Fáze a fázové přechody

Kvantová a statistická fyzika 2 (Termodynamika a statistická fyzika) Fáze a fázové přechody Pojem fáze je zobecněním pojmu skupenství, označuje homogenní část makroskopického tělesa. Jednotlivé fáze v daném tělese se mohou lišit chemickým složením, skupenstvím, krystalickou strukturou, hustotou, magnetickými vlastnostmi atd. Podmínka rovnováhy pro dvě fáze: teplotní a mechanická rovnováha: a zachování počtu částic Systém s konstantním objemem v termodynamické rovnováze: T 1 T 2 T, (1) p 1 p 2 p (2) N 1 + N 2 N. (3) df (T, V, N k ) 0, (4) přičemž takže při konstantní teplotě ( ) F N k V,T µ k, (5) df µ 1 dn 1 + µ 2 dn 2 (µ 1 µ 2 )dn, (6) čili chemické potenciály pro částice obou fází musí být stejné. Pokud vyjádříme chemické potenciály jako funkce teploty a tlaku, dostaneme což představuje implicitní závislost mezi tlakem a teplotou, neboli µ 1 (p, T ) µ 2 (p, T ), (7) p p(t ), (8) viz obr. 1a. Parametry p, T vyhovující této rovnici leží na křivce, jejíž body oovídají možné koexis- p C (a) p C (b) A B (max) V 1 V 2 (max) D T V Obrázek 1: Křivka fázové rovnováhy pro tlak a teplotu a pro tlak a objem. tenci dvou fází. Body mimo tuto čáru oovídají situaci, kdy látka v tělese je tvořena jedinou fází. 1

Pokud přecházíme z jednoho stavu (A) do druhého (B) po trajektorii oovídající čárkované čáře na obr. 1, ve stavu oovídajícím průsečíku této čáry s křivkou p(t ) se těleso rozdělí na dvě homogenní části. (V této situaci dvojice parametrů p, T neurčuje jednoznačně stav systému - je třeba doplnit např. informaci o poměrném zastoupení obou fází.) Na druhé straně křivky p(t ) pokračuje systém jako homogenní těleso ve druhé fázi. V některých případech křivka fázové rovnováhy končí - jako v bodě (C), v tzv. kritickém bodě. Pokud měníme stav systému podél tečkované trajektorie, mění se fáze postupně, aniž by se těleso rozdělilo na dvě oddělené části. Fáze s kritickým bodem se tak liší pouze kvantitativně a přiřazení daného homogenního stavu jedné či druhé fázi může být konvenční záležitostí. To se týká např. přechodu mezi kapalnou a plynnou fází. Naproti tomu přechody mezi kapalnou a krystalickou fází, nebo mezi dvěma krystalickými fázemi s různou symetrií představují kvalitativní skok a křivka fázové rovnováhy nemůže mít kritický bod. Rovnováhu fází můžeme zobrazit i pro jiné dvojice termodynamických proměnných, např. p a V jako na obr. 1b. Rovnováze dvou fází tu neoovídá pouze křivka, ale určitá plošná oblast. Pro zachování termodynamické rovnováhy totiž není nutná rovnost objemů (na rozdíl od rovnosti tlaků, rce (2)), ale objemy V 1,2 dvou fází mohou nabývat hodnot 0 V 1 V (max) 1 a 0 V 2 V (max) 2 tak, že V V 1 + V 2 xv (max) 1 + (1 x)v (max) 2, 0 x 1, (9) což znamená, že podmínka rovnováhy fází je splněna pro jakýkoliv bod v čárkované oblasti na obr. 1b. Dané hodnotě p a T oovídá jedna vodorovná úsečka spojující body V (max) 1 a V (max) 2 na křivce; množství látky v jednotlivých fázích jsou úměrné délkám úseček mezi daným bodem (např. D na obr. 1b) a body V (max) 1 a V (max) 2. Tři fáze: analogicky jako pro rovnováhu dvou fází musí platit T 1 T 2 T 3 T, (10) p 1 p 2 p 3 p, (11) µ 1 (p, T ) µ 2 (p, T ) µ 3 (p, T ). (12) Vztah (12) představuje dvě rovnice mezi proměnnými p a T. Řešení těchto rovnic oovídá jediný bod o souřadnicích (p 0, T 0 ), tzv. trojný bod. Protože obecně nelze zajistit, aby dvě proměnné vyhovovaly třem a více nezávislým rovnicím, rovnováhy více než tří fází téže látky se nedá dosáhnout. Latentní teplo fázového přechodu, Clausiova - Clapeyronova rovnice. Připomeňme vztahy pro termodynamické potenciály soustav s proměnným počtem částic (ve statistické fyzice je popisuje velký kanonický ansámbl): de T ds pdv + µ 1 dn 1 + µ 2 dn 2 +... (13) df SdT pdv + µ 1 dn 1 + µ 2 dn 2 +... (14) dh T ds + V + µ 1 dn 1 + µ 2 dn 2 +... (15) dg SdT + V + µ 1 dn 1 + µ 2 dn 2 +.... (16) Z rovnice (16) plyne Maxwellova relace ( ) ( ) µk S, (17) ( ) ( ) µk V. (18) p T,N j Výraz ( ) S s k (19) 2

představuje entropii, kterou získá soustava, pokud do ní (za podmínky konstantního tlaku a teploty) přejde jedna částice k-tého druhu. Vynásobením tohoto vztahu teplotou získáme q k T s k, což představuje teplo, které je nutno soustavě dodat, aby při získání jedné částice k-tého druhu zůstaly teplota a tlak nezměněné. Pokud soustava přechází z jedné fáze do druhé, pak při přechodu jedné částice z fáze 1 do fáze 2 je nutno dodat soustavě teplo [ ( µ2 ) ( ) ] µ1 q T (s 2 s 1 ) T. (20) Tato veličina se nazývá latentní teplo (na jednu částici) pro přechod z fáze 1 do fáze 2. Výraz ( ) V v k (21) má význam objemu, připadajícího na jednu částici k-tého druhu (o tuto hodnotu vzroste objem systému, pokud do něj za konstantního tlaku a teploty jednu takovou částici přidáme). Vztah mezi změnou tlaku s teplotou v rovnováze dvou fází, rozdílem specifických objemů těchto fází a latentním teplem získáme derivací rovnice (7) podle teploty: Úpravou získáme µ 1 T + µ 1 p dt µ 2 T + µ 2 p dt, (22) s 1 + v 1 dt s 2 + v 2 dt. (23) dt s 2 s 1 v 2 v 1 q T (v 2 v 1 ). (24) Toto je Clausiova - Clapeyronova rovnice. Vyplývá z ní např. vztah mezi tlakem a teplotou tání ledu: je-li fáze 1 pevná a 2 kapalná, je q kladné a pro vodu platí v 1 > v 2. Pak musí být dt < 0, tedy s rostoucím tlakem teplota tání klesá. Pro látky, jejichž specifický objem v kapalné fázi je větší než v pevné fázi, v 1 < v 2, teplota tání s rostoucím tlakem roste. Clausiova - Clapeyronova rovnice se dá použít i pro odhad závislosti tlaku sytých par na teplotě. Využijeme dvou zjednodušení: specifický objem molekuly páry je mnohem větší než specifický objem molekuly v kapalině, v 2 v 1 a tedy v 2 v 1 v 2. Za druhé - páru budeme aproximovat ideálním plynem, tedy takže Clausiova - Clapeyronova rovnice má tvar Pokud je q nezávislé na teplotě, dostáváme v 2 kt p, (25) dt qp kt 2. (26) p p 0 e q kt, (27) kde p 0 je integrační konstanta. Tlak syté páry tedy závisí přibližně exponenciálně na 1/T. Př.: Tlak syté vodní páry při 373 K je 10 5 Pa, latentní teplo vypařování je 40,7 kj/mol. Odhadněte tlak syté vodní páry při 383 K a při 363 K. [1, 41 10 5 Pa, 0, 70 10 5 Pa] Př.: Tlak syté vodní páry nad ledem při 268 K je 2,965 10 5 Pa a při 273 K je to 4,56 10 5 Pa. Odhadněte 3

latentní teplo sublimace ledu. [52, 37kJ/mol] Př.: Odhadněte teplotu varu vody při tlaku 3 10 5 Pa. [407K] Gibbsovo fázové pravidlo: U systému skládajícího se z daného počtu molekul n různých chemických látek v r různých fázích může v termodynamické rovnováze f termodynamických veličin nabývat nezávislých hodnot, kde f n + 2 r. (28) Veličina f je počet stupňů volnosti. Např. v jednosložkovém systému (n 1) s jednou fází (r 1) je počet stupňů volnosti f 2, můžeme tedy např. zadat teplotu a tlak systému a ostatní termodynamické veličiny (např. objem, vnitřní energie, entropie) jsou již určeny. Pokud však v tomto systému koexistují dvě fáze (r 2), je f 1 a všechny termodynamické veličiny jsou určeny např. zadáním teploty. Při koexistenci tří fází je f 0 a všechny termodynamické veličiny jsou již určeny: jsou to souřadnice trojného bodu. Dvousložkový systém (n 2) se třemi fázemi (r 3) je např. soustava led, krystalická sůl a voda s rozpuštěnou solí. Má jeden stupeň volnosti: při daném tlaku existuje jediná teplota, kdy jsou všechny tři složky přítomny. Odvození fázového pravidla: uvažujme systém s n složkami v r fázích. Každé fázi m oovídá teplota T, tlak p a n chemických potenciálů µ m,j, kde j 1, 2,.... Počet částic j-té složky ve fázi m je N m,j. Gibbsův potenciál fáze m je n G m (p, T, N m,1, N m,2,..., N m,n ) µ m,j N m,j. (29) j1 Protože Gibbsův potenciál musí být homogenní funkcí prvního řádu proměnných N m,j, musí být chemické potenciály µ m,j funkcemi teploty T, tlaku p a koncentrací definovaných např. c m,j N m,j /N m,n a chemické potenciály jsou tedy funkcemi n + 1 proměnných µ m,j µ m,j (T, p, c m,1, c m,2,..., c m,n 1 ), m 1, 2,... r. (30) Dohromady je tedy soustava popsána 2 + r(n 1) proměnnými. Protože v termodynamické rovnováze jsou chemické potenciály každé složky stejné v každé fázi, platí µ 1,1 µ 2,1... µ r,1, µ 1,2 µ 2,2... µ r,2, µ 1,n µ 2,n... µ r,n,. (31) což představuje n(r 1) nezávislých rovnic. Z celkového počtu proměnných tedy zbývá 2 + r(n 1) n(r 1) 2 + n r nezávislých proměnných, což je Gibbsovo fázové pravidlo. Dva limericky o Gibbsově pravidle od studentů z MIT: What can I say about Gibb s Phase Rule? It can be a useful Thermo tool. For, if you use it right, Even when high as a kite, Your Professor will still think you re cool. Learning Gibbs Rules can be slow Students find it a great woe But some struggle through Memorize that D+fc+2 And say Look at all the things I know 4

Povrchové napětí a Laplaceův tlak. Zatím jsme zanedbávali vliv povrchu oddělujícího dvě fáze. Při malých rozměrech jednotlivých těles však povrchové efekty hrají velkou roli. Práce na zvětšení povrchu σ rozhraní: da αdσ, (32) kde α je povrchové napětí (α > 0, jinak by rozhraní nebylo stabilní). Diferenciál vnitřní energie je de T 1 ds 1 p 1 + µ 1 dn 1 + T 2 ds 2 p 2 dv 2 + µ 2 dn 2 + αdσ. (33) Přeokládáme-li konstantní objem V V 1 + V 2, počet částic N N 1 + N 2 a entropii S S 1 + S 2, musí být energie soustavy minimální, tedy ( (T 1 T 2 )ds 1 p 1 p 2 α dσ ) + (µ 1 µ 2 )dn 1 0. (34) Pro rovnováhu tedy musí platit vztahy T 1 T 2 T, (35) µ 1 µ 2, (36) p 1 p 2 α dσ. (37) První dva vztahy jsou stejné jako v případě bez povrchových efektů, novým jevem je nerovnost tlaků ve fázích oddělených rozhraním. Pokud fáze 1 tvoří kouli, je a tedy Rozdíl tlaků uvnitř a vně koule je pak V 1 4 3 πr3, (38) dσ σ 4πr 2, (39) dσ dr dr 2 r. (40) Tento tlakový rozdíl se nazývá Laplaceův tlak. p 1 p 2 2α r. (41) 5