soubor FUNKCÍ příručka pro studenty

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "soubor FUNKCÍ příručka pro studenty"

Transkript

1 soubor FUNKCÍ příručka pro studenty

2 1 Obsah Poznámky 6 lineární funkce mocninné funkce s přirozeným exponentem o sudým o lichým s celým záporným exponentem o sudým o lichým s racionálním exponentem o druhá odmocnina o třetí odmocnina exponenciální funkce se základem e přirozený logaritmus exponenciální funkce se základem a o 0,1 o >1 goniometrické funkce sinx cosx tgx cotgx cyklometrické arcsinx arccosx arctgx arccotgx hyperbolické funkce sinhx coshx Pokyny k tisku: - je důležité tisknout oboustranně a ve správném pořadí! Jinak nebudou funkce a jejich grafy navazovat. varianta: soubor tisk vlastnosti zaškrtnout oboustranný tisk. Tiskárna sama vyzve k obrácení listů. varianta: soubor tisk tisknout: všechny stránky ve výběru liché stránky sudé stránky Poté ručně otočit listy a změnit na tisk všech sudých stránek.

3 5 2 Poznámky vyšetření průběhu funkce Určíme definiční obor Df Vyšetříme, zda je funkce sudá nebo lichá; pokud ano, stačí se při výpočtech omezit na polovinu definičního oboru Df. Vyšetříme, zda je funkce periodická; pokud ano, stačí se při výpočtech omezit na jednu základní periodu definičního oboru. Vypočítáme funkční hodnoty nebo ity funkce v krajních bodech intervalů definičního oboru Df; určíme svislé či vodorovné asymptoty grafu funkce.. Pokud je 0 Df, určíme průsečík s osou y: [0,f(0)]. Určíme průsečíky s osou x: [?,0] (řešíme rovnici f(x) = 0). Vypočítáme první derivaci f a určíme Df (je podmnožinou Df). Vypočítáme derivace (popřípadě jednostranné derivace) funkce f v bodech z Df \ Df. Určíme intervaly definičního oboru Df, ve kterých je funkce rostoucí či klesající (řešíme rovnici f (x) = 0). Určíme lokální extrémy (a některé inflexní body). 6. Zjistíme, zda funkce má šikmé asymptoty u (+ ) nebo u ( ). Vypočítáme druhou derivaci f a určíme Df. Určíme intervaly definičního oboru Df, ve kterých je funkce konvexní či konkávní (řešíme rovnici f (x) = 0). Určíme inflexní body a tečny v těchto bodech. GRAF FUNKCE 9. Určíme globální extrémy.

4 3 lineární funkce graf coshx f(x) = ax+b a R, b R D(f) = R je-li a = 0, je funkce f konstantní a sudá je-li b = 0, je funkce f lichá %0 0 >0 )*+, %0 0 )1. průsečíky s osami: s osou y 0,00, >0 s osou x,0! pro a " 0 derivace funkce f (x) = (ax+b) = a >0 #$ >0 je funkce rostoucí na '( %0 #$ %0 je funkce klesající na '( f (0) = 0 přímka y = 1 je vodorovnou tečnou grafu funkce v bodě 0,1

5 hyperbolický cosinus graf lineární fce 3 f(x) = coshx cosh(x) = D(f) = R H(f) = 1, F F y = x+1 je sudá, není prostá *+, = *+, = y = 2 tg -1 - β f (x) = sinhx pro >0 je f x > 0, fce je rostoucí na 0, F F tg 5 3 pro %0 je f x%0, fce je klesající na, F 0 F y = - 3 x+3 f (x) = coshx pro ( je f x > 0, fce je konvexní na R grafem lineární funkce je přímka y = ax+b. číslo a je tzv. směrnice přímky, a = tg -.

6 5 mocninné funkce s přirozeným exponentem, sudým graf sinhx 2 f(x) = x n př: f(x) = x 2 nn, sudé D(f) = R je sudá, není prostá )+KL, ) = = f (x) = (x 2 ) = 2x, xr pro > 0 je f x > 0, funkce je rostoucí na 0 F, pro % 0 je f x % 0, funkce je klesající na F,0 0 protože f 0 0, přímka y 0 je tečna grafu funkce v bodě 0,0 f (x) = (2x) = 2, xr pro xr je f (x)>0, funkce je konvexní na R f (0) = 1 přímka y = x je tečnou grafu funkce v bodě 0,0

7 1 hyperbolický sinus graf x 2 6 f(x) = sinhx sinh(x) = ) 1 D(f) = R H(f) = R je lichá, prostá +KL, = +KL, = f (x) = N$ $.1P $ $ * *+, pro R je f x > 0, fce je rostoucí na R grafem funkce je parabola y = x 2, vrchol paraboly je bod 0,0, parametr, ohnisko T,0!, řídící přímka U V:) U f (x) = sinhx, xr pro >0 je f x > 0, fce je konvexní na 0, F F pro %0 je f x % 0, fce je konkávní na, F 0 F ) U ) X ) bod 0,0 je inflexní bod

8 7 mocninné s přirozeným exponentem, lichým graf arccotgx 0 f(x) = x n př: f(x) = x 3 nn, liché D(f) = R je lichá, prostá )**Z[ \ 3 = 3 = f (x) = (x 3 ) = 3x 2, xr pro R je f x Y 0, funkce je rostoucí na R protože f 0 0, přímka y 0 je tečna grafu funkce v bodě 0,0 f (x) = (3x 2 ) = 6x, xr pro > 0 je f x > 0, fce je konvexní na 0 F, pro % 0 je f x % 0, fce je konkávní na, F 0

9 39 cyklometrické funkce, arccotgx graf x 3 8 f(x) = arccotgx funkce cotgx je prostá na intervalu0,\, existuje k ní inverzní funkce a nazýváme ji arkuskotangens, značíme arccotg ) 3 D(f) = R H(f) = 0,\ \ prostá arccotg(0) = ^ arccotg_ 3 a= 3 ^3 arccotg1= ^ U arccotg( 3) = c^d arccotg_ 3 a= ^ 3 3 arccotg( 3) = ^ d arccotg1= 3^U **Z[0 vodorovná asymptota u (+ ) y=0 **Z[\ vodorovná asymptota u (- ) y=\ grafem fce je tzv. kubická parabola ) 3 f (x) = (arccotgx) = -, xr 8 ] pro R je f x % 0, funkce je klesající na R f (x) = 8 ] ], xr pro >0 je f x > 0, funkce je konvexní na 0, F F pro %0 je f x % 0, funkce je konkávní na, F 0 F ) 3 ) c ) e

10 9 mocninné s celým záporným exponentem, sudým graf arctgx 38 f(x) = x -n = h n N, sudé př: f(x) = ] D(f) = R - f0g je sudá, není prostá ) vodorovná asymptota u (+ ) y=0 vodorovná asymptota u (- ) y=0 )*Z[ 1 1 j 0 8 svislá asymptota x=0 f (x) = - i, xdf pro > 0 je f x % 0, funkce je klesající na 0 F, pro % 0 je f x > 0, funkce je rostoucí na F, F 0 f (x) = d, x Df k pro > 0 je f x > 0, funkce je konvexní na 0 F, pro % 0 je f x > 0, funkce je konvexní na F, F 0 f (0) = 1 přímka y = x je tečnou grafu funkce v bodě 0,0

11 37 cyklometrické funkce, arctgx graf 1/x 2 10 f(x) = arctgx funkce tgx je prostá na intervalu _^,^ a nazýváme ji arkustangens, značíme arctg a, existuje k ní inverzní funkce ) 1 D(f) = R H(f) = _^,^ a je lichá a prostá arctg(0) = 0 arctg_ 3 a=^ 3 d arctg1= ^ U arctg( 3) = ^ 3 arctg( 3) = ^ 3 arctg_ 3 a= ^ 3 d arctg1= ^ U *Z[\ 2 *Z[\ 2 vodorovná asymptota u + y = ^ vodorovná asymptota u y = - ^ ) 1 f (x) = (arctgx) = 8 ], xr pro R je f x > 0, fce je rostoucí na R ) 1 U ) 1 X f (x) = 8 ] ], xr pro >0 je f x % 0, fce je konkávní na 0, F F pro %0 je f x > 0, fce je konvexní na, F0 F

12 11 mocninné s celým záporným exponentem, lichým graf arccosx 36 f(x) = x -n = h nn, liché př: f(x) = D(f) = R - f0g je lichá, je prostá )**+ \ j j m vodorovná asymptota u (+ ): y=0 vodorovná asymptota u (- ): y=0 oboustranná ita j neexistuj je svislá asymptota x= =0 f (x) = - ], xdf pro > 0 je f x % 0, fce je klesající na 0 F, pro % 0 je f x % 0, fce je klesající na F, F 0 funkce není klesající na sjednocení intervalů F, F 0 a 0 F, f (x) = i, xdf pro > 0 je f x > 0, fce je konvexní na 0 F, pro % 0 je f x % 0, fce je konkávní na F, F 0

13 35 cyklometrické funkce, arccosx graf 1/x 12 f(x) = arccosx funkce cosx je prostá na intervalu 0,\, existuje k ní inverzní funkce a nazýváme ji arkuskosinus, značíme arccos ) 1 D(f) = 1;1 H(f) = 0;\ prostá arccos(0) = ^ arccos_ 3 a= c^d arccos_ 3 a= ^ d arccos(1) = 0 arccos_ a= 3^U arccos_ a= ^ U arccos(-1) = \ arccos_ a= ^3 f (x) = (arctgx) =, x1,,1 ] pro 1,1 je f x % 0, fce je klesající na 1,1 derivace funkce v bodě -1 zprava: f -1 m rsstu rsstu derivace funkce v bodě 1 zleva: f rsstu rsstu L H L H arccos_ a= ^ 3 m _ ]a 9 _ ]a grafem funkce je rovnoosá hyperbola, velikost hlavní poloosy = velikost vedlejší poloosy = 2, hlavní osa y = x, vedlejší osa y = -x, excentricita e = 2, ohniska vw 2, 2x, Tw 2, 2x ) 1 ) 1 c ) 1 e

14 13 funkce druhá odmocnina graf arcsinx 3 f(x) = Základní kvadratická funkce g(x) = x 2 není prostá na Dg = R. ůžeme se ale omezit jen na část Df, např x 2 je prostá na intervalu 1,10, také na intervalu 0 F, F a na intervalu F,0 F. Uvažujeme funkci g(x) = x 2 na intervalu 0, F F. Na tomto intervalu je funkce g prostá, existuje k ní funkce inverzní a nazýváme ji druhá odmocnina, značíme f(x) = g -1 (x) =. ^ )*+KL ) D(f) = 0; F F funkce není sudá ani lichá bod w0, 0x = 0,0 je bod grafu f (x) = ( ) = ( y ]) = y ] pro x0, ^ derivace zprava v bodě 0: f +(0) = jm _ j j a = j m = pro x>0 je f (x)>0, funkce je rostoucí na 0, F f (x) = _ y ]a = _ a. i ] = U. i pro > 0 je f x % 0, fce je konkávní na 0 F,, x0, f (0) = 1 přímka y = x je tečna grafu funkce v bodě 0,0

15 33 cyklometrické funkce, arcsinx graf 1 f(x) = arcsinx funkce +KL je prostá na intervalu ^,^ ) ) existuje k ní inverzní funkce a nazýváme ji arkussinus, značíme *+KL D(f) = 1;1 Hf = ^,^ ] ) prostá, lichá arcsin(0) = 0 arcsin _ a = ^ d arcsin = ^ d graf prosté funkce a graf funkce k ní inverzní jsou souměrné podle přímky y = x arcsin(1) = ^ arcsin _ a = ^ U arcsin = ^ U arcsin(-1) = ^ arcsin _ 3 a = ^ 3 arcsin 3 = ^ 3 f (x) = (arcsinx) = ], x 1,1 ] ) pro 1,1 je f x > 0, fce je rostoucí na 1,1 derivace funkce v bodě -1 zprava: f -1 m rsuz{ rsuz{ L H m ] derivace funkce v bodě 1 zleva: f rsuz{ rsuz{ L H 9 ] grafem funkce druhá odmocnina je polovina paraboly

16 15 funkce třetí odmocnina graf cotgx 32 i f(x) = třetí odmocnina je funkce inverzní k funkci 3 na R D(f) = R lichá funkce 3\ 2 \ \ 2 \ 2 \ 3\ 2 i i i f (x) = ( ) = ( y i) = 3 ] i 3 i ], pro x(f0g derivace funkce v bodě 0 : 0 i j i 1 j protože 0, přímka 0 je tečna grafu funkce v bodě 0,0 funkce je rostoucí na R f (x) = _ 3 ] ia = 3 _a. 3 i =. i, x(f0g } ~ pro > 0 je f x % 0, fce je konkávní na 0 F, pro % 0 je f x > 0, fce je konvexní na F, F 0

17 31 funkce goniometrické, cotgx i graf 16 f(x) = cotgx ) 3 ) *Z[ *+ +KL D(f) = \, 1\ Hf= =( ; ) i ) funkce je lichá, periodická; základní perioda \ vyšetřujeme na intervalu 0,\ *Z[ ^ *Z[ j8 svislá asymptota \ oboustranná ita j *Z[ neexistuje *Z[ j svislá asymptota 0 graf prosté funkce a graf funkce k ní inverzní jsou souměrné podle přímky y = x f (x) = (cotgx) = uz{ ],Df = Df pro každé 0,\ je f (x) % 0, funkce je klesající na 0,\ i ) f (x) = (tgx) = stu uz{ i, Df = Df pro _0,^ a je f (x) > 0, funkce je konvexní na _0, F^ F pro _^,\a je f (x) %0, funkce je konkávní n na ^,FF \

18 17 exponenciální funkce se základem e graf tgx 30 f(x) = $ e je tzv. Eulerovo číslo ) e je iracionální číslo (nelze vyjádřit zlomkem) a je e = 2, (nemá ukončený periodický desetinný rozvoj) průsečík grafu s osou y je 0,$ j =0,1 D(f) =R funkce není ani sudá ani lichá, je prostá 3\ 2 \ \ 2 \ \ 3\ 2 2 $ 0 vodorovná asymptota u )0 $ f (x) = $ ( f (0) = 1, přímka y = x je tečna ke grafu fce v bodě 0,0 pro ( je f (x)>0, funkce $ je rostoucí na R f (x) = $ ( pro ( je f (x)>0, funkce $ je konvexní. 5\ 6 3\ 2\ 3 vzorce: $.$ $ 8 $ $. $ $ $

19 29 funkce goniometrické, tgx graf $ 18 f(x) = tgx Z[ +KL *+ D(f) = ^ \,^ \ Hf=( ; ) )$ funkce je lichá, periodická; základní perioda \ vyšetřujeme na intervalu _^,^ a e ^ m Z[ svislá asymptota ^ ^ 9 Z[ ^ m Z[ oboustranná ita Z[ neexistuje ] svislá asymptotaa ^ f (x) = (tgx) = stu ], Df = Df pro _^,^ a je f (x) > 0, funkce je rostoucí na _^,^ a f (x) = (tgx) = uz{ stu i, Df = Df pro _^,0a je f (x) % 0, funkce je konkávní na _^,F 0 F pro _0,^ a je f (x) >0, funkce je konvexní na 0, FF^ a

20 19 přirozený logaritmus graf cosx 28 f(x) = lnx funkce e x je funkce prostá, existuje k ní funkce inverzní logaritmus, logaritmus o základu e, značíme lnx a je to tzv. přirozený průsečík s osou x je 1, L1 = 1,0 bod $, L$$,1 je bod grafu D(f) =(0, ) 3\ 2 \ \ 2 \ 2 \ 3\ 2 funkce není ani sudá ani lichá, je prostá jm L svislá asymptota x = 0 f (0) = f (2\) = 0, přímka y = 1 je vodorovná tečna grafu fce v bodech 2 \,1 f (\) = 0, přímka y = -1 je vodorovná tečna grafu funkce v bodech \2 \,1 L f (x) = 0, pro >0 je f (x)>0, funkce lnx je rostoucí na 0, f (x) = ] ( pro >0 je f (x)%0, funkce lnx je konkávní. vzorce: pro >0, >0 ln. L L pro >0 "0 Lˆ. L pro >0,>0 ln _ a L L

21 27 funkce goniometrické, cosx graf lnx 20 f(x) = cosx Df = R Hf= 1;1 sudá, periodická; základní perioda 2π vyšetřujeme na 0,2\. průsečíky s osou x: ^,0!,0!,3^ e f (x) = (cosx) = -sinx, xr pro \,2\ je f x Y 0, fce je rostoucí na \,2\ pro 0,\ je f x 0, fce je klesající na 0,\ f (x) = -cosx, xr pro 0,^ a pro,2\ je f x 0 3^ intervalech 0,^ a,2\ konkávní 3^, funkce je na pro ^,3^ je f x Y 0, funkce je na ^,3^ konvexní

22 21 exponenciální se základem a 1, graf sinx 26 f(x) = a 1, př: f(x) = 2 ) každá exponenciální funkce je prostá, k funkci existuje inverzní funkce a je to logaritmus o základu a, značíme log každý logaritmus lze přepsat pomocí přirozeného logaritmu log = { >0,0,1 1, {, 3\ 2 \ \ 2 \ 2 \ 3\ 2 D(f) =R funkce není ani sudá ani lichá f (0) = 1, přímka y = x je tečna grafu funkce v bodě 0,0 2 0 vodorovná asymptota u )0 2 f (x) = (2 ) = 2. L2 ( pro ( je f (x)>0, funkce 2 je rostoucí na R 0 f (x) = (2 ) = 2. L2 pro ( je f (x)>0, funkce 2 je konvexní (

23 25 funkce goniometrické, sinx graf a x,a 1, 22 f(x) = sinx Df = R Hf= 1;1 )2 lichá, periodická; základní perioda 2π. průsečíky s osou x: \,0, f (x) = (sinx) = cosx, xr funkce je rostoucí na ^ 2 \,^ 2 \, klesající na ^ 2 \, k Z 2 \,3^ )2 )5 f (x) = sinx, xr )8 funkce je konvexní na \2 \,2 \ a konkávní na 2 \,\2 \, k Z body \,0 jsou inflexní body

24 23 exponenciální se základem 0,1 graf a x, a 0,1 2 f(x) = a 0,1 př: f(x) = _ a každá exponenciální funkce je prostá, k funkci existuje logaritmus o základu a, značíme log inverzní funkce a je to ) 1 2 každý logaritmus lze přepsat pomocí přirozeného logaritmu log = { >0,0,1 1, {, D(f) =R funkce není ani sudá ani lichá 1 2 _ a 0 vodorovná asymptota u )0 f (x) = (_ a ) = _ a L, ( pro ( je f (x)%0, funkce _ a je klesající na R ) 1 2 ) 1 5 ) 5 f (x) = (_ a ) = _ a._ L a,( pro ( je f (x)>0, funkce _ a je konvexní na R

Kapitola1. Lineární lomená funkce Kvadratická funkce Mocninná funkce s obecným reálným exponentem Funkce n-tá odmocnina...

Kapitola1. Lineární lomená funkce Kvadratická funkce Mocninná funkce s obecným reálným exponentem Funkce n-tá odmocnina... Kapitola1 Základní soubor funkcí v R Lineární funkce.......................................................... 1-1 Kvadratická funkce...................................................... 1-2 Mocninná

Více

Funkce jedn e re aln e promˇ enn e Derivace Pˇredn aˇska ˇr ıjna 2015

Funkce jedn e re aln e promˇ enn e Derivace Pˇredn aˇska ˇr ıjna 2015 Funkce jedné reálné proměnné Derivace Přednáška 2 15. října 2015 Obsah 1 Funkce 2 Limita a spojitost funkce 3 Derivace 4 Průběh funkce Informace Literatura v elektronické verzi (odkazy ze STAGu): 1 Lineární

Více

MATEMATIKA. Příklady pro 1. ročník bakalářského studia. II. část Diferenciální počet. II.1. Posloupnosti reálných čísel

MATEMATIKA. Příklady pro 1. ročník bakalářského studia. II. část Diferenciální počet. II.1. Posloupnosti reálných čísel MATEMATIKA Příklady pro 1. ročník bakalářského studia II. část II.1. Posloupnosti reálných čísel Rozhodněte, zda posloupnost a n (n = 1, 2, 3,...) je omezená (omezená shora, omezená zdola) resp. monotónní

Více

FUNKCE A JEJICH VLASTNOSTI

FUNKCE A JEJICH VLASTNOSTI PŘEDNÁŠKA 3 FUNKCE A JEJICH VLASTNOSTI Pojem zobrazení a funkce Uvažujme libovolné neprázdné množiny A, B. Přiřadíme-li každému prvku x A právě jeden prvek y B, dostáváme množinu F uspořádaných dvojic

Více

Kapitola 1: Reálné funkce 1/13

Kapitola 1: Reálné funkce 1/13 Kapitola 1: Reálné funkce 1/13 Číselné množiny N, N 0, Z, Q, I, R, C Definice: Kartézský součin M N množin M a N je množina všech uspořádaných dvojic, ve kterých je první složka prvkem množiny M a druhá

Více

(FAPPZ) Petr Gurka aktualizováno 12. října Přehled některých elementárních funkcí

(FAPPZ) Petr Gurka aktualizováno 12. října Přehled některých elementárních funkcí 1. Reálná funkce reálné proměnné, derivování (FAPPZ) Petr Gurka aktualizováno 12. října 2011 Obsah 1 Přehled některých elementárních funkcí 1 1.1 Polynomické funkce.......................... 1 1.2 Racionální

Více

6. Bez použití funkcí min a max zapište formulí predikátového počtu tvrzení, že každá množina

6. Bez použití funkcí min a max zapište formulí predikátového počtu tvrzení, že každá množina Instrukce: Příklady řešte výhradně elementárně, bez použití nástrojů z diferenciálního a integrálního počtu. Je-li součástí řešení úlohy podmnožina reálných čísel, vyjádřete ji jako disjunktní sjednocení

Více

Kapitola 1: Reálné funkce 1/13

Kapitola 1: Reálné funkce 1/13 Kapitola 1: Reálné funkce 1/13 Číselné množiny 2/13 N = {1, 2, 3, 4,... }... přirozená čísla N 0 = N {0} = {0, 1, 2, 3, 4,... } Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2, 3, 4,... }... celá čísla Q = { p q p, q Z}... racionální

Více

Cyklometrické funkce

Cyklometrické funkce Cyklometrické funkce Definice. Cyklometrické funkce jsou funkce arcsin(x) (čteme arkussinus x), arccos(x) (čteme arkuskosinus x), arctg(x) (čteme arkustangens x) a arccotg(x) (čteme arkuskotangens x),

Více

Bakalářská matematika I

Bakalářská matematika I 1. Funkce Diferenciální počet Mgr. Jaroslav Drobek, Ph. D. Katedra matematiky a deskriptivní geometrie Bakalářská matematika I Některé užitečné pojmy Kartézský součin podrobnosti Definice 1.1 Nechť A,

Více

Přehled funkcí. Funkce na množině D R je předpis, který každému číslu z množiny D přiřazuje právě jedno reálné číslo. přehled fcí.

Přehled funkcí. Funkce na množině D R je předpis, který každému číslu z množiny D přiřazuje právě jedno reálné číslo. přehled fcí. Přehled funkcí Martina Hetmerová Gymnázium Přípotoční 1337 Praha 10 Vlastnosti funkcí Funkce na množině D R je předpis, který každému číslu z množiny D přiřazuje právě jedno reálné číslo Zapisujeme: f:y=f(x)

Více

P ˇ REDNÁŠKA 3 FUNKCE

P ˇ REDNÁŠKA 3 FUNKCE PŘEDNÁŠKA 3 FUNKCE 3.1 Pojem zobrazení a funkce 2 3 Uvažujme libovolné neprázdné množiny A, B. Přiřadíme-li každému prvku x A právě jeden prvek y B, dostáváme množinu F uspořádaných dvojic (x, y) A B,

Více

Příklad 1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 6

Příklad 1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 6 Příklad 1 Vyšetřete průběh funkce: a) = b) = c) = d) =ln1+ e) =ln f) = Poznámka K vyšetřování průběhu funkce použijeme postup uvedený v zadání. Některé kroky nejsou již tak detailní, všechny by ale měly

Více

Kapitola 1: Reálné funkce 1/20

Kapitola 1: Reálné funkce 1/20 Kapitola 1: Reálné funkce 1/20 Funkce jedné proměnné 2/20 Definice: Necht M R. Jestliže každému x M je přiřazeno jistým předpisem f právě jedno y R, říkáme, že y je funkcí x. x... nezávisle proměnná (neboli

Více

x (D(f) D(g)) : (f + g)(x) = f(x) + g(x), (2) rozdíl funkcí f g znamená: x (D(f) D(g)) : (f g)(x) = f(x) g(x), (3) součin funkcí f.

x (D(f) D(g)) : (f + g)(x) = f(x) + g(x), (2) rozdíl funkcí f g znamená: x (D(f) D(g)) : (f g)(x) = f(x) g(x), (3) součin funkcí f. 1. Funkce Deinice 1.1. Zobrazení nazýváme reálná unkce, jestliže H() R. Další speciikaci můžeme provést podle deiničního oboru zobrazení. Deinice 1.2. Reálná unkce se nazývá (1) unkce jedné reálné proměnné,

Více

1. Písemka skupina A...

1. Písemka skupina A... . Písemka skupina A.... jméno a příjmení Načrtněte grafy funkcí (v grafu označte všechny průsečíky funkce s osami a asymptoty). y y sin 4 y y arccos ) Určete, jestli je funkce y ln prostá? ) Je funkce

Více

DERIVACE FUNKCE, L HOSPITALOVO PRAVIDLO

DERIVACE FUNKCE, L HOSPITALOVO PRAVIDLO MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA DERIVACE FUNKCE, L HOSPITALOVO PRAVIDLO Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem

Více

Příklady na konvexnost a inflexní body. Funkce f (x) = x 3 9x. Derivace jsou f (x) = 3x 2 9 a f (x) = 6x. Funkce f je konvexní na intervalu (0, )

Příklady na konvexnost a inflexní body. Funkce f (x) = x 3 9x. Derivace jsou f (x) = 3x 2 9 a f (x) = 6x. Funkce f je konvexní na intervalu (0, ) Příklady na konvexnost a inflexní body. Funkce = x 3 9x. Derivace jsou f (x) = 3x 9 a f (x) = 6x. Funkce f je konvexní na intervalu (, ) a konkávní na intervalu (, ). Inflexní bod c =. 3 1 1 y = x 3 9x

Více

MATEMATIKA 1 pro obory Finance a řízení a Cestovní ruch

MATEMATIKA 1 pro obory Finance a řízení a Cestovní ruch MATEMATIKA 1 pro obory Finance a řízení a Cestovní ruch Marie Hojdarová Jana Krejčová Martina Zámková RNDr. Marie Hojdarová, CSc., RNDr. Jana Krejčová, Ph.D., RNDr. Ing. Martina Zámková, Ph.D. Vážení studenti,

Více

Matematika 1. Matematika 1

Matematika 1. Matematika 1 5. přednáška Elementární funkce 24. října 2012 Logaritmus a exponenciální funkce Věta 5.1 Existuje právě jedna funkce (značíme ji ln a nazýváme ji přirozeným logaritmem), s následujícími vlastnostmi: D(ln)

Více

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0. Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin

Více

Text může být postupně upravován a doplňován. Datum poslední úpravy najdete u odkazu na stažení souboru. Veronika Sobotíková

Text může být postupně upravován a doplňován. Datum poslední úpravy najdete u odkazu na stažení souboru. Veronika Sobotíková Tento text není samostatným studijním materiálem. Jde jen o prezentaci promítanou na přednáškách, kde k ní přidávám slovní komentář. Některé důležité části látky píšu pouze na tabuli a nejsou zde obsaženy.

Více

Funkce. Vlastnosti funkcí

Funkce. Vlastnosti funkcí FUNKCE Funkce zobrazení (na číselných množinách) předpis, který každému prvku z množiny M přiřazuje právě jeden prvek z množiny N zapisujeme ve tvaru y = f () značíme D( f ) Vlastnosti funkcí 1. Definiční

Více

. 1 x. Najděte rovnice tečen k hyperbole 7x 2 2y 2 = 14, které jsou kolmé k přímce 2x+4y 3 = 0. 2x y 1 = 0 nebo 2x y + 1 = 0.

. 1 x. Najděte rovnice tečen k hyperbole 7x 2 2y 2 = 14, které jsou kolmé k přímce 2x+4y 3 = 0. 2x y 1 = 0 nebo 2x y + 1 = 0. Diferenciální počet příklad s výsledky ( Najděte definiční obor funkce f() = ln arcsin + ) D f = (, 0 Najděte rovnici tečny ke grafu funkce f() = 3 +, která je rovnoběžná s přímkou y = 4 4 y 4 = 0 nebo

Více

2. FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ

2. FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ 2. FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ Funkce 2.. Definice Říkáme, že na množině D reálných čísel je definována funkce f jedné reálné proměnné, je-li dán předpis, podle kterého je ke každému číslu x D přiřazeno právě

Více

Matematická analýza 1, příklady na procvičení (Josef Tkadlec, )

Matematická analýza 1, příklady na procvičení (Josef Tkadlec, ) Matematická analýza, příklady na procvičení (Josef Tkadlec, 6.. 7) Reálná čísla. Určete maximum, minimum, supremum a infimum následujících množin: Z; b) M = (, ), 5 ; c) M =, Q; d) M = { + n : n N}; e)

Více

Funkce základní pojmy a vlastnosti

Funkce základní pojmy a vlastnosti Funkce základní pojm a vlastnosti Základ všší matematik LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺın společného

Více

Přednáška z MA. Michal Tuláček 16. prosince 2004. 1 IV.7 Průběhy funkce 3. 2 Vyšetřování průběhu funkce- KUCHAŘKA 4

Přednáška z MA. Michal Tuláček 16. prosince 2004. 1 IV.7 Průběhy funkce 3. 2 Vyšetřování průběhu funkce- KUCHAŘKA 4 Přednáška z MA Michal Tuláček 6. prosince 004 Obsah IV.7 Průběhy funkce 3 Vyšetřování průběhu funkce- KUCHAŘKA 4 3 Vzorový příklad na průběh funkce ze cvičení 4 4 Příkladynadobumezikapremahusou 7 Definice:

Více

Mocninná funkce: Příklad 1

Mocninná funkce: Příklad 1 Mocninná funkce: Příklad 1 Zadání: Vyšetřete průběh mocninné funkce. Řešení: 1. Jako první si určíme definiční obor: D(f)=R. 2. Nyní si spočítáme zda je daná funkce sudá nebo lichá: Daná funkce je lichá.

Více

Funkce základní pojmy a vlastnosti

Funkce základní pojmy a vlastnosti Funkce základní pojm a vlastnosti Základ všší matematik LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplín společného

Více

Derivace funkce. Přednáška MATEMATIKA č Jiří Neubauer

Derivace funkce. Přednáška MATEMATIKA č Jiří Neubauer Přednáška MATEMATIKA č. 9-11 Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Šotová, J., Doudová, L. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné Motivační příklady

Více

Funkce základní pojmy a vlastnosti

Funkce základní pojmy a vlastnosti Funkce základní pojm a vlastnosti Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah Pojem funkce Vlastnosti funkcí Inverzní funkce 4 Základní elementární funkce Mocninné Eponenciální Logaritmické

Více

1. Definiční obor funkce dvou proměnných

1. Definiční obor funkce dvou proměnných Definiční obor funkce dvou proměnných Řešené příklady 1. Definiční obor funkce dvou proměnných Vyšetřete a v kartézském souřadném systému (O, x, y) zakreslete definiční obory následujících funkcí dvou

Více

IX. Vyšetřování průběhu funkce

IX. Vyšetřování průběhu funkce IX. Vyšetřování průběhu funkce Úvodní poznámky: Cíl: vyšetřit průběh dané funkce f. Zahrnuje: základní vlastnosti: D(f), spojitost, limity v krajních bodech, průsečíky s osami souřadnic, intervaly, kde

Více

2. Vlastnosti elementárních funkcí, složené, inverzní a cyklometrické funkce,

2. Vlastnosti elementárních funkcí, složené, inverzní a cyklometrické funkce, . Určete vlastnosti funkcí: (i) f : y = x (ii) f : y = x 4 (iii) f : y = cotgx (iv) f 4 : y = arccosx (v) f 5 : y = 4 x (vi) f 6 : y = ( 4 )x (vii) f 7 : y = lnx (viii) f 8 : y = x. Uveďte příklad: (i)

Více

V této chvíli je obtížné exponenciální funkci přesně definovat. Můžeme však říci, že

V této chvíli je obtížné exponenciální funkci přesně definovat. Můžeme však říci, že .5. Cíle Uvedeme nní několik unkcí, z nichž většinu studenti znají již ze střední škol. Nazveme je základní elementární unkce. Konečným počtem sčítání, odčítání, násobení, dělení, skládání a případně invertování

Více

7.1 Extrémy a monotonie

7.1 Extrémy a monotonie KAPITOLA 7: Průběh funkce [ZMA13-P38] 7.1 Extrémy a monotonie Řekneme, že funkce f nabývá na množině M Df svého globálního maxima globálního minima A v bodě x 0, jestliže x 0 M, fx 0 = A a pro každé x

Více

funkce konstantní (y = c); funkce mocninné (y = x r pro libovolné r R, patří sem tedy i

funkce konstantní (y = c); funkce mocninné (y = x r pro libovolné r R, patří sem tedy i Přednáška č. 6 Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MMAN1 Přednáška č. 6 29. října 2007 1 / 64 Přehled elementárních funkcí Jde o pojem spíše historický než matematický. Vymezuje se několik (základních)

Více

Vypracoval: Mgr. Lukáš Bičík TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY

Vypracoval: Mgr. Lukáš Bičík TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY Vlastnosti funkcí Vypracoval: Mgr. Lukáš Bičík TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY Definiční obor Definiční obor funkce je množina všech čísel,

Více

Základy matematiky pro FEK

Základy matematiky pro FEK Základy matematiky pro FEK 10. přednáška Blanka Šedivá KMA zimní semestr 016/017 Blanka Šedivá (KMA) Základy matematiky pro FEK zimní semestr 016/017 1 / 1 Použití derivace pro vyšetřování průběhu funkce

Více

Diferenciální počet funkcí jedné proměnné

Diferenciální počet funkcí jedné proměnné Diferenciální počet funkcí jedné proměnné 1 4. Derivace funkce 4.3. Průběh funkce 2 Pro přesné určení průběhu grafu funkce je třeba určit bližší vlastnosti funkce. Monotónnost funkce Funkce monotónní =

Více

Zlín, 23. října 2011

Zlín, 23. října 2011 (. -. lekce) Sylva Potůčková, Dana Stesková, Lubomír Sedláček Gymnázium a Jazyková škola s právem státní jazykové zkoušky Zlín Zlín, 3. října 0 Postup při vyšetřování průběhu funkce. Definiční obor funkce,

Více

Matematika B 2. Úvodní informace

Matematika B 2. Úvodní informace Matematika B 2 MIROSLAV KUČERA Úvodní informace Kontakt miroslav.kucera@vsfs.czvsfs.cz Studijní středisko Kladno IT oddělení 306B (kanceláře studijního oddělení) Konzultační hodiny Po Pá 8:30 15:00 možno

Více

Výsledky Př.1. Určete intervaly monotónnosti a lokální extrémy funkce a) ( ) ( ) ( ) Stacionární body:

Výsledky Př.1. Určete intervaly monotónnosti a lokální extrémy funkce a) ( ) ( ) ( ) Stacionární body: Výsledky Př.. Určete intervaly monotónnosti a lokální extrémy funkce a) y < y > y < y > -2 0 3 Funkce je rostoucí v intervalech. Funkce je klesající v intervalech b) y < y > y < - Funkce je rostoucí v

Více

Derivace funkce. existuje limita lim 0 ) xx xx0. Jestliže tato limita neexistuje nebo pokud funkce ff

Derivace funkce. existuje limita lim 0 ) xx xx0. Jestliže tato limita neexistuje nebo pokud funkce ff Derivace funkce Derivace je základním pojmem v diferenciálním počtu. Má uplatnění tam, kde se zkoumá povaha funkčních závislostí určitých proměnných (veličin). V matematice, ekonomii, fyzice ale i v jiných

Více

8. Elementární funkce. I. Exponenciální funkce Definice: Pro komplexní hodnoty z definujeme exponenciální funkci předpisem ( ) e z z k k!.

8. Elementární funkce. I. Exponenciální funkce Definice: Pro komplexní hodnoty z definujeme exponenciální funkci předpisem ( ) e z z k k!. 8. Elementární funkce I. Exponenciální funkce Definice: Pro komplexní hodnoty z definujeme exponenciální funkci předpisem ( ) e z z k = k!. Vlastnosti exponenciální funkce: a) řada ( ) konverguje absolutně

Více

Funkce jedné reálné proměnné. lineární kvadratická racionální exponenciální logaritmická s absolutní hodnotou

Funkce jedné reálné proměnné. lineární kvadratická racionální exponenciální logaritmická s absolutní hodnotou Funkce jedné reálné proměnné lineární kvadratická racionální exponenciální logaritmická s absolutní hodnotou lineární y = ax + b Průsečíky s osami: Px [-b/a; 0] Py [0; b] grafem je přímka (získá se pomocí

Více

Derivace a monotónnost funkce

Derivace a monotónnost funkce Derivace a monotónnost funkce Věta : Uvažujme funkci f (x), která má na intervalu I derivaci f (x). Pak platí: je-li f (x) > 0 x I, funkce f je na intervalu I rostoucí. je-li f (x) < 0 x I, funkce f je

Více

Matematika a 2. března 2011

Matematika a 2. března 2011 Přednáška č. 3 Matematika 2 Jiří Fišer 1. a 2. března 2011 Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MAT2 Přednáška č. 3 1. a 2. března 2011 1 / 68 Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MAT2 Přednáška č. 3 1.

Více

Sbírka úloh z matematiky

Sbírka úloh z matematiky Střední průmyslová škola a Střední odborné učiliště, Trutnov, Školní 101 Sbírka úloh z matematiky v rámci projektu královéhradeckého kraje zavádění inovativních metod výuky pomocí ICT v předmětu matematika

Více

MATEMATIKA I. prof. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. II. Základy matematické analýzy

MATEMATIKA I. prof. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. II. Základy matematické analýzy MATEMATIKA I. prof. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. II. Základy matematické analýzy 1 Matematika I. I. Lineární algebra II. Základy matematické analýzy III. Diferenciální počet IV. Integrální počet 2 Matematika

Více

ZÁPADOČESKÁ UNIVERZITA V PLZNI

ZÁPADOČESKÁ UNIVERZITA V PLZNI ZÁPADOČESKÁ UNIVERZITA V PLZNI FAKULTA PEDAGOGICKÁ KATEDRA MATEMATIKY, FYZIKY A TECHNICKÉ VÝCHOVY VYŠETŘOVÁNÍ PRŮBĚHU FUNKCÍ - ŘEŠENÉ PŘÍKLADY BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Lucie Ceplechová Přírodovědná studia, obor

Více

Matematická analýza ve Vesmíru. Jiří Bouchala

Matematická analýza ve Vesmíru. Jiří Bouchala Matematická analýza ve Vesmíru Jiří Bouchala Katedra aplikované matematiky jiri.bouchala@vsb.cz www.am.vsb.cz/bouchala - p. /8 3. Elementární funkce. 3. Elementární funkce. Matematická analýza ve Vesmíru.

Více

Cyklometrické funkce

Cyklometrické funkce 4 Cyklometrické funkce V minulé kapitole jsme zkoumali první funkci inverzní ke funkci goniometrické (tyto funkce se nazývají cyklometrické) funkci y = arcsin x (inverzní k funkci y = sin x ) Př: Nakresli

Více

0.1 Funkce a její vlastnosti

0.1 Funkce a její vlastnosti 0.1 Funkce a její vlastnosti Veličina - pojem, který popisuje kvantitativní (číselné) vlastnosti reálných i abstraktních objektů. Příklady veličin: hmotnost (m) čas (t) výše úrokové sazby v bance (i) cena

Více

4.2. CYKLOMETRICKÉ FUNKCE

4.2. CYKLOMETRICKÉ FUNKCE 4.. CYKLOMETRICKÉ FUNKCE V této kapitole se dozvíte: jak jsou definovány cyklometrické funkce a jaký je jejich vztah k funkcím goniometrickým; základní vlastnosti cyklometrických funkcí; nejdůležitější

Více

1 LIMITA FUNKCE Definice funkce. Pravidlo f, které každému x z množiny D přiřazuje právě jedno y z množiny H se nazývá funkce proměnné x.

1 LIMITA FUNKCE Definice funkce. Pravidlo f, které každému x z množiny D přiřazuje právě jedno y z množiny H se nazývá funkce proměnné x. 1 LIMITA FUNKCE 1. 1 Definice funkce Pravidlo f, které každému z množiny D přiřazuje právě jedno y z množiny H se nazývá funkce proměnné. Píšeme y f ( ) Někdy používáme i jiná písmena argument (nezávisle

Více

1 Množiny, výroky a číselné obory

1 Množiny, výroky a číselné obory 1 Množiny, výroky a číselné obory 1.1 Množiny a množinové operace Množinou rozumíme každé shrnutí určitých a navzájem různých objektů (které nazýváme prvky) do jediného celku. Definice. Dvě množiny jsou

Více

Matematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015

Matematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015 Matematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015 1. Je dána soustava rovnic s parametrem a R x y + z = 1 x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a a) Napište Frobeniovu větu (existence i počet řešení). b)

Více

Matematika (KMI/PMATE)

Matematika (KMI/PMATE) Úvod do matematické analýzy Funkce a její vlastnosti Funkce a její vlastnosti Veličina Veličina - pojem, který popisuje kvantitativní (číselné) vlastnosti reálných i abstraktních objektů. Funkce a její

Více

FUNKCE, ZÁKLADNÍ POJMY

FUNKCE, ZÁKLADNÍ POJMY MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA FUNKCE, ZÁKLADNÍ POJMY Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplin společného

Více

FUNKCE, ZÁKLADNÍ POJMY

FUNKCE, ZÁKLADNÍ POJMY MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA FUNKCE, ZÁKLADNÍ POJMY Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplin společného

Více

y = 1/(x 3) - 1 x D(f) = R D(f) = R\{3} D(f) = R H(f) = ( ; 2 H(f) = R\{ 1} H(f) = R +

y = 1/(x 3) - 1 x D(f) = R D(f) = R\{3} D(f) = R H(f) = ( ; 2 H(f) = R\{ 1} H(f) = R + Funkce. Vlastnosti funkcí Funkce f proměnné R je zobrazení na množině reálných čísel (reálnému číslu je přiřazeno právě jedno reálné číslo). Z grafu poznáme, zda se jedná o funkci tak, že nenajdeme žádnou

Více

Logaritmus. Logaritmus kladného čísla o základu kladném a různém od 1 je exponent, kterým. umocníme základ a, abychom dostali číslo.

Logaritmus. Logaritmus kladného čísla o základu kladném a různém od 1 je exponent, kterým. umocníme základ a, abychom dostali číslo. Logaritmus Logaritmus kladného čísla o základu kladném a různém od 1 je exponent, kterým umocníme základ a, abychom dostali číslo. Platí tedy: logax = y a y = x ( Dekadický logaritmus základ 10 označení

Více

1 ÚVOD. 1.1 Kontaktní informace. 1.2 Předpokládané znalosti ze střední školy. Mgr. Iveta Cholevová, Ph. D. A829,

1 ÚVOD. 1.1 Kontaktní informace. 1.2 Předpokládané znalosti ze střední školy. Mgr. Iveta Cholevová, Ph. D. A829, 1 ÚVOD 1.1 Kontaktní informace Mgr. Iveta Cholevová, Ph. D. iveta.cholevova@vsb.cz A829, 597 324 146 Mgr. Arnošt Žídek, Ph. D. arnost.zidek@vsb.cz A832, 597 324 177 1.2 Předpokládané znalosti ze střední

Více

Matematika I pracovní listy

Matematika I pracovní listy Matematika I pracovní listy Dagmar Dlouhá, Radka Hamříková, Zuzana Morávková, Michaela Tužilová Katedra matematiky a deskriptivní geometrie VŠB - Technická univerzita Ostrava Úvod Pracovní listy jsou určeny

Více

Matematika I. Funkce jedné proměnné. Funkce jedné proměnné Matematika I 1 / 212

Matematika I. Funkce jedné proměnné. Funkce jedné proměnné Matematika I 1 / 212 Matematika I Funkce jedné proměnné Funkce jedné proměnné Matematika I 1 / 212 1. Množiny a zobrazení Funkce jedné proměnné Matematika I 2 / 212 Množiny Definice 1.1.1: Množinou rozumíme soubor prvků se

Více

Aplikace derivace a průběh funkce

Aplikace derivace a průběh funkce Aplikace derivace a průběh funkce Petr Hasil Přednáška z matematiky Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny společného

Více

Derivace a průběh funkce příklady z písemných prací

Derivace a průběh funkce příklady z písemných prací Derivace a průběh funkce příklady z písemných prací Vyšetřete průběh následuících funkcí. Příklad. = x +arctg( x ). D(f) =R.. Funkce e spoitá na R. 3. Funkce není lichá, sudá, ani periodická.. lim x ±

Více

Pavlína Matysová. 5. listopadu 2018

Pavlína Matysová. 5. listopadu 2018 Soubor řešených úloh Vyšetřování průběhu funkce Pavlína Matysová 5. listopadu 018 1 Soubor řešených úloh Tento text obsahuje 7 úloh na téma vyšetřování průběhu funkce. Každé úloha je řešena dvěma způsoby

Více

27. června Abstrakt. druhá odmocnina a pod. jsou vynechány. Také je vynechán např. tangensu.) 1 x ln x. e x sin x. arcsin x. cos x.

27. června Abstrakt. druhá odmocnina a pod. jsou vynechány. Také je vynechán např. tangensu.) 1 x ln x. e x sin x. arcsin x. cos x. Základní elementární funkce Robert Mařík 7. června 00 ln e sin arcsin cos arccos tg arctg Abstrakt V tomto dokumentu jsou uvedeny základní vlastnosti nejdůležitějších základních elementárních funkcí. (Triviální

Více

MATEMATICKÁ ANALÝZA A LINEÁRNÍ ALGEBRA PŘÍPRAVA NA ZKOUŠKU PRO SAMOUKY

MATEMATICKÁ ANALÝZA A LINEÁRNÍ ALGEBRA PŘÍPRAVA NA ZKOUŠKU PRO SAMOUKY MATEMATICKÁ ANALÝZA A LINEÁRNÍ ALGEBRA PŘÍPRAVA NA ZKOUŠKU PRO SAMOUKY POMNĚNKA prase Pomni, abys nezapomněl na Pomněnku MSc. Catherine Morris POMNĚNKA Verze ze dne: 14. října 01 Materiál je v aktuální

Více

I. Úvod. I.1. Množiny. I.2. Výrokový a predikátový počet

I. Úvod. I.1. Množiny. I.2. Výrokový a predikátový počet I. Úvod I.1. Množiny Množinou rozumíme každé shrnutí určitých a navzájem různých objektů (které nazýváme prvky) do jediného celku. Značení. Symbol x A značí, že element x je prvkem množiny A. Značení x

Více

Matematika I: Pracovní listy do cvičení

Matematika I: Pracovní listy do cvičení Matematika I: Pracovní listy do cvičení Dagmar Dlouhá, Radka Hamříková, Zuzana Morávková, Michaela Tužilová Pro FAST upravil Petr Volný Katedra matematiky a deskriptivní geometrie VŠB - Technická univerzita

Více

Průběh funkce 1. Průběh funkce. Při vyšetření grafu funkce budeme postupovat podle následujícího algoritmu:

Průběh funkce 1. Průběh funkce. Při vyšetření grafu funkce budeme postupovat podle následujícího algoritmu: Průběh funkce Průběh funkce Při vyšetření grafu funkce budeme postupovat podle následujícího algoritmu:. Určení definičního oboru. 2. Rozhodnutí, jestli je funkce sudá, lichá, periodická nebo nemá ani

Více

Matematika I A ukázkový test 1 pro 2011/2012. x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a

Matematika I A ukázkový test 1 pro 2011/2012. x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a Matematika I A ukázkový test 1 pro 2011/2012 1. Je dána soustava rovnic s parametrem a R x y + z = 1 a) Napište Frobeniovu větu. x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a b) Vyšetřete počet řešení soustavy

Více

NMAF 051, ZS Zkoušková písemná práce 26. ledna x. x 1 + x dx. q 1. u = x = 1 u2. = 1 u. u 2 (1 + u 2 ) (1 u 2 du = 2.

NMAF 051, ZS Zkoušková písemná práce 26. ledna x. x 1 + x dx. q 1. u = x = 1 u2. = 1 u. u 2 (1 + u 2 ) (1 u 2 du = 2. Jednotlivé kroky při výpočtech stručně, ale co nejpřesněji odůvodněte Pokud používáte nějaké tvrzení, nezapomeňte ověřit splnění předpokladů Jméno a příjmení: Skupina: Příklad 4 Celkem bodů Bodů 5 6 8

Více

22. & 23. & 24. Vlastnosti funkcí a jejich limita a derivace

22. & 23. & 24. Vlastnosti funkcí a jejich limita a derivace 22. & 23. & 24. Vlastnosti funkcí a jejich ita a derivace Základní vlastnosti Definiční obor Definiční obor je množina neznámých, pro něž je funkce definována. Obor hodnot Obor hodnot je množina všech

Více

KFC/SEM, KFC/SEMA Elementární funkce

KFC/SEM, KFC/SEMA Elementární funkce Elementární funkce Požadované dovednosti: lineární funkce kvadratická funkce mocniná funkce funkce s asolutní hodnotou lineárně lomená funkce exponenciální a logaritmická funkce transformace grafu Lineární

Více

MATEMATIKA. Robert Mařík Ústav matematiky, LDF, MZLU 5. patro, budova B marik@mendelu.cz user.mendelu.cz/marik

MATEMATIKA. Robert Mařík Ústav matematiky, LDF, MZLU 5. patro, budova B marik@mendelu.cz user.mendelu.cz/marik MATEMATIKA Robert Mařík Ústav matematiky, LDF, MZLU 5. patro, budova B marik@mendelu.cz user.mendelu.cz/marik P. Rádl, B. Černá, L. Stará: Základy vyšší matematiky, skriptum MZLU Text přednášky na user.mendelu.cz/marik,

Více

Základy matematiky pro FEK

Základy matematiky pro FEK Základy matematiky pro FEK 8. přednáška Blanka Šedivá KMA zimní semestr 2016/2017 Blanka Šedivá (KMA) Základy matematiky pro FEK zimní semestr 2016/2017 1 / 14 Derivace funkce U lineárních funkcí ve tvaru

Více

10. cvičení - LS 2017

10. cvičení - LS 2017 10. cvičení - LS 2017 Michal Outrata Příklad 1 Spočtěte následující itu daných posloupností: (a) (b) (c) n 3 +5n 2 n 3 6n 2 +3 n ; n 4 3n 2 6 n 4 + 3n 2 + 6; n 2 15n+2(1 n). 2(n 2) 3 2n 3 Příklad 2 Pro

Více

1. POJMY 1.1. FORMULE VÝROKOVÉHO POČTU

1. POJMY 1.1. FORMULE VÝROKOVÉHO POČTU Obsah 1. Pojmy... 2 1.1. Formule výrokového počtu... 2 1.2. Množina... 3 1.2.1. Operace s množinami... 3 1.2.2. Relace... 3 2. Číselné obory... 5 2.1. Uzavřenost množiny na operaci... 5 2.2. Rozšíření

Více

Matematická analýza 1

Matematická analýza 1 VŠB TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA, FAKULTA ELEKTROTECHNIKY A INFORMATIKY Matematická analýza 1 Pracovní listy Martina Litschmannová 2015 / 2016 Definice, věty i mnohé příklady jsou převzaty z: KUBEN, Jaromír

Více

Matematická analýza pro informatiky I.

Matematická analýza pro informatiky I. Matematická analýza pro informatiky I. 2. přednáška Jan Tomeček tomecek@inf.upol.cz http://aix-slx.upol.cz/ tomecek/index Univerzita Palackého v Olomouci 17. února 2010 Jan Tomeček, tomecek@inf.upol.cz

Více

Funkce a limita. Petr Hasil. Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF)

Funkce a limita. Petr Hasil. Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) Funkce a limita Petr Hasil Přednáška z matematiky Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny společného základu

Více

0.1 Úvod do matematické analýzy

0.1 Úvod do matematické analýzy Matematika I (KMI/PMATE) 1 0.1 Úvod do matematické analýzy 0.1.1 Pojem funkce Veličina - pojem, který popisuje kvantitativní (číselné) vlastnosti reálných i abstraktních objektů. Příklady veličin: hmotnost

Více

Úvod, základní pojmy, funkce

Úvod, základní pojmy, funkce Úvod, základní pojmy, funkce Michal Fusek Ústav matematiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 1. přednáška z ESMAT Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 1 / 69 Obsah 1 Matematická logika 2 Množiny 3 Funkce,

Více

Pracovní materiál pro

Pracovní materiál pro Pracovní materiál pro Úvodní kurz pro FELÁKY Temešvár u Písku, září 01 Úvodem Tento text má sloužit jako přehled středoškolských znalostí a dovedností, které jsou nezbytné při studiu matematiky na vysoké

Více

Matematika I (KMI/PMATE)

Matematika I (KMI/PMATE) Přednáška první aneb Úvod do matematické analýzy Funkce a její vlastnosti Úvod do matematické analýzy Osnova přednášky pojem funkce definice funkce graf funkce definiční obor funkce obor hodnot funkce

Více

Poznámka: V kurzu rovnice ostatní podrobně probíráme polynomické rovnice a jejich řešení.

Poznámka: V kurzu rovnice ostatní podrobně probíráme polynomické rovnice a jejich řešení. @083 6 Polynomické funkce Poznámka: V kurzu rovnice ostatní podrobně probíráme polynomické rovnice a jejich řešení. Definice: Polynomická funkce n-tého stupně (n N) je dána předpisem n n 1 2 f : y a x

Více

Průběh funkce jedné proměnné

Průběh funkce jedné proměnné Průběh funkce jedné proměnné Průběh funkce Newtonova metoda. p.1/8 Průběh funkce Příklad 4.1.1 Vyšetřete průběh funkce f(x) =ln 3 x. Příklad 4.1.2 Vyšetřete průběh funkce f(x) =arctg 1 x. Příklad 4.1.3

Více

Funkce pro studijní obory

Funkce pro studijní obory Variace 1 Funkce pro studijní obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Funkce Funkce je přiřazení,

Více

Nalezněte hladiny následujících funkcí. Pro které hodnoty C R jsou hladiny neprázdné

Nalezněte hladiny následujících funkcí. Pro které hodnoty C R jsou hladiny neprázdné . Definiční obor a hladiny funkce více proměnných Nalezněte a graficky znázorněte definiční obor D funkce f = f(x, y), kde a) f(x, y) = x y, b) f(x, y) = log(xy + ), c) f(x, y) = xy, d) f(x, y) = log(x

Více

Funkce. Limita a spojitost

Funkce. Limita a spojitost Funkce. Limita a spojitost skriptum J. Neustupa text Funkce (úvod) na této web stránce III.2 Fce - základní pojmy 1. Definice, def. obor D(f), obor hodnot H(f), graf 2. Fce složená, omezená, 3. Fce sudá,

Více

Matematika vzorce. Ing. Petr Šídlo. verze

Matematika vzorce. Ing. Petr Šídlo. verze Matematika vzorce Ing. Petr Šídlo verze 0050409 Obsah Jazyk matematiky 3. Výrokový počet.......................... 3.. Logické spojky...................... 3.. Tautologie výrokového počtu...............

Více

Monotonie a lokální extrémy. Konvexnost, konkávnost a inflexní body. 266 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné

Monotonie a lokální extrémy. Konvexnost, konkávnost a inflexní body. 266 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné 66 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné I. 5. Vyšetřování průběhu funkce Monotonie a lokální etrémy Důsledek. Nechť má funkce f) konečnou derivaci na intervalu I. Je-li f ) > 0 pro každé I, pak

Více

4. Určete definiční obor elementární funkce g, jestliže g je definována předpisem

4. Určete definiční obor elementární funkce g, jestliže g je definována předpisem 4 Určete definiční obor elementární funkce g jestliže g je definována předpisem a) g ( x) = x 16 + ln ( x) x 16 ( x + 4 )( x 4) Řešíme-li kvadratickou nerovnice pomocí grafu kvadratické funkce tj paraboly

Více

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY 1. Základní poznatky z logiky a teorie množin Pojem konstanty a proměnné. Obor proměnné. Pojem výroku a jeho pravdivostní hodnota. Operace s výroky, složené výroky, logické

Více

Exponenciální funkce. Exponenciální funkcí o základu a se nazývá funkce, která je daná rovnicí. Číslo a je kladné číslo, různé od jedničky a xεr.

Exponenciální funkce. Exponenciální funkcí o základu a se nazývá funkce, která je daná rovnicí. Číslo a je kladné číslo, různé od jedničky a xεr. Exponenciální funkce Exponenciální funkcí o základu a se nazývá funkce, která je daná rovnicí y = a x Číslo a je kladné číslo, různé od jedničky a xεr. Definičním oborem exponenciální funkce je tedy množina

Více