Nauka o Kmitání Přednáška č. 4
|
|
- Radovan Valenta
- před 7 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 Nauka o Kmitání Přednáška č. 4 Odezva lineárního systému na obecnou periodickou budící funkci Ing. Antonín Skarolek, Ph.D. Katedra mechaniky, pružnosti a pevnosti Technická Univerzita v Liberci 213
2 Ustálená odezva LS na polyharmonické buzení Ustálená odezva LS na polyharmonické buzení Polyharmonické funkce Ustálená odezva LS Příklad 1 Fourierovy řady Příklad 2 - Odezva LS na pilovitý průběh síly Poznámky Amplitudo-frekvenční charakteristika
3 Ustálená odezva LS na polyharmonické buzení Polyharmonické funkce Polyharmonickou funkcí (trigonometrickým polynomem) budeme rozumět funkci, která je součtem nejvýše spočetného množství harmonických funkcí: f(t) = f 1 cos(ω 1 t + ϕ 1 ) + f 2 cos(ω 2 t + ϕ 2 ) + + f n cos(ω n t + ϕ n ). Zkráceně: f(t) = n f i cos(ω i t + ϕ i ). Úhlové rychlosti ω i a fáze ϕ i jednotlivých komponent mohou být libovolné. Poznámka: Pokud jsou všechny vzájemné poměry ωi ω j periodická. racionální, je f(t) Pokud výše uvedené neplatí, není f(t) periodická. (Kvaziperiodická fce)
4 Ustálená odezva LS na polyharmonické buzení Polyharmonické funkce Polyharmonickou funkci f(t) lze vyjádřit kromě fázového tvaru i ve tvaru goniometrickém f(t) = n f i cos(ω i t + ϕ i ) = n a i cos(ω i t) + b i sin(ω i t), případně v tvaru komplexním pomocí ryze imaginárních exponenciál (rotujících fázorů): f(t) = R n ĉ i e jωit = 1 2 n (ĉi e jωit + ĉ i e jωit). Imaginární jednotku značíme j = 1, symbol ĉ značí komplexně sdružené číslo k číslu ĉ.
5 Ustálená odezva LS na polyharmonické buzení Ustálená odezva LS Uvažujme lineární systém s jedním stupněm volnosti s výchylkou x(t), který je buzen polyharmonickou silou. Pohybová rovnice tohoto systému je n mẍ(t) + bẋ(t) + kx(t) = f i cos(ω i t + ϕ i ). Protože je uvedený systém lineární a platí tedy princip superpozice, hledáme partikulární řešení opět jako polyharmonickou funkci x(t) = n x i cos(ω i t + ϑ i ). Hledáme ustálenou odezvu x(t) jako součet odezev na dílčí harmonické členy obsažené ve funkci f(t)
6 Ustálená odezva LS na polyharmonické buzení Ustálená odezva LS Ustálenou odezvu LS na harmonické buzení už najít umíme. S výhodou využijeme komplexní tvar harmonické funkce a hledejme partikulární řešení jako součet již známých odezev na dílčí harmonické funkce: ˆx(t) = n ˆx i e jωit, kde jsou jednotlivé komplexní amplitudy ˆx i určeny takže ˆx i = G(jω i )ĉ i = ˆx(t) = n ĉ i mω 2 i + jωb + k, ĉ i e jωit mω 2 i + jω ib + k.
7 Ustálená odezva LS na polyharmonické buzení Příklad 1 Lineární jednohmotový systém s parametry m = 5 kg, k = 5 N m 1, b = 2 Ns m 1 je buzen polyharmonickou silou f(t) se třemi harmonickými složkami: f(t) = 1 cos(2t) + 5 cos(35t + π) + 8 cos(5t + π 3 ). [N] f 1 = 1, f 2 = 5, f 3 = 8. [N] ω 1 = 2, ω 2 = 35, ω 3 = 5. [rad s 1 ] ϕ 1 =, ϕ 2 = π, ϕ 3 = π 3. [rad]
8 Ustálená odezva LS na polyharmonické buzení Příklad 1 Připomenutí: A (cos(ωt + ϕ) + j sin(ωt + ϕ)) = Ae j(ωt+ϕ) = Ae jϕ e jωt = Âejωt. Naši komplexní budicí sílu zapišeme jako 3 3 ˆf(t) = ĉ i e jωit = f i e jϕi e jωit. ˆf(t) = f 1 e jϕ1 e jω1t + f 2 e jϕ2 e jω2t + f 3 e jϕ3 e jω3t. ˆf(t) = ĉ 1 e jω1t + ĉ 2 e jω2t + ĉ 3 e jω3t, Po dosazení ĉ 1 = f 1 e jϕ1 = f 1 = 1, ĉ 2 = f 2 e jϕ2 = 5 e jπ = 5, ĉ 3 = f 3 e jϕ3 = 8 e j π 3 = 4(1 + 3 j).
9 Ustálená odezva LS na polyharmonické buzení Příklad 1 Komplexní výchylka ˆx(t) je součtem odezev na jednotlivé harmonické funkce ˆx(t) = ˆx(t) = ˆx(t) = n ĉ 1 e jω1t mω jω 1b + k + n G(jω i ) ĉ i e jωit, ĉ i e jωit mω 2 i + jω ib + k, ĉ 2 e jω2t mω jω 2b + k + ˆx(t) = ˆx 1 e jω1t + ˆx 2 e jω2t + ˆx 3 e jω3t ĉ 3 e jω3t mω jω 3b + k. Dále bychom pokračovali dosazením parametrů, usměrněním zlomků a převedením zpět do goniometrického či fázového tvaru. Tuto práci je ovšem v praktických případech lépe přenechat stroji. Reálná část ˆx(t) je hledané řešení x(t).
10 Ustálená odezva LS na polyharmonické buzení Příklad 1 Přibližný výsledek je x(t). =.33 cos(2t.13)+.38 cos(35t+.56)+.11 cos(5t 1.96).
11 Ustálená odezva LS na polyharmonické buzení Polyharmonické funkce Ustálená odezva LS Příklad 1 Fourierovy řady Příklad 2 - Odezva LS na pilovitý průběh síly Poznámky Amplitudo-frekvenční charakteristika
12 Fourierovy řady Pokud na systém působí obecná periodická síla f(t) s periodou T, platí f(t) = f(t + T ) = f(t + kt ), k =, 1, 1, 2, 2,, n, n. Předpokládejme nejprve, že tuto funkci lze nahradit součtem nekonečné řady harmonických funkcí a vyberme si jejich komplexní exponenciální tvar. f(t) = k= ĉ k e jkω1t. ω 1 je základní úhlová frekvence určená ω 1 = 2π T. Hledáme tedy kombinaci harmonických funkcí s periodami T k. ( A tím periodické i s periodou T ). Podaří-li se nám najít koeficienty ĉ k tak, aby výše uvedená rovnice platila, budeme moci zacházet s obecnou periodickou funkcí jako s funkcí polyharmonickou.
13 Fourierovy řady Potřebné koeficienty lze nalézt následujícím postupem. Vynásobme rovnici jednou harmonickou funkcí (s periodou T m ) a integrujme přes celou periodu T ( T ) f(t)e jmω1t dt = ĉ k e jkω1t e jmω1t dt. k= Snadnou úpravou (integrál součtu = součet integrálů) T f(t)e jmω1t dt = T ĉ k e j(k+m)ω1t dt. k= Nyní se podívejme na dva možné případy: k = m : k m : T T e j(k+m)ω1t dt = T 1dt = T, [ e e j(k+m)ω1t j(k+m)ω 1t dt = j(k + m)ω 1 ] T =.
14 Fourierovy řady Z původního nekonečného součtu nám tak zbyde pouze jedinný člen T f(t)e jmω1t dt = k= T ĉ k e j(k+m)ω1t dt = T ĉ m. A to je rovnice pro hledaný ( m-tý) koeficient Fourierovy řady. m jsme si ovšem volili libovolně, takže pomocí výše uvedené rovnice můžeme spočíst koeficienty všechny: ĉ k = 1 T T f(t)e jkω1t dt. Z matematického hlediska by bylo potřeba vyjasnit, pro jaké třídy funkcí je uvedený postup korektní a proveditelný. Nebude se tímto do hloubky zabývat, jen si řekneme, že pro všechny reálné praktické případy funkce f(t) uvedenou řadu lze takto setrojit. Dokonce má tato řada příjemnou vlastnost v tom, že většinou stačí několik málo jejích členů k věrné aproximaci f(t).
15 Fourierovy řady Pozn: Fourierova řada je velmi obecný nástroj, který nemusí být omezen na součet harmonických funkcí. Pro naše účely si ovšem s harmonickými funkcemi zcela vystačíme. Trigonometrickou Fourierovu řadu je možné vyjádřit i v goniometrickém tvaru f(t) = a 2 + a k cos(kω 1 t) + b k sin(kω 1 t) s koeficienty k=1 a k = 2 T b k = 2 T T T k=1 f(t) cos(kω 1 t)dt f(t) sin(kω 1 t)dt
16 Fourierovy řady Nebo ve tvaru fázovém s parametry f(t) = c 2 + c k cos(kω k t + ϕ k ), c k = k=1 a 2 k + b2 k, ϕ k = arctg b k a k.
17 Příklad 2 - Odezva LS na pilovitý průběh síly Použijme lineární jednohmotový systém z předchozího příkladu s parametry m = 5 kg, k = 5 N m 1, b = 2 Ns m 1. Na tento systém působí periodická proměnná síla pilovitého průběhu s periodou T a amplitudou F definovaná v jedné periodě jako f(t) = F ( t T ) pro t, T ). Pro F = 1N a T = 1s je průběh funkce f(t):
18 Příklad 2 - Odezva LS na pilovitý průběh síly Spočtěme si koeficienty Fourierovy řady podle předpisu ĉ k = 1 T T f(t)e jkω1t dt = 1 T T F t T 2πkt e j T dt. integrál na pravé straně lze vypočíst analyticky Funkci f(t) tedy nahradíme ĉ = F 2, ĉ k = jf, pro k. 2kπ f(t) = f(t) = F 2 + k= 1 k= ĉ k e jkω1t. jf 2πkt ej T + 2kπ k=1 jf 2πkt ej T. 2kπ
19 Příklad 2 - Odezva LS na pilovitý průběh síly Další jednoduchou úpravou bychom se dostali k f(t) = F 2 + k=1 2πkt j F e T e j 2πkt T kπ 2j = F 2 + k=1 F kπ sin 2πkt T. Tento výsledek samozřejmě odpovídá tomu, co bychom obdrželi při použití Fourierovy řady v goniometrickém tvaru. Náš pilovitý průběh síly je tedy složen z konstanty (nultá harmonická složka) a nekonečného počtu harmonických složek s frekvencemi celých násobků základní frekvence určené periodou původní funkce. Všimněte si, že koeficienty jednotlivých harmonických postupně klesají s tím, jak roste jejich frekvence. To nám dovoluje uvažovat pouze N prvních členů řady pro přijatelnou aproximaci téměř libovolné periodické funkce.
20 Příklad 2 - Odezva LS na pilovitý průběh síly Náhrada funkce f(t) prvními harmonickými členy Fourierovy řady do řádu N včetně
21 Příklad 2 - Odezva LS na pilovitý průběh síly Několik prvních členů řady
22 Příklad 2 - Odezva LS na pilovitý průběh síly Ustálené vynucené kmitání našeho LS sestavíme v souladu s úvodem dnešní přednášky jako ustálenou odezvu na polyharmonické buzení. x(t) = x(t) = i= i= G(jω i ) ĉ i e jωit. ĉ i e jωit mω 2 i + jω ib + k, ω i = 2πi T. Zde se nenechte příliš zmást zápornými úhlovými rychlostmi. Jedná se o dvojice komplexně sdružených fázorů rotujících v opačném smyslu. (Pro reálné budící funkce nám vyjdou koeficienty ĉ k a ĉ k nutně komplexně sdružené, což má za následek, že celá řada zůstane na reálné ose.)
23 Příklad 2 - Odezva LS na pilovitý průběh síly Po dosazení za koeficienty ĉ i x(t) = F 2k + ( F 2πi Usměrněním a vytýkáním dostaneme je jωit mω 2 i + jω ib + k je jωit ) mωi 2 jω. ib + k x(t) = F 2k + F e (bω jωit + e jωit πi ((k mω 2 i )2 + ωi 2 i b2 ) 2 (k mωi 2 ) ejωit e jωit ). 2j
24 Příklad 2 - Odezva LS na pilovitý průběh síly Výsledně je odezva systému na buzení pilovitou funkcí x(t) = F 2k + F π bω i cos(ω i t) + (mωi 2 k) sin(ω it) i ((k mωi 2)2 + ωi 2, ω i = iω 1 = 2iπ b2 ) T. Zvolme si třeba F = 1 N a T = 1.12 s. Ustálenou odezvu systému je opět možno aproximovat několika prvními členy řady.
25 Poznámky Nejprve rozložíme vstupní periodickou funkci na součet harmonických funkcí Spočteme odezvy systému na tyto dílčí složky a dílčí odezvy sečteme Pokud není systém lineární, neplatí princip superpozice a nemůžeme tento postup aplikovat Koeficienty Fourierových řad mnoha funkcí je možno najít v tabulkách v literatuře Koeficienty Fourierových řad je možno počítat numericky Na únavnou práci používejte stroje
26 Amplitudo-frekvenční charakteristika Amplitudo-frekvenční charakteristiku slabě tlumeného LS s jedním stupněm volnosti a harmonickým buzením obsahuje jedinou rezonanci, pokud ω = Ω (1 ζ 2 ). Pokud ovšem budíme takový systém obecnou periodickou funkcí, může se do shody s vlastní frekvencí systému dostat jakákoliv harmonická složka, kterou vstupní funkce obsahuje. Podívejme se ještě jednou na odezvu systému na obecnou periodickou funkci x(t) = i= ĉ i e jωit mω 2 i + jω ib + k, ω i = iω 1 = 2πi T. Rezonance jednotlivých harmonických složek je možné očekávat pro maxima (v absolutní hodnotě) dílčích přenosových funkcí G(jω i ) = 1 mω 2 i + jω ib + k, která nastanou pro minimuma absolutních hodnot jmenovatelů.
27 Amplitudo-frekvenční charakteristika Hledáme extrém klasickým způsobem d dω i ( (k mω 2 i ) 2 + ω 2 i b 2) =, ω i ( b 2 km + m 2 ω 2 i ) =, ω i = k m b2 m 2 = Ω 1 ζ 2, ω 1 = Ω i 1 ζ2. Rezonance tedy může nastat, pokud se frekvence základní harmonické složky, určená periodou budící funkce ω 1 = 2π T přiblíží k 1/i-násobku vlastní frekvence, což odpovídá přiblížení i-té harmonické složky k vlastní frekvenci systému.
28 Amplitudo-frekvenční charakteristika Amplitudy jednotlivých harmonických složek ĉ i ĉ i X i (ω 1 ) = G(ω i )ĉ i + G(ω i )ĉ i = 2 (k mωi 2)2 + ωi 2b2 ĉ i ĉ i X i (ω 1 ) = 2 (k mi 2 ω1 2)2 + i 2 ω1 2. b2 Použijme opět předešlý příklad LS buzeného pilovým průběhem síly a dosaďme koeficienty ĉ i. X (ω 1 ) = F 2k, F X i (ω 1 ) = πi, i. (k mi 2 ω1 2)2 + i 2 ω1 2 b2
29 Amplitudo-frekvenční charakteristika Amplitudové charakteristika, výskyt rezonancí vyšších harmonických složek, Campbellův diagram.
Funkce komplexní proměnné a integrální transformace
Funkce komplexní proměnné a integrální transformace Fourierovy řady I. Marek Lampart Text byl vytvořen v rámci realizace projektu Matematika pro inženýry 21. století (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/07.0332), na
VíceX31EO2 - Elektrické obvody 2. Kmitočtové charakteristiky
X3EO - Elektrické obvody Kmitočtové charakteristiky Doc. Ing. Petr Pollák, CSc. Letní semestr 5/6!!! Volné šíření není povoleno!!! Fázory a spektra Fázor harmonického průběhu Û m = U m e jϕ ut) = U m sinωt
VíceSIGNÁLY A SOUSTAVY, SIGNÁLY A SYSTÉMY
SIGNÁLY A SOUSTAVY, SIGNÁLY A SYSTÉMY TEMATICKÉ OKRUHY Signály se spojitým časem Základní signály se spojitým časem (základní spojité signály) Jednotkový skok σ (t), jednotkový impuls (Diracův impuls)
VíceI. část - úvod. Iva Petríková
Kmitání mechanických soustav I. část - úvod Iva Petríková Katedra mechaniky, pružnosti a pevnosti Osah Úvod, základní pojmy Počet stupňů volnosti Příklady kmitavého pohyu Periodický pohy Harmonický pohy,
VíceKapitola 7: Neurčitý integrál. 1/14
Kapitola 7: Neurčitý integrál. 1/14 Neurčitý integrál 2/14 Definice: Necht f je funkce definovaná na intervalu I. Funkci F definovanou na intervalu I, pro kterou platí F (x) = f (x) x I nazýváme primitivní
VíceKapitola 7: Integrál. 1/17
Kapitola 7: Integrál. 1/17 Neurčitý integrál - Motivační příklad 2/17 Příklad: Necht se bod pohybuje po přímce rychlostí a) v(t) = 3 [m/s] (rovnoměrný přímočarý pohyb), b) v(t) = 2t [m/s] (rovnoměrně zrychlený
Více1 Modelování systémů 2. řádu
OBSAH Obsah 1 Modelování systémů 2. řádu 1 2 Řešení diferenciální rovnice 3 3 Ukázka řešení č. 1 9 4 Ukázka řešení č. 2 11 5 Ukázka řešení č. 3 12 6 Ukázka řešení č. 4 14 7 Ukázka řešení č. 5 16 8 Ukázka
VíceNecht na hmotný bod působí pouze pružinová síla F 1 = ky, k > 0. Podle druhého Newtonova zákona je pohyb bodu popsán diferenciální rovnicí
Počáteční problémy pro ODR2 1 Lineární oscilátor. Počáteční problémy pro ODR2 Uvažujme hmotný bod o hmotnosti m, na který působí síly F 1, F 2, F 3. Síla F 1 je přitom úměrná výchylce y z rovnovážné polohy
VícePřechodné děje 2. řádu v časové oblasti
Přechodné děje 2. řádu v časové oblasti EO2 Přednáška 8 Pavel Máša - Přechodné děje 2. řádu ÚVODEM Na předchozích přednáškách jsme se seznámili s obecným postupem řešení přechodných dějů, jmenovitě pak
VíceObsah. Kmitavý pohyb. 2 Kinematika kmitavého pohybu 2. 4 Dynamika kmitavého pohybu 7. 5 Přeměny energie v mechanickém oscilátoru 9
Obsah 1 Kmitavý pohyb 1 Kinematika kmitavého pohybu 3 Skládání kmitů 6 4 Dynamika kmitavého pohybu 7 5 Přeměny energie v mechanickém oscilátoru 9 6 Nucené kmity. Rezonance 10 1 Kmitavý pohyb Typy pohybů
VíceKTE/TEVS - Rychlá Fourierova transformace. Pavel Karban. Katedra teoretické elektrotechniky Fakulta elektrotechnická Západočeská univerzita v Plzni
KTE/TEVS - Rychlá Fourierova transformace Pavel Karban Katedra teoretické elektrotechniky Fakulta elektrotechnická Západočeská univerzita v Plzni 10.11.011 Outline 1 Motivace FT Fourierova transformace
Více(test version, not revised) 9. prosince 2009
Mechanické kmitání (test version, not revised) Petr Pošta pposta@karlin.mff.cuni.cz 9. prosince 2009 Obsah Kmitavý pohyb Kinematika kmitavého pohybu Skládání kmitů Dynamika kmitavého pohybu Přeměny energie
VíceKomplexní analýza. Fourierovy řady. Martin Bohata. Katedra matematiky FEL ČVUT v Praze
Komplexní analýza Fourierovy řady Martin Bohata Katedra matematiky FEL ČVU v Praze bohata@math.feld.cvut.cz Martin Bohata Komplexní analýza Fourierovy řady 1 / 20 Úvod Často se setkáváme s periodickými
VíceKMS cvičení 5. Ondřej Marek
KMS cvičení 5 Ondřej Marek Ondřej Marek KMS 5 KINEMAICKÉ BUZENÍ ABSOLUNÍ SOUŘADNICE Pohybová rovnice: mx + b x x + k x x = mx + bx + kx = bx + kx Partikulární řešení: x = X e iωt x = iωx e iωt k m b x(t)
VíceElektromechanický oscilátor
- 1 - Elektromechanický oscilátor Ing. Ladislav Kopecký, 2002 V tomto článku si ukážeme jeden ze způsobů, jak využít silové účinky cívky s feromagnetickým jádrem v rezonanci. I člověk, který neoplývá technickou
VíceKomplexní analýza. Laplaceova transformace. Martin Bohata. Katedra matematiky FEL ČVUT v Praze
Komplexní analýza Laplaceova transformace Martin Bohata Katedra matematiky FEL ČVUT v Praze bohata@math.feld.cvut.cz Martin Bohata Komplexní analýza Laplaceova transformace 1 / 18 Definice Definice Laplaceovou
Více9.7. Vybrané aplikace
Cíle V rámci témat zaměřených na lineární diferenciální rovnice a soustavy druhého řádu (kapitoly 9.1 až 9.6) jsme dosud neuváděli žádné aplikace. Je jim společně věnována tato závěrečné kapitola, v níž
VíceSIGNÁLY A LINEÁRNÍ SYSTÉMY
SIGNÁLY A LINEÁRNÍ SYSTÉMY prof. Ing. Jiří Holčík, CSc. holcik@iba.muni.cz, Kamenice 3, 4. patro, dv.č.424 INVESTICE Institut DO biostatistiky ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ a analýz IV. FREKVENČNÍ TRASFORMACE SPOJITÉ
VíceBakalářská matematika I
1. Funkce Diferenciální počet Mgr. Jaroslav Drobek, Ph. D. Katedra matematiky a deskriptivní geometrie Bakalářská matematika I Některé užitečné pojmy Kartézský součin podrobnosti Definice 1.1 Nechť A,
VíceHarmonický průběh napětí a proudu v obvodu
Harmonický průběh napětí a proudu v obvodu Ing. Martin Černík, Ph.D. Projekt ESF CZ.1.07/2.2.00/28.0050 Modernizace didaktických metod a inovace. Veličiny elektrických obvodů napětí u(t) okamžitá hodnota,
VíceInverzní Laplaceova transformace
Inverzní Laplaceova transformace Modelování systémů a procesů (MSP) Bohumil Kovář, Jan Přikryl, Miroslav Vlček Ústav aplikované matematiky ČVUT v Praze, Fakulta dopravní 6. přednáška MSP čtvrtek 30. března
Víceω=2π/t, ω=2πf (rad/s) y=y m sin ωt okamžitá výchylka vliv má počáteční fáze ϕ 0
Kmity základní popis kmitání je periodický pohyb, při kterém těleso pravidelně prochází rovnovážnou polohou mechanický oscilátor zařízení vykonávající kmity Základní veličiny Perioda T [s], frekvence f=1/t
VíceLineární a adaptivní zpracování dat. 2. SYSTÉMY a jejich popis v časové doméně a frekvenční doméně
Lineární a adaptivní zpracování dat 2. SYSTÉMY a jejich popis v časové doméně a frekvenční doméně Daniel Schwarz Investice do rozvoje vzdělávání Osnova Opakování: signály a systémy Vlastnosti systémů Systémy
VícePrůhyb ocelového nosníku. Nezatížený a rovnoměrně zatížený nosník
EVROPSKÝ SOCIÁLNÍ FOND Průhyb ocelového nosníku. Nezatížený a rovnoměrně zatížený nosník PRAHA & EU INVESTUJEME DO VAŠÍ BUDOUCNOSTI České vysoké učení technické v Praze, Fakulta stavební, Katedra matematiky
Více9. cvičení z Matematické analýzy 2
9. cvičení z Matematické analýzy 7. listopadu -. prosince 7 9. Určete Fourierovu řadu periodického rozšíření funkce ft = t na, a její součet. Definice: Necht f je -periodická funkce, která je integrabilní
VíceNejprve si připomeňme z geometrie pojem orientovaného úhlu a jeho velikosti.
U. 4. Goniometrie Nejprve si připomeňme z geometrie pojem orientovaného úhlu a jeho velikosti. 4.. Orientovaný úhel a jeho velikost. Orientovaným úhlem v rovině rozumíme uspořádanou dvojici polopřímek
VíceObsah. Aplikovaná matematika I. Gottfried Wilhelm Leibniz. Základní vlastnosti a vzorce
Neurčitý integrál Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah Primitivní funkce, neurčitý integrál Základní vlastnosti a vzorce Základní integrační metody Úpravy integrandu Integrace racionálních
VíceDrsná matematika III 6. přednáška Obyčejné diferenciální rovnice vyšších řádů, Eulerovo přibližné řešení a poznámky o odhadech chyb
Drsná matematika III 6. přednáška Obyčejné diferenciální rovnice vyšších řádů, Eulerovo přibližné řešení a poznámky o odhadech chyb Jan Slovák Masarykova univerzita Fakulta informatiky 23. 10. 2006 Obsah
Více18 Fourierovy řady Úvod, základní pojmy
M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika III kap. 18: Fourierovy řady 7 18 Fourierovy řady 18.1 Úvod, základní pojmy Otázka J. Fouriera: Lze každou periodickou funkci napsat jako součet nějakých "elementárních"
VíceLineární a adaptivní zpracování dat. 3. SYSTÉMY a jejich popis ve frekvenční oblasti
Lineární a adaptivní zpracování dat 3. SYSTÉMY a jejich popis ve frekvenční oblasti Daniel Schwarz Osnova Opakování: systémy a jejich popis v časové oblasti Fourierovy řady Frekvenční charakteristika systémů
Více1.7.4. Skládání kmitů
.7.4. Skládání kmitů. Umět vysvětlit pojem superpozice.. Umět rozdělit různé typy skládání kmitů podle směru a frekvence. 3. Umět určit amplitudu a fázi výsledného kmitu. 4. Vysvětlit pojem fázor. 5. Znát
VícePříloha č. 1. amplitudová charakteristika filtru fázová charakteristika filtru / frekvence / Hz. 1. Určení proudové hustoty
Příloha č. 1 Při hodnocení expozice nízkofrekvenčnímu elektromagnetickému poli (0 Hz 10 MHz) je určující veličinou modifikovaná proudová hustota J mod indukovaná v tělesné tkáni. Jak je uvedeno v nařízení
VíceTlumené a vynucené kmity
Tlumené a vynucené kmity Katedra fyziky FEL ČVUT Evropský sociální fond Praha & U: Е Investujeme do vaší budoucnosti Problémová úloha 1: Laplaceova transformace Pomocí Laplaceovy transformace vlastností
VíceTéma: Dynamiky - Základní vztahy kmitání
Počítačová podpora statických výpočtů Téma: Dynamiky - Základní vztahy kmitání 1) Vlastnosti materiálů při dynamickém namáháni ) Základní vztahy teorie kmitání s jedním stupněm volnosti Katedra konstrukcí
VíceKMS cvičení 6. Ondřej Marek
KMS cvičení 6 Ondřej Marek NETLUMENÝ ODDAJNÝ SYSTÉM S DOF analytické řešení k k Systém se stupni volnosti popisují pohybové rovnice: x m m x m x + k + k x k x = m x k x + k x = k x m x k x x m k x x m
VíceRezonanční obvod jako zdroj volné energie
1 Rezonanční obvod jako zdroj volné energie Ing. Ladislav Kopecký, 2002 Úvod Dlouho mi vrtalo hlavou, proč Tesla pro svůj vynález přístroje pro bezdrátový přenos energie použil název zesilující vysílač
VíceLineární a adpativní zpracování dat. 3. Lineární filtrace I: Z-transformace, stabilita
Lineární a adpativní zpracování dat 3. Lineární filtrace I: Z-transformace, stabilita Daniel Schwarz Investice do rozvoje vzdělávání Osnova Opakování: signály, systémy, jejich vlastnosti a popis v časové
VíceÚPGM FIT VUT Brno, periodické a harmonické posloupnosti. konvoluce Fourierova transformace s diskrétním časem
Diskrétní signály a jejich frekvenční analýza. Jan Černocký ÚPGM FIT VUT Brno, cernocky@fit.vutbr.cz opakování základy o diskrétních signálech. periodické a harmonické posloupnosti operace s diskrétními
Vícesin(x) x lim. pomocí mocninné řady pro funkci sin(x) se středem x 0 = 0. Víme, že ( ) k=0 e x2 dx.
Použití mocniných řad Nejprve si ukážeme dvě jednoduchá použití Taylorových řad. Příklad Spočtěte následující limitu: ( ) sin(x) lim. x x ( ) Najdeme lim sin(x) x x pomocí mocninné řady pro funkci sin(x)
VíceRezonanční jevy na LC oscilátoru a závaží na pružině
Rezonanční jevy na LC oscilátoru a závaží na pružině M. Stejskal, K. Záhorová*, J. Řehák** Gymnázium Emila Holuba, Gymnázium J.K.Tyla*, SPŠ Hronov** Abstrakt Zkoumali jsme rezonanční frekvenci závaží na
Více1 Rozdělení mechaniky a její náplň
1 Rozdělení mechaniky a její náplň Mechanika je nauka o rovnováze a pohybu hmotných útvarů pohybujících se rychlostí podstatně menší, než je rychlost světla (v c). Vlastnosti skutečných hmotných útvarů
VíceDerivace goniometrických funkcí
Derivace goniometrických funkcí Shrnutí Jakub Michálek, Tomáš Kučera Odvodí se základní vztahy pro derivace funkcí sinus a cosinus za pomoci věty o třech itách, odvodí se také několik typických it pomocí
VíceISŠ Nová Paka, Kumburská 846, Nová Paka Automatizace Dynamické vlastnosti členů frekvenční charakteristiky
1. Přenos členu ISŠ Nová Paka, Kumburská 846, 50931 Nová Paka V praxi potřebujeme znát časový průběh výstupního signálu, vyvolaný vstupním signálem známého průběhu. Proto zavádíme tzv. přenos, charakterizující
VíceKapitola 7: Integrál.
Kapitola 7: Integrál. Neurčitý integrál. Definice: Necht f je funkce definovaná na intervalu I. Funkci F definovanou na intervalu I, pro kterou platí F (x) = f(x) x I nazýváme primitivní funkcí k funkci
VíceTéma 13, Úvod do dynamiky stavebních konstrukcí dynamiky
Statika staveních konstrukcí II., 3.ročník akalářského studia Téma 3, Úvod do dynamiky staveních konstrukcí dynamiky Úvod Vlastní kmitání Vynucené kmitání Tlumené kmitání Podmínky dynamické rovnováhy konstrukcí
VíceLineární a adaptivní zpracování dat. 2. SYSTÉMY a jejich popis v časové doméně a frekvenční doméně
Lineární a adaptivní zpracování dat 2. SYSTÉMY a jejich popis v časové doméně a frekvenční doméně Daniel Schwarz Investice do rozvoje vzdělávání Osnova Opakování: signály a systémy Vlastnosti systémů Systémy
Více3. AMPLITUDOVĚ MODULOVANÉ SIGNÁLY
3. AMPLITUDOVĚ MODULOVANÉ SIGNÁLY Modulací nazýváme proces při kterém je jedním signálem přetvář en jiný signál za účelem př enosu informace. Př i amplitudové modulaci dochází k ovlivňování amplitudy nosného
VíceDiferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.
Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin
VíceCVIČENÍ Z ELEKTRONIKY
Střední růmyslová škola elektrotechnická Pardubice CVIČENÍ Z ELEKRONIKY Harmonická analýza Příjmení : Česák Číslo úlohy : Jméno : Petr Datum zadání :.1.97 Školní rok : 1997/98 Datum odevzdání : 11.1.97
VíceMatematickým modelem soustavy je známá rovnice (1)
1. Lineární dynamické systémy 1.1 Rezonanční charakteristiky lineárních systémů s jedním stupněm volnosti Závislost amplitudy vynucených kmitů na frekvenci nazýváme amplitudo-frekvenční charakteristikou.
VíceImpedanční děliče - příklady
Impedanční děliče - příklady Postup řešení: Vyznačení impedancí, tvořících dělič Z Z : podélná impedance, mezi svorkami a Z : příčná impedance, mezi svorkami a ' ' Z ' Obecné vyjádření impedancí nebo admitancí
VíceÚvod do zpracování signálů
1 / 25 Úvod do zpracování signálů Karel Horák Rozvrh přednášky: 1. Spojitý a diskrétní signál. 2. Spektrum signálu. 3. Vzorkovací věta. 4. Konvoluce signálů. 5. Korelace signálů. 2 / 25 Úvod do zpracování
VíceVěta 12.3 : Věta 12.4 (princip superpozice) : [MA1-18:P12.7] rovnice typu y (n) + p n 1 (x)y (n 1) p 1 (x)y + p 0 (x)y = q(x) (6)
1. Lineární diferenciální rovnice řádu n [MA1-18:P1.7] rovnice typu y n) + p n 1 )y n 1) +... + p 1 )y + p 0 )y = q) 6) počáteční podmínky: y 0 ) = y 0 y 0 ) = y 1 y n 1) 0 ) = y n 1. 7) Věta 1.3 : Necht
Více1.8. Mechanické vlnění
1.8. Mechanické vlnění 1. Umět vysvětlit princip vlnivého pohybu.. Umět srovnat a zároveň vysvětlit rozdíl mezi periodickým kmitavým pohybem jednoho bodu s periodickým vlnivým pohybem bodové řady. 3. Znát
Více4.3.1 Goniometrické rovnice I
4.. Goniometrické rovnice I Předpoklady: 4, 4, 46, 47 Pedagogická poznámka: Úspěšnost této hodiny zcela závisí na tom, jak rychle jsou studenti schopni hledat ke známým hodnotám goniometrických funkcí
VíceUstálená odezva harmonicky (polyharmonicky) buzených soustav
Ustálená odezva harmonicky (polyharmonicky) buzených soustav Zpracoval Doc. RNDr. Zdeněk Hlaváč, CSc. Komplexní čísla Každémukomplexnímučíslu c=a+ib,kdei= jeimaginárníjednotka,přiřaďme jehoabsolutníhodnotu(modul)
Více16 Fourierovy řady Úvod, základní pojmy
M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika IV kap. 16: Fourierovy řady 1 16 Fourierovy řady 16.1 Úvod, základní pojmy Otázka J. Fouriera: Lze každou periodickou funkci napsat jako součet nějakých "elementárních"
VíceB. MECHANICKÉ KMITÁNÍ A VLNĚNÍ
B. MECHANICKÉ KMITÁNÍ A VLNĚNÍ I. MECHANICKÉ KMITÁNÍ 8.1 Kmitavý pohyb a) mechanické kmitání (kmitavý pohyb) pohyb, při kterém kmitající těleso zůstává stále v okolí určitého bodu tzv. rovnovážné polohy
Vícerovnic), Definice y + p(x)y = q(x), Je-li q(x) = 0 na M, nazývá se y + p(x)y =
Cíle Přehled základních typů diferenciálních rovnic prvního řádu zakončíme pojednáním o lineárních rovnicích, které patří v praktických úlohách k nejfrekventovanějším. Ukážeme například, že jejich řešení
Více(Následující odstavce jsou zde uvedeny jen pro zájemce.) , sin2π, (2)
Studium difrakčních jevů TEORIE doplněk: Odvození výrazů pro difrakční maxima (popř. minima) na štěrbině, dvojštěrbině a mřížce jsou zpravidla uvedena na středoškolské úrovni, což je založeno na vhodném
VíceDerivace a monotónnost funkce
Derivace a monotónnost funkce Věta : Uvažujme funkci f (x), která má na intervalu I derivaci f (x). Pak platí: je-li f (x) > 0 x I, funkce f je na intervalu I rostoucí. je-li f (x) < 0 x I, funkce f je
VíceLimita a spojitost LDF MENDELU
Limita a spojitost Základy vyšší matematiky LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny společného základu
VíceDiferenciální rovnice
Obyčejné diferenciální rovnice - studijní text pro cvičení v předmětu Matematika - 2. Studijní materiál byl připraven pracovníky katedry E. Novákovou, M. Hyánkovou a L. Průchou za podpory grantu IG ČVUT
VíceMECHANICKÉ KMITÁNÍ. Mgr. Jan Ptáčník - GJVJ - Fyzika - 3.A
MECHANICKÉ KMITÁNÍ Mgr. Jan Ptáčník - GJVJ - Fyzika - 3.A Kinematika kmitavého pohybu Mechanický oscilátor - volně kmitající zařízení Rovnovážná poloha Výchylka Kinematika kmitavého pohybu Veličiny charakterizující
VíceGrafické zobrazení frekvenčních závislostí
Grafické zobrazení frekvenčních závislostí Z minulých přednášek již víme, že impedance / admitance kapacitoru a induktoru jsou frekvenčně závislé Nyní se budeme zabývat tím, jak tato frekvenční závislost
VíceVstupní signál protne zvolenou úroveň. Na základě získaných údajů se dá spočítat perioda signálu a kmitočet. Obrázek č.2
2. Vzorkovací metoda Určení kmitočtu z vzorkovaného průběhu. Tato metoda založena na pozorování vstupního signálu pomocí osciloskopu a nastavení určité úrovně, pro zjednodušování považujeme úroveň nastavenou
Vícey = 1/(x 3) - 1 x D(f) = R D(f) = R\{3} D(f) = R H(f) = ( ; 2 H(f) = R\{ 1} H(f) = R +
Funkce. Vlastnosti funkcí Funkce f proměnné R je zobrazení na množině reálných čísel (reálnému číslu je přiřazeno právě jedno reálné číslo). Z grafu poznáme, zda se jedná o funkci tak, že nenajdeme žádnou
VíceNelineární obvody. V nelineárních obvodech však platí Kirchhoffovy zákony.
Nelineární obvody Dosud jsme se zabývali analýzou lineárních elektrických obvodů, pasivní lineární prvky měly zpravidla konstantní parametr, v těchto obvodech platil princip superpozice a pro analýzu harmonického
VíceFourierova transformace
Fourierova transformace EO Přednáška Pavel Máša ÚVODEM Známe Fourierovy řady v komplexním tvaru f(t) = 1X k= 1 A k e jk! t Spektrum této řady je diskrétní A k = 1 T Obvody tedy musíme řešit v HUS člen
Víceteorie elektronických obvodů Jiří Petržela obvodové funkce
Jiří Petržela obvod jako dvojbran dvojbranem rozumíme elektronický obvod mající dvě brány (vstupní a výstupní) dvojbranem může být zesilovač, pasivní i aktivní filtr, tranzistor v některém zapojení, přenosový
VíceSIGNÁLY A LINEÁRNÍ SYSTÉMY
SIGNÁLY A LINEÁRNÍ SYSTÉMY prof. Ing. Jiří Holčík, CSc. holcik@iba.muni.cziba.muni.cz II. SIGNÁLY ZÁKLADNÍ POJMY SIGNÁL - DEFINICE SIGNÁL - DEFINICE Signál je jev fyzikální, chemické, biologické, ekonomické
VíceNUMERICKÉ METODY. Problematika num. řešení úloh, chyby, podmíněnost, stabilita algoritmů. Aproximace funkcí.
NUMERICKÉ METODY. Problematika num. řešení úloh, chyby, podmíněnost, stabilita algoritmů. Aproximace funkcí. RNDr. Radovan Potůček, Ph.D., K-15, FVT UO, KŠ 5B/11, Radovan.Potucek@unob.cz, tel. 443056 -----
VíceMezi elementární komplexní funkce se obvykle počítají tyto funkce: f(z) = az + b,
Elementární funkce Mezi elementární komplení funkce se obvykle počítají tyto funkce:. Lineární funkce Lineární funkce je funkce tvaru f(z) az + b, kde a a b jsou konečná komplení čísla. Její derivace je
Vícearcsin x 2 dx. x dx 4 x 2 ln 2 x + 24 x ln 2 x + 9x dx.
Neurčitý integrál arcsin. Integrál najdeme integrací per partes. Pomocí této metody dostaneme arcsin = arcsin 4 = arcsin + 4 + C, (,. ln + 4 ln + 9. Tento integrál lze převést substitucí ln = y na integrál
VíceDODATEK A. Im z 3. z 1 z 2. z 5 Re
DODATEK A ÚVODNÍ MATEMATICKÉ OPAKOVÁNÍ A.1 Komplexní čísla Komplexní čísla jsou dvoudimenzionální čísla nad jednodimenzionálními reálnými čísly. To znamená, že k vyjádření jednoho komplexního čísla jsou
VícePRAKTIKUM I. Oddělení fyzikálních praktik při Kabinetu výuky obecné fyziky MFF UK. Pracoval: Pavel Ševeček stud. skup.: F/F1X/11 dne:
Oddělení fyzikálních praktik při Kabinetu výuky obecné fyziky MFF UK PRAKTIKUM I. Úloha č. VII Název: Studium kmitů vázaných oscilátorů Pracoval: Pavel Ševeček stud. skup.: F/F1X/11 dne: 27. 2. 2012 Odevzdal
VíceStatická analýza fyziologických systémů
Statická analýza fyziologických systémů Studijní materiály http://physiome.cz/atlas/sim/regulacesys/ Khoo: Physiological Control Systems Chapter 3 Static Analysis of Physiological Systems Statická analýzy
VícePřenos pasivního dvojbranu RC
Střední průmyslová škola elektrotechnická Pardubice VIČENÍ Z ELEKTRONIKY Přenos pasivního dvojbranu R Příjmení : Česák Číslo úlohy : 1 Jméno : Petr Datum zadání : 7.1.97 Školní rok : 1997/98 Datum odevzdání
VíceExperimentální dynamika (motivace, poslání, cíle)
Experimentální dynamika (motivace, poslání, cíle) www.kme.zcu.cz/kmet/exm 1 Obsah prezentace 1. Motivace, poslání, cíle 2. Dynamické modely v mechanice 3. Vibrace přehled, proč a jak měřit 4. Frekvenční
VíceFYZIKA II. Petr Praus 9. Přednáška Elektromagnetická indukce (pokračování) Elektromagnetické kmity a střídavé proudy
FYZIKA II Petr Praus 9. Přednáška Elektromagnetická indukce (pokračování) Elektromagnetické kmity a střídavé proudy Osnova přednášky Energie magnetického pole v cívce Vzájemná indukčnost Kvazistacionární
VíceMatematika 3. m působíme silou F, uvedeme ho do pohybu a udělíme mu zrychlení a. Úkolem
Matematika 3. Ing. Marek Nikodým, Ph.D. Katedra matematiky a deskriptívní geometrie VŠB-TU Ostrava DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE Diferenciální rovnice jsou velmi důležité a mají obrovské využití hlavně ve fyzice.
VícePřipnutí LC větví FKZ k přípojnici 27 kv trakční napájecí stanice
Vědeckotechnický sborník ČD č. /006 Doc. Ing. Karel Hlava, Sc. Ing. adovan Doleček, Ph.D. Připnutí větví FKZ k přípojnici 7 kv trakční napájecí stanice Klíčová slova: trakční proudová soustava 5 kv, 50
Více1.3 Pohyb hmotného nabitého bodu v homogenním magnetickém poli
Klasická mechanika analytická řešení pohybu částic a těles 1. Pohyb v odporujícím prostředí 1.1 Odporující síla je úměrná rychlosti pohybujícího se tělesa 1.2 Pohyb hmotného nabitého bodu v homogenním
VíceSoustavy lineárních rovnic
Soustavy lineárních rovnic V této kapitole se budeme zabývat soustavami lineárních diferenciálních rovnic y = a (x)y + a (x)y + + a n (x)y n + f (x) y = a (x)y + a (x)y + + a n (x)y n + f (x). y n = a
VíceKmity a mechanické vlnění. neperiodický periodický
rozdělení časově proměnných pohybů (dějů): Mechanické kmitání neperiodický periodický ne(an)harmonický harmonický vlastní kmity nucené kmity - je pohyb HB (tělesa), při němž HB nepřekročí konečnou vzdálenost
VíceANALÝZA PNUS, EFEKTIVNÍ HODNOTA, ČINITEL ZKRESLENÍ, VÝKON NEHARMONICKÉHO PROUDU
ANALÝZA PNUS, EFEKIVNÍ HODNOA, ČINIEL ZKRESLENÍ, VÝKON NEHARMONICKÉHO PROUDU EO Přednáška 4 Pavel Máša X3EO - Pavel Máša X3EO - Pavel Máša - PNUS ÚVODEM Při analýze stejnosměrných obvodů jsme vystačili
VíceSeznámíte se s pojmem primitivní funkce a neurčitý integrál funkce jedné proměnné.
INTEGRÁLNÍ POČET FUNKCÍ JEDNÉ PROMĚNNÉ NEURČITÝ INTEGRÁL NEURČITÝ INTEGRÁL Průvodce studiem V kapitole Diferenciální počet funkcí jedné proměnné jste se seznámili s derivováním funkcí Jestliže znáte derivace
Více25.z-6.tr ZS 2015/2016
Ústav technologie, mechanizace a řízení staveb Teorie měření a regulace Typové členy 2 25.z-6.tr ZS 2015/2016 2015 - Ing. Václav Rada, CSc. TEORIE ŘÍZENÍ třetí část tématu předmětu pokračuje. A oblastí
VíceÚvod. Integrování je inverzní proces k derivování Máme zderivovanou funkci a integrací získáme původní funkci kterou jsme derivovali
NEURČITÝ INTEGRÁL Úvod Integrování je inverzní proces k derivování Máme zderivovanou funkci a integrací získáme původní funkci kterou jsme derivovali Umět pracovat s integrálním počtem Je důležité pro
VíceKMS cvičení 9. Ondřej Marek
KMS cvičení 9 Ondřej Marek SYSTÉM S n DOF ŘEŠENÍ V MODÁLNÍCH SOUŘADNICÍCH Pohybové rovnice lineárního systému: U je modální matice, vlastní vektory u 1, u 2,..., u n jsou sloupce v matici U x - vektor
VíceKapitola 11: Lineární diferenciální rovnice 1/15
Kapitola 11: Lineární diferenciální rovnice 1/15 Lineární diferenciální rovnice 2. řádu Definice: Lineární diferenciální rovnice 2-tého řádu je rovnice tvaru kde: y C 2 (I) je hledaná funkce a 0 (x)y +
VíceCo je obsahem numerických metod?
Numerické metody Úvod Úvod Co je obsahem numerických metod? Numerické metody slouží k přibližnému výpočtu věcí, které se přesně vypočítat bud nedají vůbec, nebo by byl výpočet neúměrně pracný. Obsahem
Vícey = 1 x (y2 y), dy dx = 1 x (y2 y) dy y 2 = dx dy y 2 y y(y 4) = A y + B 5 = A(y 1) + By, tj. A = 1, B = 1. dy y 1
ODR - řešené příkla 20 5 ANALYTICKÉ A NUMERICKÉ METODY ŘEŠENÍ ODR A. Analtické meto řešení Vzorové příkla: 5.. Příklad. Řešte diferenciální rovnici = 2. Řešení: Přepišme danou rovnici na tvar = (2 ), což
VíceSeparovatelné diferenciální rovnice
Matematika 2, příklady na procvičení (Josef Tkadlec, 8. 6. 2009) Separovatelné diferenciální rovnice. Řešte diferenciální rovnici s počáteční podmínkou x = e x t, x() = 0. 2. Řešte diferenciální rovnici
VíceDiferenciální rovnice 3
Diferenciální rovnice 3 Lineární diferenciální rovnice n-tého řádu Lineární diferenciální rovnice (dále jen LDR) n-tého řádu je rovnice tvaru + + + + = kde = je hledaná funkce, pravá strana a koeficienty
VíceGE - Vyšší kvalita výuky CZ.1.07/1.5.00/
Gymnázium, Brno, Elgartova 3 GE - Vyšší kvalita výuky CZ.1.07/1.5.00/34.0925 IV/2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol Téma : Diferenciální a integrální
VíceDerivace goniometrických. Jakub Michálek,
Derivace goniometrických funkcí Jakub Michálek, Tomáš Kučera Shrnutí Odvodí se základní vztahy pro derivace funkcí sinus a cosinus za pomoci věty o třech limitách, odvodí se také dvě důležité limity. Vypočítá
VíceZáklady elektrotechniky
Základy elektrotechniky 3. přednáška Řešení obvodů napájených haronický napětí v ustálené stavu ZÁKADNÍ POJMY Časový průběh haronického napětí: kde: U u U. sin( t ϕ ) - axiální hodnota [V] - úhlový kitočet
VíceU01 = 30 V, U 02 = 15 V R 1 = R 4 = 5 Ω, R 2 = R 3 = 10 Ω
B 9:00 hod. Elektrotechnika a) Definujte stručně princip superpozice a uveďte, pro které obvody platí. b) Vypočítejte proudy větvemi uvedeného obvodu metodou superpozice. 0 = 30 V, 0 = 5 V R = R 4 = 5
VíceHarmonický pohyb tělesa na pružině
EVROPSKÝ SOCIÁLNÍ FOND Harmonický pohyb tělesa na pružině PRAHA & EU INVESTUJEME DO VAŠÍ BUDOUCNOSTI České vysoké učení technické v Praze, Fakulta stavební, Katedra matematiky Posílení vazby teoretických
Více