Nauka o Kmitání Přednáška č. 4

Transkript

1 Nauka o Kmitání Přednáška č. 4 Odezva lineárního systému na obecnou periodickou budící funkci Ing. Antonín Skarolek, Ph.D. Katedra mechaniky, pružnosti a pevnosti Technická Univerzita v Liberci 213

2 Ustálená odezva LS na polyharmonické buzení Ustálená odezva LS na polyharmonické buzení Polyharmonické funkce Ustálená odezva LS Příklad 1 Fourierovy řady Příklad 2 - Odezva LS na pilovitý průběh síly Poznámky Amplitudo-frekvenční charakteristika

3 Ustálená odezva LS na polyharmonické buzení Polyharmonické funkce Polyharmonickou funkcí (trigonometrickým polynomem) budeme rozumět funkci, která je součtem nejvýše spočetného množství harmonických funkcí: f(t) = f 1 cos(ω 1 t + ϕ 1 ) + f 2 cos(ω 2 t + ϕ 2 ) + + f n cos(ω n t + ϕ n ). Zkráceně: f(t) = n f i cos(ω i t + ϕ i ). Úhlové rychlosti ω i a fáze ϕ i jednotlivých komponent mohou být libovolné. Poznámka: Pokud jsou všechny vzájemné poměry ωi ω j periodická. racionální, je f(t) Pokud výše uvedené neplatí, není f(t) periodická. (Kvaziperiodická fce)

4 Ustálená odezva LS na polyharmonické buzení Polyharmonické funkce Polyharmonickou funkci f(t) lze vyjádřit kromě fázového tvaru i ve tvaru goniometrickém f(t) = n f i cos(ω i t + ϕ i ) = n a i cos(ω i t) + b i sin(ω i t), případně v tvaru komplexním pomocí ryze imaginárních exponenciál (rotujících fázorů): f(t) = R n ĉ i e jωit = 1 2 n (ĉi e jωit + ĉ i e jωit). Imaginární jednotku značíme j = 1, symbol ĉ značí komplexně sdružené číslo k číslu ĉ.

5 Ustálená odezva LS na polyharmonické buzení Ustálená odezva LS Uvažujme lineární systém s jedním stupněm volnosti s výchylkou x(t), který je buzen polyharmonickou silou. Pohybová rovnice tohoto systému je n mẍ(t) + bẋ(t) + kx(t) = f i cos(ω i t + ϕ i ). Protože je uvedený systém lineární a platí tedy princip superpozice, hledáme partikulární řešení opět jako polyharmonickou funkci x(t) = n x i cos(ω i t + ϑ i ). Hledáme ustálenou odezvu x(t) jako součet odezev na dílčí harmonické členy obsažené ve funkci f(t)

6 Ustálená odezva LS na polyharmonické buzení Ustálená odezva LS Ustálenou odezvu LS na harmonické buzení už najít umíme. S výhodou využijeme komplexní tvar harmonické funkce a hledejme partikulární řešení jako součet již známých odezev na dílčí harmonické funkce: ˆx(t) = n ˆx i e jωit, kde jsou jednotlivé komplexní amplitudy ˆx i určeny takže ˆx i = G(jω i )ĉ i = ˆx(t) = n ĉ i mω 2 i + jωb + k, ĉ i e jωit mω 2 i + jω ib + k.

7 Ustálená odezva LS na polyharmonické buzení Příklad 1 Lineární jednohmotový systém s parametry m = 5 kg, k = 5 N m 1, b = 2 Ns m 1 je buzen polyharmonickou silou f(t) se třemi harmonickými složkami: f(t) = 1 cos(2t) + 5 cos(35t + π) + 8 cos(5t + π 3 ). [N] f 1 = 1, f 2 = 5, f 3 = 8. [N] ω 1 = 2, ω 2 = 35, ω 3 = 5. [rad s 1 ] ϕ 1 =, ϕ 2 = π, ϕ 3 = π 3. [rad]

8 Ustálená odezva LS na polyharmonické buzení Příklad 1 Připomenutí: A (cos(ωt + ϕ) + j sin(ωt + ϕ)) = Ae j(ωt+ϕ) = Ae jϕ e jωt = Âejωt. Naši komplexní budicí sílu zapišeme jako 3 3 ˆf(t) = ĉ i e jωit = f i e jϕi e jωit. ˆf(t) = f 1 e jϕ1 e jω1t + f 2 e jϕ2 e jω2t + f 3 e jϕ3 e jω3t. ˆf(t) = ĉ 1 e jω1t + ĉ 2 e jω2t + ĉ 3 e jω3t, Po dosazení ĉ 1 = f 1 e jϕ1 = f 1 = 1, ĉ 2 = f 2 e jϕ2 = 5 e jπ = 5, ĉ 3 = f 3 e jϕ3 = 8 e j π 3 = 4(1 + 3 j).

9 Ustálená odezva LS na polyharmonické buzení Příklad 1 Komplexní výchylka ˆx(t) je součtem odezev na jednotlivé harmonické funkce ˆx(t) = ˆx(t) = ˆx(t) = n ĉ 1 e jω1t mω jω 1b + k + n G(jω i ) ĉ i e jωit, ĉ i e jωit mω 2 i + jω ib + k, ĉ 2 e jω2t mω jω 2b + k + ˆx(t) = ˆx 1 e jω1t + ˆx 2 e jω2t + ˆx 3 e jω3t ĉ 3 e jω3t mω jω 3b + k. Dále bychom pokračovali dosazením parametrů, usměrněním zlomků a převedením zpět do goniometrického či fázového tvaru. Tuto práci je ovšem v praktických případech lépe přenechat stroji. Reálná část ˆx(t) je hledané řešení x(t).

10 Ustálená odezva LS na polyharmonické buzení Příklad 1 Přibližný výsledek je x(t). =.33 cos(2t.13)+.38 cos(35t+.56)+.11 cos(5t 1.96).

11 Ustálená odezva LS na polyharmonické buzení Polyharmonické funkce Ustálená odezva LS Příklad 1 Fourierovy řady Příklad 2 - Odezva LS na pilovitý průběh síly Poznámky Amplitudo-frekvenční charakteristika

12 Fourierovy řady Pokud na systém působí obecná periodická síla f(t) s periodou T, platí f(t) = f(t + T ) = f(t + kt ), k =, 1, 1, 2, 2,, n, n. Předpokládejme nejprve, že tuto funkci lze nahradit součtem nekonečné řady harmonických funkcí a vyberme si jejich komplexní exponenciální tvar. f(t) = k= ĉ k e jkω1t. ω 1 je základní úhlová frekvence určená ω 1 = 2π T. Hledáme tedy kombinaci harmonických funkcí s periodami T k. ( A tím periodické i s periodou T ). Podaří-li se nám najít koeficienty ĉ k tak, aby výše uvedená rovnice platila, budeme moci zacházet s obecnou periodickou funkcí jako s funkcí polyharmonickou.

13 Fourierovy řady Potřebné koeficienty lze nalézt následujícím postupem. Vynásobme rovnici jednou harmonickou funkcí (s periodou T m ) a integrujme přes celou periodu T ( T ) f(t)e jmω1t dt = ĉ k e jkω1t e jmω1t dt. k= Snadnou úpravou (integrál součtu = součet integrálů) T f(t)e jmω1t dt = T ĉ k e j(k+m)ω1t dt. k= Nyní se podívejme na dva možné případy: k = m : k m : T T e j(k+m)ω1t dt = T 1dt = T, [ e e j(k+m)ω1t j(k+m)ω 1t dt = j(k + m)ω 1 ] T =.

14 Fourierovy řady Z původního nekonečného součtu nám tak zbyde pouze jedinný člen T f(t)e jmω1t dt = k= T ĉ k e j(k+m)ω1t dt = T ĉ m. A to je rovnice pro hledaný ( m-tý) koeficient Fourierovy řady. m jsme si ovšem volili libovolně, takže pomocí výše uvedené rovnice můžeme spočíst koeficienty všechny: ĉ k = 1 T T f(t)e jkω1t dt. Z matematického hlediska by bylo potřeba vyjasnit, pro jaké třídy funkcí je uvedený postup korektní a proveditelný. Nebude se tímto do hloubky zabývat, jen si řekneme, že pro všechny reálné praktické případy funkce f(t) uvedenou řadu lze takto setrojit. Dokonce má tato řada příjemnou vlastnost v tom, že většinou stačí několik málo jejích členů k věrné aproximaci f(t).

15 Fourierovy řady Pozn: Fourierova řada je velmi obecný nástroj, který nemusí být omezen na součet harmonických funkcí. Pro naše účely si ovšem s harmonickými funkcemi zcela vystačíme. Trigonometrickou Fourierovu řadu je možné vyjádřit i v goniometrickém tvaru f(t) = a 2 + a k cos(kω 1 t) + b k sin(kω 1 t) s koeficienty k=1 a k = 2 T b k = 2 T T T k=1 f(t) cos(kω 1 t)dt f(t) sin(kω 1 t)dt

16 Fourierovy řady Nebo ve tvaru fázovém s parametry f(t) = c 2 + c k cos(kω k t + ϕ k ), c k = k=1 a 2 k + b2 k, ϕ k = arctg b k a k.

17 Příklad 2 - Odezva LS na pilovitý průběh síly Použijme lineární jednohmotový systém z předchozího příkladu s parametry m = 5 kg, k = 5 N m 1, b = 2 Ns m 1. Na tento systém působí periodická proměnná síla pilovitého průběhu s periodou T a amplitudou F definovaná v jedné periodě jako f(t) = F ( t T ) pro t, T ). Pro F = 1N a T = 1s je průběh funkce f(t):

18 Příklad 2 - Odezva LS na pilovitý průběh síly Spočtěme si koeficienty Fourierovy řady podle předpisu ĉ k = 1 T T f(t)e jkω1t dt = 1 T T F t T 2πkt e j T dt. integrál na pravé straně lze vypočíst analyticky Funkci f(t) tedy nahradíme ĉ = F 2, ĉ k = jf, pro k. 2kπ f(t) = f(t) = F 2 + k= 1 k= ĉ k e jkω1t. jf 2πkt ej T + 2kπ k=1 jf 2πkt ej T. 2kπ

19 Příklad 2 - Odezva LS na pilovitý průběh síly Další jednoduchou úpravou bychom se dostali k f(t) = F 2 + k=1 2πkt j F e T e j 2πkt T kπ 2j = F 2 + k=1 F kπ sin 2πkt T. Tento výsledek samozřejmě odpovídá tomu, co bychom obdrželi při použití Fourierovy řady v goniometrickém tvaru. Náš pilovitý průběh síly je tedy složen z konstanty (nultá harmonická složka) a nekonečného počtu harmonických složek s frekvencemi celých násobků základní frekvence určené periodou původní funkce. Všimněte si, že koeficienty jednotlivých harmonických postupně klesají s tím, jak roste jejich frekvence. To nám dovoluje uvažovat pouze N prvních členů řady pro přijatelnou aproximaci téměř libovolné periodické funkce.

20 Příklad 2 - Odezva LS na pilovitý průběh síly Náhrada funkce f(t) prvními harmonickými členy Fourierovy řady do řádu N včetně

21 Příklad 2 - Odezva LS na pilovitý průběh síly Několik prvních členů řady

22 Příklad 2 - Odezva LS na pilovitý průběh síly Ustálené vynucené kmitání našeho LS sestavíme v souladu s úvodem dnešní přednášky jako ustálenou odezvu na polyharmonické buzení. x(t) = x(t) = i= i= G(jω i ) ĉ i e jωit. ĉ i e jωit mω 2 i + jω ib + k, ω i = 2πi T. Zde se nenechte příliš zmást zápornými úhlovými rychlostmi. Jedná se o dvojice komplexně sdružených fázorů rotujících v opačném smyslu. (Pro reálné budící funkce nám vyjdou koeficienty ĉ k a ĉ k nutně komplexně sdružené, což má za následek, že celá řada zůstane na reálné ose.)

23 Příklad 2 - Odezva LS na pilovitý průběh síly Po dosazení za koeficienty ĉ i x(t) = F 2k + ( F 2πi Usměrněním a vytýkáním dostaneme je jωit mω 2 i + jω ib + k je jωit ) mωi 2 jω. ib + k x(t) = F 2k + F e (bω jωit + e jωit πi ((k mω 2 i )2 + ωi 2 i b2 ) 2 (k mωi 2 ) ejωit e jωit ). 2j

24 Příklad 2 - Odezva LS na pilovitý průběh síly Výsledně je odezva systému na buzení pilovitou funkcí x(t) = F 2k + F π bω i cos(ω i t) + (mωi 2 k) sin(ω it) i ((k mωi 2)2 + ωi 2, ω i = iω 1 = 2iπ b2 ) T. Zvolme si třeba F = 1 N a T = 1.12 s. Ustálenou odezvu systému je opět možno aproximovat několika prvními členy řady.

25 Poznámky Nejprve rozložíme vstupní periodickou funkci na součet harmonických funkcí Spočteme odezvy systému na tyto dílčí složky a dílčí odezvy sečteme Pokud není systém lineární, neplatí princip superpozice a nemůžeme tento postup aplikovat Koeficienty Fourierových řad mnoha funkcí je možno najít v tabulkách v literatuře Koeficienty Fourierových řad je možno počítat numericky Na únavnou práci používejte stroje

26 Amplitudo-frekvenční charakteristika Amplitudo-frekvenční charakteristiku slabě tlumeného LS s jedním stupněm volnosti a harmonickým buzením obsahuje jedinou rezonanci, pokud ω = Ω (1 ζ 2 ). Pokud ovšem budíme takový systém obecnou periodickou funkcí, může se do shody s vlastní frekvencí systému dostat jakákoliv harmonická složka, kterou vstupní funkce obsahuje. Podívejme se ještě jednou na odezvu systému na obecnou periodickou funkci x(t) = i= ĉ i e jωit mω 2 i + jω ib + k, ω i = iω 1 = 2πi T. Rezonance jednotlivých harmonických složek je možné očekávat pro maxima (v absolutní hodnotě) dílčích přenosových funkcí G(jω i ) = 1 mω 2 i + jω ib + k, která nastanou pro minimuma absolutních hodnot jmenovatelů.

27 Amplitudo-frekvenční charakteristika Hledáme extrém klasickým způsobem d dω i ( (k mω 2 i ) 2 + ω 2 i b 2) =, ω i ( b 2 km + m 2 ω 2 i ) =, ω i = k m b2 m 2 = Ω 1 ζ 2, ω 1 = Ω i 1 ζ2. Rezonance tedy může nastat, pokud se frekvence základní harmonické složky, určená periodou budící funkce ω 1 = 2π T přiblíží k 1/i-násobku vlastní frekvence, což odpovídá přiblížení i-té harmonické složky k vlastní frekvenci systému.

28 Amplitudo-frekvenční charakteristika Amplitudy jednotlivých harmonických složek ĉ i ĉ i X i (ω 1 ) = G(ω i )ĉ i + G(ω i )ĉ i = 2 (k mωi 2)2 + ωi 2b2 ĉ i ĉ i X i (ω 1 ) = 2 (k mi 2 ω1 2)2 + i 2 ω1 2. b2 Použijme opět předešlý příklad LS buzeného pilovým průběhem síly a dosaďme koeficienty ĉ i. X (ω 1 ) = F 2k, F X i (ω 1 ) = πi, i. (k mi 2 ω1 2)2 + i 2 ω1 2 b2

29 Amplitudo-frekvenční charakteristika Amplitudové charakteristika, výskyt rezonancí vyšších harmonických složek, Campbellův diagram.