4. Dynamika letu umělých družic Aleš Bezděk

4. Dynamika letu umělých družic Aleš Bezděk Teoretická geodézie 4 FSV ČVUT 2017/2018 LS 1

Úvod do astrodynamiky Astrodynamika je studium pohybu umělých objektů v kosmickém prostoru, na které působí jak přírodní, tak uměle vyvolané síly. (Vallado D, 2007: Fundamentals of astrodynamics and applications, 3ed) Nebeská mechanika zabývá se dynamikou pohybu nebeských těles. Astrodynamika je nebeskou mechanikou aplikovanou specifický problém pohybu umělých družic Země. Tento obor vznikl po vypuštění první umělé družice Sputnik 1 dne 4. října 1957. V dalším textu budeme slovem družice rozumět umělou družici Země. 2

Příklad: Pohyb Mezinárodní kosmické stanice Jeden den pohybu ISS Počáteční data: reálná sada dráhových elementů Znázorněny osy inerciálního systému Výška ISS nad zemí: 400 km Oběžná doba je 92 minut, za den družice oběhne Zemi asi 15krát Trajektorie družice: elipsa nehybná v inerciálním systému Tato skutečná trajektorie se od dokonalé elipsy liší o méně než 1%, jako tvar Země se o méně než 1% liší od dokonalé koule. Hlavní porucha: Rovina elipsy koná pomalou precesi okolo polární osy, v případě ISS o 5 /den. 3

LEO družice na nízkých oběžných drahách V této přednášce se budeme zabývat dráhovou dynamikou družic, které se označují jako LEO satellites = satellites in low Earth orbits (LEO) Pohybují se ve výškách 150 2000 km, kde na ně působí zemská atmosféra. Většina umělých družic je na nízkých drahách. Příklady: ISS, dálkový průzkum Země, gravitační mise, komunikační systém Iridium Další typy drah družic jsou například: Medium Earth orbit (MEO) střední oběžná dráha, výšky 2 36 tis. km Příklady: GPS (20 tis. km), Telstar (první družice pro TV přenosy) Geostationary Earth Orbit (GEO) geostacionární družice ve výšce 36 tis. km Příklady: telekomunikační družice, meteorologické družice V dalším textu bude slovo družice označovat LEO družici. 4

Keplerovy zákony 1. Planety obíhají kolem Slunce po eliptických drahách, v jejichž jednom společném ohnisku je Slunce. 2. Obsahy ploch opsaných průvodičem planety za stejný čas jsou stejně velké. 3. Poměr druhých mocnin oběžných dob dvou planet je stejný jako poměr třetích mocnin jejich velkých poloos. a 3 /T 2 = konst První dva zákony objevil Kepler v Praze analýzou měření Tycha Brahe a publikoval r. 1609, třetí zákon publikoval r. 1619 za pobytu v Linci. Tyto zákony platí v nezměněné podobě i pro družice! Zákon 1 Družice se pohybují po elipsách okolo Země. Zákon 2 V perigeu družice letí rychleji než v apogeu. Zákon 3 Družice na nižší dráze má kratší oběžnou dobu než na vyšší dráze. 5

Isaac Newton řešení pohybových rovnic Newtonova pohybová rovnice: F = m d 2 r/dt 2 Známe-li působící síly, vektor F(x,y,z), v každém bodě, můžeme spočítat řešení, tzn. předpovědět pohyb r(t). Newtonův zákon všeobecné gravitace: F G = GMm/R 2 mm kde R mm je vektor spojující tělesa o hmotnosti m a M Isaac Newton matematicky spočetl, proč se tělesa pod vlivem gravitační síly pohybují po kuželosečkách, v případě gravitačně vázaného tělesa po elipsách. Slavná Newtonova Principia z r. 1687 již obsahují dokonce i obrázek a krátkou diskusi pohybu těles okolo Země. V této přednášce se omezíme na diskuzi eliptických drah. 6

Problém dvou těles, keplerovská elipsa V rovině dráhy se družice pohybuje po elipse, jejíž tvar definují veličiny: a velká poloosa e excentricita Polohu družice na elipse určuje úhel zvaný θ pravá anomálie Vzdálenost od centra C je daná r=a(1 e 2 )/(1+e cos θ) Významná místa na eliptické dráze: Apogeum bod nejdále od středu Země výška nad Zemí v perigeu: h a =a + ae R z =a (1+e) R z kde R z je poloměr Země Perigeum bod nejblíže středu Země výška nad Zemí v perigeu: h p =a ae R z =a (1 e) R z 7

Periody oběhu Třetí Keplerův zákon: a 3 /T 2 = konst. neboli T=konst. a 3/2 Dosazením za konstanty a úpravou vyjde perioda oběhu družice: T=2π (a 3 /μ) 1/2 kde μ = GM U 3.986 10 14 m 3 /s 2 je tzv. geocentrická gravitační konstanta. Tato konstanta je rovna součinu gravitační konstanty G a hmotnosti Země M a ve výpočtech astrodynamiky je používána proto, že její hodnota je o mnoho řádů přesnější než G a M. Třetí Keplerův zákon říká kvantitativně, že: Čím je menší výška družice, tím je oběžná doba kratší. Nejníže družice může sestoupit do výšky 100 150 km, tam již zbývá max 1 2 dny letu. Oběžná doba pro kruhovou dráhu ve výšce h je dána: T=2π ([R z +h] 3 /μ) 1/2 Nejkratší možná perioda umělých družic: h=100 km T=86 minut Pro LEO družice ve výškách 300 800 km typické oběžné doby: 90 100 minut Geostacionární družice: h=35 800 km T 24 hodin 8

Příklad: vývoj dráhy družice CHAMP CHAMP Vědecká mise, určená k výzkumu zemského magnetického a gravitačního pole Vypuštěna r. 2000, shořela v atmosféře r. 2010 Horní graf: Výška v apogeu h A a perigeu h P : h A a h P jsou prakticky stejné excentricita 0, je to kruhová dráha Počáteční výška h 450 km, výška se působením odporu atmosféry neustále snižuje. Během letu několikrát manévr, zvýšení výšky, s cílem prodloužit trvání mise. V posledních měsících letu prudký sestup z výšky 300 km až nakonec družice shořela v atmosféře ve výšce 120 km. Dolní graf: oběžná doba Typická oběžná doba družice na nízké dráze, cca 90 min. 9

Problém dvou těles, keplerovská elipsa v prostoru Rovníková soustava S r2 má střed ve středu Země, osa x míří k jarnímu bodu, osa z míří k severnímu pólu. Výstupný uzel místo, kde při letu družice protíná rovinu rovníku směrem vzhůru (N). Polohu oběžné dráhy v prostoru určují: i sklon dráhy i<90 přímé (prográdní dráhy) i>90 zpětné (retrográdní dráhy) Ω délka výstupného uzlu Úhel od jarního bodu směrem k výstupnému uzlu N. Ω se také nazývá RAAN=rektascenze výstupného uzlu. ω argument perigea Úhel od výstupného uzlu N do perigea P. 10

Příklad: Orbitální elementy pro ISS Dráhové elementy ISS pro 1 Oct 2011 12:02 Excentricita: e=0.001404 Velmi nízká excentricita dráha je prakticky kruhová. Velká poloosa: a=6770.3 km Pro kruhovou dráhu se výška získá odečtením poloměru Země: h=a R z 392 km Sklon: i=51.6 Sklon je vidět při pohledu z boku v rovině rovníku. Sklon dráhy určuje, která místa družice může přeletět. 11

Oskulační elementy Pohybové rovnice: F=m d 2 r/dt 2 Známe-li působící síly, vektor F(x,y,z), v každém bodě, můžeme spočítat řešení r(t), tzn. předpovědět, kde bude těleso v libovolném budoucím čase. Dnes rovnice řešíme nejsnáze numericky přímo v kartézských souřadnicích. Pro každý čas dostaneme stavový vektor, což je souhrnný název pro vektory polohy a rychlosti: r=(x,y,z), v=(v x,v y,v z ). V astrodynamice se však nadále používají orbitální elementy proto, že skutečný pohyb družice je velmi blízký pohybu po keplerovské elipse. Mějme řadu poloh a rychlostí určených pro skutečnou družici: (r 1,v 1 ), (r 2,v 2 ), (r 3,v 3 ), Pro každý okamžik můžeme přepočíst 6 souřadnic (r j,v j ) na 6 dráhových elementů: (r j,v j ) (a j,e j,i j,ω j,ω j,θ j ) které ale počítáme, jako by se jednalo o keplerovskou elipsu, tedy o problém dvou těles. Nazýváme je oskulační elementy. 12

Poruchové síly působící na družice Kdyby Země byla sférická, izolovaná od jiných těles a neměla atmosféru, byla by dráha družice dokonalá a vůči hvězdám neměnná keplerovská elipsa. Hlavní poruchové síly působící na družice (na nízkých drahách) způsobuje: 1. Zploštění Země a další členy geopotenciálu 2. Odpor atmosféry Tyto síly se nazývají poruchové, protože způsobují pouze malé poruchy dráhy vzhledem k ideální keplerovské elipse. Skutečná dráha je velmi blízká pomalu se měnící elipse. Nebeská mechanika rozvinutá matematiky jako Newton, Laplace, Legendre se zabývala poruchovou teorií kosmických těles, zejména planet a Měsíce. Avšak příchod umělých družic v r. 1957 přinesl hned zpočátku poruchové síly 1. 2., odlišné od sil, které studovali nebeští mechanici. Bylo nutné teorii rozvinout pro tento nový případ. 13

Oskulační elementy Pro každý časový okamžik existuje transformace: (r j,v j ) (a j,e j,i j,ω j,ω j,θ j ) spojující stavové vektory a oskulační elementy. Pro každý časový okamžik tak máme jednu sadu oskulačních elementů. Vzhledem k existenci poruch jsou oskulační elementy časově proměnné. Poruchy jsou malé, oskulační elementy jsou téměř konstatní, některé se pomalu mění (kromě rychlé proměnné, což je pravá anomálie θ j ) Obrázek: Dráhové elementy družice STARSHINE 2 Data: reálná dráha 2001 2002 velká poloosa: pomalý sekulární pokles excentricita: periodické variace + pokles sklon: variace + velmi malý pokles délka uzlu: lineární změna argument perigea: skoro lineární změna (na obr. jsou střední elementy, viz dále) 14

Poruchy dráhových elementů Poruchy dráhových elementů družice lze rozdělit na sekulární a periodické. Sekulární změny působí, že dráhový element soustavně narůstá nebo klesá. Periodické poruchy lze rozdělit na krátkodobé, perioda kratší než jeden oběh, dlouhodobé, periody delší (zpravidla dny až měsíce). Teorie poruch je založena na principu hledání pohybového řešení rozvojem přes malé parametry. První aproximace k reálnému pohybu je keplerovská elipsa. Další síly jsou mnohem menší než centrální gravitační člen matematicky je možno reálný pohyb popsat jako superpozici malých variací a dominantního řešení. Středováním přes jeden oběh (či jiný časový interval) dostaneme střední elementy. 15

Hlavní poruchová síla: zploštění Země (J2) Geopotenciál V(x,y,z), z nějž derivací získáme působící gravitační sílu F= V, je možné zjednodušeně napsat: V=(GM/r) [1 J 2 (R/r) 2 P 2 (sin φ) J 3 (R/r) 3 P 3 (sin φ) ] kde G..gravitační konstanta, M..hmotnost Země, R..poloměr Země, P n (sin φ)..legendrovy polynomy, φ..zeměpisná šířka. V tomto rozvoji jsou koeficienty, které určují relativní velikost jednotlivých příspěvků: centrální člen má koeficient rovný jednotce člen odpovídající zemskému zploštění J 2 = 1,082 10 3 normovaný koeficient: C 20 = J 2 / 5 = 0,484 10 3 podle posledních měření zploštění (J 2 ) klesá koeficienty J 3, J 4, aspoň tisíckrát menší než J 2 Zploštění Země je definováno: f = (a b)/a = 21 km/ 6378 km U 1/300 = 3,3 10 3 kde a je rovníkový, b polární poloměr Pozn.: Ve fyzice se potenciál V definuje F= V, kdežto v geodézii a astronomii F= V. Ve fyzice tak odpovídá přitažlivému centru minimum V, kdežto v geodézii maximum V. 16

Sledování zemského zploštění z družicových měření Měření zploštění, Stokesova koeficientu J 2 1.082 10 3 10 3 normovaný koef.: C 20 = J 2 / 5 = 0.484 10 3 Obr: zploštění klesá (J 2 klesá, C 20 roste) Země se mění směrem k větší sféričnosti články před r. 1990 vysvětlovaly sekulární nárůst C20 působením postglaciálnímu zdvihu Měřilo se však dál a přesněji časová řada nyní vykazuje řadu dalších variací sezónní variace dlouhoperiodické a meziroční variace, navrženy různé možné příčiny klimatické oscilace v oceánech vodní masy na kontinentech anelasticita Země viditelná změna ve sklonu počínaje r. 1990 hypotéza: ztráta ledu v Grónsku a Antarktidě Čím déle a přesněji se měří, tím více zajímavých jevů se může objevit. Figure 4 The blue line shows a time series of C 20, determined from more than 35 years of SLR measurements (Cheng et al., 2013; data provided by Minkeng Cheng). The orange line is a smoothed version of those values. (Wahr 2015 Time-Variable Gravity from Satellites) 17

Dominantní krátkoperiodická porucha daná J2 Periodické poruchy lze rozdělit na krátkodobé, perioda kratší než jeden oběh, Dominantní krátkoperiodická porucha je působena koeficientem J2 daným zploštěním Země. Pro pár obletů okolo Země tuto poruchu vidíme na grafu každé LEO družice: Variace ±10 km vůči velké poloose 6725 km jsou řádu 10 3, stejného jako má zemské zploštění f a koeficient J 2. 18

Sekulární porucha daná J2: precese roviny dráhy Vlivem pólového zploštění Země se rovina dráhy družice pomalu otáčí. Analytický vzorec: dω/dt = (3/2) J2 (2π/a) (R z /a) 2 (1 e 2 ) -2 cos i Přibližný vzorec pro kruhovou dráhu: dω/dt = 10 (R/a) 3.5 cos i [stupňů/den] Pro přímé dráhy, kdy je sklon i<90, rovina dráhy rotuje zpětně (jako na obrázku). Typická perioda precese roviny dráhy jsou měsíce až roky. ISS, 5 /den perioda 72 dnů Pro nepřímé dráhy (retrográdní), je sklon i>90, rovina dráhy se otáčí ve směru nárůstu délky uzlu Ω. 19

Sekulární porucha daná J2: rotace perigea Druhá významná porucha způsobená zploštěním Země je sekulární rotace přímky apsid (přímka spojující perigeum a apogeum). Přibližný vzorec pro kruhovou dráhu: dω/dt = 5 (R/a) 3.5 (5 cos 2 i 1) [stupňů/den] Existuje tzv. kritický sklon i=63.4, pro který se směr perigea nemění. Nazývají se dráhy se zamrzlým perigeem, a jsou někdy používány pro svůj praktický význam. Např. řada sovětských komunikačních družic Molnija na drahách s vysokou excentricitou a oběžnou dobou 12 hodin; většinu času družice stráví v apogeu, kde je pohyb v dráze nejpomalejší, družice se sub-satelitním bodem na šířce 63.4 ve výšce 40 tis. km má tak výbornou viditelnost na severní polokouli. Pro nepřetržité pokrytí je potřeba minimálně tři družice. 20

Příklad na hlavní sekulární poruchy Družice CHAMP má dle grafu sklon i=87, počáteční velkou poloosu a 6790 km, výšku 380 440 km. Odpor atmosféry způsobuje sekulární snižování velké poloosy, dochází k postupnému snižování energie a výšky. J2: Rovina dráhy se otáčí o 360 za více než 800 dnů. Na grafu je zřejmý sekulární pokles délky výstupného uzlu (RAAN). J2: Podobně argument perigea ω se změní o 360 za 88 dnů, perigeum rotuje v rovině dráhy. Grafy dále ukazují, že v červnu 2002 byl proveden manévr s cílem zvýšit výšku a snížit excentricitu dráhy. 21

Odpor atmosféry (OA) Odpor atmosféry je pro družice blízko Země důležitá poruchová síla, protože působí sekulárně. Přesto, že je to síla malá, odpor atmosféry působí stále jedním směrem proti směru pohybu družice, odebírá družici energii, družice klesá. Odpor atmosféry se týká družic s výškou perigea 150 2000 km. Ve výškách 100 150 km je atmosféra pro pohyb družic příliš hustá, nad 2000 km atmosféra končí. Zrychlení dané OA: a D = ½ C D (S/m) ρ v 2 přímo úměrné hustotě atmosféry ρ, kvadrátu rychlosti družice vůči atmosféře v 2, ploše družice S a koeficientu odporu atmosféry C D, nepřímo úměrné hmotnosti družice m Podobně jako na letadla i na družice působí vztlaková síla F L, avšak pro přibližně kulové družice nebo pro volně se otáčející družice je vztlak zpravidla průměrně nulový. 22

Odpor atmosféry (OA) Obrázek ukazuje, že vždy při průletu perigeem družice ztrácí část energie, postupně se snižuje počáteční excentricita dráhy, až je dráha kruhová a družice nakonec: shoří v hustých vrstvách atmosféry řízeně sestoupí na povrch výjimečně neshoří zcela a zbytky dopadnou až na zemský povrch hustota atmosféry klesá exponenciálně s výškou, proto je působení OA maximální v perigeu Obrázek dole: působení OA na orbitální elementy: sekulární snižování: velká poloosa, excentricita, sklon (J2: kvazi-sekulární změny RAAN, arg. perigea ω) Sekulární snižování velké poloosy má za důsledek snižování energie družice. Vztah pro energii keplerovské elipsy: E = GM/2a. 23

Příklad: družice Cannonball LOADS (Low Altitude Density Satellite), jinak nazývané Cannonball, byly dvě družice vypuštěné r. 1968, 1971 Cíl mise: získat data o hustotě atmosféry ve velmi nízkých výškách (až do 100 km) Družice byly sférické, velmi kompaktní («65cm, 364 kg, konstrukce z mosazi), aby se maximálně snížil odpor atmosféry Název družice se stal součástí pojmosloví astrodynamiky: při plánování mise se často použije cannonball k modelování odporu atmosféry, komplexní tvar družice se nahradí přibližnou dělovou koulí o vhodné ploše a hmotnosti. 24

Příklad: Pohyb ISS a pokrytí zemského povrchu Sklon: i=51.6 Sklon dráhy určuje, která místa družice může přeletět. Pás subsatelitních bodů je omezen na určité zeměpisné šířky φ: φ i (pro přímé dráhy i<90 ) φ 180-i (retrográdní dráhy i>90 ) Sklon je parametr zásadního významu pro každou družicovou misi. Např. pro dálkový průzkum je zásadní, jakou část zemského povrchu může družice pozorovat. 25

Příklad: Pohyb ISS a pokrytí zemského povrchu Sklon: i=51.6 dráha je přímá. Pás subsatelitních bodů je omezen na: φ 51.6 Obrázek nahoře je pokrytí povrchu za půl dne, obrázek dole po uplynutí jednoho dne. Taková síť průmětů dráhy na povrch po uplynutí jednoho dne je typická pro všechny LEO družice. Za 1 den se Země otočí jednou, avšak družice uletí maximálně 16.5 oběhů, na kruhové dráze ve výškách 300 800 km to dělá 14 16 oběhů. 26

Příklad: Gravitační mise GRACE polární dráha Cílem mise je měření gravitačního pole Země Jedná se o dvě družice letící za sebou ve vzdálenosti 200 km. Požadavek: co nejlepší pokrytí zemského povrchu co nejvyšší sklon, i=89 Obrázek vpravo nahoře: pokrytí povrchu drahami za jeden den. Obrázek vpravo dole: pokrytí povrchu za měsíc. Polární dráha: dráha má vysoký sklon blízký k 90 díky pokrytí celého zemského povrchu často používané družicemi pro dálkový průzkum Země někdy jsou polární dráhy volené jako slunečně-synchronní (viz dále) 27

Příklad: Gravitační mise GRACE Vědecké požadavky: 1. Co nejlepší pokrytí vysoký sklon dráhy 2. Maximalizace měřeného signálu a SNR kruhová dráha, co nejnižší výška 3. Dostatečná doba trvání mise (více roků) Požadavky 2. a 3. jsou v rozporu, problém s nízkou výškou je v odporu atmosféry, který by ukrátil dobu trvání mise kompromis, počáteční výška 500 km, která postupně klesá. 28

Slunečně synchronní dráhy Slunečně synchronní dráha = SSO = sun-synchronous orbit: Úhlová rychlost stáčení roviny dráhy je stejná, jakou obíhá Země kolem Slunce: 360 /365.25 dnů = +0.9856 /den Rovina dráhy stále sleduje Slunce, vzhledem ke Slunci je dráha stále stejně natočená. Úhlová rychlost precese pro kruhovou dráhu: dω/dt = 10 (R/a) 3.5 cos i [stupňů/den] Odtud plyne, že aby bylo dω/dt > 0, musí být dráha retrográdní, i>90 Výhody, pro které jsou SSO hojně využívány zvláště pro dálkový průzkum: Jsou to polární dráhy (dráhy s vysokým sklonem v blízkosti 90 ) pokrytí (téměř) celého povrchu Země Družice prolétá nad stejnou zem. šířkou ve stejnou denní dobu (stejný lokální čas): např. Landsat-7 prochází sestupným uzlem dráhy vždy v 10 hod ráno, data jsou sbírána nad osvětlenou částí Země na celé sestupné části dráhy 29

Příklad: slunečně synchronní dráha GOCE První gravitační mise ESA (2009 2013) Dráha: výška 260 km, polární, i=96.7 Slunečně synchronní dráha: rovina dráhy se stáčí vlivem J2 tak, že dráha udržuje vzhledem ke Slunci stejný úhel. V případě Goce je dráha stále kolmá na směr ke Slunci. Družice: 1100 kg, délka 5,3 m, průměr 1 m Kvůli dostatečnému přísunu energie musí být dráha družice GOCE slunečně synchronní. Na obrázku vlevo strana družice přivrácená ke Slunci, prakticky celá pokrytá slunečními panely, vpravo strana odvrácená od Slunce. 30

Další poruchové síly První aproximace pohybu družice: keplerovská elipsa (two-body) Hlavní poruchové síly: odpor atmosféry (drag) gravitační pole (70 70) Pro velmi přesné dráhové výpočty je možno zahrnout další, menší poruchové síly: Lunisolární poruchy (Third-body) Tlak slunečního záření (SRP) Slapy pevné Země (Solid tides) Slapy oceánů (Ocean tides) Obrázek ukazuje změnu polohy LEO družice vyvolanou jednotlivými poruchovými silami pro slunečně synchronní dráhu ve výšce 500 km za 4 dny. 31

Hlavní poruchy pro modelování dlouhodobého vývoje LEO družice Družice: GFZ-1 (1995 1999), v grafech jsou pozorování (modře) a teorie (červeně) Do teorie byly postupně přidávány poruchové síly, aby se zlepšil souhlas s daty 1: J2 správně Ω 2: J2,OA správně a 3: J2,J3 správně e,ω 4: J2,J3,OA správně Ω,a, e,ω 5: J2,J3,OA,SOL lépe i 6: J2,J3,OA,LUNI,SOL lépe i 32

Paradox zvýšení rychlosti při poklesu výšky Odpor atmosféry snižuje velkou poloosu a odebírá energii, družice klesá. Důsledek rovnic keplerovské elipsy: Při odebrání energie se zvýší rychlost družice! Pro kruhovou keplerovskou dráhu platí: Velká poloosa a=r, rychlost v=(μ/r) 1/2, kde μ=gm Celková energie E je daná součtem kinetické E K a potenciální E P (užíváme zde energii pro družici o jednotkové hmotnosti) E = E K + E P = v 2 /2 μ/r Pro keplerovskou elipsu: E = μ/(2a) = μ/(2r) Odtud pro kinetickou energii dostaneme: E K = E E P = μ/2r + μ/r = μ/(2r) = E = E P /2 = E P /2 Zdánlivý paradox je dán tím, že kinetická energie je rovna polovině absolutní hodnoty potenciální energie (viz obrázek nahoře) Jak psáno výše, rychlost je v=(μ/r) 1/2, takže skutečně čím je družice níže, tím se pohybuje rychleji (obr. dole) 33