundávání závaží. 4.3 Měření modulu pružnosti ve smyku G torzí drátu statickou metodou Obrázek 5: Modul pružnosti ve smyku statickou metodou. Využito[1]. Na obrázku 5 je znázorněno zařízení pro měření modulu pružnosti statickou metodou. Nejprve změříme délka drátu L pásovým měřítkem a jeho průměr R mikrometrickým šroubem. Dále mikrometrem změříme průměr kruhové desky a, ve které jsou žlábky s navinutými vlákny s volnými konci, na které zavěšujeme závaží o přibližně stejných hmotnostech. Moment tíhy o směru osy drátu obou závaží, kde g značí gravitační konstantu, je potom dán vztahem 0. Na stupnici na desce odečítáme úhel stočení φ po každém přidání závaží na obě vlákna. Po zavěšení všech závaží chvilku počkáme a poté odečítáme úhly stočení φ při postupném sundávání závaží. Pro modul pružnosti ve smyku G pak platí vztah 1. 4.4 Měření modulu pružnosti ve smyku G torzí drátu dynamickou metodou 5

Obrázek 6: Modul pružnosti ve smyku dynamickou metodou. Využito [1]. Pro měření modulu pružnosti ve smyku dynamickou metodou budeme používat zařízení zobrazené na obrázku 6. Nejprve změříme délku drátu L pásovým měřítkem a jeho průměr R mikrometrickým šroubem. Mikrometrem změříme rozměry válcových závaží, které jsou našroubována na tyči, tedy jejich vnitřní, vnější průměr a výšku. Závaží našroubujeme do první vzdálenosti x 1 od úchytu drátu a zařízení o pár otáčkami stočíme, zmáčkneme stopky a pustíme. Celkem pro deset period zaznamenáme čas periody otáčení. Poté závaží dáme do druhé polohy x a měření obdobně provádíme. Nyní odvoďme potřebné vztahy pro výpočet modulu pružnosti ve smyku. Pro moment setrvačnosti dutého válce o poloměrech r 1, r, hmotnosti m a výšce v, vzhledem k ose rotace válce, která prochází hmotným středem válcem, platí vztah I v = ( m 4 ) (r 1 + r + v 3 ). (4) Drát je na jednom horním konci pevně uchycen a na jeho spodním konci je připevněna tyč o neznámém momentu setrvačnosti I 0. Jestliže na tyč našroubujeme válcová závaží o celkové setrvačnosti I v, ze Steinerovy věty dostáváme celkový moment setrvačnosti soustavy I = I 0 + I v + ma = I 0 + ( m 4 ) (r 1 + r + v 3 ) + m (x + v ). (5) Pro dobu kmitu torzního kyvadla platí vztah T = π I K, (6) kde I je celkový moment setrvačnosti (5) a K je direkční moment (13). Ze vztahu 13, 5 a 6 získáváme vztah pro modul pružnosti ve smyku G = 8πL T R 4 I. (7) Ze vztahů 5, 6 a 7 určíme zbylý moment setrvačnosti I 0 pomocí znalostí period T 1() pro různé vzdálenosti závaží od osy otáčení x 1(), kde I 1() = I v + ma 1(), potom 5 Naměřené hodnoty 6 I 0 + I 1 = I 0 + I I 0 = I 1T I T 1 T 1 T T 1 T. (8) Pro všechna měření budeme uvažovat g = 9.81ms. Hmotnosti mají chybu rovnu σ m = 0.05g. 5.1 Měření modulu pružnosti v tahu E z prodloužení drátu Průměr drátu r = (0. ± 0.005) mm. délka drátu l = (98.0 ± 0.05) cm. V tabulce číslo 1 jsou uvedeny hodnoty prodloužení l 1 při zavěšování závaží a l při sundávání závaží o hmotnostech m. Od naměřených hodnot byly odečteny konstanty 0.43 resp. 0.48 mm jakožto prodloužení ukazované při nulovém závaží tj. pouze při vypnutém drátě.

m [g] l 1 0.43 [mm] l 0.48 [mm] 100.4 0.10 0.15 01.4 0.3 0.6 30.3 0.36 0.43 403.3 0.49 0.5 503.9 0.6 0.71 604.9 0.76 0.85 705.9 0.91 0.99 806.8 1.04 1.1 908.1 1.18 1.4 1009.0 1.31 1.7 Tabulka 1: Prodloužení drátu Na obrázku 7 je znázorněna závislost prodloužení na velikosti hmotnosti závaží jak při zatěžování, tak při odlehčování. Obrázek 7: Závislost prodloužení na hmotnosti Z rovnice 18 potom dostáváme pro zatěžování modul pružnosti E = (188. 6 ±. 9) GPa a pro odlehčování E = (19. 0 ± 8. 6) GPa. Na obrázku 8 je znázorněna závislost relativního délkového prodloužení l postupném zatěžování a postupném odlehčování drátu. l ocelového drátu na napětí při 7

Obrázek 8: Závislost relativního délkového prodloužení na napětí 5. Měření modulu pružnosti v tahu E z průhybu nosníku Vzdálenost mezi břity L = (49.5 ± 0.05) cm. Šířka a = (4.96 ± 0.005) mm. Výška b = (10.46 ± 0.005) mm. V tabulce číslo jsou uvedena velikosti průhybů při zatěžování z 1 a při odlehčování z v závislosti na hmotnosti závaží. m [g] z 1 [mm] z [mm] 101 0.0530 0.0783 0 0.05060 0.05566 30.4 0.07337 0.08349 403.3 0.09867 0.10879 504.3 0.1144 0.1366 605.3 0.14674 0.1619 706. 0.17457 0.187 807.5 0.19987 0.15 908.1 0.770 0.378 Tabulka : Průhyby nosníku Na obrázku 9 je znázorněna závislost průhybu na velikosti hmotnosti závaží jak při zatěžování, tak při odlehčování. 8

Obrázek 9: Závislost průhybu na hmotnosti Z rovnice 19 s absolutní hodnotu potom dostáváme pro modul pružnosti v tahu pro zatěžování roven E = (10. 4 ± 3. 4) GPa a pro odlehčování je modul pružnosti v tahu roven E = (01. 9 ±. 6) GPa. Na obrázku 10 je znázorněna závislost průhybu z na síle F. Obrázek 10: Závislost průhybu na síle 9

5.3 Měření modulu pružnosti ve smyku G torzí drátu statickou metodou Průměr drátu R = (1.99 ± 0.005) mm. Délka drátu L = (66.0 ± 0.05) cm. Průměr kruhové desky se žlábkem a = (4.14 ± 0.005) cm. V tabulce číslo 3 jsou uvedeny hmotnosti na prvním vlákně m 1, hmotnosti na druhém vlákně m a k nim příslušné úhly stočení při zatěžování φ 1 a odlehčování φ. m 1 [g] m [g] φ 1 [ ] φ [ ] 100.9 101.3 11 16 01.9 0.3 1 3 30.3 303.3 33 45 403.3 403.9 44 51 504. 504.8 55 55 Tabulka 3: Úhly stočení Na obrázku 11 je znázorněna velikost úhlu stočení φ na celkové hmotnosti závaží m 1 + m. Obrázek 11: Závislost úhlu stočení na hmotnosti závaží Z rovnice 1 dostáváme pro modul pružnosti ve smyku při postupném zatěžování, tedy zvětšování kroutícího momentu, roven G = (90. 6 ± 3. 0) GPa a při postupném ubírání závaží, tedy snižování kroutícího momentu, je modul roven G = (103. 7 ± 0. 5) GPa. Na obrázku 1 je znázorněna závislost úhlu stočení φ na kroutícím momentu M. 10

Obrázek 1: Závislost úhlu stočení na kroutícím momentu 5.4 Měření modulu pružnosti ve smyku G torzí drátu dynamickou metodou Průměr drátu R = (0.49 ± 0.005) mm. Délka drátu L = (5.5 ± 0.05) cm. Vnitřní poloměr válcových závaží r 1 = (0.66 ± 0.005) cm. Vnější poloměr válcových závaží r = (5.00 ± 0.005) cm. Výška válcových závaží v = (0.80 ± 0.005) cm. Hmotnost válcových závaží m = (17.3 ± 0.05) g. První vzdálenost závaží od osy x 1 = (10.41 ± 0.005) cm. Druhá vzdálenost závaží od osy x = (4.80 ± 0.005) cm. V tabulce 4 jsou uvedeny naměřené časy, kdy bylo zařízení v rovnovážném stavu, tedy časy, v nichž zařízení udělalo periodu pro vzdálenosti x 1 resp. x. i t x1 [s] t x [s] 1 13.33 7.1 6.13 14.74 3 39.3 1.84 4 5.40 9.37 5 65.9 36.57 6 78. 43.80 7 91.5 50.97 8 103.90 58.60 9 116.98 65.77 10 130.8 7.98 11 14.97 80.30 1 155.67 87.75 Tabulka 4: Naměřené časy v periodách 11

Postupnou metodou získáme pomocí vzorce a 3 hodnoty period. Perioda v případě vzdáleností závaží x 1 je rovna T 1 = (1.954 ± 0.01)s. Perioda ve vzdálenosti x je T = (7.304 ± 0.009)s. Moment setrvačnosti válcového závaží je ze vztahu 4 roven I v = (816.3 ±.) g cm. Přídavné moment setrvačnost do Steinerovy věty ve vzorci 5 jsou tedy rovny I 1 = (31384. ± 57.4) g cm a I = (8517.0 ± 7.0) g cm. Potom moment setrvačnosti základního systému je ze vzorce 8 roven I 0 = (141. 4 ± 19. 8) g cm. Ze vztahu 8 je potom modul pružnosti ocelového drátu ve smyku roven G = (73. ± 4. 6) GPa. 6 Diskuse Při měření modulu pružnosti v tahu E z prodloužení drátu jsme při zatěžování i odlehčování dostali velice podobný výsledek E = (188.6 ±.9) GPa respektive E = (19.0 ± 8.6) GPa. Nepatrný rozdíl spolehlivě pokrývá chyba měření, která je u odlehčování větší hlavně kvůli poslední naměřené hodnotě, která, jak z obrázku 7 či 8 vyplývá, může být i chybně změřená. Tabulková hodnota [5] pro ocel činí E = 10 GPa, naše naměřené hodnoty se ji bohužel s chybou nepřibližují. Je to pravděpodobně dáno stářím drátu, který již je po letech měření povolnější. Při určování modulu pružnosti v tahu E z průhybu nosníku jsme vypočítali hodnotu při zatěžování rovnu E = (10.4 ± 3.4) GPa a při odlehčování rovnu E = (01.9 ±.6) GPa. Tento rozdíl nepokrývají chyby měření a je záhodno uvažovat, zda je metoda měření dobrá, tedy zda je vhodné před sundáváním závaží chvíli počkat, popřípadě by mohlo být lepší chvíli počkat po každém zavěšení resp. sundání závaží. Nicméně naše hodnota naměřené hodnota modulu pružnosti při zatěžování se shoduje s tabulkovou hodnotou oceli udávanou v [5], která činí E = 10 GPa. Měření modulu při zatěžování je tedy přesné. Při měření modulu pružnosti ve smyku G statickou metodou jsme dospěli k hodnotě G = (90.6 ± 3.0) GPa při zvětšování momentu respektive G = (103.7 ± 0.5) GPa při snižování momentu. Z velikosti chyby vidíme, že měření má větší vypovídající hodnotu při zatěžování, tedy zvyšování momentu. Tabulková hodnota [5] pro ocel je G = 80 GPa, kterou jsem bohužel, ani s přihlédnutím chyby, nenaměřili. Rozdíl je pravděpodobně způsoben mechanismem, který vytváří moment sil pravděpodobně menší, než je teoretická hodnota, kdy tíhová síla závažíček se nepřenáší celá do kroutícího momentu, ale i třeba do stlačování drážky. Při měření modulu pružnosti ve smyku G torzí drátu dynamickou metodou jsme nejprve pro určení potřebovali změřit moment setrvačnosti základního systému. Ten jsme stanovili na I 0 = (141.4 ± 19.8) g cm. Modul pružnosti ve smyku je poté roven G = (73. ± 4.6) GPa, což opět neodpovídá tabulkové hodnotě [5] pro ocel G = 80 GPa. Chybou je pravděpodobně způsobena nerovnovážným stavem soustavy, kdy se kyvadlo netočí v rovině kolem své osy, ale je vychýleno. Nápravou by mohlo být umístění závažíček do různých vzdáleností, tak, aby byla systém kolmo k drátu. Také je velmi pravděpodobné, že drát již je za roky užívání povolnější a moment pružnosti ve smyku se tedy zmenšil. 7 Závěr Měřením jsme ověřili tabulkovou hodnotu modulu pružnosti oceli jak v tahu, tak i ve smyku, která činí [5] E = 10 GPa respektive G = 80 GPa. Zjistili jsme, že přesnější je měření při postupném zatěžování popřípadě zvětšování momentu sil, než při postupném odlehčování či snižování momentu. 8 Reference [1] Návod Měření modulu pružnosti v tahu a modulu pružnosti ve smyku. Citace 3.11.015_http://praktikum.fjfi.cvut.cz/pluginfile.php/98/mod_resource/content/7/Pruzn ost-015-oct-01.pdf [] Brož a kol.: Základy fyzikálních měření I, SPN, Praha, 1983, str. 10 až 1 7 [3] Metoda nejmenších čtverců: http://ach.upol.cz/ucebnice/hodnoceni7.htm Citace 30.11.015 [4] Postupná metoda: http://www.kfy.zcu.cz/dokumenty/fp1/uc104 Postupna_metoda.pdf Citace 30.11.015. [5] Matematické, fyzikální a chemické tabulky & vzorce pro střední školy str. 13; nakl. Prometheus, 011, Dotisk 1. vydání 1