X31EO2 - Elektrické obvody 2. Kmitočtové charakteristiky

Transkript

1 X3EO - Elektrické obvody Kmitočtové charakteristiky Doc. Ing. Petr Pollák, CSc. Letní semestr 5/6!!! Volné šíření není povoleno!!! Fázory a spektra Fázor harmonického průběhu Û m = U m e jϕ ut) = U m sinωt + ϕ) Obsahuje pouze informaci o amplitudě a fázi dané kmitočtové složky Hodnota není závislá na úhlovém) kmitočtu Spektrum časového průběhu Ujω) = F {ut)} Obsahuje informaci o amplitudě a fázi pro více kmitočtových složek Periodické průběhy - diskrétní) spektrum vždy existuje Neperiodické průběhy - spektrum neexistuje pro všechny průběhy

2 Obvodové funkce Obvodová funkce ve frekvenční oblasti F jω) = Û = U jω) Û U jω) Poměr mezi dvěma fázory spektry) Nemá odpovídající časovou reprezentaci HUS) Je závislá na kmitočtu a obvodových parametrech) Obvodová funkce v operátorové oblasti F p) = U p) U p) Poměr mezi dvěma Laplaceovými obrazy Při nulových počátečních podmínkách lze zaměnit F p) a F jω) Příklad kmitočtového přenosu dvojitého RC článku Napěťový přenos naprázdno: Pjω) = 6 jω) ) jω + 6 jω) = F jω) komplexní funkce reálné proměnné, tj. úhlového kmitočtu ω)??? JAK REPREZENTOVAT či ODHADNOUT tuto závislost???

3 Zobrazení kmitočtové závislosti obvodových funkcí v komplexní rovině - hodograf reálná & imaginární část F jω) = RE{ F jω)} + j IM{ F jω)} modulová & fázová charakteristika F jω) = F jω) e jϕjω) logaritmická stupnice pro kmitočtovou osu modulová charakteristika v decibelech [db] F jω) db = log F jω) Bodeho charakteristiky logaritmická stupnice kmitočtu modulová charakteristika v db a fázová v radiánech možnost approximace pomocí asymptot!!! Hodograf - zobrazení v komplexní rovině Im { Pjω) }.4.3 ω [rad] Re { Pjω) }

4 Modulová a fázová charakteristika - lineární měřítko kmitočtu.8 Pj) ω [rad] x 4 angle [ Pjω) ] ω [rad] x 4 Modulová a fázová charakteristika - logaritmické měřítko kmitočtu.8 Pjω) ω [rad] angle [ Pjω) ] ω [rad]

5 Modulová charakteristika - lineární a db.8 Pjω) ω [rad] Pjω) db ω [rad] Asymptotické aproximace modulové charakteristiky 5 5 Pjω) db ω [rad]

6 Obvodová funkce v součinovém tvaru F jω) = K F jω) F jω) F 3 jω) = K F jω) F jω) F 3 jω) e jϕ jω)+ϕ jω) ϕ 3 jω)) Modulová charakteristika v db: F jω) db = log F jω) = log K + log F jω) + log F jω) log F 3 jω) Fázová charakteristika: ϕjω) = ϕ jω) + ϕ jω) ϕ 3 jω) Nulové body a póly obvodové funkce Racionální lomená přenosová funkce: F jω) = a + a jω + a jω) + + a n jω) n b + b jω + b jω) + + b m jω) m z k... nulové body kořeny čitatele) p l... póly kořeny jmenovatele) Rozklad racionální lomené funkce do součinového tvaru: F jω) = a n b m n jω z k ) k= m jω p l ) l=

7 Součinový tvar pro odhad kmitočtové charakteristiky F jω) = a + a jω + a jω) + + a n jω) n b + b jω + b jω) + + b m jω) m F jω) = a b n k= jω z k ) m ) pro z k, p l jωpl l= Tvar pro odhad kmitočtové charakteristiky pokrač.) F jω) = a + a jω + a jω) + + a n jω) n b + b jω + b jω) + + b m jω) m V případě výskytu nulových pólů a nulových bodů F jω) = n k= j ω ω ) q jω z k ) m ) = jωpl l= j ω ω ) q n k= jω m ) jωpl l= z k ) pro z k p l Obvodové funkce = polynomy s reálnými koeficienty = nuly a póly: nulové a reálné - výše uvedený tvar pouze reálné - předchozí slide dvojice komplexně združených reálný kvadratický trojčlen, bude zmíněno později)

8 Nulový nulový bod - z k = - ideální derivační člen F jω) = jω ω F jω) [db] Modulová charakteristika F jω) db = log jω ω ω ω ω [s ] F jω) db = log ω ω F jω ) db = log = F jω ) db = log = π ϕjω) [rad] Fázová charakteristika ϕjω) = π [rad]... ryze imaginární ω [s ] Nulový pól - p k = - ideální integrační člen F jω) = jω ω F jω) [db] Modulová charakteristika F jω) db = log jω ω F jω) db = log ω ω F jω ) db = F jω ) db = Fázová charakteristika ϕjω) = π [rad]... ryze imaginární π ω ω ω [s ] ϕjω) [rad] ω [s ]

9 Nulový pól a nulový nulový bod Nulový nulový bod F jω) = jω ω Nulový pól F jω) = jω ω = F jω) F jω) e jϕ jω) = F jω) e jϕ jω) F jω) [db] Modulová charakteristika: log F jω) = log log F jω), ω ω ω ω [s ] F jω) [db] log F jω) = log F jω) π ϕ jω) Fázová charakteristika: ϕjω) = ϕ jω) π ϕjω) ω [s ] Záporný reálný nulový bod - z k = ω F jω) = + jω ω Modulová charakteristika 3 ) ω ω ω [s ] ω F jω) db = log + ω F jω) [db] ω << ω : F jω). = F jω) db = log = db ω >> ω : F jω). = jω ω F jω) db = log ω ω ω = ω : F jω) = + j - bod zlomu modulové charakteristiky - maximální odchylka od asymptot - δ max = log = 3 db

10 Záporný reálný nulový bod - z k = ω F jω) = + jω ω Fázová charakteristika ϕjω) [rad] π π 4 ϕjω) = artan ω ω [s ].ω ω ω ω ω << ω : F jω). = ϕjω) = rad ω >> ω : F jω). = jω ω ϕjω) = π rad ω = ω : F jω ) = + j ϕjω ) = π 4 rad Vlastnosti asymptotické aproximace : - pro.ω < ω < ω změna o + π směrnice π 4 rad/dek ) - body zlomu fázové charakteristiky.ω a ω Záporný reálný pól - p k = ω F jω) = + jω ω F jω)... funkce pro reálný nulový bod F jω) = F jω) F jω) [db] ω ω ϕjω) [rad] ω [s ].ω ω ω ω [s ] F jω) db = F jω) db π ϕjω) = ϕ jω)

11 Kladná reálná nula, kladný reálný pól - z k p k = ω F jω) = jω ω F jω) = jω ω Jedná se kořeny v pravé komplexní polorovině!! F jω) = j ω = + j ω ) = F jω) = F jω) e ϕjω) ω ω POZN.: Póly přenosové funkce jsou rovny kořenům charakteristické rovnice obvodu. Stabilní konečnou) odezvu xt) = Ke λt dostaneme pouze pro záporné hodnoty λ. Pro stabilní obvody musí všechny póly ležet v levé polorovině. V pravé polorovině mohou být rozloženy pouze nulové body. Kladná reálná nula, kladný reálný pól - z k p k = ω F jω) = jω ω F jω) = jω ω F jω) [db] ϕjω) [rad] ω ω ω [s ] F jω) [db] ϕjω) [rad] ω ω ω [s ].ω ω ω ω [s ] π π.ω ω ω ω [s ]

12 Násobná konstanta F jω) = ±K Charakteristiky modulová i fázová) jsou konstantní nezávisí na kmitočtu v důsledku to znamená posun charakteristik ve směru osy y Modulová charakteristika - F jω) = log K K >... log K >... posun nahoru K <... log K <... posun dolů Fázová charakteristika - F jω) = ±K K >... ϕjω) =... fázová chka se nemění K <... ϕjω) = ±π... fázový posun o π n-násobný záporný nulový bod F jω) = + jω ) n ω ω << ω : F jω) =. ω >> ω : F jω) =. jω F jω) db = n log ω ω ω ) n ϕjω) = n π sklon modulové charakteristiky - ± n [db/dek] sklon fázové charakteristiky - ± n π 4 [rad/dek] výsledný fázový posuv - ± n π [rad]

13 n-násobný nulový bod / pól F jω) = jω ω ) F jω) = ) + jω ω F jω) [db] F jω) [db] 4 ω ω ω [s ] 4 ω ω ω [s ] ϕjω) [rad] ϕjω) [rad] π π ω [s ] π π.ω ω ω ω [s ] Dvojice komplexně združených pólů - p F jω) = + a jω ω + jω ω ) F jω) [db] ω ω ω [s ] Modulová charakteristika : ω << ω : F jω). = F jω) db = log = db ω >> ω : F jω) =. ) / j ωω F jω) db = 4 log ω ω 4 bod zlomu modulové charakteristiky ω = ω asymptoty stejné jako pro dvojnásobný reálný pól

14 Dvojice komplexně združených pólů - p Chyba asymptotické aproximace F jω) [db] F jω) = + a jω ω + jω ω ) ω ω ω [s ] ω = ω : F jω) = aj δ max = log a [db] 4 a = - dvojnás. kořen a < - dva kompl. k. a =.8,.5,.,. a > - dva reál. k. možný rozklad) Dvojice komplexně združených pólů - p Fázová charakteristika ϕjω) [rad].ω ω ω ω [s ] F jω) = + a jω ω + jω ω ) π Pro menší a je rychlejší přechod mezi úrovněmi a π.