Ekonomická fakulta, Jihočeská univerzita v Českých Budějovicích. MATEMATICKÝ SOFTWARE MAPLE - MANUÁL Marek Šulista
|
|
- Jan Bezucha
- před 8 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 Ekonomická fakulta, Jihočeská univerzita v Českých Budějovicích MATEMATICKÝ SOFTWARE MAPLE - MANUÁL Marek Šulista Matematický software MAPLE slouží ke zpracování matematických problémů pomocí jednoduchého matematického manipulačního programovacího jazyka. Jednotlivé příkazy se ukončují středníkem nebo dvojtečkou a po stisku klávesy ENTER jsou hned vykonány. Je-li příkaz ukončen dvojtečkou, vykonaná operace se nezobrazí na monitoru, je-li příkaz ukončen středníkem, operace se zobrazí. Je důležité, aby byla dodržena přesná syntax příkazů (zápis čárek, dvojteček, středníků a závorek). Bez přesného zápisu příkazu program požadovaný příkaz neprovede, protože ho neidentifikuje jako příkaz. V případě, že se program začne chovat podivně, restartujeme ho příkazem restart. Tento manuál je určen pro studenty Zemědělské fakulty Jihočeské univerzity v Českých Budějovicích. Je rozdělen do 8 tematických celků pokrývající probíranou látku kurzů matematiky. Každá z kapitol obsahuje několik řešených příkladů, na kterých je ukázáno použití jednotlivých příkazů (jsou uvedeny červeně) a za nimi následuje ukázka provedeného příkazu (uvedeno modře). Software MAPLE je nainstalovaný na Bobíku i na výpočetním středisku a je k nalezení rozkliknutím nabídky Start/Programy/Maple V/Maple V Release. 1 MATEMATICKÉ OPERACE Protože je MAPLE kanadský produkt, má některá svá specifika spojená s angloamerickým prostředím. Prvním patrným specifikem je používání desetinné tečky místo desetinné čárky nebo že goniometrická funkce tg(x) je reprezentována příkazem tan(x). Pro práci s programem MAPLE je vhodné používat anglickou klávesnici, neboť se v příkazech vyskytují speciální znaky anglické klávesnice. 1
2 1.1 Řešené příklady Příklad Zjistěte hodnoty daného výrazu: 13, Pro operaci násobení používáme znak *, pro dělení znak /. Nezapomínáme na užití desetinné tečky místo desetinné čárky. Výraz vyčíslíme příkazem: Příklad ( *3987)/37; Zjistěte hodnoty daného výrazu: e 4 3π na 50 platných míst. Mocniny zadáváme pomocí znaku ˆ. Odmocniny přepisujeme jako exponent ve tvaru zlomku. Eulerovo číslo e zapisujeme ve tvaru exp(), kde v závorce uvádíme exponent. Pro číslo π používáme příkaz Pi. Daný výraz najdeme pomocí příkazu: 13ˆ(5/7) + exp(4) - 3*Pi; 13 ( 5 7 ) + e 4 3π Abychom zjistili hodnotu daného výrazu, použijeme evaluační příkaz: evalf(%,50); Znak % zastupuje poslední vypočítanou hodnotu (v tomto případě 13 ( 5 7 ) +e 4 3π), za čárkou je uveden počet míst, kolik jich chceme uvést (např. 50). Počet míst není povinný, bez zadání vyčílí MAPLE výraz na 10 platných míst. Také je možné získat danou hodnotu rovnou kombinací výše uvedených příkazů: evalf(13ˆ(5/7) + exp(4) - 3*Pi,50);
3 1.1.3 Příklad Zjistěte hodnotu výrazu s goniometrickými funkcemi: (cos(3, 5)) 3 + sin(2, 7) tan(5) na 25 platných míst. Pro výpočet hodnot goniometrických funkcí používáme příkazy sin(), cos() a tan(). V závorkách uvádíme argument. Daný výraz vyčíslíme příkazem: Příklad evalf((cos(3.5))ˆ3 + sin(2.7) - tan(5),25); Jakému úhlu v radiánech a ve stupních odpovídá hodnota sin(x) = 0, 6438? Pro výpočet úhlu goniometrických funkcí používáme cyklometrické funkce arcsin(x), arccos(x), a arctan(x). V tomto případě použijeme funkci arcsin(x) reprezentovanou příkazem arcsin(), kde v závorce uvádíme argument: evalf(arcsin(0.6438)); Získaná hodnota je v radiánech. Pro převod radiánů na stupně použijeme příkaz: convert( ,degrees); degrees π Abychom dostali hledanou hodnotu, musíme ještě použít evaluační příkaz: Příklad evalf(%); degrees Zjistěte hodnotu výrazu s absolutní hodnotou Pro výpočet hodnot s absolutní hodnotou používáme příkazy abs(), kde v závorkách uvádíme výraz v absolutní hodnotě. Daný výraz vyčíslíme příkazem: abs(7-abs(6-15)-32); 34 3
4 1.1.6 Příklad Zjednodušte daný výraz x 2 y 2 x 2 +4x+4 : x y x+2. Pro zjednodušování výrazů použijeme příkaz: Příklad simplify(((xˆ2-yˆ2)/(xˆ2+4*x+4))/((x-y)/(x+2))); x+y x+2 Zjednodušte daný výraz s komplexními čísly (3 8i)3 3 5i. Pro zápis imaginární jednotky i použijeme znak I a výraz zjednodušíme opět příkazem: 1.2 Neřešené příklady simplify(((3-8*i)ˆ3)/(3-5*i)); I Vyčíslete: ( ) [8072, ] (sin(5)) 7 + e 2,5 [ ] ( ) , π α ve stupních, je-li cos(α) = 0, 7236 [ 2804, ] [43, ] Upravte: x2 (x + y) x y x(x + y + 1) + y i5 + (5 i) 2 2 i [x 1] [ 57+6i 5 ] 4
5 2 LINEÁRNÍ ALGEBRA Před začátkem práce s vektory a maticemi je nutné aktivovat knihovnu lineární algebry. Tím si program MAPLE aktivizuje příkazy,které my pak můžeme používat. Knihovna lineární algebry se aktivizuje příkazem with(linalg); Po zadání příkazu se modře vypíše seznam příkazů, které můžeme pro zpracování úloh z lineární algebry používat. MAPLE umí pracovat jak s vektory tak s maticemi. Vždy je dobré si zadávané vektory a matice pojmenovat pomocí přiřazovacího příkazu :=, aby bylo možné s nimi dále pracovat. Některá velká písmena nedovolí MAPLE pro pojmenování použít, neboť manjí svůj specifický význam (např. E je rezervovaný název pro jednotkovou matici). 2.1 Řešené příklady Příklad Jsou dány vektory a = (3, 5, 5) a b = (2, 3, 7). Určete skalární součin a b, vektorový součin a b, normu vektoru a a odchylku vektorů a a b. Vektory a a b zadáme pomocí příkazu: a:=vector(3,[3,-5,5]); a:=[3, -5, 5] b:=vector(3,[2,3,-7]); b:=[2, 3,-7] První cifra označuje počet složek vektoru, v hranatých závorkách pak uvedeme postupně všechny složky vektoru, které oddělíme čárkami. Skalární a vektorový součet vektorů provedeme příkazy: dotprod(a,b); 44 crossprod(a,b); [20, 31, 19] 5
6 Normu vektoru a nalezneme pomocí příkazu: norm(a,2); 59 Cifra 2 v argumentu je součástí příkazu a je povinná. Odchylku vektorů získáme příkazem: evalf(angle(a,b)); Získaná hodnota odpovídá radiánům. Pro převod na stupně použijeme příkaz: evalf(convert(%,degrees)); degrees Příklad Je dány matice A = ( ), matice B = Určete matici C, její hodnost a determinant Nejprve je potřeba vytvořit matice A a B pomocí příkazu: a matice C = A B. A:=matrix(2,3,[3,5,4,-6,3,7]); [ ] A := B:=matrix(3,2,[7,9,-5,3,7,1]); 7 9 B := První dvě cifry před hranatou závorkou určují typ matice, v hranatých závorkách pak uvedeme postupně všechny prvky matice, které oddělíme čárkami. 6
7 Nyní můžeme s maticemi pracovat. Nejprve matice vynásobíme, abychom získali matici C: C:=evalm(A&*B); nebo C:=multiply(A,B); [ ] C := 8 38 Hodnost matice a determinant matice C zjistíme zadáním příkazu: rank(c); 2 det(c); Příklad Najděte matici V, pro kterou platí, že V = 3 A B. Pro násobení matic číslem a matic navzájem použijeme příkaz: V:=evalm(3*A&*B); [ ] V := Pro násobení se v příkazu rozlišuje násobení matice číslem (*) a matic navzájem (&*) Příklad Jsou dány matice A = ( Určete matici H. ), B = , matice G = ( ), a matice H = A B 5G. 7
8 Máme-li z předchozího příkladu zadané matice A i B, zadáme ještě matici G: Nyní určíme matici H: G:=matrix(2,2,[3,7,9,-5]); [ ] 3 7 G := Příklad H:=evalm(A&*B-5*G); [ ] 9 11 H := Pro matici K platí, že K = B A. Určete matici transponovanou a adjungovanou k matici K. Nejprve vynásobíme matice B a A, abychom získali matici K: K:=multiply(B,A); K := Nyní můžeme přistoupit k výpočtu matice transponované (nazveme transk) a adjungované (nazveme adjk): transk:=transpose(k); transk := adjk:=adj(k); transk :=
9 2.1.6 Příklad Je dána matice S := matici k ní inverzní Určete její determinant a pokud je regulární, najděte Nejprve zadáme matici S: Vypočteme determinant: S:=matrix(3,3,[5,7,13,-3,6,11,2,8,5]); S := Matice je regulární, zjistíme matici inverzní: det(s); -499 inverse(s); Příklad Upravte matici S do Gaussova tvaru. Pro úpravu matic do Gaussova tvaru používáme příkaz: gausselim(s);
10 2.2 Neřešené příklady Určete: závislost souboru S = {(1, 3, 2, 6, 3); (3, 5, 2, 0, 5); (8, 3, 5, 2, 8); ( 3, 2, 7, 4, 6), (7, 3, 12, 0, 22)} [h(s) = 4, závislý] normu vektoru v = (2, 3; 5, 3; 3; 7; 4; 9, 1; 3) odchylku vektorů m = (3, 7, 3, 5, 6) a n = ( 1, 3, 5, 7, 11) determinant matice X = hodnost matice R = [2 53 = ] [34, ] [ 2744] [2] 10
11 3 ROVNICE 3.1 Řešené příklady Příklad Řešte kvadratickou rovnici x 2 7x + 10 = 0; Rovnici budeme řešit jednoduchým příkazem: Příklad solve(xˆ2-7*x+10=0,x); Najděte hodnoty neznámých x, y a z v soustavě: 5x + 7y 13z = 5 3x 5y + 6z = 3 2x 8y = 1 5, 2 Soustavy rovnic můžeme řešit několika způsoby. Máme-li aktivní knihovnu lineární algebry (linalg), můžeme soustavu zadat a nazveme ji R: R:={5*x+7*y-13*z-5,3*x-5*y+6*z-3,2*x-8*y+1}; R := {5x + 7y 13z 5, 3x 5y + 6z 3, 2x 8y + 1}; Rovnice soustavy jsme položili rovny 0, oddělili čárkami a zadali je do složených závorek. Nyní můžeme soustavu vyřešit příkazem: leastsqrs(r,{x,y,z}); {x = 25 22, y = 9 22, z = 3 11 } Dalším způsobem, jak vyřešit tuto soustavu, je použití matic. Nejprve vytvoříme matici soustavy A: A:=matrix(3,3,[5,7,-13,3,-5,6,2,-8,0]); A :=
12 Dále zadáme vektor pravých stran: v:=vector(3,[5,3,-1]); v := [5, 3, 1] A nyní soustavu vyřešíme příkazem a po řadě dostaneme hodnoty neznámých x, y a z: linsolve(a,v); [ 25 22, 9 22, 3 11 ] Příklad Řešte rovnici 3x 2 + 2x 7 = 8. Rovnici vyřešíme příkazem: solve(3*xˆ2+2*x-7=8,x); , Neřešené příklady Řešte: rovnici 3x 2 5x + 8 = 13 [ , ] rovnici 2x 11 x+5 + 4x = 17 5x [ , ] soustavu rovnic 7u + 5v 8x 9y = 6 3u 2v 3y = 5 u + 2v 13x 3y = 3 5u x 4y = 2 [v = 97 91, u = , x = 6 65, y = ] 12
13 4 POSLOUPNOSTI A ŘADY 4.1 Řešené příklady Příklad Určete limitu dané posloupnosti: lim n 3n 3 + 5n + 1 7n Limity posloupností hledáme pomocí příkazu: limit((3*nˆ3+5*n+1)/(7*nˆ2+8),n=infinity); V první části uvedeme samotnou posloupnost, ve druhé pak pro jaké n. V tomto případě se jednalo o limitu jdoucí do nekonečna - infinity Příklad Určete limitu dané posloupnosti: lim n n n. Limitu posloupnosti získáme pomocí příkazu: limit(nˆ(1/n),n=infinity); Příklad ( Určete limitu dané posloupnosti: lim n. n n) Limity posloupností zadáme pomocí příkazu: limit((1+(1/n))ˆn,n=infinity); Limita dané posloupnosti je rovna Eulerovu číslu e, které má přibližnou hodnotu 2,178. e 13
14 4.1.4 Příklad Určete součet řady 70 k=1 5 2k. Součet řady najdeme zadáním příkazu: sum(5/(2*k),k=1..70); Příklad Určete součty harmonické řady 1000 k= k, k=1 Součty harmonické řady najdeme zadáním příkazu 1 k a k=1 1 k. sum(1/k,k= ); sum(1/k,k= ); sum(1/k,k=1..infinity); Float( ) Z výsledku plyne, že harmonická řada má dané součty pro uvedené konkrétní n, ale v případě sečtení členů až do nekonečna daná řada součet nemá - diverguje. 4.2 Neřešené příklady Určete: sin(x) limitu posloupnosti lim x 0 x [1] ( limitu posloupnosti lim ) 7n n n [e 7 = 1096, ] součet řady součet řady 57 k=1 n=1 7 2k 3 [4, ] 1 n 2 [ 1 6 π2 = 1, ] 14
15 5 FUNKCE 5.1 Řešené příklady Příklad Najděte funkční hodnotu funkce y = 9x 7 3 cos x v bodě x = 1, 73. Funkci nazveme f a zadáme ji příkazem f:=x->9*xˆ7-3*cos(x); f := x 9x 7 3 cos(x) Nyní zjistíme hodnotu v bodě x = 1, 73: f(1.73); Příklad Najděte funkční hodnotu funkce 2 proměnných z = x 3 3y 2 + sin(xy) v bodě [3, 5; 2, 4]. Funkci nazveme z a zadáme ji příkazem: z:=(x,y)->xˆ3-3*yˆ2+ sin(x*y); f := (x, y) x 3 3y 2 + sin(xy) Nyní zjistíme hodnotu v bodě [3, 5; 2, 4]: z(3.5,2.4);
16 maximum funkce y = 7cos(sin(x 5 )) 5 na intervalu π 2 2π [2] Příklad Najděte minimum a maximum funkce y = 5x 3 3x na intervalu 3, 5. Minimum a maximum funkce y v daném intervalu 3, 5 najdeme pomocí příkazů: minimize(5*xˆ3-3*xˆ2+8,x=-3..5); 154 maximize(5*xˆ3-3*xˆ2+8,x=-3..5); Neřešené příklady Určete: funkční hodnotu funkce y = 5x 7 3e 5x 4 cos(x) v bodě x = 6, 22 [ 9, ] funkční hodnotu funkce 3 proměnných w = 5(xy) 3 +4zy 2 +cos(xyz) v bodě [ 2, 5; 1, 8; 3] [ ] minimum funkce y = 3e 2x 5 3x 3 17 na intervalu 5, 9 [ ] 16
17 6 GRAFIKA MAPLE umí vykreslit dvoudimenzionální grafy jedné proměnné i trojdimenzionální grafy dvou proměnných. Dokáže navíc vykreslit několik grafů do jednoho obrázku. Vždy je nutné uvést interval, na kterém se daný graf či grafy vykreslí. 6.1 Řešené příklady Příklad Vykreslete graf funkce y = 3x 4 + 5x 3 1 na intervalu 2, 1. Graf vykreslíme následujícím příkazem, kde doplníme interval pro proměnnou x (ta je povinná) a pro proměnnou y (je nepovinná, ale graf je přehlednější): plot(3*xˆ4+5*xˆ3-1,x=-2..1,y=-4..3); Příklad Vykreslete grafy funkcí y = x 2 2x 8 a y = 5x 8 na intervalu 3, 5 a najděte jejich průsečík. Grafy vykreslíme následujícím příkazem, kde do složených závorek zadáme obě funkce oddělené čárkou: plot({xˆ2-2*x-8,5*x-8},x=-3..5); Z grafů je patrné, že obě křivky se protínají v bodě [0,-8]. 17
18 6.1.3 Příklad Vykreslete trojdimenzionální graf funkce dvou proměnných z = x e x2 y 2 x 2, 2 a y 2, 2. na intervalu Pro vykreslení trojdimenzionálních grafů použijeme příkaz: plot3d(x*exp(-xˆ2-yˆ2),x=-2..2,y=-2..2); 18
19 7 DIFERENCIÁLNÍ A INTEGRÁLNÍ POČET 7.1 Řešené příklady Příklad Najděte první derivaci funkce y = x 7 5 x 3 + e 2x. Derivaci si nazveme d a vytvoříme ji příkazem: diff(xˆ7- (x)ˆ(3/5)+ exp(2*x),x); 7x 6 3 5x ( 2 5 ) + 2e(2x) V argumentu příkazu je nutné uvést proměnnou, podle které derivujeme (v tomto případě podle x) Příklad Najděte 3.derivaci funkce y = sin(x) + x 3 + e 2x. Třetí derivaci funkce vytvoříme příkazem: diff(sin(x) + xˆ3 + exp(2*x),x$3); cos(x) e 2x V argumentu příkazu je nutné uvést proměnnou, podle které derivujeme, a stupeň derivace (v tomto případě podle x a stupeň 3.) Příklad Najděte parciální derivaci podle y funkce dvou proměnných z = sin(xy) + 3x 3 + x y. Parciální derivaci snadno vytvoříme příkazem: diff(sin(x*y) + 3*xˆ3 + (x/y),y); cos(xy)x x y 2 19
20 7.1.4 Příklad Najděte druhou derivaci funkce 4x 7 5 x a její hodnotu v bodě x = 3, 78. Jestliže chceme s derivacemi ještě dále pracovat, je nezbytné nejprve vytvořit funkci a tu pak derivovat. Označíme si funkci a a zadáme již známým příkazem: Funkci a zderivujeme a derivaci nazveme b: a:=x->4*xˆ7-(x)ˆ(1/5); a := x 4x 7 x ( 1 5 ) b:=(d@@2)(a); b := x 168x x ( 9 5 ) Nyní již můžeme zjistit hodnotu druhé derivace v bodě x = 3, 78: b(3.78); Příklad Řešte neurčitý integrál ln(x) dx. Neurčitý integrál získáme pomocí příkazu: int(ln(x),x); x ln(x) x Opět je nutné v argumentu příkazu uvést, podle které proměnné integrujeme (v tomto případě podle x). 20
21 7.1.6 Příklad Určete hodnotu určitého integrálu 7 3 x 5 dx. Neurčitý integrál získáme pomocí příkazu: int((xˆ5),x=3..7); Opět je nutné v argumentu příkazu uvést, podle které proměnné integrujeme (v tomto případě podle x) a meze určitého intervalu. 7.2 Neřešené příklady Určete: 1.derivaci funkce y = xex x 2 x 8 hodnotu y (2) funkce funkce y = x7 +x 2 cos(x) x 8 [ ex +xe x 2x x 8 xex x 2 (x 8) 2 ] [ ] parciální derivaci podle x funkce dvou proměnných z = cos(xy) + e3x y y 3 [ sin(xy)y + 3e(3x) y 3 ] 3x 2 x 4 dx [ 3 2 x2 + 12x + 48 ln(x 4)] 7 2e 5x x dx 5 [ 2 5 e( 25) e35 12 = 0, ] 21
22 8 DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 8.1 Řešené příklady Funkci y zadáváme do programu pomocí příkazu y(x), její první derivaci pomocí diff(y(x),x), pro druhou derivace pak diff(y(x),x$2). Pro derivace vyšších řádů používáme stejný příkaz, kde jen měníme stupeň derivace Příklad Je dána diferenciální rovnice y (x) 2y(x) = e x. Řešte ji obecně a pak s počáteční podmínkou y(8) = 5. Nejprve si danou diferenciální rovnici vložíme a nazveme ji dr: Nyní nalezneme obecné řešení: dr:=diff(y(x),x) - 2*y(x) = exp(x); dr := ( d dx y(x)) 2y(x) = e x dsolve(dr,y(x)); y(x) = e x + e (2x) C1 Obecné řešení obsahuje C1, což označuje integrační konstantu C 1. Rovnou však můžeme najít partikulární řešení, když vložíme do argumentu příkazu danou počáteční podmínku: Příklad dsolve({dr,y(8)=5},y(x)); y(x) = e x e(2x) ( 5 e 8 ) e 16 Je dána diferenciální rovnice y (x) 2y (x) 8y(x) = x 3 5. Najděte obecné řešení. Nejprve si danou diferenciální rovnici vložíme a nazveme ji a: a := diff(y(x), x$2) 2 diff(y(x), x) 8 y(x) = x 3 5; ( ) a := d 2 y(x) 2 ( d dx 2 dx y(x)) 8y(x) = x
23 Nyní nalezneme obecné řešení: dsolve(a,y(x)); y(x) = e (4x) C2 + e ( 2x) C x x2 32 x Neřešené příklady Řešte: diferenciální rovnici 5y (x) y(x) = 3x 5. Řešte ji obecně a pak s počáteční podmínkou y(1) = 2. [y(x) = 10 3x + C 1 e ( x 5 ), y(x) = 10 3x + 15e( x 5 ) e ( 1 5 ) ] diferenciální rovnici y (x) 7y (x) + 10y(x) = 5e x + x 2 3. Řešte ji obecně a pak s počátečními podmínkami y(8) = 5 a y(0) = 9. [y(x) = C 2 e (5x) + C 1 e (2x) ex + x x ] 23
Wolfram Alpha. v podobě html stránky, samotný výsledek je často doplněn o další informace (např. graf, jiné možné zobrazení výsledku a
Wolfram Alpha jde o výpočetní prostředí z nejrůznějších oborů (matematika, fyzika, chemie, inženýrství... ) přístupné online: http://www.wolframalpha.com/ Jaké matematické výpočty Wolfram Alpha zvládá?
VíceMaple. Petr Kundrát. Ústav matematiky, FSI VUT v Brně. Maple a základní znalosti z oblasti obyčejných diferenciálních rovnic.
Obyčejné diferenciální rovnice s počítačovou podporou - Maple Petr Kundrát Ústav matematiky, FSI VUT v Brně Tento soubor vznikl za účelem ilustrace použití prostředí Maple k řešení a vizualizaci řešení
VíceMatematika I pracovní listy
Matematika I pracovní listy Dagmar Dlouhá, Radka Hamříková, Zuzana Morávková, Michaela Tužilová Katedra matematiky a deskriptivní geometrie VŠB - Technická univerzita Ostrava Úvod Pracovní listy jsou určeny
VíceDiferenciální rovnice II
Diferenciální rovnice II Cílem tohoto kurzu je ukázat si různé příklady použití počítačového algebraického systému Maple při řešení obyčejných diferenciálních rovnic. řádu a soustav obyčejných diferenciálních
VíceVýpočet excentrického klikového mechanismu v systému MAPLE 11 Tomáš Svoboda Technická fakulta Česká Zemědělská Univerzita
Výpočet excentrického klikového mechanismu v systému MAPLE 11 Tomáš Svoboda Technická fakulta Česká Zemědělská Univerzita ročník:2 studijní skupina:2 Page 1 Excentrický klikový mechanismus je zadán parametry
VíceMATEMATIKA III. Olga Majlingová. Učební text pro prezenční studium. Předběžná verze
Fakulta strojního inženýrství Univerzity J. E. Purkyně v Ústí nad Labem Pasteurova 7 Tel.: 475 285 511 400 96 Ústí nad Labem Fax: 475 285 566 Internet: www.ujep.cz E-mail: kontakt@ujep.cz MATEMATIKA III
VíceObsah Obyčejné diferenciální rovnice
Obsah 1 Obyčejné diferenciální rovnice 3 1.1 Základní pojmy............................................ 3 1.2 Obyčejné diferenciální rovnice 1. řádu................................ 5 1.3 Exaktní rovnice............................................
VíceB) výchovné a vzdělávací strategie jsou totožné se strategiemi vyučovacího předmětu Matematika.
4.8.3. Cvičení z matematiky Předmět Cvičení z matematiky je vyučován v sextě a v septimě jako volitelný předmět. Vzdělávací obsah vyučovacího předmětu Cvičení z matematiky vychází ze vzdělávací oblasti
VíceZáklady matematiky pro FEK
Základy matematiky pro FEK 12. přednáška Blanka Šedivá KMA zimní semestr 216/21 Blanka Šedivá (KMA) Základy matematiky pro FEK zimní semestr 216/21 1 / 15 Integrování jako inverzní operace příklady inverzních
VíceÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika 0A1. Cvičení, zimní semestr. Samostatné výstupy. Jan Šafařík
Vysoké učení technické v Brně Stavební fakulta ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE Matematika 0A1 Cvičení, zimní semestr Samostatné výstupy Jan Šafařík Brno c 2003 Obsah 1. Výstup č.1 2 2. Výstup
VíceVIDEOSBÍRKA DERIVACE
VIDEOSBÍRKA DERIVACE. Zderivuj funkci y = ln 2 (sin x + tg x 2 ) 2. Zderivuj funkci y = 2 e x2 cos x. Zderivuj funkci y = e sin2 (x 2 ). Zderivuj funkci y = x +2x 2 +sin x x 5. Zderivuj funkci y = cos2
VíceSoustavy lineárních diferenciálních rovnic I. řádu s konstantními koeficienty
Soustavy lineárních diferenciálních rovnic I řádu s konstantními koeficienty Definice a) Soustava tvaru x = ax + a y + az + f() t y = ax + a y + az + f () t z = a x + a y + a z + f () t se nazývá soustava
VíceÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika I/1 BA06. Cvičení, zimní semestr
Vysoké učení technické v Brně Stavební fakulta ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE Matematika I/1 BA06 Cvičení, zimní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY Jan Šafařík Brno c 2014 1 (1) Určete rovnici kručnice o
VíceCZ 1.07/1.1.32/02.0006
PO ŠKOLE DO ŠKOLY CZ 1.07/1.1.32/02.0006 Číslo projektu: CZ.1.07/1.1.32/02.0006 Název projektu: Po škole do školy Příjemce grantu: Gymnázium, Kladno Název výstupu: Prohlubující semináře Matematika (MI
VíceTematický plán Obor: Informační technologie. Vyučující: Ing. Joanna Paździorová
Tematický plán Vyučující: Ing. Joanna Paździorová 1. r o č n í k 5 h o d i n t ý d n ě, c e l k e m 1 7 0 h o d i n Téma- Tematický celek Z á ř í 1. Opakování a prohloubení učiva základní školy 18 1.1.
VíceObsah. Aplikovaná matematika I. Gottfried Wilhelm Leibniz. Základní vlastnosti a vzorce
Neurčitý integrál Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah Primitivní funkce, neurčitý integrál Základní vlastnosti a vzorce Základní integrační metody Úpravy integrandu Integrace racionálních
VíceNalezněte hladiny následujících funkcí. Pro které hodnoty C R jsou hladiny neprázdné
. Definiční obor a hladiny funkce více proměnných Nalezněte a graficky znázorněte definiční obor D funkce f = f(x, y), kde a) f(x, y) = x y, b) f(x, y) = log(xy + ), c) f(x, y) = xy, d) f(x, y) = log(x
Více9.5. Soustavy diferenciálních rovnic
Cíle Budeme se nyní zabývat úlohami, v nichž je cílem najít dvojici funkcí y(x), z(x), pro které jsou zadány dvě lineární rovnice prvního řádu, obsahující tyto funkce a jejich derivace. Výklad Omezíme-li
VíceMatematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015
Matematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015 1. Je dána soustava rovnic s parametrem a R x y + z = 1 x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a a) Napište Frobeniovu větu (existence i počet řešení). b)
VíceGymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora
Předmět: Náplň: Třída: Počet hodin: Pomůcky: Cvičení z matematiky algebra (CZMa) Systematizace a prohloubení učiva matematiky: Číselné obory, Algebraické výrazy, Rovnice, Funkce, Posloupnosti, Diferenciální
VícePožadavky ke zkoušce. Ukázková písemka
Požadavky ke zkoušce Zkouška z předmětu MATEMATIKA 1 má dvě části Písemná část: Písemná část se ještě dále rozděluje na praktickou část písemku a teoretickou část test. Písemka trvá 90 minut a je v ní
VíceCvičné texty ke státní maturitě z matematiky
Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky Pracovní listy s postupy řešení Brno 2010 RNDr. Rudolf Schwarz, CSc. Státní maturita z matematiky Úloha 1 1. a = s : 45 = 9.10180 45 = 9.101+179 45 = 9.10.10179
VíceVIDEOSBÍRKA DERIVACE
VIDEOSBÍRKA DERIVACE. Zderivuj funkci y = ln 2 (sin x + tg x 2 ) 2. Zderivuj funkci y = 2 e x2 cos 3x 3. Zderivuj funkci y = 3 e sin2 (x 2 ). Zderivuj funkci y = x3 +2x 2 +sin x x 5. Zderivuj funkci y
VíceKOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ
KOMPLEXNÍ ČÍSLA Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTICE
Více1.1.3 Práce s kalkulátorem
.. Práce s kalkulátorem Výrazy zadáváme do kalkulačky pokud možno vcelku, pozor na závorky a čísla ve jmenovateli u zlomků. Př. : Spočti na kalkulačce s maximální možnou přesností a bez zapisování mezivýsledků:
Více9.3. Úplná lineární rovnice s konstantními koeficienty
Úplná lineární rovnice s konstantními koeficienty Cíle Nyní přejdeme k řešení úplné lineární rovnice druhého řádu. I v tomto případě si nejprve ujasníme, v jakém tvaru můžeme očekávat řešení, poté se zaměříme
Více4. OBYČEJNÉ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE
FBI VŠB-TUO 28. března 2014 4.1. Základní pojmy Definice 4.1. Rovnice tvaru F (x, y, y, y,..., y (n) ) = 0 se nazývá obyčejná diferenciální rovnice n-tého řádu a vyjadřuje vztah mezi neznámou funkcí y
VíceDerivace funkce. Přednáška MATEMATIKA č Jiří Neubauer
Přednáška MATEMATIKA č. 9-11 Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Šotová, J., Doudová, L. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné Motivační příklady
VíceCo je obsahem numerických metod?
Numerické metody Úvod Úvod Co je obsahem numerických metod? Numerické metody slouží k přibližnému výpočtu věcí, které se přesně vypočítat bud nedají vůbec, nebo by byl výpočet neúměrně pracný. Obsahem
VíceGymnázium Česká a Olympijských nadějí, České Budějovice, Česká 64, 37021
Maturitní témata MATEMATIKA 1. Funkce a jejich základní vlastnosti. Definice funkce, def. obor a obor hodnot funkce, funkce sudá, lichá, monotónnost funkce, funkce omezená, lokální a globální extrémy funkce,
VícePráce s kalkulátorem
..8 Práce s kalkulátorem Předpoklady: 007 Ke koupi kalkulátoru: Myslím, že každý student by si kalkulačku koupit měl. V současnosti sice existují dvě možné náhrady, které buď má (mobilní telefon) nebo
Vícearcsin x 2 dx. x dx 4 x 2 ln 2 x + 24 x ln 2 x + 9x dx.
Neurčitý integrál arcsin. Integrál najdeme integrací per partes. Pomocí této metody dostaneme arcsin = arcsin 4 = arcsin + 4 + C, (,. ln + 4 ln + 9. Tento integrál lze převést substitucí ln = y na integrál
VíceMatematika. ochrana životního prostředí analytická chemie chemická technologie Forma vzdělávání:
Studijní obor: Aplikovaná chemie Učební osnova předmětu Matematika Zaměření: ochrana životního prostředí analytická chemie chemická technologie Forma vzdělávání: denní Celkový počet vyučovacích hodin za
Více7. Derivace složené funkce. Budeme uvažovat složenou funkci F = f(g), kde některá z jejich součástí
202-m3b2/cvic/7slf.tex 7. Derivace složené funkce. Budeme uvažovat složenou funkci F = fg, kde některá z jejich součástí může být funkcí více proměnných. Předpokládáme, že uvažujeme funkce, které mají
VíceFunkce jedn e re aln e promˇ enn e Derivace Pˇredn aˇska ˇr ıjna 2015
Funkce jedné reálné proměnné Derivace Přednáška 2 15. října 2015 Obsah 1 Funkce 2 Limita a spojitost funkce 3 Derivace 4 Průběh funkce Informace Literatura v elektronické verzi (odkazy ze STAGu): 1 Lineární
VíceMATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY
MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY 1. Základní poznatky z logiky a teorie množin Pojem konstanty a proměnné. Obor proměnné. Pojem výroku a jeho pravdivostní hodnota. Operace s výroky, složené výroky, logické
VíceVYBRANÉ PARTIE Z NUMERICKÉ MATEMATIKY
VYBRANÉ PARTIE Z NUMERICKÉ MATEMATIKY Jan Krejčí 31. srpna 2006 jkrejci@physics.ujep.cz http://physics.ujep.cz/~jkrejci Obsah 1 Přímé metody řešení soustav lineárních rovnic 3 1.1 Gaussova eliminace...............................
VícePraha & EU: investujeme do vaší budoucnosti. Daniel Turzík, Miroslava Dubcová,
E-sbírka příkladů Seminář z matematiky Evropský sociální fond Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti Daniel Turzík, Miroslava Dubcová, Pavla Pavlíková Obsah 1 Úpravy výrazů................................................................
VíceMatematika 1 Jiˇr ı Fiˇser 19. z aˇr ı 2016 Jiˇr ı Fiˇser (KMA, PˇrF UP Olomouc) KMA MAT1 19. z aˇr ı / 19
Matematika 1 Jiří Fišer 19. září 2016 Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MAT1 19. září 2016 1 / 19 Zimní semestr KMA MAT1 1 Úprava algebraických výrazů. Číselné obory. 2 Kombinatorika, základy teorie
VíceŘešíme tedy soustavu dvou rovnic o dvou neznámých. 2a + b = 3, 6a + b = 27,
Přijímací řízení 2015/16 Přírodovědecká fakulta Ostravská univerzita v Ostravě Navazující magisterské studium, obor Aplikovaná matematika (1. červen 2016) Příklad 1 Určete taková a, b R, aby funkce f()
VíceMgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014. 1. Obor reálných čísel
Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014 1. Obor reálných čísel - obor přirozených, celých, racionálních a reálných čísel - vlastnosti operací (sčítání, odčítání, násobení, dělení) -
Více16. Goniometrické rovnice
@198 16. Goniometrické rovnice Definice: Goniometrická rovnice je taková rovnice, ve které proměnná (neznámá) vystupuje pouze v goniometrických funkcích. Řešit goniometrické rovnice znamená nalézt všechny
VíceMATEMATIKA I. Požadavky ke zkoušce pro skupinu C 1. ročník 2014/15. I. Základy, lineární algebra a analytická geometrie
MATEMATIKA I Požadavky ke zkoušce pro skupinu C 1. ročník 2014/15 I. Základy, lineární algebra a analytická geometrie 1. Základní pojmy (a) Základy teorie množin: množina a její prvky, podmnožina, průnik,
VíceCVIČNÝ TEST 1. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 21 IV. Záznamový list 23
CVIČNÝ TEST 1 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 21 IV. Záznamový list 23 I. CVIČNÝ TEST 1 Určete výraz V, který je největším společným dělitelem výrazů V 1 V 3 :
Více8.4. Shrnutí ke kapitolám 7 a 8
8.4. Shrnutí ke kapitolám 7 a 8 Shrnutí lekce Úvodní 7. kapitola přinesla informace o druzích řešení diferenciálních rovnic prvního řádu a stručné teoretické poznatky o podmínkách existence a jednoznačnosti
VíceMaturitní témata z matematiky
Maturitní témata z matematiky G y m n á z i u m J i h l a v a Výroky, množiny jednoduché výroky, pravdivostní hodnoty výroků, negace operace s výroky, složené výroky, tabulky pravdivostních hodnot důkazy
VíceMatematická analýza III.
2. Parciální derivace Miroslav Hušek, Lucie Loukotová UJEP 2010 Parciální derivace jsou zobecněním derivace funkce jedné proměnné. V této kapitole poznáme jejich základní vlastnosti a využití. Co bychom
Více9.2. Zkrácená lineární rovnice s konstantními koeficienty
9.2. Zkrácená lineární rovnice s konstantními koeficienty Cíle Řešíme-li konkrétní aplikace, které jsou popsány diferenciálními rovnicemi, velmi často zjistíme, že fyzikální nebo další parametry (hmotnost,
VíceÚvod do práce s Matlabem
Úvod do práce s Matlabem 1 Reálná čísla 1.1 Zadávání čísel Reálná čísla zadáváme s desetinnou tečkou (.), čísla lze také zadávat v exponenciálním tvaru například číslo 0.000014 zadáme takto 1.4e-5, číslo
VíceMATEMATIKA I Požadavky ke zkoušce pro 1. ročník, skupina A 2017/18
MATEMATIKA I Požadavky ke zkoušce pro 1. ročník, skupina A 2017/18 I. Základy, lineární algebra a analytická geometrie 1. Základní pojmy (a) Základy teorie množin: množina a její prvky, podmnožina, průnik,
Více3.2 3DgrafyvMaple 106 KAPITOLA 3. UŽITÍ MAPLE PŘI ŘEŠENÍ KVADRIK
106 KAPITOLA 3. UŽITÍ MAPLE PŘI ŘEŠENÍ KVADRIK > A2:=augment(submatrix(A,1..3,[1]),b,submatrix(A,1..3,[3])); Potom vypočítáme hodnotu x 2 : > x2:=det(a2)/det(a); Zadání matice. Matici M typu (2, 3) zadáme
VíceProjekt IMPLEMENTACE ŠVP. pořadí početních operací, dělitelnost, společný dělitel a násobek, základní početní operace
Střední škola umělecká a řemeslná Evropský sociální fond "Praha a EU: Investujeme do vaší budoucnosti" Projekt IMPLEMENTACE ŠVP Evaluace a aktualizace metodiky předmětu Matematika Výrazy Obory nástavbového
VíceMaturitní okruhy z matematiky - školní rok 2007/2008
Maturitní okruhy z matematiky - školní rok 2007/2008 1. Některé základní poznatky z elementární matematiky: Číselné obory, dělitelnost přirozených čísel, prvočísla a čísla složená, největší společný dělitel,
VícePísemná zkouška z Matematiky II pro FSV vzor
Písemná zkouška z Matematik II pro FSV vzor. (0 bodů) Určete a nakreslete definiční obor funkce sin x f(x, ) = (Kalenda 00/) spočtěte její parciální derivace podle všech proměnných všude, kde existují,
VíceMaturitní otázky z předmětu MATEMATIKA
Wichterlovo gymnázium, Ostrava-Poruba, příspěvková organizace Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA 1. Výrazy a jejich úpravy vzorce (a+b)2,(a+b)3,a2-b2,a3+b3, dělení mnohočlenů, mocniny, odmocniny, vlastnosti
Více1. LINEÁRNÍ ALGEBRA Vektory Operace s vektory... 8 Úlohy k samostatnému řešení... 8
1 Lineární algebra 1 LINEÁRNÍ ALGEBRA 8 11 Vektory 8 111 Operace s vektory 8 8 112 Lineární závislost a nezávislost vektorů 8 8 113 Báze vektorového prostoru 9 9 12 Determinant 9 9 13 Matice 1 131 Operace
Vícevýsledek 2209 y (5) (x) y (4) (x) y (3) (x) 7y (x) 20y (x) 12y(x) (horní indexy značí derivaci) pro 1. y(x) = sin2x 2. y(x) = cos2x 3.
Vypočtěte y (5) (x) y (4) (x) y (3) (x) 7y (x) 20y (x) 12y(x) (horní indexy značí derivaci) pro 1. y(x) = sin2x 2. y(x) = cos2x 3. y(x) = x sin2x 4. y(x) = x cos2x 5. y(x) = e x 1 6. y(x) = xe x 7. y(x)
VíceI. Diferenciální rovnice. 3. Rovnici y = x+y+1. převeďte vhodnou transformací na rovnici homogenní (vzniklou
Typy příkladů pro I. část písemky ke zkoušce z MA II I. Diferenciální rovnice. 1. Určete obecné řešení rovnice y = y sin x.. Určete řešení rovnice y = y x splňující počáteční podmínku y(1) = 0. 3. Rovnici
VícePřijímací zkouška na navazující magisterské studium 2018
Přijímací zkouška na navazující magisterské studium 208 Studijní program: Studijní obory: Matematika MA, MMIT, MMFT, MSTR, MNVM, MPMSE Varianta A Řešení příkladů pečlivě odůvodněte. Věnujte pozornost ověření
VíceProjekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/ Matematika pro všechny. Univerzita Palackého v Olomouci
Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/26.0047 Matematika pro všechny Univerzita Palackého v Olomouci Tematický okruh: Geometrie Různé metody řešení Téma: Analytická geometrie v prostoru, vektory, přímky Autor:
VíceObsah. Metodický list Metodický list Metodický list Metodický list
METODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gymnázia a základní vzdělávání Jaroslav Švrček a kolektiv Rámcový vzdělávací program pro gymnázia Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Tematický okruh: Závislosti
VícePříklady na testy předmětu Seminář z matematiky pro studenty fakulty strojní TUL.
Příklady na testy předmětu Seminář z matematiky pro studenty fakulty strojní TUL. Jméno a příjmení(čitelně): varianta č. 90 Přezdívka(nepovinné): Zde pište své výsledky Napište rovnici přímky procházející
Vícediferenciální rovnice verze 1.1
Diferenciální rovnice vyšších řádů, snižování řádu diferenciální rovnice verze 1.1 1 Úvod Následující text popisuje řešení diferenciálních rovnic, konkrétně diferenciálních rovnic vyšších řádů a snižování
Více9.4. Rovnice se speciální pravou stranou
Cíle V řadě případů lze poměrně pracný výpočet metodou variace konstant nahradit jednodušším postupem, kterému je věnována tato kapitola. Výklad Při pozorném studiu předchozího textu pozornějšího studenta
VíceMODAM Mgr. Zuzana Morávková, Ph.D.
GeoGebra známá i neznámá (začátečníci) MODAM 2015 Mgr. Zuzana Morávková, Ph.D. MODAM 2015 GeoGebra známá i neznámá (začátečníci) Příklad 1: Kružnice opsaná trojúhelníku Zadání: Vytvořte aplikaci na sestrojení
VíceZáklady algoritmizace a programování
Základy algoritmizace a programování Přednáška 1 Olga Majlingová Katedra matematiky, ČVUT v Praze 19. září 2011 Obsah Úvodní informace 1 Úvodní informace 2 3 4 Doporučená literatura web: http://marian.fsik.cvut.cz/zapg
Více1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy:
Opakování středoškolské matematiky Slovo úvodem: Tato pomůcka je určena zejména těm studentům presenčního i kombinovaného studia na VŠFS, kteří na středních školách neprošli dostatečnou průpravou z matematiky
Více5.3. Implicitní funkce a její derivace
Výklad Podívejme se na následující problém. Uvažujme množinu M bodů [x,y] R 2, které splňují rovnici F(x, y) = 0, M = {[x,y] D F F(x,y) = 0}, kde z = F(x,y) je nějaká funkce dvou proměnných. Je-li F(x,y)
VíceUzavřené a otevřené množiny
Teorie: Uzavřené a otevřené množiny 2. cvičení DEFINICE Nechť M R n. Bod x M nazveme vnitřním bodem množiny M, pokud existuje r > 0 tak, že B(x, r) M. Množinu všech vnitřních bodů značíme Int M. Dále,
VíceHisab al-džebr val-muqabala ( Věda o redukci a vzájemném rušení ) Muhammada ibn Músá al-chvárizmího (790? - 850?, Chiva, Bagdád),
1 LINEÁRNÍ ALGEBRA 1 Lineární algebra Slovo ALGEBRA pochází z arabského al-jabr, což znamená nahrazení. Toto slovo se objevilo v názvu knihy islámského matematika Hisab al-džebr val-muqabala ( Věda o redukci
VíceProjekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/ Matematika pro všechny. Univerzita Palackého v Olomouci
Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/26.0047 Matematika pro všechny Univerzita Palackého v Olomouci Tematický okruh: Závislosti a funkční vztahy Gradovaný řetězec úloh Téma: graf funkce, derivace funkce a její
VíceMatematika 2 (Fakulta ekonomická) Cvičení z lineární algebry. TU v Liberci
Matematika 2 (Fakulta ekonomická) Cvičení z lineární algebry TU v Liberci Jiří Hozman 1. dubna 2010 Cvičení 2 Příklad 1. Rozhodněte, zda lze vektor x vyjádřit jako lineární kombinaci vektorů u, v, w, v
Více5. cvičení z Matematiky 2
5. cvičení z Matematiky 2 21.-25. března 2016 5.1 Nalezněte úhel, který v bodě 1, 0, 0 svírají grafy funkcí fx, y ln x 2 + y 2 a gx, y sinxy. Úhel, který svírají grafy funkcí je dán jako úhel mezi jednotlivými
VíceMatematika I A ukázkový test 1 pro 2011/2012. x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a
Matematika I A ukázkový test 1 pro 2011/2012 1. Je dána soustava rovnic s parametrem a R x y + z = 1 a) Napište Frobeniovu větu. x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a b) Vyšetřete počet řešení soustavy
VíceGeometrie v R n. z balíku student. Poznamenejme, že vlastně počítáme délku úsečky, která oba body spojuje. (b d)2 + (c a) 2
Geometrie v R n Začněme nejjednodušší úlohou: Vypočtěme vzdálenost dvou bodů v rovině. Použijeme příkaz distance z balíku student. Poznamenejme, že vlastně počítáme délku úsečky, která oba body spojuje.
Více1 Modelování systémů 2. řádu
OBSAH Obsah 1 Modelování systémů 2. řádu 1 2 Řešení diferenciální rovnice 3 3 Ukázka řešení č. 1 9 4 Ukázka řešení č. 2 11 5 Ukázka řešení č. 3 12 6 Ukázka řešení č. 4 14 7 Ukázka řešení č. 5 16 8 Ukázka
Více0.1 Úvod do lineární algebry
Matematika KMI/PMATE 1 01 Úvod do lineární algebry 011 Lineární rovnice o 2 neznámých Definice 011 Lineární rovnice o dvou neznámých x, y je rovnice, která může být vyjádřena ve tvaru ax + by = c, kde
VíceSoustavy nelineárních rovnic pomocí systému Maple. Newtonova metoda.
Úvod Soustavy nelineárních rovnic pomocí systému Maple. Newtonova metoda. Mnoho technických problémů vede na řešení matematických úloh, které se následně převedou na úlohy řešení soustav nelineárních rovnic
Více1 Integrální počet. 1.1 Neurčitý integrál. 1.2 Metody výpočtů neurčitých integrálů
Integrální počet. Neurčitý integrál Neurčitým integrálem k dané funkci f() nazýváme takovou funkci F (), pro kterou platí, že f() = F (). Neboli integrálem funkce f() je taková funkce F (), ze které bychom
VíceDiferenciální rovnice 3
Diferenciální rovnice 3 Lineární diferenciální rovnice n-tého řádu Lineární diferenciální rovnice (dále jen LDR) n-tého řádu je rovnice tvaru + + + + = kde = je hledaná funkce, pravá strana a koeficienty
VíceFunkce a lineární funkce pro studijní obory
Variace 1 Funkce a lineární funkce pro studijní obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Funkce
VíceDiferenciální rovnice 1
Diferenciální rovnice 1 Základní pojmy Diferenciální rovnice n-tého řádu v implicitním tvaru je obecně rovnice ve tvaru,,,, = Řád diferenciální rovnice odpovídá nejvyššímu stupni derivace v rovnici použitému.
VícePříklady pro předmět Aplikovaná matematika (AMA) část 1
Příklady pro předmět plikovaná matematika (M) část 1 1. Lokální extrémy funkcí dvou a tří proměnných Nalezněte lokální extrémy funkcí: (a) f 1 : f 1 (x, y) = x 3 3x + y 2 + 2y (b) f 2 : f 2 (x, y) = 1
VíceM - Příprava na 3. čtvrtletní písemnou práci
M - Příprava na 3. čtvrtletní písemnou práci Určeno pro třídu ODK VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven a vytištěn v programu dosystem - EduBase. Více informací o programu naleznete
VíceSeznámíte se s pojmem primitivní funkce a neurčitý integrál funkce jedné proměnné.
INTEGRÁLNÍ POČET FUNKCÍ JEDNÉ PROMĚNNÉ NEURČITÝ INTEGRÁL NEURČITÝ INTEGRÁL Průvodce studiem V kapitole Diferenciální počet funkcí jedné proměnné jste se seznámili s derivováním funkcí Jestliže znáte derivace
VícePetr Hasil
Základy Vyšší Matematiky Petr Hasil hasil@mendelu.cz Poznámka 1. Vytvořeno s podporou projektu Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplíny
VíceExtrémy funkce dvou proměnných
Extrémy funkce dvou proměnných 1. Stanovte rozměry pravoúhlé vodní nádrže o objemu 32 m 3 tak, aby dno a stěny měly nejmenší povrch. Označme rozměry pravoúhlé nádrže x, y, z (viz obr.). ak objem této nádrže
VíceProjekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/ Matematika pro všechny. Univerzita Palackého v Olomouci
Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/26.0047 Matematika pro všechny Univerzita Palackého v Olomouci Tematický okruh: Závislosti a funkční vztahy Gradovaný řetězec úloh Téma: Kvadratická funkce Autor: Kubešová
VíceGeometrie v R n. student. Poznamenejme, že vlastně počítáme délku úsečky, která oba body spojuje. (b d)2 + (c a) 2
Geometrie v R n Začněme nejjednodušší úlohou: Vypočtěme vzdálenost dvou bodů v rovině. Použijeme příkaz distance z balíku student. Poznamenejme, že vlastně počítáme délku úsečky, která oba body spojuje.
VíceNyní využijeme slovník Laplaceovy transformace pro derivaci a přímé hodnoty a dostaneme běžnou algebraickou rovnici. ! 2 "
ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MB ČÁST Příklad Nalezněte pomocí Laplaceovy transformace řešení dané Cauchyho úlohy lineární diferenciální rovnice prvního řádu s konstantními koeficienty v intervalu 0,, které vyhovuje
Více1 1 x 2. Jedná se o diferenciální rovnici se separovanými proměnnými, která má smysl pro x ±1 a
. Řešené úlohy Příklad. (separace proměnných). Řešte počáteční úlohu y 2 + yy ( 2 ) = 0, y(0) = 2. Řešení. Rovnici přepíšeme do tvaru y 2 = yy ( 2 ) y = y2 y 2. Jedná se o diferenciální rovnici se separovanými
VíceVybrané problémy lineární algebry v programu Maple
UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA Katedra matematické analýzy a aplikací matematiky BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Vybrané problémy lineární algebry v programu Maple Vedoucí bakalářské práce: RNDr.
Vícepouze u některých typů rovnic a v tomto textu se jím nebudeme až na
Matematika II 7.1. Zavedení diferenciálních rovnic Definice 7.1.1. Rovnice tvaru F(y (n), y (n 1),, y, y, x) = 0 se nazývá diferenciální rovnice n-tého řádu pro funkci y = y(x). Speciálně je F(y, y, x)
VíceÚvodní informace. 17. února 2018
Úvodní informace Funkce více proměnných Přednáška první 17. února 2018 Obsah 1 Úvodní informace. 2 Funkce více proměnných Definiční obor Limita a spojitost Derivace, diferencovatelnost, diferenciál Úvodní
VíceFunkce Arcsin. Předpoklady: Některé dosud probírané funkce můžeme spojit do dvojic: 4 je číslo, jehož druhá mocnina se rovná 4.
..6 Funkce Arcsin Předpoklady: Některé dosud probírané funkce můžeme spojit do dvojic: Kvadratická funkce Druhá odmocnina y =, 0; ) y = je číslo, jehož druhá mocnina se rovná. - - - - - - y = y = Eponenciální
VícePROGRAM MAXIMA. KORDEK, David, (CZ) PROGRAM MAXIMA
PROGRAM MAXIMA KORDEK, David, (CZ) Abstrakt. Co je to Open Source Software? Příklady některých nejpoužívanějších software tohoto typu. Výhody a nevýhody Open Source Software. Jak získat program Maxima.
VícePříklad 1. Řešení 1a. Řešení 1b ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1B ČÁST 5
Příklad 1 Najděte totální diferenciál d (h) pro h=(h,h ) v příslušných bodech pro následující funkce: a) (,)= cos, =1; b) (,)=ln( + ), =2; 0 c) (,)=arctg(), =1; 0 1 d) (,)= +, =1; 1 Řešení 1a Máme nalézt
VíceMatematika 1 sbírka příkladů
Matematika 1 sbírka příkladů RNDr. Rudolf SCHWARZ, CSc. Brno 2012 1. Poznámka Výsledky jednotlivých příkladů mají tuto barvu. 2. Poznámka Pokud je v hranatých závorkách uvedeno písmeno, označuje, ze které
VíceDerivace goniometrických funkcí
Derivace goniometrických funkcí Shrnutí Jakub Michálek, Tomáš Kučera Odvodí se základní vztahy pro derivace funkcí sinus a cosinus za pomoci věty o třech itách, odvodí se také několik typických it pomocí
Více(FAPPZ) Petr Gurka aktualizováno 12. října Přehled některých elementárních funkcí
1. Reálná funkce reálné proměnné, derivování (FAPPZ) Petr Gurka aktualizováno 12. října 2011 Obsah 1 Přehled některých elementárních funkcí 1 1.1 Polynomické funkce.......................... 1 1.2 Racionální
Více