POČÍTAČOVÉ ALGEBRAICKÉ SYSTÉMY: -MATHEMATICA 4.0-

Math40-2.nb 1 POČÍTAČOVÉ ALGEBRAICKÉ SYSTÉMY: -MATHEMATICA 4.0- Vojtěch Bartík Část 2 Dokumenty v prostředí MS Windows Základní prvky jazyka Proměnné, okamžité a odložené přiřazení (definice) Používání dřívejších výsledků Relace a logické operace Čísla Matematické konstanty Aritmetické operace Elementární funkce Některé další funkce Dokumenty v prostředí MS Windows Po ťuknutí na ikonu programu Mathematica 4.0 se nejprve spustí tzv. FRONTEND - uživatelské rozhraní, jehož prostřednictvím s programem Mathematica v prostředí MS Windows komunikujeme. Na jeho konfiguraci záleží, zda-li se vlastní program Mathematica, zv. KERNEL, načte do paměti počítače ihned nebo až po odeslání prvního příkazu, kterým může být také kliknutí na položku "Start KernelÆLocal" v roletě "Kernel" v nabídkové liště. Při práci se systémem Mathematica 4.0 v prostředí WS Windows obvykle vytváříme dokument, kterému se v tomto systému říká NOTEBOOK. Extenze každého dokumentu je "nb". Uživatelské rozhraní nám po startu nabídne čistý dokument nazvaný "Untitled-1", ale můžeme si také vybrat z již existujících dokumentů. à Buňky a skupiny buněk Základními jednotkou dokumentu je BUŇKA (CELL). Nová buňka se otevírá napsáním jakéhokoliv znaku mimo oblast již existujících buněk a má automaticky styl "Input" a atributy "Editable" a "Evaluatable". Buňky můžeme v případě potřeby dělit na menší nebo spojovat ve větší a také je sdružovat do skupin pomocí příkazů v okénku "Cell Grouping" rolety "Cell". Zvolíme-li "Automatic Grouping", sdružování do skupin provádí FrontEnd automaticky podle schématu {Title, } {Subtitle, } {Subsubtitle, } {Section, } {Subsection, } } {Subsubsection, {Text, Small Text, {Input, Output}}

2 Math40-2.nb Každá buňka a skupina buněk je u pravého okraje obrazovky vyznačena hranatou závorkou. à Atributy a stylové parametry buňky Každá buňka má své ATRIBUTY a STYL. Atributy můžeme specifikovat pomocí příkazů v okénku "CellÆCell Properties". Styl a různé parametry stylu můžeme měnit pomocí příkazů v okénku "Style" rolety "Format", editací stylového archu (Style Sheet), který otevřete kliknutím na položku "Edit Style Sheet" v roletě "Format" a pomocí utility"option Inspector", kterou najdeme v roletě "Format" nabídkové lišty a kterou můžeme otevřít také kliknutím na poslední položku "Preferences" v roletě "Edit". Buňky, jejichž obsah vidíte na obrazovce, mají atribut "Open". Přítomnost buňky, které tento atribut odeberete, signalizuje pouze malá závorka u pravého okraje obrazovky. Např. následující buňka má stejný obsah jako tato, ale nemá atribut "Open": Každá buňka má své ATRIBUTY a STYL. Atributy můžeme specifikovat pomocí příkazů v okénku "CellÆCell Properties". Styl a různé parametry stylu můžeme měnit pomocí příkazů v okénku "Style" rolety "Format", editací stylového archu (Style Sheet), který otevřete kliknutím na položku "Edit Style Sheet" v roletě "Format" a pomocí utility"option Inspector", kterou najdeme v roletě "Format" nabídkové lišty a kterou můžeme otevřít také kliknutím na poslední položku "Preferences" v roletě "Edit". Buňky, jejichž obsah vidíte na obrazovce, mají atribut "Open". Přítomnost buňky, které tento atribut odeberete, signalizuje pouze malá závorka u pravého okraje obrazovky, jako např. u této textové buňky, která obsahuje pouze jednu mezeru: Buňky s atributem "Editable" můžeme editovat, buňky bez tohoto atributu se editovat nedají a nelze měnit ani jejich atributy a stylové parametry kromě atributu "Editable". Buňky s atributem "Edit Duplicate" při jakémkoliv pokusu o jejich editaci automaticky produkují editovatelnou kopii. Tento atribut je implicitně nastaven u všech výstupních buněk, tj. u buněk majících styl "Output". Buňky s atributem "Evaluatable" Mathematica vyhodnocuje, buňky bez tohoto atributu ignoruje. Buňky s atributem "Initialization" mohou být vyhodnoceny automaticky při načítání dokumentu. Ze stylů, které může buňka mít, jsou pro nás zatím důležité pouze "Input" a "Output", jejichž význam je jasný. Každá buňka mající styl "Input" má automaticky atribut "Evaluatable". Z obsahu vstupní buňky Mathematica ignoruje pouze text začínající znakem (* a končící znakem *). Chceme-li zjistit, jaké atributy, styl a stylové parametry buňka má, označíme ji kliknutím na její závorku a podíváme se do příslušných okének: atributy, styl a stylové parametry buňky jsou v těchto okéncích zaškrtnuty. Podobně postupujeme, chceme-li některé atributy buňky změnit. Atribut "Active" aktivuje některé prvky buňky, jako jsou např. tlačítka, palety a hyperlinky. Např. následující dvě buňky obsahují totéž tlačítko Expand@ D Expand@ D První buňka je neaktivní, a proto po kliknutí na tlačítko v ní obsažené se nic neděje. Druhá buňka je aktivní a proto kliknutí na ni okopírovalo její obsah za poslední slovo této věty: Expand[É]. Aktivní elementy buňky nelze editovat, pokud má buňka atribut "Active". U vstupních a výstupních buněk můžeme měnit ještě "Input Format" resp. "Output Format". Pro každý z nich máme tři možnosti: "Input Form", "Standard Form" a "Traditional Form". Format

Math40-2.nb 3 určuje způsob formátování matematických formulí. Implicitně je formát u vstupních i výstupních buněk nastaven na "Standard Form", což je forma přesně odpovídající syntaktickým pravidlům jazyka systému Mathematica. "Traditional Form" je bližší obvyklé matematické symbolice, ale na rozdíl od "Standard Form" ne vždy jednoznačně přeložitelná do "Input Form", kterou umí Mathematica jednoznačně interpretovat. Některé atributy a formát buňky lze poznat z tvaru její závorky. Viděli jsme např., že u závorky aktivní buňky je písmeno "A". Všechny buňky, které nemají atribut "Evaluateble", mají stejnou závorku jako tato textová buňka. Závorka 1. buňky v následující skupině signalizuje, že je to vstupní buňka s atributy "Editable" a "Evaluatable" a formátem "Standard Form", a závorka 2. buňky říká, že jde o výstupní buňku s atributem "Editable" a formátem "Standard Form": Sin@π 2 + 1D ArcCos@ 2 1D Sin@1 + π 2 D ArcCos@ 1 + 2 D Závorka 1. buňky v další skupině říká, že buňka má atributy "Editable" a "Evaluatable" a formát "Input Form", a závorka 2. buňky ukazuje na výstupní buňku s atributem "Editable" a formátem "Traditional Form": Sin[Pi^2 + 1]/ArcCos[E^2-1] Sin@1 + π 2 D ArcCos@ 1 + 2 D Atribut "Edit Duplicate" nelze z tvaru závorky vyčíst. Následující buňka má podle závorky formát "Standard Form" a chybí jí jak atribut "Editable", tak atribut "Evaluatable": Sin@π 2 + 1D ArcCos@Exp@2D 1D à Vyhodnocení (evaluace) buňky nebo skupiny buněk K vyhodnocení (evaluaci) jsou určeny pouze vstupní buňky, tj. s atributy "Input" a "Evaluatable". Chceme-li nechat takovou buňku vyhodnotit, umístíme do ní kurzor nebo ji označíme kliknutím na její závorku a pak stiskneme současně klávesy Û nebo pouze klávesu Û v pravém dolním rohu rozšířené klávesnice. Stejnými klávesami dáme příkaz k vyhodnocení všech vstupních buněk s atributem "Evaluatable" obsažených v označené skupině buněk. Evaluaci lze přerušit nebo zrušit kliknutím na nabídku "Interrupt Evaluation" resp."abort Evaluation" v roletě "Kernel". Totéž lze udělat také z klávesnice pomocí +, resp. +.. Někdy však trvá dosti dlouho, než Mathematica zareaguje. à Používání palet Mathematica 3.0 nabízí celkem sedm palet, které usnadňují jak používání mnoha matematických a technických symbolů, které nenajdete na klávesnici, tak používání nejběžnějších vestavěných funkcí či operací. Jsou to tyto palety: 1.AlgebraicManipulation 2.BasicCalculations 3.BasicInput 4.BasicTypesetting 5.CompleteCharacters

4 Math40-2.nb Další palety si můžete vytvářet sami. 6.InternationalCharacters 7.NotebookLauncher Palety 3, 4, 5, 6 obsahují různé typy písma, řecká a jiná písmena, nejrůznější matematické a technické symboly a šablony pro psaní zlomků, mocnin, odmocnin, derivací, neurčitých i určitých integrálů, součtů, součinů, matic a jiných matematických výrazů. Kliknutím na "tlačítko" palety se objekt na ní zobrazený okopíruje na poslední pozici kurzoru. Palety nejsou jediným prostředkem, jak různé typy písma a symboly zařadit do textu. Např. abg dostanete také v případě, že napíšete bez mezer za zpětnými lomítky např. řetězec "\ [Alpha]\ [Beta]\ [Gamma]". Písmeno p můžete získat také napsáním řetězce ÂalphaÂ, symbol získáte napsáním ÂinfÂ, dvojitou hranatou závorku P získáte napsáním Â[[Â, atd. Jak lze to či onen znak tímto způsobem získat, se většinou dozvíte, když si ho najdete v paletě a ukážete na něj kurzorem. Paleta 1 obsahuje názvy některých nejčastěji používaných algebraických úprav spolu s volným místem pro argument a funguje odlišně. Např. v ní najdete tlačítko s nápisem Expand@àD, které funguje takto: vyberu pomocí kurzoru formuli nebo její podformuli, např. HHa + bl 2 + cl 3 HHa + bl 2 + cl 3 Potom kliknu na uvedené tlačítko a dostanu na stejním místě Ha 2 + 2 a b + b 2 + cl 3 Ha 2 + 2 a b + b 2 + cl 3 Formule se může nacházet v jakékoliv buňce. Stejná a další tlačítka najdete v paletě 2, která však funguje jinak. Vyberu-li např. pomocí kurzoru stejnou formuli jako výše a pak kliknu na tlačítko Expand[à] v této paletě, dostanu na stejném místě HExpand@Ha + bl 2 D + cl 3 Ha 2 + 2 a b + b 2 + cl 3 Kliknu-li místo toho na tlačítko à+é, dostanu HHa + bl 2 + + cl 3 HHa + bl 2 + c + L 3 Umístím-li však kurzor za podformuli Ha+bL 2 a pak kliknu na toto tlačítko, dostanu HHa + bl 2 + + + cl 3 Hc +Ha + bl 2 + 2 L 3 přičemž kurzor je na pozici černého čtverečku. Poslední paleta 7 slouží k otevírání nových dokumentů s předdefinovaným stylem. Např. tento dokument má svůj vlastní stylový arch, který vznikl importováním stylu "Textbook" a jeho následnou úpravou.

Math40-2.nb 5 Základní prvky jazyka Základními prvky jazyka jsou symboly, celá čísla, reálná čísla a řetězce. Tyto prvky se souhrnně nazývají ATOMY. Symbol je libovolná posloupnost písmen a přirozených čísel, která nezačíná číslem. Co jsou celá čísla je jasné, o reálných číslech si povíme za chvíli a řetězec je libovolná posloupnost ASCI znaků mezi uvozovkami. Z atomů vytváříme rekurzivně VÝRAZY (EXPRESSIONS). Výraz je buď atom nebo posloupnost znaků tvaru f[a1,a2,...,an], kde f, a1, a2,..., an jsou výrazy. Výraz f se nazývá ZÁHLAVÍ (HEAD), výrazy a1, a2,..., an jsou jeho ARGUMENTY nebo prvky. Číslo n se nazývá DÉLKA (LENGTH) výrazu a může být rovno nule, tj. výraz může mít tvar f[ ]. To, co bylo právě řečeno o výrazech, se týká jejich vnitřní reprezentace, nikoliv jejich vstupního nebo výstupního tvaru, které jsou pokud možno uzpůsobeny matematickým zvyklostem a závisejí také na tom, zda formát buňky je "InputForm", "OutputForm", "StandardForm" nebo "TraditionalForm". Vnitřní tvar každého výrazu můžeme získat příkazem FullForm a jeho záhlaví příkazem Head. Expression FullForm Head a2b27 a2b27 Symbol 3.14 3.14 Real 2 ê 7 Rational@2, 7D InputForm 7 2 Rational@7, 2D Rational 2 + 3 I Complex@2, 3D Complex 23abc7e "23abc7e" String 2@xD 2@xD 2 a + b Plus@a, bd Plus a b Times@a, bd Times 1 a Power@a, 1D Power a 2 Power@a, 2D Power b a Times@Power@a, 1D, bd Times a@2d@4d@a, b, cd a@2d@4d@a, b, cd a@2d@4d a@2d@4d@a + b, 2 cd a@2d@4d@plus@a, bd, Times@2, cdd a@2d@4d α \[Alpha] Symbol Φ \[CapitalPhi] Symbol Existuje řada příkazů, jejichž pomocí můžeme získávat různé informace o struktuře výrazů. Např. TreeForm[expr] nám ukáže stromovou strukturu výrazu expr: TreeFormA Sin@x2 D Cos@xD 3 + 1 E TimesA» PowerA» PlusA1,» PowerA», 3E Cos@xD E, 1E,» SinA» E Power@x, 2D E

6 Math40-2.nb Proměnné, okamžité a odložené přiřazení (definice) V zásadě lze jako proměnnou použít jakýkoliv výraz. Mohou však nastat potíže, pokud záhlaví obsahuje jméno, které používá Mathematica. K určitým účelům však lze použít pouze symboly. JMÉNA VESTAVĚNÝCH FUNKCÍ, OPERACÍ A PŘÍKAZŮ ZAČÍNAJÍ VELKÝM PÍSMENEM. a@plusd = 4 4 c@timesd = 5 5 8x, y, z< = 81, 2, a 2 < 81, 2, a 2 < 2@aD = 6 Set::write : Tag Integer in 2@aD is Protected. 6 Okamžité přiřazení má tvar expr1 = expr2 nebo ekvivalentně Set[expr1, expr2]. Odložené přiřazení má tvar expr1 := expr2 nebo ekvivalentně SetDelayed[expr1, expr2]. Při expr1 = expr2 se expr2 vyhodnotí okamžitě, při expr1 := expr2 až při použití. Clear@a, b, cd; x1 = Expand@Ha + bl 2 D; x2 := Expand@Ha + bl 2 D; 8x1, x2< 8a 2 + 2 a b + b 2, a 2 + 2 a b + b 2 < a = c + 1; 8x1, x2< 8b 2 + 2 b H1 + cl +H1 + cl 2, 1 + 2 b + b 2 + 2 c + 2 b c + c 2 < random1 = Random@Integer, 80, 100<D; Table@random1, 810<D 837, 37, 37, 37, 37, 37, 37, 37, 37, 37< random2 := Random@Integer, 80, 100<D; Table@random2, 810<D 8100, 75, 82, 56, 57, 43, 100, 66, 60, 90< Odložené přiřazení je nutné, závisí-li na podmínce.

Math40-2.nb 7 Clear@y1D; y1 := If@a > 0, 1, 1, 0D; 8a = 1; y1, a = 1; y1, a =.; y1< 81, 1, 0< Clear@y1D; y1 = If@a > 0, 1, 1, 0D; 8a = 1; y1, a = 1; y1, a =.; y1< 80, 0, 0< Přiřazení zrušíme příkazem expr =. nebo ekvivalentně Unset[expr]. Příkaz Clear[symbol] ruší všechna přiřazení a definice spojené se symbolem kromě atributů. Příkaz ClearAll[symbol] ruší i atributy. f@1d = 1; f@2d = 2; f@3d = 3; 8f@1D, f@2d, f@3d< 81, 2, 3< f@1d = 1; Hf@2DL =.; f@3d = 3; 8f@1D, f@2d, f@3d< 81, f@2d, 3< Clear@fD; 8f@1D, f@2d, f@3d< 8f@1D, f@2d, f@3d< Používání dřívějších výsledků Mathematica si pamatuje všechny vstupy a výstupy a čísluje je. Kliknutím na položku "Show In/Out Names" v roletě "Kernel" lze zařídit, aby toto číslování bylo resp. nebylo vidět ať už na obrazovce nebo na tiskárně. Příkazem In[n] lze použítn-tý vstup a příkazem Out[n] nebo %n n-tý výstup. Na poslední výstup se lze odkázat příkazem % nebo Out[-1], na předposlední příkazem %% nebo Out[-2], na předpředposlední příkazem %%% nebo Out[-3], atd. Textový tvar n-tého vstupu lze získat příkazem InString[n]. a = 4 4 c = è!!!! 5 è!!! 5

8 Math40-2.nb 8%, %, InString@ 1D, %%, %%, InString@ 2D< 8 è!!! 5, è!!! 5, \Hc = \@5\L, 4, 4, \Ha = 4\L< Relace a logické operace à Relace Relace FullForm Význam x == y Equal@x,yD x se rovná y x y Unequal@x,yD x se nerovná y x === y SameQ@x,yD x a y jsou identické x=!= y UnsameQ@x,yD x a y nejsou identické x > y Greater@x,yD x je větší než y x y GreaterEqual@x,yD x je větší nebo rovno y x < y Less@x,yD x je menší než y x y LessEqual@x,yD x je menší nebo rovno y x == y == z Equal@x,y,zD x, y a z se rovnají x y z Unequal@x,y,zD x, y a z jsou vzájemně různé x > y > z x > y > z zřejmý Příklady: 8x = 1, y = 2, x == y, x === y< 81, 2, False, False< Clear@x, yd; 8x, y, x == y, x === y< 8x, y, x == y, False< à Logické operace Operace FullForm Význam! p Not@pD logická negace p && q And@p, qd konjunkce p && q && r And@p, q, rd konjunkce p»» q Or@p, qd disjunkce p»» q»» r Or@p, q, rd disjunkce Xor@p, qd Xor@p, qd vylučovací disjunkce Xor@p, q, rd Xor@p, q, rd vylučovací disjunkce If@p, t, fd If@p, t, fd t pro p==true, f pro p==false If@p, t, f, ud If@p, t, f, ud t pro p==true,f pro p==false, jinak u Příklady:

Math40-2.nb 9 Clear@p, q, rd; 8p && q && r, pflqflr< 8p && q && r, p && q && r< p = True; q = True; r = False; 8p && q && r, pflqflr< 8False, False< Clear@p, q, rd; 8p»» q»» r, pfiq fi r< 8p»» q»» r, p»» q»» r< p = True; q = True; r = False; p»» q»» r True Clear@p, q, rd; Xor@p, q, rd Xor@p, q, rd p = True; q = True; r = False; Xor@p, q, rd False p = True; q = False; r = False; Xor@p, q, rd True Čísla à Typy čísel Integer... celá čísla s libovolným počtem cifer Rational... racionální čísla, tj. zlomky integer/integer v základním tvaru Real... čísla ve tvaru konečného dekadického rozvoje s desetinnou tečkou, např. 5., 0.786, 556.9998 Complex... čísla tvaru number + number I (I je symbol pro imaginární jednotku), kde number je typu Integer, Rational nebo Real Celá a racionální čísla jsou tzv. exaktní či přesná čísla, s nimiž Mathematica provádí všechny operace přesně. Čísla typu Real jsou přibližná čísla. Přibližná čísla jsou vlastně dvojího druhu: machine-precision numbers - strojově přesná čísla a arbitrary-precision numbers - čísla s proměnnou přesností. Při počítání s čísly s proměnnou přesností Mathematica sleduje vliv zaokrouhlovacích chyb, při práci se strojově přesnými se o tonestará. Komplexní čísla mohou být jak exaktní, tak přibližná.

10 Math40-2.nb 123.4... strojově přesné číslo na tomto počitači (počet cifer $MachinePrecision = 16) 123.457`... strojově přesné číslo na všech počitačích 123.4567`100... číslo s proměnnou přesností se 100 platnými ciframi 123.4567``100.. číslo s proměnnou přesností se 100 platnými ciframi za desetinnou tečkou 1.234*^6... strojově přesné číslo 1.234 10^6 v tzv. vědecké notaci 1.234`100*^6... číslo v tzv. vědecké notaci se 100 platnými ciframi à Testování typu a některých vlastností čísel Chceme-li zjistit, k jakému typu Mathematica dané číslo řadí, můžeme to zjistit příkazem Head[number] nebo Head[number]===type: 9Head@13D, HeadA 2 6 E, HeadA E, Head@13.D= 3 3 8Integer, Rational, Integer, Real< 8Head@13 + 0 ID, Head@13. + 0 ID, Head@13 + 0. ID< 8Integer, Real, Complex< Další příkazy testující typ čísla nebo některé jeho vlastnosti: 8NumberQ@2D, NumberQ@πD, NumericQ@πD, EvenQ@24D, EvenQ@πD, OddQ@4D, PrimeQ@1234567897D< 8True, False, True, True, False, False, False< Primes je množina kladných prvočísel, Integers je množina celých čísel, Rationals je množina racionálních čísel, Algebraics je množina algebraických čísel, tj. čísel, která jsou kořenem polynomu s celočíselnými koeficienty, Reals je množina reálných čísel a Complexes je množina komplexních čísel: 82 Primes, 2 Integers, 2 Rationals, 2 Algebraics, 2 Reals, 2 Complexes< 8True, True, True, True, True, True< 82ê3 Primes, 2ê3 Integers, 2ê3 Rationals, 2ê3 Algebraics, 2ê3 Reals, 2ê3 Complexes< 8False, False, True, True, True, True< 9 è!!!! 2 Primes, è!!!! 2 Integers, è!!!! 2 Rationals, è!!!! 2 Algebraics, è!!!! 2 Reals, è!!!! 2 Complexes= 8False, False, False, True, True, True<

Math40-2.nb 11 8π Primes, π Integers, π Rationals, π Algebraics, π Reals, π Complexes< 8False, False, False, False, True, True< 81 + Primes, 1 + Integers, 1 + Rationals, 1 + Algebraics, 1 + Reals, 1 + Complexes< 8False, False, False, True, False, True< à Přibližná hodnota exaktních čísel a matematických konstant a funkce N, Accuracy, Precision, SetPrecisiom, InputForm, AccountingForm Přibližnou hodnotu exaktního čísla x nebo matematické konstanty najdeme pomocí příkazu N[x] nebo N[x, n]. Příkaz N[x] znamená, že Mathematica použije k výpočtu tzv. machine-precision numbers, a výsledek zaokrouhlí tak, že v jeho exponenciálním tvaru bude maximálně 6 cifer. Jaká je tato přesnost u našeho počítače, zjistíme příkazem $MachinePrecision. Druhý argument v příkazu N[x,n] znamená, že Mathematica bude při výpočtu pracovat s čísly, která mají max{n, $MachinePrecision} platných cifer, a nikoliv, že výsledek bude mít n platných cifer. Ve výsledku bude maximálně n cifer - neuvádějí se např. samé nuly za desetinnou tečkou. Informaci o neukázaných cifrách můžeme získat pomocí příkazu InputForm. Příkaz AccountingForm nám ukáže všechny cifry nalevo od desetinné čárky. Příkazem Precision zjistíme, kolik cifer Mathematica považuje za platné, a příkazem Accuracy zjistíme počet platných cifer za desetinnou čárkou. $MachinePrecision 16 x = N@3D; 8x, InputForm@xD, Precision@xD< 83., 3., 16< x = NA 3 7, 2E; 8x, InputForm@xD, Precision@xD< 80.428571, 0.42857142857142855, 16< x = N@π, 17D; 8x, InputForm@xD, Precision@xD< 83.1415926535897932, 3.1415926535897932384626433833`17, 17<

12 Math40-2.nb x = 3.14 20 ; 8x, AccountingForm@xD, InputForm@xD, Precision@xD, Accuracy@xD< 88.68146 10 9, 8681463856., 8.681463855993656*^9, 16, 6< x = 3.14``20 40 ; 8x, AccountingForm@xD, InputForm@xD, Precision@xD, Accuracy@xD< êê ColumnForm NumberForm::sigz : In addition to the number of digits requested, one or more zeros will appear as placeholders. 7.536781468292422083 10 19 75367814682924220830. 7.5367814682924220826905142889`18.8949*^19 19 1 x = N@π, 30D 50 ; 8x, AccountingForm@xD, InputForm@xD, Precision@xD, Accuracy@xD< êê ColumnForm 7.202671944715803306364652672 10 24 7202671944715803306364652.672 7.2026719447158033063646526723514234752131203`28.301*^24 28 3 Mají-li vstupní data výpočtu jenom $MachinePrecision, těžko můžeme požadovat, aby výsledek měl přesnost vyšší: 8x = N@3.1 100, 30D, Precision@xD, Accuracy@xD< 81.36826 10 49, 16, 33< Přesnost přibližného čísla lze zvětšit připsáním nul do jeho rozvoje nebo příkazem SetPrecision[x,n]. Po tomto příkazu Mathematica přidá do binárního rozvoje čísla x potřebný počet nul a považuje x za číslo s proměnnou přesností. 8x = 3.14, Precision@xD, x = SetPrecision@x, 30D, Precision@xD< 83.14, 16, 3.14000000000000012434497875802, 30< Jiná možnost: 8x = 3.14`30, Precision@xD< 83.14000000000000000000000000000, 30<

Math40-2.nb 13 à Jiné číselné soustavy a funkce BaseForm, IntegerDigits, RealDigits, FromDigits Číslo lze zadat i v jiné než dekadické soustavě. Základem může být kterékoliv číslo z množiny {2,3,º36}. Je-li základ větší než 10, jako dodatečné číslice slouží písmena a - z nebo A - Z. BaseForm[x,b]... representace x v soustavě o základu b IntegerDigits[x]... seznam číslic celého čísla x v dekadické soustavě IntegerDigits[x,b]... seznam číslic celého čísla x v soustavě o základu b IntegerDigits[x,b,l]... seznam číslic celého čísla x v soustavě o základu b doplněný vlevo nulami do délky l RealDigits[x]... seznam číslic čísla x v dekadické soustavě + údaj o pozici první nenulové číslice RealDigits[x,b]... seznam číslic čísla x v soustavě o základu b + údaj o pozici první nenulové číslice RealDigits[x,b,l]... seznam prvních l číslic čísla x v soustavě o b + údaj o pozici první nenulové číslice RealDigits[x,b,l,n]... seznam prvních l číslic čísla x v soustavě o základu b počínaje číslicí na pozici n 82^^11001, 16^^AB002, 24^^iJ02< 825, 700418, 259778< Thread@BaseForm@%, 82, 16, 24<DD 811001 2, ab002 16, ij02 24 < Thread@Hold@IntegerDigitsD@%%, 82, 16, 24<DD êê ReleaseHold 881, 1, 0, 0, 1<, 810, 11, 0, 0, 2<, 818, 19, 0, 2<< 82^^1.11001, 16^^2.AB112, 24^^23.iJ020000000< 81.78125, 2.66823, 51.782992139274691< Thread@BaseForm@%, 82, 16, 24<DD 81.11001 2, 2.ab11 16, 23.ij020000000 24 < MapThread@RealDigits@#1, #2, 10D &, 8%%, 82, 16, 24<<D êê ColumnForm 881, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0<, 1< 882, 10, 11, 1, 1, 2, 0, 0, 0, 0<, 1< 882, 3, 18, 19, 0, 2, 0, 0, 0, 0<, 2<

14 Math40-2.nb FromDigits[list]... vytvoří kladné celé číslo ze seznamu dekadických číslic FromDigits[list,b]... totéž v soustavě o základu b FromDigits[{list,n},b]... totéž jako FromDigits[list,b], ale první číslice se posune o n míst vlevo resp. vpravo. Výsledek je ovšem v dekadické soustavě. Základ b=10 lze vynechat. 8FromDigits@81, 0, 1, 1, 1<D, FromDigits@881, 0, 1, 1, 1<, 2<D< 910111, 10111 10000000 = % êê N êê BaseForm@#, 10D & 810111., 0.0010111< 8FromDigits@81, 0, 1, 1, 1<, 2D, FromDigits@881, 0, 1, 1, 1<, 2<, 2D< 923, 23 128 = % êê N êê BaseForm@#, 2D & 810111. 2, 0.0010111 2 < Matematické konstanty I... imaginární jednotka Pi... číslo "pí " E... základ přirozených logaritmů Degree... Pi/180, převodní koeficient ze stupňové do obloukové míry GoldenRatio... (1+Sqrt[5])/2, poměr délek částí tzv. zlatého řezu úsečky S matematickými konstantami Mathematica počítá jako se symboly, ví však, že reprezentují přesně definovaná exaktní reálná: 8NumericQ@πD, NumericQ@ED, NumericQ@DegreeD, NumericQ@GoldenRatioD< 8True, True, True, True< Clear@αD; NumericQ@αD False Přibližnou hodnotu těchto konstant lze kdykoliv získat s libovolnou požadovanou přesností pomocí funkce N :

Math40-2.nb 15 Map@8#, N@#, 40D< &, 8π, E, Degree, GoldenRatio<D êê TableForm π 3.141592653589793238462643383279502884197 2.718281828459045235360287471352662497757 0.01745329251994329576923690768488612713443 GoldenRatio 1.618033988749894848204586834365638117720 Mathematica zná ještě některé další konstanty a nekonečné nebo neurčité veličiny, např. EulerGamma, Catalan, -Infinity, Infinity, Indeterminate a další. Informaci o nich můžete najít v roletě Help. Aritmetické operace Operace FullForm Input forms Součet... Plus[2,3]... 2+3 Plus[a,b,c]...... a+b+c Rozdíl... Plus[2,-3]... 2-3 Plus[Times[-1,a],b]... b-a Plus[Rational[-1,3],a]... a-1/3, a 1 3 Součin... Times[2,3]... 2*3, 2 3 Times[a,b,c]...... a*b*c, a b c Podíl... Rational[2,-3]... 2 3, 2/3 Times[a,Power[b,-1]... a/b, a b Mocnina... Power[2,3]... 2^3, 2 3 Power[x,-2]... x 2, x^2 Power[x,Times[-1,y]]... x^-y, x y Power[x,Power[y,z]]... x^y^z, x yz Odmocnina... Power[x,Rational[1,2]]... Sqrt[x], è!!!! x, x 1ê2 Power[x,Rational[1,3]]... x 1ê3, è!!!! 3 x Příklady: 92766 H345 237L, 237 34 2567 235 456,, 8765 237 92658, 1990027 298010, 35720, 79 235 237 456 = 235 108072 = 9H4 2 L 3, 4 23, 4 23 = 84096, 65536, 65536<

16 Math40-2.nb 92.1 3, 2 3.1, H 2L 3, 1 H 2L 3 = 9 è!!!!!!! 2, è!!!!!!!!! 2., H1 + IL 3, 2 1+I, 2 1+1. I = 99.261, 8.57419, 8, 1 8 = 8 è!!! 2, 1.41421, 2 + 2, 2 1+, 1.53848 + 1.27792 < 90 4, 1 0 = Power::infy : Infinite expression 1 0 encountered. 80, ComplexInfinity< Mocninu Power[x,y] pro x záporné a komplexní Mathematica počítá pomocí hlavní větve přirozeného logaritmu. Elementární funkce Exp[x], E^x... exponenciální funkce Log[x]... přirozený logaritmus Log[b,x]... logaritmus o základu b x^a... obecná mocnina, a nemusí být celé číslo Sin[x]... sin(x) Cos[x]... cos(x) Tan[x]... tg(x) Cot[x]... ctg(x) Sec[x]... sec(x) = 1/cos(x) Csc[x]... cosec(x) = 1/Sin[x] ArcSin[x]... arcsin(x) ArcCos[x]... arccos(x) ArcTan[x]... arctg(x) ArcTan[x,y]... argument komplexního čísla x+jy ArcCot[x]... arccotg(x) ArcSec[x]... arccos(1/x) ArcCsc[x]... arcsin(1/x)

Math40-2.nb 17 Sinh[x]... sinh(x) Cosh[x]... cosh(x) Tanh[x]... tgh(x) Coth[x]... cotgh(x) ArcSinh[x]... argsinh(x) ArcCosh[x]... argcosh(x) ArcTanh[x]... argtgh(x) ArcCoth[x]... argcotgh(x) Všechny tyto funkce mohou mít komplexní argument. Obecná mocnina, logaritmus, cyklometrické a hyperbolometrické funkce jsou v komplexním oboru víceznačnéfunkce. Výše uvedené funkce znamenají ve skutečnosti jejich hlavní větve. Některé další funkce à Numerické funkce reálné proměnné: Abs[x]... absolutní hodnota čísla x Sign[x]... 1 pro x>0, -1 pro x<0 Round[x]... nejbližší celé číslo Floor[x]... největší celé číslo ne větší než x Ceiling[x]... nejmenší celé číslo ne menší než x Max[x,y,z,...]... maximum čísel x,y,z,... Max[{x,y,z,...}]... totéž Min[x,y,z,...]... minimum čísel x,y,z,... Min[{x,y,z,...}]... totéž Příklady: Clear@x, y, zd; 8Abs@xD, Sign@xD, Round@xD, Floor@xD, Ceiling@xD< ê. x 4 3 9 4, 1, 1, 2, 1= 3 8Abs@xD, Sign@xD, Round@xD, Floor@xD, Ceiling@xD< ê. x 2.5 82.5, 1, 2, 2, 3< 8Abs@xD, Sign@xD, Round@xD, Floor@xD, Ceiling@xD< ê. x π 8π, 1, 3, 3, 4< 8Max@x, y, zd, Min@x, y, zd< ê. 9x 1 3, y 5 7, z N@ED=

18 Math40-2.nb 92.71828, 5 7 = 8Max@x, y, zd, Min@x, y, zd< ê. 9x 1 3, y 5 7, z E= 9, 5 7 = à Numerické funkce komplexní proměnné: Re[z]... reálná část komplexního čísla z Im[z]... imaginární část komplexního čísla z Abs[z]... absolutní hodnota komplexního čísla z Arg[z]... argument komplexního čísla Conjugate[z]... komplexně sdružené číslo Příklady: 8Re@zD, Im@zD, Abs@zD, Arg@zD, Conjugate@zD< ê. z 1 + I 91, 1, è!!! 2, π 4, 1 = 8Re@zD, Im@zD, Abs@zD, Arg@zD, Conjugate@zD< ê. z 1 + è!!!! 3 I 91, è!!! 3, 2, π è!!!, 1 3= 3 8Re@zD, Im@zD, Abs@zD, Arg@zD, Conjugate@zD< ê. z ExpA1 + π I 4 E 9 è!!! 2, è!!! 2,, π 4, 1 π 4 = à Funkce celých čísel Mod[k,n]... zbytek při dělení čísla k číslem n, má vždy stejné znaménko jako n Quotient[k,n]... celá část čísla k/n, částečný podíl při dělení čísla k číslem n GCD[m,n,p,...]... největší společný dělitel čísel m,n,p,... LCM[m,n,p,...]... nejmenší společný násobek čísel m,n,p,... IntegerDigit[n,b]... cifry čísla n v číselné soustavě o základu b FactorInteger[n]... seznam prvočinitelů čísla n a jejich exponentů Divisors[n]... seznam kladných dělitelů čisla n Prime[k]... k-té prvočíslo PrimePi[x]... počet prvočísel menších než x PrimeQ[n]... testuje, zda n je prvočíslo

Math40-2.nb 19 Příklady: 8Mod@k, nd, Quotient@k, nd< ê. 8k 37, n 5< 82, 7< 8Mod@k, nd, Quotient@k, nd< ê. 8k 17, n 5< 8 2, 3< 8GCD@m, n, pd, LCM@m, n, pd< ê. 8m 36, n 48, p 56< 84, 1008< 8GCD@m, n, pd, LCM@m, n, pd< ê. 8m 36, n 48, p 56< 84, 1008< n = 120; 8FactorInteger@nD, Divisors@ nd, IntegerDigits@n, 2D< êê ColumnForm 882, 3<, 83, 1<, 85, 1<< 81, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 20, 24, 30, 40, 60, 120< 81, 1, 1, 1, 0, 0, 0< Prime@kD ê. k 85, 13, 100, 1000, 10000, 100000, 1000000< 811, 41, 541, 7919, 104729, 1299709, 15485863< PrimePi ê@ 8100, 1000, 10000, 100000, 1000000< 825, 168, 1229, 9592, 78498< PrimeQê@82 4 1, 2 5 1, 2 6 1, 2 7 1, 2 8 1, 2 9 1, 2 10 1, 2 11 1< 8False, True, False, True, False, False, False, False< à Kombinatorické funkce n!... faktoriál Factorial[nD... totéž n!!... dvojný faktoriál Factorial2[nD... totéž Binomial[n,m]... binomický koeficient, n nad m Multinomial[n,m1,m2,...]... n!/(m1!*m2!...) Signature[{i1,i2,...}]... znaménko permutace {i1,i2,...} vzhledem ke standardnímu uspořádání

20 Math40-2.nb Příklady: 83!, 4!, 5!, 6!, 7!, 8!, 10!, 15!< 86, 24, 120, 720, 5040, 40320, 3628800, 1307674368000< 83!!, 4!!, 5!!, 6!!, 7!!, 8!!, 10!!, 15!!< 83, 8, 15, 48, 105, 384, 3840, 2027025< HBinomial@6, #1D &Lê@80, 1, 2, 3, 4, 5, 6< 81, 6, 15, 20, 15, 6, 1< Multinomial@2 + 3 + 5 + 7, 2, 3, 5, 7D 114367613891731200 8Signature@81, 3, 2, 9, 8, 7, 6, 5<D, Signature@81, 3, 2, 9, 8, 7, 6, 5<D< 81, 1< à Pseudonáhodná čísla Random[ ]... pseudonáhodné reálné číslo mezi 0 a 1 Random[Real,xmax]... pseudonáhodné reálné číslo mezi 0 a xmax Random[Real,{xmin,xmax}]... pseudonáhodné reálné číslo mezi xmin a xmax Random[Complex]... pseudonáhodné komplexní číslo v jednotkovém čtverci Random[Complex,zmax]... pseudonáhodné komplexní číslo ve čtverci určeném body 0 a zmax Random[Complex,{zmin,zmax}].. pseudonáhodné komplexní číslo ve čtverci určeném body zmin a zmax Random[Integer]... 0 nebo 1 s pravděpodobností 1/2 Random[Integer,{xmin,xmax}].. pseudonáhodné celé číslo mezi xmin a xmax včetně Random[type,range,n]... n-ciferné pseudonáhodné číslo typu type z oboru range SeedRandom[integer]... nastavení generátoru pseudonáhodných čísel SeedRandom[ ]... nastavení generátoru pseudonáhodných čísel časovým údajem $RandomState... systémová proměnná charakterizující okamžitý stav pseudonáhodného generátoru Příklady: Table@Random@D, 85<D 80.433114, 0.241495, 0.485304, 0.52209, 0.916045<

Math40-2.nb 21 Table@Random@Real, 10D, 85<D 80.43198, 3.08106, 6.24348, 8.45971, 8.02473< Table@Random@Real, 88, 10<D, 85<D 89.429, 9.07618, 9.22876, 9.77175, 8.86568< Table@Random@ComplexD, 82<D 80.592849 + 0.850996, 0.479861 + 0.0396471 < Table@Random@Complex, 1 + 2 ID, 82<D 80.108719 + 0.700794, 0.982861 + 1.06359 < Table@Random@Complex, 89 + I, 10 + I<D, 82<D 89.99307 +, 9.74137 + < Table@Random@Integer, 8 20, 100<D, 810<D 882, 47, 15, 2, 70, 39, 29, 55, 61, 33< Table@Random@Real, 8 1, 1<, 10D, 84<D 8 0.0580451, 0.997523, 0.396335, 0.476766< ListPlot@Table@Random@Complex, 8 2 2 I, 2 + 2 I<D, 820<D ê. u_complex > 8Re@uD, Im@uD<, PlotStyle > 8PointSize@0.01D<, Frame > TrueD; 1 0-1 -2-2 -1 0 1 2

22 Math40-2.nb SeedRandom@123456789D; Table@Random@Integer, 80, 100<D, 810<D 878, 14, 62, 30, 44, 52, 31, 79, 98, 56< SeedRandom@123456789D; Table@Random@Integer, 80, 100<D, 815<D 878, 14, 62, 30, 44, 52, 31, 79, 98, 56, 57, 5, 49, 98, 68< state = $RandomState 22140083339575350884891933646108401879340533421262379660272133994 4179756739398463367349778631350484338917635976454880372781269703 5949562837013765627961803178990299084617491224455464276154764202 2586423183440456096328309508724812239898009496167171198338639171 5988292069596505012358495154104114244809509249090185772906732521 6041294545100523146337471337752231236884423148793724882767504137 3582714198159754993041262335685687790176524607055257567988801331 9281098240346744002640068655142213828438312580881634053658846224 4668131097335953861962780392557982084206143940 $RandomState = state; Table@Random@Real, 80, 10<, 10D, 85<D 86.74928, 0.225567, 8.97335, 9.43731, 5.84454< $RandomState = state; Table@Random@Real, 80, 10<, 10D, 810<D 86.74928, 0.225567, 8.97335, 9.43731, 5.84454, 5.34689, 1.52516, 4.691, 3.28617, 6.10272< Table@Random@Real, 80, 10<, 10D, 810<D 83.01981, 7.47955, 2.10607, 8.18136, 2.70301, 4.55817, 9.99036, 5.47196, 6.49137, 4.74437<