Matematika 3. Úloha 1. Úloha 2. Úloha 3

Transkript

1 Matematika 3 Úloha 1 Co lze říci o funkci imaginární část komplexního čísla která každému komplexnímu číslu q přiřazuje číslo Im(q)? a. Je to funkce mnohoznačná. b. Je to reálná funkce komplexní proměnné. c. Je to komplexní funkce reálné proměnné. d. Je to prostá funkce. e. Je to funkce holomorfní. Úloha 2 Co platí o určitém integrálu každé periodické funkce? a. Jiná odpověď (tj. žádné z ostatních tvrzení neplatí). b. Integrály přes intervaly stejné délky se neliší. c. Integrály přes intervaly délky periody se neliší. d. Integrál přes interval půlperiody je nula. e. Integrál přes interval délky periody je nula. Úloha 3 Co znamená "rozvinout funkci do řady"? a. Znamená to posčítat všechny funkční hodnoty dané funkce v řadě. b. Najít k dané funkci řadu, jež má za součet onu funkci. c. Je to jinými slovy totéž, jako sečíst řadu. d. Předpis funkce se rozvine do sloupečku jako vektor, jednotlivé proměnné se píší do řady. e. Jiná odpověď.

2 Úloha 4 Jaká bude F. řada každé sudé funkce z intervalu <0,1>? a. sinová b. nelze říci c. jistě nebude ani sinová ani kosinová d. kosinová A není důležité i to, z JAKÉHO intervalu funkci rozvíjíme? Pravda, zcela výjimečně se to stát může, ale stejně dobře by mohla být F. řada sudé funkce sinová! Třeba funkce abs(x) - 0,5. (abs - absolutní hodnota) e. jistě nebude sinová Úloha 5 Jakým způsobem lze zjistit, zda nějaká funkce je rozvinutelná v trigonometrickou Fourierovu řadu? a. Jiná odpověď. b. Pomocí vhodné podmínky konvergence, například stačí, aby rozvíjená funkce byla po částech hladká. c. Pomocí vhodného kritéria konvergence. Kritéria konvergence slouží k posouzení konvergence řady. d. Pomocí Leibnitzova kritéria. e. Pomocí Weierstrassova kritéria. Úloha 6 Jakým způsobem rozvíjíme funkci do kosinové Fourierovy řady z intervalu <0,T>? a. Rozvíjená funkce se dodefinuje na sudou funkci, ta se následně rozvine z intervalu <0,T>. b. Jiná odpověď. c. Rozvíjená funkce se přenásobí funkcí kosinus, výsledek se rozvine ve Fourierovu řadu. d. Takový postup se nepřipouští. e. Rozvíjená funkce se dodefinuje na sudou funkci, ta se následně rozvine z intervalu <- T,T>;.

3 Úloha 7 Je možné změnit pořadí nekonečné sumy a integrace? a. ano, u stejnoměrně konvergentní řady b. ano, vždy c. ano, u absolutně konvergentní řady d. jiná odpověď e. ne Úloha 8 Je možné, aby nějaký systém funkcí byl ortogonální v nějakém intervalu a v jiném ne? a. ano, ale pouze pokud takový systém obsahuje nějakou konstantní funkci b. ano, běžně, ovšem pouze u nekonečných systémů c. ano, nastává to běžně d. ano, velmi výjimečně to lze e. ne Úloha 9 Kdy prohlásíme funkční řadu za stejnoměrně konvergentní? a. FUNKČNÍ řada nemůže být nikdy stejnoměrně konvergentní. Tento pojem se zavádí pouze u číselných řad. b. Pokud je bodově konvergentní její posloupnost n-tého členu. c. Pokud je stejnoměrně konvergentní její posloupnost částečných součtů. d. Pokud je stejnoměrně konvergentní její posloupnost n-tého členu. e. Pokud je bodově konvergentní její posloupnost částečných součtů.

4 Úloha 10 Kolik nejvýše může existovat vlastních vektorů k jedinému vlastnímu číslu u matice řádu n? a. vždy nejvýše tolik lineárně nezávislých vektorů, kolik je násobnost vlastního čísla coby kořene charakteristického polynomu b. vždy nejvýše n vektorů, ať závislých či nezávislých c. vždy nejvýše n lineárně nezávislých, bez ohledu na násobnost příslušného vlastního čísla d. jiná odpověď e. vždy nekonečně mnoho, nejvýše jeden lineárně nezávislý Úloha 11 Která z následujících funkcí NEMŮŽE patřit do ortogonálního systému v žádném intervalu <a,b>? a. taková, která nabývá v nekonečně mnoha bodech intervalu <a,b> hodnoty nula b. taková, která v některém bodě intervalu <a,b> nemá derivaci c. taková, která má v některém bodě intervalu <a,b> nevlastní limitu d. sin(x) e. taková, která nabývá v některém bodě intervalu <a,b> hodnoty nula Úloha 12 Které tvrzení o fundamentálním systému (FS) NENÍ PRAVDIVÉ: a. všechny lineární kombinace funkcí z FS tvoří obecné řešení dané soustavy b. jiná odpověď (tj. všechna ostatní tvrzení jsou pravdivá) c. FS je báze vektorového prostoru všech řešení jisté homogenní lineární soustavy. d. FS obsahuje vždy tolik vektorových funkcí, kolik je řád matice lin. soustavy e. FS se skládá vždy z lineárně závislých funkcí

5 Úloha 13 Které z následujících tvrzení je obecně platné? a. Fourierova řada funkce kosinus je sudá funkce b. Fourierova řada funkce, jejíž periodické pokračování je sudá funkce, je sudá funkce c. Periodické pokračování Fourierovy řady, která je sudou funkcí, je lichou funkcí d. Fourierova řada sudé funkce je sudá funkce e. Periodické pokračování sudé funkce je sudá funkce Úloha 14 Které z následujících tvrzení NENÍ PRAVDIVÉ? a. Každá trigonometrická řada, která neobsahuje žádnou funkci kosinus, se nazývá sinová. b. Každá trigonometrická řada, která neobsahuje žádnou funkci sinus, se nazývá kosinová. c. Jiná odpověď (tedy všechny ostatní možnosti pravdivé JSOU). d. Trigonometrický polynom není polynom. e. Žádná trigonomentrická řada neobsahuje funkci tangens. Úloha 15 Kterému vlastnímu číslu přísluší nulový vlastní vektor? a. tomu největšímu, které matice má b. nule c. žádnému, nulový vektor nepovažujeme za vlastní vektor d. tomu nejmenšímu, které matice má e. jiná odpověď

6 Úloha 16 O které číselné řadě z následujících možností můžeme s jistotou říci, že je konvergentní? a. žádná z výše uvedených možností nemusí být nutně konvergentní b. taková, jejíž posloupnost n-tého členu má limitu nenulovou c. taková, jejíž posloupnost n-tého členu má limitu nula d. taková, jejíž posloupnost částečných součtů nemá limitu e. taková, jejíž posloupnost částečných součtů má limitu nula Úloha 17 Pokud má nějaká LS s reálnými konstantními koeficienty nějaké komplexní řešení, co o něm můžeme říci? a. Že každá z částí tohoto řešení (reálná i imaginární) sama o sobě řeší tutéž soustavu. b. Že absolutní hodnota z tohoto řešení má minimální reziduum. c. Taková situace nemůže nastat. d. Že je potřeba jej opravit na řešení reálné. e. Že komplexně sdružená funkce je řešením přidružené nehomogenní soustavy. Úloha 18 Tvoří trigonometrické řady ortogonální systém? a. Ne, nikdy. b. Ano, kromě intervalu délky dvě pí. c. Ano, na každém intervalu délky přirozeného násobku své základní periody. d. Jiná odpověď. e. Ano, vždy a všude.

7 Úloha 19 V následujících možnostech jsou vždy trojice podmnožin komplexních čísel. Ve které z těchto možností jsou všechny tři množiny otevřené? a. každá z ostatních nabízených možností obsahuje aspoň jednu množinu, která není otevřená b. množina všech komplexních čísel C, obyčejné okolí nějakého komplexního čísla, množina všech komplexních čísel takových, jejichž argument není celočíselným násobkem šedesáti stupňů a současně jejichž absolutní hodnota je víc než dva a nejvýše tři c. prstencové okolí nějakého komplexního čísla, množina všech komplexních čísel C, množina všech komplexních čísel takových, jejichž argument není celočíselným násobkem šedesáti stupňů a současně jejichž absolutní hodnota je víc než dva a méně než tři d. otevřený interval (3;7), množina všech přirozených čísel N, množina všech komplexních čísel C Množina čísel N se skládá (vzhledem k C) pouze z izolovaných bodů! Jaká je definice otevřené množiny? Otevřený interval (3;7) je množina otevřená vzhledem k R, nikoli vzhledem k C! Uvažte, jak vypadá okolí v C... e. otevřený interval (3;7), množina obsahující číslo 7+5i, množina kladných komplexních čísel Úloha 20 Z jakých matic lze počítat vlastní čísla a vlastní vektory? a. jiná odpověď b. pouze z regulárních c. pouze ze čtvercových d. pouze ze singulárních e. pouze z matice nějaké lineární soustavy