Experimentální dynamika (motivace, poslání, cíle) www.kme.zcu.cz/kmet/exm 1
Obsah prezentace 1. Motivace, poslání, cíle 2. Dynamické modely v mechanice 3. Vibrace přehled, proč a jak měřit 4. Frekvenční přenos, Bodeho diagramy, princip akcelerometru 5. Dynamický snímač - akcelerometr 6. Použité zdroje 2
Motivace, poslání, cíle Základním cílem měření v dynamice je získat informace o chování reálných objektů průběhy zrychlení, rychlostí, výchylek. Problémy spojené s izolací, omezováním a snižováním mechanických vibrací a hluku strojů se řeší zejména od doby, kdy se začaly používat k pohonu různé motory. Principy a metody potlačení vibrací se postupně staly nedílnou součástí procesu projektování, vývoje a konstrukce. Měření vibrací se stává nedílnou součástí strojních provozů diagnostika strojů, seizmicita, 3
Motivace, poslání, cíle Co jsou vibrace? Vibracemi rozumíme jednoduše kmitavý pohyb. Směr pohybu se mění dvakrát v každém cyklu. Pohyb, který se opakuje ve stejných časových intervalech, nazýváme periodické kmitání. Pokud je periodické kmitání reprezentováno jednoduchou sinusovou funkcí, mluvíme o jednoduchém harmonickém pohybu. Všechna tělesa charakterizovaná hmotností a elasticitou jsou způsobná kmitavého pohybu.
Motivace, poslání, cíle Existují stroje, u nichž jsou vibrace žádoucí: Ale ve většině aplikací jsou vibrace nežádoucí a je cílem je potlačit: 5
Vibrace přehled, proč a jak měřit Úroveň reálných vibrací 6
Vibrace přehled, proč a jak měřit Decibel je jednotka nejznámější svým použitím pro měření hladiny intenzity zvuku, ale ve skutečnosti se jedná o obecné měřítko podílu dvou hodnot, které se používá v mnoha oborech. Jedná se o fyzikálně bezrozměrnou míru, obdobně jako třeba procento, ovšem na rozdíl od něj je decibel logaritmická jednotka, jejíž definice souvisí s objevením Fechner- Weberova zákona, že totiž lidské tělo vnímá podněty logaritmicky jejich intenzitě (i velké změny velkých podnětů způsobují jen malé změny počitků). Míra vytvořená v roce 1923 inženýry Bellových laboratoří původně sloužila k udávání útlumu telefonního vedení. Například pokles (útlum) o 3 db u výkonu značí poloviční výkon, naopak zisk (zesílení) o 3 db je dvojnásobný výkon (pozor, pro jiné veličiny jako např. napěťový přenos toto nemusí platit). 7
Vibrace přehled, proč a jak měřit Toto vyjadřování reality se uplatnilo zejména v akustice: na pokusech s dobrovolníky a mrtvou komorou se zjistilo, že průměrný jedinec slyší nejvýrazněji kmitočty kolem 1 3 khz. Pro vytvoření etalonu se použil sinusový tón 1000 Hz. Ten se pouštěl velmi potichu v absolutně tichém, bezodrazovém prostředí jedincům s odpočatým sluchem. Zjistilo se, že průměrný jedinec jej začne vnímat, je-li v komoře hladina akustického tlaku p 0 = 2 10 5 Pa. Logaritmováním poměru zvukového tlaku a tohoto stanoveného nejslabšího slyšitelného zvuku vznikne relativní (bezrozměrné) číslo, jehož jednotka je označena jako bel. Běžně se ovšem pracuje s desetkrát podrobnější jednotkou decibel(odvozená pomocí předpony soustavy SI deci). Jednotka je pojmenována po skotském vynálezci telefonu A. G. Bellovi. Označíme-li hladinu akustického tlaku L p, pak: 8
Kmitání mechanických systémů Při studiu kmitání používáme termín systém. Systém je definován jako soubor komponent vystupujících jako celek. Kmitání systému může být ilustrováno pomocí blokového diagramu 9
Klasifikace předmětu kmitání Můžeme klasifikovat následující problémy kmitání vibrační analýza: známe vstup a charakteristiky systému, neznáme výstup návrh systému: známe vstup a požadovaný výstup, hledáme návrh konstrukce vyhodnocení vstupu: známe výstup a charakteristiku systému, chceme určit vstup (buzení) identifikace systému: známe vstup a výstup, hledáme charakteristiky systému 10
Klasifikace kmitání na základě vstupu volné kmitání: kmitání bez působení budicích sil, kmitání vyvolané počátečními podmínkami. Např. hmota na pružině, pokud je hmota vychýlena z rovnovážné polohy a puštěna, začne kmitat. vynucené kmitání: kmitání vlivem vnějšího buzení (např. zemětřesení, nevyváženost motoru) samobuzené kmitání: kmitání je buzeno v závislosti na pohybu samotném (např. nevyvážený rotující disk na poddajných ložiskách, hmota na pružině na pohybujícím se pásu) 11
Klasifikace kmitání na základě výstupu jednoduché harmonické kmitání: výstup je popsán sinovou nebo kosinovou funkcí periodické kmitání: periodický výstup (může obsahovat několik frekvencí současně) přechodové kmitání: výstup není periodický a doba trvání je relativně krátká (impuls nebo šok vyvolává přechodové kmitání). Díky přítomnosti tlumení je takové kmitání utlumeno po odeznění buzení. náhodné kmitání:výstup není deterministická funkce času. Odezvu lze studovat pouze využitím statistických nástrojů (př. Pohyb základu během zemětřesení, výška vln v moři, ) 12
Klasifikace kmitání podle počtu stupňů volnosti systémy s 1 stupněm volnosti: počet nezávislých souřadnic potřebných pro popis pohybu systému odpovídá počtu stupňů volnosti systémy s více stupni volnosti: pro popis odezvy (výstupu) je potřeba dva a více nezávislých souřadnic spojité systémy: nazývané nekonečně dimenzionální systémy, mají nekonečný počet stupňů volnosti, pohyb je popsán parciálními diferenciálními rovnicemi 13
Klasifikace kmitání podle pohybové rovnice nelineární systém: pohybové rovnice (diferenciální rovnice) obsahují nelineární členy, neplatí princip superpozice př. Rovnice matematického kyvadla Duffingova rovnice Mathieuova rovnice Van der Poolova rovnice lineární systém: pohyb je popsán lineární diferenciální rovnicí s konstantními koeficienty 14
Kmitání soustav s jedním stupněm volnosti - modelování modelování je proces, kdy si fyzikální systém představujeme ve zjednodušené formě při zachování základních charakteristik a při zanedbání méně důležitých vlastností cílem je získání matematického popisu zjednodušeného fyzikálního systému (A) elektrický motor na ocelovém nosníku (B) model vertikálního pohybu el. motoru (C) automobil (D) odpovídající model respektující pouze vypružení a odpruženou hmotu 15
Kmitání soustav s jedním stupněm volnosti netlumené volné kmitání Matematický model pohybová rovnice Statická deformace pružiny Po úpravě dostaneme pohybovou rovnici Podělením hmotností dostaneme kde je vlastní kruhová frekvence [rad/s] 16
Kmitání soustav s jedním stupněm volnosti tlumené volné kmitání Matematický model Statická deformace pružiny Statická rovnovážná poloha Po úpravě dostaneme pohybovou rovnici Zavedeme-li poměrný útlum Pohybová rovnice přejde to tvaru 17
Kmitání soustav s jedním stupněm volnosti tlumené volné kmitání Sestavme charakteristickou rovnici odpovídající pohybové rovnici Tato rovnice má dva kořeny Řešení rovnice lze zapsat jako diskuse řešení (A) podkritické tlumení Řešením charakteristické rovnice dostaneme pár komplexně sdružených čísel Kde je komplexní jednotka a vlastní kruhová frekvence tlumeného systému. 18
Kmitání soustav s jedním stupněm volnosti tlumené volné kmitání Sestavme charakteristickou rovnici odpovídající pohybové rovnici Tato rovnice má dva kořeny Řešení rovnice lze zapsat jako diskuse řešení (A) podkritické tlumení Řešením charakteristické rovnice dostaneme pár komplexně sdružených čísel Kde je komplexní jednotka a vlastní kruhová frekvence tlumeného systému. 19
výchylka Kmitání soustav s jedním stupněm volnosti (A) podkritické tlumení Obecné řešení lze zapsat ve tvaru kde B1 a B2 jsou koeficienty, které určíme na základě počátečních podmínek Periodu tlumeného pohybu určíme jako [Hz] Časový průběh odezvy tlumeného systému čas 20
výchylka Kmitání soustav s jedním stupněm volnosti (B) kritické tlumení Řešením charakteristické rovnice dostaneme dvojnásobný kořen Časový průběh výchylky má pak tvar Kde A, B jsou integrační konstanty. Časový průběh odezvy kriticky tlumeného systému 21 čas
výchylka Kmitání soustav s jedním stupněm volnosti (C) nadkritické tlumení Řešením charakteristické rovnice dostaneme dvojnásobný kořen Časový průběh výchylky má pak tvar Kde A, B jsou integrační konstanty. Řešení je aperiodické. Časový průběh odezvy nadkriticky tlumeného systému čas 22
Kmitání soustav s jedním stupněm volnosti harmonicky vynucené tlumené kmitání Matematický model Statická rovnovážná poloha Statická deformace pružiny Po úpravě dostaneme pohybovou rovnici Zavedeme-li poměrný útlum Pohybová rovnice přejde to tvaru kde 23
Kmitání soustav s jedním stupněm volnosti harmonicky vynucené tlumené kmitání Výsledné řešení nehomogenní diferenciální rovnice je dané součtem řešení homogenní rovnice a partikulárním řešení nehomogenní rovnice. Řešení homogenní rovnice fyzikálně odpovídá řešení volného kmitání tlumeného systému. Řešení nehomogenní rovnice pak odpovídá ustálenému řešení na dané periodické buzení. X je amplituda a je fázový posun výchylky vůči buzení. Amplitudu a fázový posun lze najít např. dosazením předpokládaného tvaru řešení x2 do pohybové rovnice a srovnáním členů sinových a kosinových složek. Pak dostaneme 24
výchylka Kmitání soustav s jedním stupněm volnosti harmonicky vynucené tlumené kmitání Výsledné řešení nehomogenní diferenciální rovnice je dané součtem řešení homogenní rovnice a partikulárním řešení nehomogenní rovnice. Dostáváme tedy čas 25
Fázový posun Kmitání soustav s jedním stupněm volnosti harmonicky vynucené tlumené kmitání Zavedeme-li naladění a statickou deformaci Lze vyjádřit amplitudu ustálené odezvy a fázový posun jako Můžeme dále definovat parametr zesílení 26 Poměrný útlum Poměrný útlum
Vibrace přehled, proč a jak měřit Vibrace jsou charakterizovány časovým průběhem veličiny statistickými parametry frekvenčním spektrem energií vibrací rovnovážnou polohou 27
Vibrace přehled, proč a jak měřit Vibrace jsou charakterizovány časovým průběhem veličiny statistickými parametry frekvenčním spektrem energií vibrací rovnovážnou polohou 28
Vibrace přehled, proč a jak měřit Časový průběh vibračního signálu a jeho charakteristiky o RMS (root mean square) efektivní hodnota, konstantní hodnota energie nahrazující časový průběh signálu o Average (průměr) průměrná velikost amplitudy o Crest Factor podíl amplitudy a efektivní hodnoty, měřítko destruktivních vlastností signálu 29
Vibrace přehled, proč a jak měřit Typy vibračních signálů 30
Vibrace přehled, proč a jak měřit Deterministické signály: Periodický signál časový průběh se opakuje s danou periodou (u rotačních strojů, vhodné pro frekvenční analýzu) Harmonický signál časový průběh lze popsat harmonickými funkcemi (periodický signál lze rozložit na dílčí harmonické signály) Přechodový signál odezva na časově omezené buzení 31
Vibrace přehled, proč a jak měřit Periodický signál RMS = 0,707Peak, Average = 2Peak/, Crest Factor = 1,414 32
Vibrace přehled, proč a jak měřit Harmonické signály Časový průběh signálu Frekvenční složky signálu 33
Vibrace přehled, proč a jak měřit Přechodové signály rázy, impulsy, otřesy Časový průběh signálu Frekvenční složky signálu 34
Vibrace přehled, proč a jak měřit Náhodné signály Stacionární signál konstantní statistické parametry (Average, RMS, Peak-Peak, směrodatná odchylka,..) o produkován třením, prouděním, akusticky, rázy z uvolnění o frekvenční analýza vede ke spojitému spektru Nestacionární signál nekonstantní statistické parametry o vyvolán časovými změnami v buzení, změnami zatížení, atd 35
Frekvenční přenos, Bodeho diagramy Frekvenční přenos Uvažujme ustálené řešení harmonicky buzeného systému popsaného pohybovou rovnicí 2 x 2 x x f ( ) n n kde f ( ) je buzení s frekvencí, které můžeme zapsat v i t komplexním tvaru jako f Fe i t Hledejme ustálené řešení v komplexním tvaru x Xe. Po dosazení do pohybové rovnice a zavedení naladění soustavy dostaneme vztah 2 mezi amplitudou buzení a odezvy ve tvaru (1 r 2i r) X F Frekvenční přenos pak definujeme následovně 1 G( r) 2 1 r 2i r v závislosti na parametru naladění soustavy 36
Frekvenční přenos, Bodeho diagramy Bodeho diagramy Bodeho diagram amplitudy (modulu) odezvy je uveden na obrázku níže. Pro r << 1 je G(r) přibližně 1, což znamená, že pomalé buzení vyvolává výchylky, které jsou téměř shodné s buzením a naopak vysokofrekvenční buzení vyvolá výchylky, které jsou řádově menší. Graf je uveden pro různé hodnoty poměrného útlumu. Čím vyšší útlum, tím menší zesílení signálu. 37
Dynamický snímač - akcelerometr uvažujme kinematicky buzenou soustavu (viz obrázek). Pohyb základu je dán funkcí y(t). Zaveďme relativní výchylku z(t) hmoty vůči rámu, v němž je upevněna. Pohybová rovnice v relativních souřadnicích má tvar Pro amplitudu a fázi relativní výchylky platí: Pro snímač funguje jako snímač výchylky. Pro 1 pak finguje jako akcelerometr. 38
Použité zdroje Výukové a školicí materiály firmy Bruel&Kjaer http://www.bksv.com/ 39