Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.

Save this PDF as:

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0."

Transkript

1 Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin + >, + a, neboli < Definiční obor funkce f = f = cos cosh + 3 a nalezněte rovnici tečen ke grafu této funkce v bodech [;? a [ π 3 ;? Funkce f je definována předpisem f = e cosh lncos + 3 Proto je její definiční obor určen vztahem cos > Tedy D f = 4k π, 4k + π k Z Rovnice tečny ke grafu funkce y = f v bodě [ ; y, kde y = f, v němž má funkce f derivaci, je y y = f, kde f je derivace funkce f v bodě Pro naší funkce je f = cos cosh sinh lncos cosh tg + 3 Pro bod = je y = a f = 3 Tedy rovnice tečny je v tomto případě y = 3, neboli 3 y + = Bod = π 3 není prvkem definičního oboru funkce f Určete definiční obor funkce f = sin + 3 cos [ π a nalezněte rovnici normál ke grafu této funkce v bodech ;? a [ 4π 3 ;? Funkce f je definována předpisem f = e lnsin + 3 cos Proto je její definiční obor určen vztahem sin > Tedy D f = kπ, k + π k Z Rovnice normály ke grafu funkce y = f v bodě [ ; y, kde y = f, v němž má funkce f derivaci, je f y y =, kde f je derivace funkce f v bodě Pro naší funkce je f = sin lnsin + cotg 3 sin Pro bod = π π je y = a f = 3 Tedy rovnice normály je v tomto případě 3y = π, neboli 3y + 3 π = Bod = 4π 3 není prvkem definičního oboru funkce f Určete definiční obor funkce f = sin + Typeset by AMS-TEX

2 [ π [ 7 a nalezněte rovnici tečen ke grafu této funkce v bodech ;? a 4 π;? Funkce f je definována předpisem f = e lnsin + vztahem sin > Tedy D f = kπ, k + π k Z Proto je její definiční obor určen Rovnice tečny ke grafu funkce y = f v bodě [ ; y, kde y = f, v němž má funkce f derivaci, je y y = f, kde f je derivace funkce f v bodě Pro naší funkce je f = sin lnsin + cotg + Pro bod = π je y = + π π 4 a f π π, neboli π y + π 4 = Bod = 7 π není prvkem definičního oboru funkce f 4 = π Tedy rovnice tečny je v tomto případě y π 4 = Určete definiční obor funkce f = sin + [ π [ 6 a nalezněte její diferenciál v bodech ;? a 5 π;? Funkce f je definována předpisem f = e lnsin + vztahem sin > Tedy D f = kπ, k + π k Z Proto je její definiční obor určen Diferenciál funkce y = f v bodě =, ve kterém má funkce f derivaci f, je lineární funkce proměnné h definovaná vztahem df ; h = f h Pro naší funkce je f = sin lnsin + cotg + Pro bod = π π π je f = Tedy diferenciál je v tomto případě df ; h = h Bod = 6 π není prvkem definičního oboru funkce f 5 Nalezněte rovnice tečen ke grafu funkce v jejích infleních bodech f = ln + Definiční obor funkce f je celá množina R První dvě derivace této funkce jsou f = + a f = + Protože f > pro, a f < pro,, +, je funkce f konvení na intervalu, a konkávní na intervalech, a, + tedy její inflení body jsou = ± Rovnice tečny ke grafu funkce y = f v bodě [ ; y, kde y = f, v němž má funkce f derivaci, je y y = f, kde f je derivace funkce f v bodě Protože pro = je y = ln a f =, má rovnice tečny v bodě [; ln rovnici y ln =, neboli y + ln = Protože pro = je y = ln a f =, má rovnice tečny v bodě [ ; ln rovnici y ln = +, neboli + y + ln =

3 Určete definiční obor funkce f = sin + [ π [ 5 a nalezněte její diferenciál v bodech ;? a 3 π;? Protože je funkce f definována předpisem f = e lnsin +, je její definiční obor určen podmínkou sin > Je to tedy množina D f = k Z kπ, k + π Diferenciál funkce f, která má v bodě derivaci, je lineární funkce proměnné h definovaná vztahem df ; h = f h, kde f je derivace funkce f v bodě Derivace dané funkce je f = sin lnsin + cotg + π π Protože f = je df ; h = h Bod = 5 π není prvkem definičního oboru funkce f 3 Určete definiční obor funkce f = ln [ a nalezněte rovnici tečen ke grafu této funkce v bodech ;? a [ ;? Definiční obor D f funkce f = ln je určen nerovnostmi > a > Tedy D f =, Tečna ke grafu funkce y = f v bodě [ ; y, kde y = f je dána rovnicí y y = f, kde f je derivace funkce f v bodě Derivace funkce f v obecném bodě je f = + = V bodě = je y = ln 3 a f 8 = 3 Rovnice tečny ke grafu funkce f = ln v [ bodě ; ln 3 je y + ln 3 = 8, neboli 8 3y 4 3 ln 3 = 3 Bod = Určete definiční obor funkce není prvkem definičního oboru funkce f f = ln a nalezněte rovnice tečen ke grafu této funkce v bodech [;?, [;? Definiční obor funkce f je určen nerovností > Tedy D f =, 3, 3 Rovnice tečny ke grafu funkce y = f v bodě [ ; y, kde y = f, v němž má funkce f derivaci, je y y = f, kde f je derivace funkce f v bodě V našem případě je f = 9 3 Bod = není prvkem definičního oboru funkce f Pro = je y = ln 3 a f = 4 Tedy v tomto případě má tečna rovnici y ln = 4, 3 neboli 4 + y 4 ln 3 = 3

4 Určete definiční obor funkce f = ln [ a nalezněte rovnice tečen ke grafu této funkce v bodech ;?, [;? Definiční obor D f funkce f = ln je určen nerovnostmi > a > Tedy D f =, Tečna ke grafu funkce y = f v bodě [ ; y, kde y = f je dána rovnicí y y = f, kde f je derivace funkce f v bodě Derivace funkce f v obecném bodě je f = + = V bodě = je y = ln 3 a f 8 = 3 Rovnice tečny ke grafu funkce f = ln v [ bodě ; ln 3 je y + ln 3 = 8, neboli 8 3y 4 3 ln 3 = 3 Bod = není prvkem definičního oboru funkce f Určete definiční obor funkce f = sin + 3 cos [ π a nalezněte rovnice tečen ke grafu této funkce v bodech,?, [π,? Funkce f je definována předpisem f = e lnsin + 3 cos Proto je její definiční obor určen nerovností sin > Tedy D f = k Z kπ, k + π Tečna ke grafu funkce y = f v bodě [ ; y, kde y = f je dána rovnicí y y = f, kde f je derivace funkce f v bodě Derivace funkce f v obecném bodě jejího definičního oboru je f = sin lnsin + cotg 3 sin Pro = π π π je y = f = a f = 3 Tedy rovnice tečny v bodě 3 π, neboli 3 + y 3 π = Bod = π není prvkem definičního oboru funkce f [ π ; je y = Určete definiční obor funkce f = cos cosh + 3 a nalezněte rovnici normál ke grafu této funkce v bodech [;? a [π;? Protože je funkce f definována předpisem f = e cosh lncos +3, je definiční obor této funkce určen vztahem cos > Tedy D f = k Z 4k π, 4k + π 4

5 Rovnice normály ke grafu funkce y = f v bodě [ ; y, kde y = f, v němž má funkce f derivaci, je f y y =, kde f je derivace funkce f v bodě V našem případě je derivace funkce f v obecném bodě definičního oboru rovna f = cos cosh sinh lncos cosh tg + 3 V bodě =, je y = a f = 3 Tedy rovnice normály ke grafu funkce f v bodě [ ; je 3y =, neboli + 3y 3 = Bod = π není prvkem D f Nalezněte definiční obor funkce a její diferenciál v bodech = a = 3 f = e cosh + e 4 Funkce je definována předpisem f = e cosh ln e + e 4 Proto je definiční obor D f této funkce určen nerovností e > Tedy D f = e, e Diferenciál funkce f v bodě, která má v tomto bodě derivaci, je lineární funkce proměnné h definovaná vztahem df ; h = f h, kde f je derivace funkce f v bodě Derivace dané funkce je f = e cosh sinh ln e + V bodě = je f = 4 Tedy df; h = 4h Bod = 3 není prvkem definičního oboru funkce f Určete definiční obor funkce f = 4 sin a nalezněte rovnice tečen ke grafu této funkce v bodech [ 3;?, [;? cosh e + 4e 4, Protože funkce f je definována předpisem f = e sin ln4, je její definiční obor určen nerovností 4 >, tj, Tečna ke grafu funkce y = f v bodě [ ; y, kde y = f je dána rovnicí y y = f, kde f je derivace funkce f v bodě V našem případě je f = 4 sin cos ln4 sin 4 Bod = 3 není prvkem definičního oboru funkce f Pro bod = je y = f = a f = ln 4 Tedy rovnice tečny ke grafu funkce f v bodě [; je y = ln 4, neboli ln 4 y + = Nalezněte ity v krajních bodech definičního oboru funkce f = ln4 9 Definiční obor funkce f je určen vztahy 4 > a 9 Tedy D f =, 3 3, 3 3, 4 Čili máme najít ity v bodech = 4, = ±3 a = 5

6 ln4 4 9 = + Pro 3 se jedná o itu typu K jejímu výpočtu použijeme l Hospitalovo pravidlo To dává ln4 3 9 = 3 4 = 6 ln4 ln4 Protože = + a 3 9 =, ita v bodě = 3 neeistuje Pro se jedná o itu typu proto můžeme pro výpočet této ity použít l Hospitalovo pravidlo Z něj plyne ln4 9 = 4 = Nalezněte asymptoty ke grafu funkce f = ln Definiční obor funkce f je D f =,, + Proto budeme hledat asymptoty v bodech =, = a = + Protože =, nemá funkce f v bodě = svislou asymptotu + ln Protože = je přímka = svislou asymptotou ke grafu funkce f f = ln + + Protože Protože + + ln = f = + = +, nemá funkce f v bodě = + vodorovnou asymptotu + =, nemá funkce f v bodě = + ani šikmou asymptotu ln Nalezněte ity v krajních bodech definičního oboru funkce f = ln + Definiční obor funkce f je určen vztahy + > a Tedy D f =,,, + Čili máme najít ity v bodech =, = ± a = + ln + + = Pro se jedná o itu typu K jejímu výpočtu použijeme l Hospitalovo pravidlo To dává ln + = + = ln + ln + Protože + = + a =, ita v bodě = neeistuje Pro + se jedná o itu typu proto můžeme pro výpočet této ity použít l Hospitalovo pravidlo Z něj plyne ln + + = + Dokažte, že derivace sudé funkce je funkce lichá + = 6

7 Nechť f je sudá funkce To znamená, že pro každé D f je f = f Nechť je bod D f, f + h f ve kterém eistuje derivace funkce f, tj eistuje konečná ita = f h h Protože je funkce f sudá, platí pro takové vztah f f + h f f h f = = = h h h h f h f = = f h h Tedy pro každý bod D f je f = f, což znamená, že funkce f je lichá Napište rovnici normály ke grafu funkce f = ln rovnoběžné s přímkou p y + 3 = Definiční obor funkce f je interval D f =, + Rovnice normály ke grafu funkce y = f v bodě [ ; y, kde y = f, v němž má funkce f derivaci, je f y y =, kde f je derivace funkce f v bodě Tedy normála má směrnici k = f V našem případě je f = ln + Protože přímka p má směrnici k p = a normála má být rovnoběžná s touto přímkou, musí pro ovou souřadnici průsečíku normály s grafem funkce platit vztah f = ln + = Tedy souřadnice tohoto bodu jsou = e a y = e Proto je rovnice hledané normály y + e = e, neboli y 3e = Určete rovnici tečen k parabole y = +, které prochází bodem B = [; Rovnice tečny ke grafu funkce y = f v bodě [ ; y, kde y = f, v němž má funkce f derivaci, je y y = f, kde f je derivace funkce f v bodě V našem případě je f = Tedy rovnice tečny, která prochází bodem [ ; y, kde y = + je y = Protože hledáme tečnu, která prochází bodem [;, musí splňovat rovnici = Její řešení jsou = + 6 a = 6 Tedy body dotyku jsou [ + 6; nebo [ 6; 7 6 Dostali jsme tedy dvě řešení Tečna, která prochází bodem [ + 6; 7+ 6, má rovnici y 7 6 = + 6 6, neboli + 6 y 3 6 = a tečna, která prochází bodem [ 6; 7 6, má rovnici y 7+ 6 = 6 + 6, neboli 6 +y +3 6 = Je dána funkce f = sin Vypočtěte f K výpočtu této derivace je výhodné použít Leibnizův vzorec n n n f g = f k g n k, k k= kde f a g jsou funkce, které mají derivace do řádu n včetně Jestliže zvolíme f = a g = sin, platí: f =, f = a f k = pro k > a pro každé k N je g 4k = g 4k+ = sin a g 4k+ = g 4k+3 = cos Z Leibnizova vzorce tedy dostáváme sin = sin 7 cos sin =

8 = 38 sin 4 cos Dokažte, že derivace liché funkce je funkce sudá Nechť f je lichá funkce To znamená, že pro každé D f je f = f Nechť je bod D f, f + h f ve kterém eistuje derivace funkce f, tj eistuje konečná ita = f h h Protože je funkce f lichá, platí pro takové vztah f f + h f f h + f = = = h h h h f h f = = f h h Tedy pro každý bod D f je f = f, což znamená, že funkce f je sudá Ve kterých bodech má graf funkce f = + 3 sin tečny rovnoběžné s osou y? Definiční obor funkce f je celá množina R Naším úkolem je najít body R, ve kterých je f + h f = ± Protože derivace funkce f, f = + h h 3 cos je pro kπ, sin /3 k Z konečná, stačí zkoumat pouze body = kπ V těchto bodech je h + 3 sinkπ + h = + k 3 sin h h h h h = + k h /3 h h /3 Protože tato ita je pro sudá k rovna + a pro lichá k rovna, jsou tečny ke grafu funkce f = + 3 sin v bodech = kπ, k Z, rovny = kπ, a tedy rovnoběžné s osou Oy Určete rovnici tečny ke grafu funkce y = 3 +, která je rovnoběžná s přímkou p y = 4 Rovnice tečny ke grafu funkce y = f v bodě [ ; y, kde y = f, v němž má funkce f derivaci, je y y = f, kde f je derivace funkce f v bodě a je rovna směrnici této tečny V našem případě je f = 3 + Protože směrnice přímky p je k p = 4 a tato přímka má být rovnoběžná s tečnou, budeme hledat na grafu funkce y = 3 + body, pro které je f = 3 + = 4 Takto získáme dva body dotyku [; a [ ; 4 Tedy v bodě [; je rovnice tečny y = 4, neboli 4 y 4 =, a v bodě [ ; 4 je rovnice tečny y + 4 = 4 +, čili 4 y = Určete rovnici tečny ke grafu funkce y =, která je rovnoběžná s přímkou p y = Rovnice tečny ke grafu funkce y = f v bodě [ ; y, kde y = f, v němž má funkce f derivaci, je y y = f, kde f je derivace funkce f v bodě Tato derivace je rovna směrnici tečny Protože směrnice přímky y = je rovna nule, máme na grafu funkce y = f = najít body, ve kterých je f = Protože f = 4, jsou to body =, = a = Protože f = f = a f =, eistují dvě tečny s danými vlastnostmi Jejich rovnice jsou y = a y = 8

9 Určete rovnici tečny ke grafu funkce y = , která je kolmá k přímce p 6y + = Rovnice tečny ke grafu funkce y = f v bodě [ ; y, kde y = f, v němž má funkce f derivaci, je y y = f, kde f je derivace funkce f v bodě Tato derivace je rovna směrnici tečny V našem případě je derivace funkce rovna f = Protože přímka p má směrnici k = 3 a má být kolmá na hledanou tečnu, musí v bodě platit rovnost = 3 tedy = Pro toto je y = 3 a f = 3 Tedy rovnice hledané tečny je y + 3 = 3 +, neboli 3 + y + 6 = Určete rovnici tečny ke grafu funkce y = + 5, která je kolmá k dané přímce p y = + 3 Rovnice tečny ke grafu funkce y = f v bodě [ ; y, kde y = f, v němž má funkce f derivaci, je y y = f, kde f je derivace funkce f v bodě Tato derivace je rovna směrnici tečny V našem případě je f = Protože směrnice přímky p je k p = a tato přímka má být kolmá na tečnu, budeme hledat na grafu funkce y = +5 body, pro které je f = = Takto získáme bod dotyku [ 3 ; 7 4 Tedy rovnice tečny je y 7 4 = 3, neboli 4 4y + = Určete rovnici tečny ke grafu funkce y = ln, která je kolmá k přímce p y = Rovnice tečny ke grafu funkce y = f v bodě [ ; y, kde y = f, v němž má funkce f derivaci, je y y = f, kde f je derivace funkce f v bodě Tato derivace je rovna směrnici tečny V našem případě je derivace funkce rovna f = Protože přímka p má směrnici k p = a má být kolmá na hledanou tečnu, musí v bodě platit rovnost = tedy = Pro toto je y = ln a f = Tedy rovnice hledané tečny je y ln =, neboli y + ln = Napište rovnice tečen hyperboly 7 y = 4, které jsou kolmé na přímku + 4y 3 = Rovnice tečny ke grafu funkce y = f v bodě [ ; y, kde y = f, v němž má funkce f derivaci, je y y = f, kde f je derivace funkce f v bodě Tato derivace je rovna směrnici tečny Protože přímka má směrnici k p = a hledáme tečnu kolmou na tuto přímku, musí být směrnice tečny rovna k = Označme y = f Na dané hyperbole máme najít najít bod, ve které je y = f = Protože funkce f splňuje rovnici 7 f = 4, dostaneme jejím derivováním rovnici 4 4ff = Tedy v bodě dotyku [ ; y musí být splněny rovnice 7 4y = a 7 y = 4 Řešení této soustavy rovnic nám dá dva body dotyku [4; 7 a [ 4; 7 Tedy eistují dvě tečny s danou vlastností Je-li bod dotyku [4; 7 je rovnice tečny y 7 = 4, tj y =, a je-li bod dotyku [ 4; 7 je rovnice tečny y + 7 = + 4, tj y + = Veďte tečny ke grafu funkce y = tak, aby procházely bodem B = [; 3 9

10 Rovnice tečny ke grafu funkce y = f v bodě [ ; y, y = f, ve kterém je funkce f diferencovatelná, má tvar y y = f, kde f je derivace funkce f v bodě V našem případě je pro, y = a f = 4 Rovnice tečny tedy je y + = 4 Protože tečna má procházet bodem [; 3, musí splňovat rovnici 4 = 4 Tato rovnice má dvě řešení = ± Pro = + je y = + 8 a f + = 4 + Rovnice tečny, která se dotýká grafu funkce v tomto bodě je y 8 = 4 +, neboli 4 + y 3 8 = Pro = je y = 8 a f = 4 Rovnice tečny, která se dotýká grafu funkce v tomto bodě je y +8 = 4 +, neboli 4 y 3+8 = Určete rovnici normály ke grafu funkce y = 4 + 5, která je rovnoběžná s přímkou p + 4y 4 = Normála ke grafu funkce = f v bodě [ ; y, kde y = f, která je v tomto bodě diferencovatelná, má rovnici f y y =, kde f je derivace funkce f v bodě Její směrnice je tedy k n = f Protože přímka p má směrnici k p =, máme na grafu 4 funkce y = najít body, pro které je f = 4 Protože f = 4, eistuje pouze jeden takový bod Jeho souřadnice jsou = 4 a y = 5 Tedy rovnice hledané normály je 4y 5 = 4, neboli + 4y 4 = Určete rovnici normály ke grafu funkce y = 6 + 6, která je kolmá k dané přímce p y = Rovnice normály ke grafu funkce y = f v bodě [ ; y, kde y = f, v němž má funkce f derivaci, je f y y =, kde f je derivace funkce f v bodě Tedy normála má směrnici k = f V našem případě je f = 6 Protože přímka p má směrnici k p = a normála má být kolmá na tuto přímku, musí pro ovou souřadnici průsečíku normály s grafem funkce platit vztah f = 6 = Tedy souřadnice tohoto bodu jsou = 5 a y = Proto je rovnice 4 hledané normály y + 4 = 5, neboli y 4 = Určete rovnici normály ke grafu funkce y = +, která je kolmá k přímce p y = + Definiční obor funkce f je D f =, + Rovnice normály ke grafu funkce y = f v bodě [ ; y, kde y = f, v němž má funkce f derivaci, je f y y =, kde f je derivace funkce f v bodě Tedy normála má směrnici k = f Směrnice přímky p je k p = Protože má být normála kolmá na přímku p, musí mít směrnici k = = Protože f = k p máme na grafu funkce y = + najít bod [ ; y, ve kterém je = To je bod [; tedy rovnice hledané normály je y =, neboli y = Veďte tečny ke grafu funkce y = tak, aby procházely bodem B = [;

11 Definiční obor funkce f je D f =, 5 5, + Rovnice tečny ke grafu funkce y = f v bodě [ ; y, kde y = f, v němž má funkce f derivaci, je y y = f, kde f je derivace funkce f v bodě V našem případě je f 4 = + 5 Tedy rovnice tečný, která prochází bodem [ ; y, kde y = je y = Protože hledáme tečnu, která prochází bodem [;, musí splňovat rovnici = Její řešení jsou = 3 a = 5 Tedy [ body dotyku jsou [ 3; 3 nebo 5; 3 5 Dostali jsme tedy dvě řešení Tečna, která prochází bodem [ 3; 3, má rovnici y 3 = + 3 neboli + y = a tečna, která prochází bodem + 5y = [ 5; 3 5, má rovnici y 3 5 = + 5, neboli 5 Veďte tečny ke grafu funkce y = tak, aby procházely bodem B = [ ; Definiční obor funkce f je D f =,, + Rovnice tečny ke grafu funkce y = f v bodě [ ; y, kde y = f, v němž má funkce f derivaci, je y y = f, kde f je derivace funkce f v bodě V našem případě je f = Tedy rovnice tečny v bodě [ ; y, kde y =, je y = Protože hledáme tečnu, která prochází bodem [ ;, musí splňovat rovnici = Tato rovnice má dvě řešení = ± Tedy body dotyku jsou [ + ; a [, Tečna, která prochází bodem [ + ;, má rovnici y + = 3 a tečna, která prochází bodem [ + ;, má rovnici y + + = Vypočtěte itu arctg 3 Protože se jedná o itu typu, lze k jejímu výpočtu použít l Hospitalova pravidla To dává arctg 3 = 3 + = 3 Vypočtěte itu π arctg +

12 Jedná se o itu typu l Hospitalova pravidla To dává Proto výraz nejprve upravíme na itu typu a použijeme π arctg = + π arctg + = + + = Vypočtěte itu + cotg Jedná se o itu typu proto výraz nejprve upravíme na podíl Platí cos sin cos = sin sin l Hospitalovo pravidlo Pomocí něj dostaneme cotg = Protože nyní již jde o itu typu, lze k jejímu výpočtu použít + cotg sin cos = = + sin sin cos = + + sin = sin = + Vypočtěte itu + e Jedná se o itu typu Ale protože + e = + e = =, je + e e e = + + Vypočtěte itu cos + Jedná se o itu typu Protože cos = ep ln cos a funkce y = e je spojitá na celém R, stačí najít itu ln cos To je ita typu proto ji upravíme na itu typu Tedy + a použijeme l Hospitalovo pravidlo Takto dostaneme ln cos ln cos y sin y = + y + y = y + y cos y = cos = e / +

13 Vypočtěte itu cotg sin + Jedná se o itu typu sin Protože cotg = e sin ln cotg a funkce y = e je spojitá na celém R, stačí najít itu sin ln cotg, což je ita typu Tu převedeme na itu + typu a použijeme l Hospitalovo pravidlo Tak dostaneme sin ln cotg ln cotg = + = + sin + tg cos = Tedy + cotg sin = e = Dokažte, že polynom P s reálnými koeficienty má tuto vlastnost: Mezi každými dvěma reálnými kořeny polynomu P leží kořen polynomu P Nechť a, <, jsou nulové body polynomu P Protože každý polynom má na celé reálné ose derivace všech řádů a P = P =, jsou na intervalu, splněny předpoklady Rollovy věty o střední hodnotě Podle ní eistuje bod, takový, že P = Nalezněte hodnotu k a interval, ve kterém platí uvedená rovnost arctg + arccotg = k Definiční obor funkce f = arctg + arccotg je celá reálná osa Protože je funkce f diferencovatelná v celém R a její derivace je f = + =, je funkce f na celém R + konstantní Protože f = arctg + arccotg = π, je arctg + arccotg = π pro každé R Nalezněte hodnotu k a interval, ve kterém platí rovnosti arctg + arctg + = k Označme f = arctg + arctg + Definiční obor této funkce je D f =,, + Diferencovatelná funkce y = f se konstantní na intervalu právě tehdy, když je na tomto intervalu f = Protože je f + = =, je funkce f konstantní na + intervalech, a, + Konstantu určíme pomocí funkční hodnoty v libovolném bodě každého z těchto intervalů Protože f = π, platí na intervalu, + rovnost arctg + arctg 4 + = π 4 Protože arctg + arctg = π, 3

14 je na intervalu, funkce arctg + arctg + = 3 4 π Nalezněte hodnotu k a interval, ve kterém platí rovnost arctg + arcsin + = k Uvažujme funkci f = arctg + arcsin Definiční obor této funkce je dán nerovností +, a tedy je to celá množina R + Diferencovatelná funkce je na intervalu konstantní právě tehdy, když je na tomto intervalu f = Derivace funkce f je f = = + + Tedy f = pro <, tj pro,, + Tedy funkce f = arctg + arcsin je na intervalech, a, + konstantní + Tuto konstantu lze na každém z těchto intervalů určit tak, že dosadíme libovolný bod příslušného intervalu Protože arctg + arcsin + + = π a arctg + arcsin + + = π je arctg + arcsin = π + pro, + arctg + arcsin = π + pro, Nalezněte hodnotu k a interval, ve kterém platí rovnost arctg arccos + = k Označme f = arctg arccos Definiční obor funkce f je určen nerovností + + Z toho plyne, že D f = R Derivace funkce f je rovna f = = + + Diferencovatelná funkce f je konstantní na intervalu právě tehdy, když je její derivace rovna nule V našem případě je f = pro, +, a tedy je na tomto intervalu rovna konstantě Protože f =, je arctg arccos = pro, + + 4

15 Vypočtěte itu sin π ln Jedná se o itu typu Proto lze k jejímu výpočtu použít l Hospitalovo pravidlo To dává sin π ln = π cos π = π Vypočtěte itu e e sin Protože se jedná o itu typu, je možné použít k výpočtu této ity l Hospitalovo pravidlo To dává e e e + e = = sin cos Vypočtěte itu sin 3 Jedná se o itu typu Proto lze použít l Hospitalovo pravidlo To dává sin cos sin 3 = 3 = 6 = 6 Vypočtěte itu ln Protože se jedná o itu typu, lze použít l Hospitalovo pravidlo To dává ln = = Vypočtěte itu tg sin 5

16 Jedná se o itu typu Proto lze k jejímu výpočtu použít l Hospitalovo pravidlo Pak dostaneme tg sin = cos cos cos = + cos cos = Vypočtěte itu Jedná se o itu typu l Hospitalovo pravidlo To dává π tg Proto výraz nejprve převedeme na ity typu a použijeme π tg = cotg π/ = π sin π/ = π Vypočtěte itu e/ Protože e / = a e / = + e y y + y = y + ey = +, e / neeistuje Vypočtěte itu sin Jedná se o itu typu Ale jestliže oba zlomky sečteme, získáme itu typu, pro jejíž výpočet již můžeme použít l Hospitalovo pravidlo takto dostaneme sin = sin sin = sin sin = cos sin = = = Vypočtěte itu e Jedná se o itu typu Proto nejprve výraz upravíme sečteme zlomky na itu typu Pak už můžeme použít l Hospitalovo pravidlo To dává e e = e = e e + e = e e + e = 6

17 Vypočtěte itu cotg Jedná se o itu typu Proto převedeme výraz na zlomek Platí cotg = cos sin = sin cos sin = sin + cos sin cos 3 = sin Hledanou itu najdeme jako součin tří it, které jsou vesměs typu Proto lze pro výpočet každé z nich použít l Hospitalovo pravidlo Tedy sin + cos sin cos cotg = 3 sin = sin = 3 = 3 Vypočtěte itu / Jedná se o itu typu Proto vyjádříme funkci pomocí eponenciály, tj napíšeme / = ln ep Protože je funkce f = e spojitá, platí / = ep ln = ep = e Vypočtěte itu + ln + Jedná se o itu typu Protože je + ln = e ln ln+ a funkce y = e je spojitá na celém R, je + ln = ep ln ln + = + + ln ln + = ep = e = + + Vypočtěte itu sin π/ tg 7

18 Funkce f je definována předpisem f = e tg lnsin Proto je její definiční obor určen podmínkou sin > a k + π Tedy D f = [ kπ, 4k + 4k + π π, k + π k Z Protože funkce y = e je spojitá v celém R, stačí najít itu tg lnsin Protože se jedná π/ o itu typu, převedeme tento výraz na itu typu a použijeme l Hospitalovo pravidlo Platí tg lnsin = lnsin π/ π/ cotg = cotg π/ sin = Proto je π/ tg sin = e = Vypočtěte itu + e e Protože se jedná o itu typu, lze k jejímu výpočtu použít l Hospitalovo pravidlo Pomocí něj dostaneme e + e = e e + e = Vypočtěte itu 3 Jedná se o itu typu Proto je možné použít l Hospitalovo pravidlo Pomocí něj dostaneme 3 = 3 ln 3 ln = ln 3 Najděte cos t dt Jedná se o itu typu proto lze k jejímu výpočtu použít l Hospitalovo pravidlo Pomocí něj dostaneme cos t dt = cos = 8

19 Najděte + arctg t dt + + Protože + arctg = π 4, integrál arctg t dt diverguje k + Jedná se tedy o itu typu Proto lze použít l Hospitalovo pravidlo To dává + arctg t dt + = + + arctg = π 4 Najděte + e t dt e t dt Protože integrály + e t dt a + k jejímu výpočtu použít l Hospitalovo pravidlo To dává + e t dt e t dt e t dt divergují do +, jedná se o itu typu Proto lze = + e e t dt e = = + e e = + e t dt e = Najděte + cos t t dt Protože pro t, platí nerovnost cos t t cos t > a integrál dt t = +, jedná se o itu t cos t dt cos t typu Jestliže píšeme + t dt = +, dostaneme itu typu Proto lze pro výpočet této ity použít l Hospitalovo pravidlo Tedy platí cos t + t dt = + t cos t dt = + cos = 9

20 Najděte + + t4 dt 3 Protože je + 4 = +, integrál t4 dt diverguje k + Jedná se tedy o itu Proto lze k výpočtu této itu použít l Hospitalovo pravidlo To dává + + t4 dt 3 = = 3 Najděte + + t e t dt ln/ + e t Protože integrál t použít l Hospitalovo pravidlo To dává dt diverguje k +, jedná se o itu typu Proto lze k jejímu výpočtu + + t e t dt ln/ = + e = Najděte α ft dt, + tα+ kde α > a ft je spojitá funkce na intervalu, ft Jestliže je f, integrál dt diverguje k nekonečnu Proto se v tomto případě jedná o tα+ itu typu Proto převedeme tento výraz na zlomek a dostaneme itu typu K jejímu výpočtu lze použít l Hospitalovo pravidlo Tímto způsobem dostaneme α ft dt = + tα+ + t α ft dt α α f = + α α = f α Jestliže je f =, pak ke každému ε > eistuje δ > takové, že pro každé, δ je f < ε Proto je pro < < δ + δ α t α ft dt α f dt + α t α ft dt + + δ

21 δ ε α dt + t α+ = ε α Protože tato rovnost platí pro každé ε >, je v tomto případě ita rovna α t α ft dt = + Tedy v obou případech je α ft f dt = + tα+ α Najděte definiční obor funkce f = e cosh + e 4 a její diferenciály v bodech = a = 4 Funkce je definována předpisem f = e cosh ln e +e 4 Proto je definiční obor D f této funkce určen nerovností e > Tedy D f = e, e Diferenciál funkce f, která má v bodě derivaci, je lineární funkce proměnné h definovaná vztahem df ; h = f h, kde f je derivace funkce f v bodě Derivace dané funkce je f = e cosh sinh ln e Protože v bodě = je f = 4, je df; h = 4h Bod = 4 není prvkem definičního oboru dané funkce Najděte definiční obor funkce f = a = 3 Funkce f je definována vztahem f = ep cosh e + 4e 4 cosh 7 3 tgh a její diferenciály v bodech = 3 [ 7 3 ln cosh tgh Proto je její 3 definiční obor D f =, 3 3, + Diferenciál funkce f, která má v bodě derivaci, je lineární funkce proměnné h definovaná vztahem df ; h = f h, kde f je derivace funkce f v bodě Derivace dané funkce je f = cosh 7 3 [ 3 ln cosh 3 3 Protože v bodě = je f =, je df; h = h Bod = 3 není prvkem definičního oboru funkce f Najděte definiční obor funkce f = = a = 67 3 tgh 3 3 cosh cosh + e a rovnici normál k jejímu grafu v bodech Protože je funkce f definována předpisem f = e cosh ln + e, je definiční obor této funkce určen podmínkou > Tedy D f =, Rovnice normály ke grafu funkce y = f v bodě [ ; y, kde y = f, ve kterém je funkce f diferencovatelná, má tvar f y y =, kde f je derivace funkce f v bodě

22 V našem případě je f = cosh sinh ln + cosh + e Bod = není prvkem definičního oboru funkce f Pro = je y = a f = Tedy rovnice hledané normály je y =, neboli + y 4 = Najděte definiční obor funkce f = 3 cos + sin = π a = π a rovnici normál k jejímu grafu v bodech Funkce f je definována předpisem f = 3 cos + e lnsin Proto je její definiční obor určen vztahem sin > Tedy D f = kπ, k + π k Z Rovnice normály ke grafu funkce y = f v bodě [ ; y, kde y = f, v němž má funkce f derivaci, je f y y =, kde f je derivace funkce f v bodě Pro naší funkce je f = 3 sin + sin lnsin + cotg Pro bod = π π je y = a f = 3 Tedy rovnice normály je v tomto případě 3y = π, neboli 3y + 3 π = Bod = π není prvkem definičního oboru funkce f Najděte definiční obor funkce f = cos arctg 3 = π a = a rovnici tečen k jejímu grafu v bodech Funkce f je definována předpisem f = e lncos arctg Proto je její definiční obor určen 3 nerovností cos > Tedy D f = 4k π, 4k + π k Z Tečna ke grafu funkce y = f v bodě [ ; y, kde y = f je dána rovnicí y y = f, kde f je derivace funkce f v bodě Pro naši funkce je f = cos 3 lncos tg 9 + Bod = π není prvkem D f Pro bod = je y = f = a f = 3 Tedy tečna v bodě [ ; je y =, neboli 3 + 3y 3 = Najděte definiční obor funkce f = 3 + cos cosh a rovnici normál k jejímu grafu v bodech = π a = Protože je funkce f definována předpisem f = 3+e cosh lncos, je definiční obor této funkce určen vztahem cos > Tedy D f = k Z 4k 4 π, 4k + 4 Rovnice normály ke grafu funkce y = f v bodě [ ; y, kde y = f, v němž má funkce f derivaci, je f y y =, kde f je derivace funkce f v bodě π

23 V našem případě je derivace funkce f v obecném bodě definičního oboru rovna f = 3 + cosh cos sinh lncos cosh tg Bod = π není prvkem D f V bodě =, je y = a f = 3 Tedy rovnice normály ke grafu funkce f v bodě [ ; je 3y =, neboli + 3y 3 = + Nalezněte ity v hraničních bodech definičního oboru funkce f = + Funkce f je definována předpisem f = = ep ln + Proto je její definiční obor D f určen nerovností + > Tedy D f =,, + + Pro ± je = + 4 = e 4 ± ± + Pro je daný výraz typu, a tedy = Pro + je daný výraz typu, a tedy = Nalezněte rovnice všech asymptot ke grafu funkce f = ln6 Funkce f je definována předpisem / ln ln6 f = ln6 = ep Proto je definiční obor této funkce určen vztahy ln6 > a Tedy D f =,, 5 Asymptoty ke grafu dané funkce budeme hledat v krajních bodech jejího definičního oboru, tj v bodech = 5, = a = / 5 Protože ln6 =, nemá funkce f v bodě = 5/ asymptotu Protože f = Protože / ln6 = +, je přímka = svislá asymptota ke grafu funkce f + ln ln6 je ep funkce f v bodě = ln ln6 = 3 ln6 =, = e = Tedy přímka y = je vodorovná asymptota ke grafu Nalezněte definiční obor funkce f = 9 3 cosh a napište rovnici normál k jejímu grafu v bodech = a = 4 cosh ln9 3 Funkce f je definována předpisem f = ep Proto je její definiční obor určen vztahy 9 3 > a Tedy D f =,, 3 3

Cvičení 1 Elementární funkce

Cvičení 1 Elementární funkce Cvičení Elementární funkce Příklad. Najděte definiční obor funkce f = +. + = + =, = D f =,. Příklad. Najděte definiční obor funkce f = 3. 3 3 = > 3 3 + =, 3, 3 = D f =, 3, 3. ± 3 = Příklad 3. Nalezněte

Více

Cvičení 1 Elementární funkce

Cvičení 1 Elementární funkce Cvičení Elementární funkce Příklad. Najděte definiční obor funkce f = +. + = + =, = D f =,. Příklad. Najděte definiční obor funkce f = 3. 3 3 = > 3 3 + =, 3, 3 = D f =, 3, 3. ± 3 = Příklad 3. Nalezněte

Více

arcsin x 2 dx. x dx 4 x 2 ln 2 x + 24 x ln 2 x + 9x dx.

arcsin x 2 dx. x dx 4 x 2 ln 2 x + 24 x ln 2 x + 9x dx. Neurčitý integrál arcsin. Integrál najdeme integrací per partes. Pomocí této metody dostaneme arcsin = arcsin 4 = arcsin + 4 + C, (,. ln + 4 ln + 9. Tento integrál lze převést substitucí ln = y na integrál

Více

Monotonie a lokální extrémy. Konvexnost, konkávnost a inflexní body. 266 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné

Monotonie a lokální extrémy. Konvexnost, konkávnost a inflexní body. 266 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné 66 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné I. 5. Vyšetřování průběhu funkce Monotonie a lokální etrémy Důsledek. Nechť má funkce f) konečnou derivaci na intervalu I. Je-li f ) > 0 pro každé I, pak

Více

MATEMATIKA. Příklady pro 1. ročník bakalářského studia. II. část Diferenciální počet. II.1. Posloupnosti reálných čísel

MATEMATIKA. Příklady pro 1. ročník bakalářského studia. II. část Diferenciální počet. II.1. Posloupnosti reálných čísel MATEMATIKA Příklady pro 1. ročník bakalářského studia II. část II.1. Posloupnosti reálných čísel Rozhodněte, zda posloupnost a n (n = 1, 2, 3,...) je omezená (omezená shora, omezená zdola) resp. monotónní

Více

f( x) x x 4.3. Asymptoty funkce Definice lim f( x) =, lim f( x) =, Jestliže nastane alespoň jeden z případů

f( x) x x 4.3. Asymptoty funkce Definice lim f( x) =, lim f( x) =, Jestliže nastane alespoň jeden z případů 3 Výklad Definice 3 Jestliže nastane alespoň jeden z případů lim =, lim =, + + lim =, lim =, kde ( D ), pak říkáme, že přímka = je asymptotou funkce f() v bodě f Jestliže lim ( k q) =, resp lim ( k q)

Více

Derivace funkce. Obsah. Aplikovaná matematika I. Isaac Newton. Mendelu Brno. 2 Derivace a její geometrický význam. 3 Definice derivace

Derivace funkce. Obsah. Aplikovaná matematika I. Isaac Newton. Mendelu Brno. 2 Derivace a její geometrický význam. 3 Definice derivace Derivace funkce Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah Směrnice přímk Derivace a její geometrický význam 3 Definice derivace 4 Pravidla a vzorce pro derivování 5 Tečna a normála 6 Derivace

Více

Příklad 1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 6

Příklad 1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 6 Příklad 1 Vyšetřete průběh funkce: a) = b) = c) = d) =ln1+ e) =ln f) = Poznámka K vyšetřování průběhu funkce použijeme postup uvedený v zadání. Některé kroky nejsou již tak detailní, všechny by ale měly

Více

Derivace úvod. Jak zjistit míru změny?

Derivace úvod. Jak zjistit míru změny? Derivace úvod P ČEZ Jak zjistit míru změny? Derivace nám dá odpověď jestli je funkce: rostoucí/klesající konkávní/konvení jak moc je strmá jak moc roste kde má maimum/minimum 1000 700 P ČEZ P ČEZ 3% 4%

Více

{ } Ox ( 0) 4.2. Konvexnost, konkávnost, inflexe. Definice Obr. 52. Poznámka. nad tečnou

{ } Ox ( 0) 4.2. Konvexnost, konkávnost, inflexe. Definice Obr. 52. Poznámka. nad tečnou Konvenost, konkávnost, inflee 4.. Konvenost, konkávnost, inflee Definice 4... Nechť eistuje f ( ), D f. Řekneme, že funkce f ( ) je v bodě konkávní, jestliže eistuje { } O ( ) tak, že platí D : O( )\ f(

Více

1 L Hospitalovo pravidlo

1 L Hospitalovo pravidlo L Hospitalovo pravidlo Věta.. Bud R R R {± }). Necht je splněna jedna z podmínek i) ii) f) g), g). Eistuje-li vlastní nebo nevlastní) f ) g ) Obdobné tvrzení platí i pro jednostranné ity., pak eistuje

Více

+ 2y. a y = 1 x 2. du x = nxn 1 f(u) 2x n 3 yf (u)

+ 2y. a y = 1 x 2. du x = nxn 1 f(u) 2x n 3 yf (u) Diferenciální počet příklad 1 Dokažte, že funkce F, = n f 2, kde f je spojitě diferencovatelná funkce, vhovuje vztahu + 2 = nf ; 0 Řešení: Označme u = 2. Pak je F, = n fu a platí Podle vět o derivaci složené

Více

Test M1-ZS12-2 M1-ZS12-2/1. Příklad 1 Najděte tečnu grafu funkce f x 2 x 6 3 x 2, která je kolmá na přímku p :2x y 3 0.

Test M1-ZS12-2 M1-ZS12-2/1. Příklad 1 Najděte tečnu grafu funkce f x 2 x 6 3 x 2, která je kolmá na přímku p :2x y 3 0. Test M-ZS- M-ZS-/ Příklad Najděte tečnu grafu funkce f x x 6 3 x, která je kolmá na přímku p :x y 3 0. Zřejmě D f R. Přímka p má směrnici, tečna na ní kolmá má proto směrnici. Protože směrnice tečny ke

Více

Definice derivace v bodě

Definice derivace v bodě Definice derivace v bodě tgϕ = f ( ) f () f () : = tgϕ = lim f f () tgϕ = f f () Obecně: f f f ( ) ( ) : = lim f ( + h) f f : = lim h h Derivace zleva (zprava): f ( ) : = lim f f ( ) f ( ) : = lim + +

Více

f(x) = arccotg x 2 x lim f(x). Určete všechny asymptoty grafu x 2 2 =

f(x) = arccotg x 2 x lim f(x). Určete všechny asymptoty grafu x 2 2 = Řešení vzorové písemky z předmětu MAR Poznámky: Řešení úloh ze vzorové písemky jsou formulována dosti podrobně podobným způsobem jako u řešených příkladů ve skriptech U zkoušky lze jednotlivé kroky postupu

Více

2 Fyzikální aplikace. Předpokládejme, že f (x 0 ) existuje. Je-li f (x 0 ) vlastní, pak rovnice tečny ke grafu funkce f v bodě [x 0, f(x 0 )] je

2 Fyzikální aplikace. Předpokládejme, že f (x 0 ) existuje. Je-li f (x 0 ) vlastní, pak rovnice tečny ke grafu funkce f v bodě [x 0, f(x 0 )] je Derivace funkce a jej geometrický význam Je dána funkce f) 3 6 + 9 + a naším úkolem je určit směrnici tečny v bodě [; f)] Pro libovolné lze směrnici sečny danou body [; f)] a [; f)] spočítat jako f) f)

Více

FUNKCE A JEJICH VLASTNOSTI

FUNKCE A JEJICH VLASTNOSTI PŘEDNÁŠKA 3 FUNKCE A JEJICH VLASTNOSTI Pojem zobrazení a funkce Uvažujme libovolné neprázdné množiny A, B. Přiřadíme-li každému prvku x A právě jeden prvek y B, dostáváme množinu F uspořádaných dvojic

Více

Pro jakou hodnotu parametru α jsou zadané vektory kolmé? (Návod: Vektory jsou kolmé, je-li jejich skalární součin roven nule.)

Pro jakou hodnotu parametru α jsou zadané vektory kolmé? (Návod: Vektory jsou kolmé, je-li jejich skalární součin roven nule.) Vybrané příklady ze skript J. Neustupa, S. Kračmar: Sbírka příkladů z Matematiky I I. LINEÁRNÍ ALGEBRA I.. Vektory, vektorové prostory Jsou zadány vektory u, v, w a reálná čísla α, β, γ. Vypočítejte vektor

Více

Obsah. Aplikovaná matematika I. Gottfried Wilhelm Leibniz. Základní vlastnosti a vzorce

Obsah. Aplikovaná matematika I. Gottfried Wilhelm Leibniz. Základní vlastnosti a vzorce Neurčitý integrál Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah Primitivní funkce, neurčitý integrál Základní vlastnosti a vzorce Základní integrační metody Úpravy integrandu Integrace racionálních

Více

Management rekreace a sportu. 10. Derivace

Management rekreace a sportu. 10. Derivace Derivace Derivace Před mnoha lety se matematici snažily o obecné vyřešení úlohy, jak sestrojit tečnu k dané křivce a také yzici zápolili s problémem určení rychlosti nerovnoměrného pohybu K zásadnímu obratu

Více

Obsah. Derivace funkce. Petr Hasil. L Hospitalovo pravidlo. Konvexnost, konkávnost a inflexní body Asymptoty

Obsah. Derivace funkce. Petr Hasil. L Hospitalovo pravidlo. Konvexnost, konkávnost a inflexní body Asymptoty Petr Hasil Přednáška z Matematické analýzy I c Petr Hasil (MUNI) MA I (M0) / 46 Obsah Základní vlastnosti derivace Geometrický význam derivace Věty o střední hodnotě L Hospitalovo pravidlo 2 Etrémy Konvenost,

Více

MATEMATIKA 1B ÚSTAV MATEMATIKY

MATEMATIKA 1B ÚSTAV MATEMATIKY MATEMATIKA B Sbírka úloh Edita Kolářová ÚSTAV MATEMATIKY MATEMATIKA B Sbírka úloh Úvod Dostali jste do rukou sbírku příkladů k přednášce Matematika B - Sbírka úloh. Tato sbírka je doplněním tetu Fuchs,

Více

1. Funkce dvou a více proměnných. Úvod, limita a spojitost. Definiční obor, obor hodnot a vrstevnice grafu

1. Funkce dvou a více proměnných. Úvod, limita a spojitost. Definiční obor, obor hodnot a vrstevnice grafu 22- a3b2/df.te. Funkce dvou a více proměnných. Úvod, ita a spojitost. Definiční obor, obor hodnot a vrstevnice grafu. Určete definiční obor funkce a proveďte klasifikaci bodů z R 2 vzhledem k a rozhodněte

Více

Funkce. Vlastnosti funkcí

Funkce. Vlastnosti funkcí FUNKCE Funkce zobrazení (na číselných množinách) předpis, který každému prvku z množiny M přiřazuje právě jeden prvek z množiny N zapisujeme ve tvaru y = f () značíme D( f ) Vlastnosti funkcí 1. Definiční

Více

Limita a spojitost funkce

Limita a spojitost funkce Přednáška 5 Limita a spojitost funkce V této přednášce se konečně dostaneme k diferenciálnímu počtu funkce jedné reálné proměnné. Diferenciální počet se v podstatě zabývá lokálním chováním funkce v daném

Více

Aplikace derivace ( )

Aplikace derivace ( ) Aplikace derivace Mezi aplikace počítáme:. LHospitalovo pravidlo. Etrémy funkce (růst a pokles funkce) 3. Inflee (konávnost a konvenost). Asymptoty funkce (se i bez směrnice) 5. Průběh funkce 6. Ekonomické

Více

c ÚM FSI VUT v Brně 20. srpna 2007

c ÚM FSI VUT v Brně 20. srpna 2007 20. srpna 2007 1. f = 3 12 2. f = 2 e 3. f = ln Příklad 1. Nakreslete graf funkce f() = 3 12 Příklad 1. f = 3 12 Nejprve je třeba určit definiční obor. Výraz je vždy definován. Příklad 1. f = 3 12 f =

Více

Parametrická rovnice přímky v rovině

Parametrická rovnice přímky v rovině Parametrická rovnice přímky v rovině Nechť je v kartézské soustavě souřadnic dána přímka AB. Nechť vektor u = B - A. Pak libovolný bod X[x; y] leží na přímce AB právě tehdy, když vektory u a X - A jsou

Více

Nejčastějšími funkcemi, s kterými se setkáváme v matematice i v jejích aplikacích, jsou

Nejčastějšími funkcemi, s kterými se setkáváme v matematice i v jejích aplikacích, jsou 4 Cíle Nejčastějšími funkcemi, s kterými se setkáváme v matematice i v jejích aplikacích, jsou funkce, jejichž ita v bodě 0 je rovna funkční hodnotě v tomto bodě Seznámíme se s vlastnostmi takových funkcí

Více

Úvodní informace. 17. února 2018

Úvodní informace. 17. února 2018 Úvodní informace Funkce více proměnných Přednáška první 17. února 2018 Obsah 1 Úvodní informace. 2 Funkce více proměnných Definiční obor Limita a spojitost Derivace, diferencovatelnost, diferenciál Úvodní

Více

DERIVACE FUNKCE, L HOSPITALOVO PRAVIDLO

DERIVACE FUNKCE, L HOSPITALOVO PRAVIDLO MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA DERIVACE FUNKCE, L HOSPITALOVO PRAVIDLO Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem

Více

1. Písemka skupina A...

1. Písemka skupina A... . Písemka skupina A.... jméno a příjmení Načrtněte grafy funkcí (v grafu označte všechny průsečíky funkce s osami a asymptoty). y y sin 4 y y arccos ) Určete, jestli je funkce y ln prostá? ) Je funkce

Více

Integrální počet - I. část (neurčitý integrál a základní integrační metody)

Integrální počet - I. část (neurčitý integrál a základní integrační metody) Integrální počet - I. část (neurčitý integrál a základní integrační metody) Michal Fusek Ústav matematiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 6. přednáška z AMA Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) / 23 Obsah

Více

Asymptoty funkce. 5,8 5,98 5,998 5,9998 nelze 6,0002 6,002 6,02 6, nelze

Asymptoty funkce. 5,8 5,98 5,998 5,9998 nelze 6,0002 6,002 6,02 6, nelze Asymptoty funkce 1 Asymptota bez směrnice 6 Máme dvě funkce f 1 : y a 3 f : y 3 Člověk nemusí být matematický génius, aby pochopil, že do předpisu obou funkcí lze dosadit za libovolné reálné číslo kromě

Více

P ˇ REDNÁŠKA 3 FUNKCE

P ˇ REDNÁŠKA 3 FUNKCE PŘEDNÁŠKA 3 FUNKCE 3.1 Pojem zobrazení a funkce 2 3 Uvažujme libovolné neprázdné množiny A, B. Přiřadíme-li každému prvku x A právě jeden prvek y B, dostáváme množinu F uspořádaných dvojic (x, y) A B,

Více

1 LIMITA FUNKCE Definice funkce. Pravidlo f, které každému x z množiny D přiřazuje právě jedno y z množiny H se nazývá funkce proměnné x.

1 LIMITA FUNKCE Definice funkce. Pravidlo f, které každému x z množiny D přiřazuje právě jedno y z množiny H se nazývá funkce proměnné x. 1 LIMITA FUNKCE 1. 1 Definice funkce Pravidlo f, které každému z množiny D přiřazuje právě jedno y z množiny H se nazývá funkce proměnné. Píšeme y f ( ) Někdy používáme i jiná písmena argument (nezávisle

Více

Limita a spojitost funkce

Limita a spojitost funkce Limita a spojitost funkce Základ všší matematik Dana Říhová Mendelu Brno Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplin společného základu

Více

Matematika 1. 1 Derivace. 2 Vlastnosti a použití. 3. přednáška ( ) Matematika 1 1 / 16

Matematika 1. 1 Derivace. 2 Vlastnosti a použití. 3. přednáška ( ) Matematika 1 1 / 16 Matematika 1 3. přednáška 1 Derivace 2 Vlastnosti a použití 3. přednáška 6.10.2009) Matematika 1 1 / 16 1. zápočtový test již během 2 týdnů. Je nutné se něj registrovat přes webové rozhraní na https://amos.fsv.cvut.cz.

Více

Matematika 1 pro PEF PaE

Matematika 1 pro PEF PaE Derivace funkcí jedné proměnné / 9 Matematika pro PEF PaE 4. Derivace funkcí jedné proměnné Přemysl Jedlička Katedra matematiky, TF ČZU Derivace funkcí jedné proměnné Nejjednodušší derivace 2 / 9 Derivace

Více

Funkce. RNDR. Yvetta Bartáková. Gymnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou

Funkce. RNDR. Yvetta Bartáková. Gymnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou Funkce RNDR. Yvetta Bartáková Gmnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou Derivace funkce VY INOVACE_05 0_M Gmnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou Definice Mějme funkci f definovanou v okolí bodu 0. Eistuje-li

Více

Označení derivace čárkami, resp. římskými číslicemi, volíme při nižším řádu derivace, jinak užíváme horní index v závorce f (5), f (6),... x c g (x).

Označení derivace čárkami, resp. římskými číslicemi, volíme při nižším řádu derivace, jinak užíváme horní index v závorce f (5), f (6),... x c g (x). 9 Využití derivace 9.1 Derivace vyšších řádů Definice 1. Nechť funkce má derivaci v nějakém okolí bodu c D(f). Nechť funkce ϕ() =f () máderivacivboděc. Pak hodnotu ϕ (c) nazýváme derivací 2. řádu (2. derivací)

Více

Limita a spojitost LDF MENDELU

Limita a spojitost LDF MENDELU Limita a spojitost Základy vyšší matematiky LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny společného základu

Více

Derivace funkce. Přednáška MATEMATIKA č Jiří Neubauer

Derivace funkce. Přednáška MATEMATIKA č Jiří Neubauer Přednáška MATEMATIKA č. 9-11 Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Šotová, J., Doudová, L. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné Motivační příklady

Více

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika 0A1. Cvičení, zimní semestr. Samostatné výstupy. Jan Šafařík

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika 0A1. Cvičení, zimní semestr. Samostatné výstupy. Jan Šafařík Vysoké učení technické v Brně Stavební fakulta ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE Matematika 0A1 Cvičení, zimní semestr Samostatné výstupy Jan Šafařík Brno c 2003 Obsah 1. Výstup č.1 2 2. Výstup

Více

soubor FUNKCÍ příručka pro studenty

soubor FUNKCÍ příručka pro studenty soubor FUNKCÍ příručka pro studenty 1 Obsah Poznámky 6 lineární funkce mocninné funkce s přirozeným exponentem o sudým o lichým s celým záporným exponentem o sudým o lichým s racionálním exponentem o druhá

Více

dx se nazývá diferenciál funkce f ( x )

dx se nazývá diferenciál funkce f ( x ) 6 Výklad Definice 6 Nechť je 0 vnitřním bodem definičního oboru D f funkce f ( ) Funkce proměnné d = 0 definovaná vztahem df ( 0) = f ( 0) d se nazývá diferenciál funkce f ( ) v bodě 0, jestliže platí

Více

F (x) = f(x). Je-li funkce f spojitá na intervalu I, pak existuje k funkci f primitivní funkce na intervalu I.

F (x) = f(x). Je-li funkce f spojitá na intervalu I, pak existuje k funkci f primitivní funkce na intervalu I. KAPITOLA 7: 7. Úvod Primitivní funkce [MA-6:P7.] Definice: Funkce F je primitivní funkcí k funkci f na intervalu I, jestliže pro každé I eistuje F a platí F f. Poznámky: Obsahuje-li I některý z krajních

Více

Limita a spojitost funkce a zobrazení jedné reálné proměnné

Limita a spojitost funkce a zobrazení jedné reálné proměnné Přednáška 4 Limita a spojitost funkce a zobrazení jedné reálné proměnné V několika následujících přednáškách budeme studovat zobrazení jedné reálné proměnné f : X Y, kde X R a Y R k. Protože pro každé

Více

Otázku, kterými body prochází větev implicitní funkce řeší následující věta.

Otázku, kterými body prochází větev implicitní funkce řeší následující věta. 1 Implicitní funkce Implicitní funkce nejsou funkce ve smyslu definice, že funkce bodu z definičního oboru D přiřadí právě jednu hodnotu z oboru hodnot H. Přesnější termín je funkce zadaná implicitně.

Více

II.7.* Derivace složené funkce. Necht jsou dány diferencovatelné funkce z = f(x,y), x = x(u,v), y = y(u,v). Pak. z u = f. x x. u + f. y y. u, z.

II.7.* Derivace složené funkce. Necht jsou dány diferencovatelné funkce z = f(x,y), x = x(u,v), y = y(u,v). Pak. z u = f. x x. u + f. y y. u, z. II.7.* Derivace složené funkce Necht jsou dán diferencovatelné funkce z = f(,), = (u,v), = (u,v). Pak u = u + u, v = v + v. Vpočítejte derivace daných diferencovatelných funkcí. Příklad 0. Jsou dán diferencovatelné

Více

Matematika vzorce. Ing. Petr Šídlo. verze

Matematika vzorce. Ing. Petr Šídlo. verze Matematika vzorce Ing. Petr Šídlo verze 0050409 Obsah Jazyk matematiky 3. Výrokový počet.......................... 3.. Logické spojky...................... 3.. Tautologie výrokového počtu...............

Více

Katedra aplikované matematiky, VŠB TU Ostrava.

Katedra aplikované matematiky, VŠB TU Ostrava. SBÍRKA PŘÍKLADŮ Z MATEMATICKÉ ANALÝZY JIŘÍ BOUCHALA Katedra aplikované matematiky, VŠB TU Ostrava jiri.bouchala@vsb.cz www.am.vsb.cz/bouchala 3 Předmluva Cílem této sbírky je poskytnout studentům vhodné

Více

Funkce základní pojmy a vlastnosti

Funkce základní pojmy a vlastnosti Funkce základní pojm a vlastnosti Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah Pojem funkce Vlastnosti funkcí Inverzní funkce 4 Základní elementární funkce Mocninné Eponenciální Logaritmické

Více

f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. f(x) = (cos x) cosh x + 3x a nalezněte rovnici tečen ke grafu této funkce v bodech f(x) = (sin x) x2 + 3 cos x

f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. f(x) = (cos x) cosh x + 3x a nalezněte rovnici tečen ke grafu této funkce v bodech f(x) = (sin x) x2 + 3 cos x Příkad Nalezněte definiční obor funkce f(x) = ln arcsin + x x Určete definiční obor funkce f(x) = (cos x) cosh x + 3x a nalezněte rovnici tečen ke grafu této funkce v bodech [;?] a Určete definiční obor

Více

4.1 Řešení základních typů diferenciálních rovnic 1.řádu

4.1 Řešení základních typů diferenciálních rovnic 1.řádu 4. Řešení základních tpů diferenciálních rovnic.řádu 4..4 Určete řešení z() Cauchov úloh pro rovnici + = 0 vhovující počáteční podmínce z =. Po separaci proměnných v rovnici dostaneme rovnici = d a po

Více

Extrémy funkce dvou proměnných

Extrémy funkce dvou proměnných Extrémy funkce dvou proměnných 1. Stanovte rozměry pravoúhlé vodní nádrže o objemu 32 m 3 tak, aby dno a stěny měly nejmenší povrch. Označme rozměry pravoúhlé nádrže x, y, z (viz obr.). ak objem této nádrže

Více

Pavlína Matysová. 5. listopadu 2018

Pavlína Matysová. 5. listopadu 2018 Soubor řešených úloh Vyšetřování průběhu funkce Pavlína Matysová 5. listopadu 018 1 Soubor řešených úloh Tento text obsahuje 7 úloh na téma vyšetřování průběhu funkce. Každé úloha je řešena dvěma způsoby

Více

Určete a graficky znázorněte definiční obor funkce

Určete a graficky znázorněte definiční obor funkce Určete a grafick znázorněte definiční obor funkce Příklad. z = ln( + ) Řešení: Vpíšeme omezující podmínk pro jednotlivé části funkce. Jmenovatel zlomku musí být 0, logaritmická funkce je definovaná pro

Více

I. 4. l Hospitalovo pravidlo

I. 4. l Hospitalovo pravidlo I. 4. l Hospitalovo pravidlo 235 I. 4. l Hospitalovo pravidlo Věta (l Hospitalovo pravidlo). Buď 0 R. Nechť je splněna jedna z podmínek 0 f() 0 g() 0, 0 g() +. Eistuje-li (vlastní nebo nevlastní) 0 0 f

Více

Matematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015

Matematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015 Matematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015 1. Je dána soustava rovnic s parametrem a R x y + z = 1 x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a a) Napište Frobeniovu větu (existence i počet řešení). b)

Více

Funkce a limita. Petr Hasil. Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF)

Funkce a limita. Petr Hasil. Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) Funkce a limita Petr Hasil Přednáška z matematiky Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny společného základu

Více

Diferenciální počet funkcí jedné proměnné

Diferenciální počet funkcí jedné proměnné Diferenciální počet funkcí jedné proměnné 1 4. Derivace funkce 4.3. Průběh funkce 2 Pro přesné určení průběhu grafu funkce je třeba určit bližší vlastnosti funkce. Monotónnost funkce Funkce monotónní =

Více

Derivace funkce. prof. RNDr. Čestmír Burdík DrCs. prof. Ing. Edita Pelantová CSc. Katedra matematiky BI-ZMA ZS 2009/2010

Derivace funkce. prof. RNDr. Čestmír Burdík DrCs. prof. Ing. Edita Pelantová CSc. Katedra matematiky BI-ZMA ZS 2009/2010 Derivace funkce prof. RNDr. Čestmír Burdík DrCs. prof. Ing. Edita Pelantová CSc. Katedra matematiky České vysoké učení technické v Praze c Čestmír Burdík, Edita Pelantová 2009 Základy matematické analýzy

Více

Funkce pro učební obory

Funkce pro učební obory Variace 1 Funkce pro učební obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Funkce Funkce je přiřazení,

Více

Příklad 1. Řešení 1a Máme vyšetřit lichost či sudost funkce ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 3

Příklad 1. Řešení 1a Máme vyšetřit lichost či sudost funkce ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 3 Příklad 1 Zjistěte, zda jsou dané funkce sudé nebo liché, případně ani sudé ani liché: a) =ln b) = c) = d) =4 +1 e) =sin cos f) =sin3+ cos+ Poznámka Všechny tyto úlohy řešíme tak, že argument funkce nahradíme

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ

ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ Parametrické vyjádření přímky v rovině Máme přímku p v rovině určenou body A, B. Sestrojíme vektor u = B A. Pro bod B tím pádem platí: B = A + u. Je zřejmé,

Více

NMAF 051, ZS Zkoušková písemná práce 26. ledna x. x 1 + x dx. q 1. u = x = 1 u2. = 1 u. u 2 (1 + u 2 ) (1 u 2 du = 2.

NMAF 051, ZS Zkoušková písemná práce 26. ledna x. x 1 + x dx. q 1. u = x = 1 u2. = 1 u. u 2 (1 + u 2 ) (1 u 2 du = 2. Jednotlivé kroky při výpočtech stručně, ale co nejpřesněji odůvodněte Pokud používáte nějaké tvrzení, nezapomeňte ověřit splnění předpokladů Jméno a příjmení: Skupina: Příklad 4 Celkem bodů Bodů 5 6 8

Více

30. listopadu Derivace. VŠB-TU Ostrava. Dostupné: s1a64/cd/index.htm.

30. listopadu Derivace. VŠB-TU Ostrava. Dostupné:   s1a64/cd/index.htm. KMA/MAT1 Přednáška a cvičení č. 11 30. listopadu 2017 [KS] Jaromír Kuben Petra Šarmanová: Diferenciální počet funkcí jedné proměnné. VŠB-TU Ostrava. Dostupné: http://homel.vsb.cz/ s1a64/cd/inde.htm. 1

Více

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika I/1 BA06. Cvičení, zimní semestr

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika I/1 BA06. Cvičení, zimní semestr Vysoké učení technické v Brně Stavební fakulta ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE Matematika I/1 BA06 Cvičení, zimní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY Jan Šafařík Brno c 2014 1 (1) Určete rovnici kručnice o

Více

Funkce - pro třídu 1EB

Funkce - pro třídu 1EB Variace 1 Funkce - pro třídu 1EB Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv využití výukového materiálu je povoleno pouze s odkazem na www.jarjurek.cz. 1. Funkce Funkce je přiřazení, které každému

Více

Příklad 1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1B ČÁST 2. Určete a načrtněte definiční obory funkcí více proměnných: a) (, ) = b) (, ) = 3. c) (, ) = d) (, ) =

Příklad 1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1B ČÁST 2. Určete a načrtněte definiční obory funkcí více proměnných: a) (, ) = b) (, ) = 3. c) (, ) = d) (, ) = Příklad 1 Určete a načrtněte definiční obory funkcí více proměnných: a) (, ) = b) (, ) = 3 c) (, ) = d) (, ) = e) (, ) = ln f) (, ) = 1 +1 g) (, ) = arcsin( + ) Poznámka V těchto úlohách máme nalézt největší

Více

2.7. Průběh funkce. Vyšetřit průběh funkce znamená určit (ne nutně v tomto pořadí): 1) Definiční obor; sudost, lichost; periodičnost

2.7. Průběh funkce. Vyšetřit průběh funkce znamená určit (ne nutně v tomto pořadí): 1) Definiční obor; sudost, lichost; periodičnost .7. Průběh unkce Všetřit průběh unkce znamená určit ne nutně v tomto pořadí: deiniční obor; sudost, lichost; periodičnost, interval spojitosti a bod nespojitosti, průsečík grau unkce s osami, interval,

Více

10. cvičení - LS 2017

10. cvičení - LS 2017 10. cvičení - LS 2017 Michal Outrata Příklad 1 Spočtěte následující itu daných posloupností: (a) (b) (c) n 3 +5n 2 n 3 6n 2 +3 n ; n 4 3n 2 6 n 4 + 3n 2 + 6; n 2 15n+2(1 n). 2(n 2) 3 2n 3 Příklad 2 Pro

Více

NMAF 051, ZS Zkoušková písemná práce 16. ledna 2009

NMAF 051, ZS Zkoušková písemná práce 16. ledna 2009 Jednotlivé kroky při výpočtech stručně, ale co nejpřesněji odůvodněte. Pokud používáte nějaké tvrzení, nezapomeňte ověřit splnění předpokladů. Jméno a příjmení: Skupina: Příklad 3 5 Celkem bodů Bodů 8

Více

Funkce dvou a více proměnných

Funkce dvou a více proměnných Funkce dvou a více proměnných. Motivace V praxi nevstačíme s funkcemi jedné proměnné, většina veličin závisí více než na jedné okolnosti, např.: obsah obdélníka: S( ) kinetická energie: Ek = = x mv ekonomika:

Více

7.1 Úvod. Definice: [MA1-18:P7.1a]

7.1 Úvod. Definice: [MA1-18:P7.1a] KAPITOLA 7: 7. Úvod Primitivní funkce [MA-8:P7.a] Definice: Funkce F je primitivní funkcí k funkci f na intervalu I, jestliže pro každé I eistuje F a platí F f. Poznámky: Obsahuje-li I některý z krajních

Více

Seznámíte se s pojmem primitivní funkce a neurčitý integrál funkce jedné proměnné.

Seznámíte se s pojmem primitivní funkce a neurčitý integrál funkce jedné proměnné. INTEGRÁLNÍ POČET FUNKCÍ JEDNÉ PROMĚNNÉ NEURČITÝ INTEGRÁL NEURČITÝ INTEGRÁL Průvodce studiem V kapitole Diferenciální počet funkcí jedné proměnné jste se seznámili s derivováním funkcí Jestliže znáte derivace

Více

Vypracoval: Mgr. Lukáš Bičík TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY

Vypracoval: Mgr. Lukáš Bičík TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY Průběh funkce Vypracoval: Mgr. Lukáš Bičík TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY Průběh funkce Průběhem funkce rozumíme určení vlastností funkce

Více

WikiSkriptum Ing. Radek Fučík, Ph.D. verze: 4. ledna 2017

WikiSkriptum Ing. Radek Fučík, Ph.D. verze: 4. ledna 2017 Matematika I - Sbírka příkladů WikiSkriptum Ing. Radek Fučík, Ph.D. verze: 4. ledna 7 Obsah Limity a spojitost. l Hôpitalovo pravidlo zakázáno............................ 4. l Hôpitalovo pravidlo povoleno............................

Více

Příklady k analytické geometrii kružnice a vzájemná poloha kružnice a přímky

Příklady k analytické geometrii kružnice a vzájemná poloha kružnice a přímky Příklady k analytické geometrii kružnice a vzájemná poloha kružnice a přímky Př. 1: Určete rovnice všech kružnic, které procházejí bodem A = * 6; 9+, mají střed na přímce p: x + 3y 18 = 0 a jejich poloměr

Více

(FAPPZ) Petr Gurka aktualizováno 12. října Přehled některých elementárních funkcí

(FAPPZ) Petr Gurka aktualizováno 12. října Přehled některých elementárních funkcí 1. Reálná funkce reálné proměnné, derivování (FAPPZ) Petr Gurka aktualizováno 12. října 2011 Obsah 1 Přehled některých elementárních funkcí 1 1.1 Polynomické funkce.......................... 1 1.2 Racionální

Více

Teorie. Hinty. kunck6am

Teorie. Hinty.   kunck6am kytaristka@gmail.com www.natur.cuni.cz/ kunck6am 5. cvičení Teorie Definice. Necht funkce f je definována na neprázdném otevřeném intervalu I. Řekneme, že funkce F je primitivní funkce k f na I, jestliže

Více

1 1 x 2. Jedná se o diferenciální rovnici se separovanými proměnnými, která má smysl pro x ±1 a

1 1 x 2. Jedná se o diferenciální rovnici se separovanými proměnnými, která má smysl pro x ±1 a . Řešené úlohy Příklad. (separace proměnných). Řešte počáteční úlohu y 2 + yy ( 2 ) = 0, y(0) = 2. Řešení. Rovnici přepíšeme do tvaru y 2 = yy ( 2 ) y = y2 y 2. Jedná se o diferenciální rovnici se separovanými

Více

Seminární práce z matematiky

Seminární práce z matematiky Wichterlovo gymnázium, Ostrava-Poruba, příspěvková organizace Seminární práce z matematiky Vyšetřování průběhu funkcí Autor: Vyučující: Ondřej Vejpustek RNDr Eva Davidová Ostrava, 0 Taylorův polynom pro

Více

NMAF 051, ZS Zkoušková písemná práce 4. února 2009

NMAF 051, ZS Zkoušková písemná práce 4. února 2009 Jednotlivé kroky při výpočtech stručně, ale co nejpřesněji odůvodněte. Pokud používáte nějaké tvrzení, nezapomeňte ověřit splnění předpokladů. Jméno a příjmení: Skupina: Příklad 4 Celkem bodů Bodů 4 4

Více

Zavedeme-li souřadnicový systém {0, x, y, z}, pak můžeme křivku definovat pomocí vektorové funkce.

Zavedeme-li souřadnicový systém {0, x, y, z}, pak můžeme křivku definovat pomocí vektorové funkce. KŘIVKY Křivka = dráha pohybujícího se bodu = = množina nekonečného počtu bodů, které závisí na parametru (čase). Proto můžeme křivku také nazvat jednoparametrickou množinou bodů. Zavedeme-li souřadnicový

Více

8 Limita. Derivace. 8.1 Okolí bodu. 8.2 Limita funkce

8 Limita. Derivace. 8.1 Okolí bodu. 8.2 Limita funkce 8 Limita Derivace 81 Okolí bodu Okolím bodu a nazveme otevřený interval (a r, a + r), kde a, r jsou reálná čísla Číslo r je poloměr okolí, a jeho střed Okolí bodu a lze zapsat a

Více

MATEMATIKA I DIFERENCIÁLNÍ POČET I FAKULTA STAVEBNÍ MODUL BA01 M06, GA01 M05 DERIVACE FUNKCE

MATEMATIKA I DIFERENCIÁLNÍ POČET I FAKULTA STAVEBNÍ MODUL BA01 M06, GA01 M05 DERIVACE FUNKCE VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA I MODUL BA0 M06, GA0 M05 DIFERENCIÁLNÍ POČET I DERIVACE FUNKCE STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA 0 Typeset by L

Více

Funkce jedn e re aln e promˇ enn e Derivace Pˇredn aˇska ˇr ıjna 2015

Funkce jedn e re aln e promˇ enn e Derivace Pˇredn aˇska ˇr ıjna 2015 Funkce jedné reálné proměnné Derivace Přednáška 2 15. října 2015 Obsah 1 Funkce 2 Limita a spojitost funkce 3 Derivace 4 Průběh funkce Informace Literatura v elektronické verzi (odkazy ze STAGu): 1 Lineární

Více

7.1 Extrémy a monotonie

7.1 Extrémy a monotonie KAPITOLA 7: Průběh funkce [ZMA13-P38] 7.1 Extrémy a monotonie Řekneme, že funkce f nabývá na množině M Df svého globálního maxima globálního minima A v bodě x 0, jestliže x 0 M, fx 0 = A a pro každé x

Více

II. 3. Speciální integrační metody

II. 3. Speciální integrační metody 48 II. Integrální počet funkcí jedné proměnné II.. Speciální integrační metody Integrály typu f ( x, r x, r x,..., r k x ), tj. integrály obsahující proměnnou x pod odmocninou, kde k N a r,..., r k jsou

Více

f(c) = 0. cn pro f(c n ) > 0 b n pro f(c n ) < 0

f(c) = 0. cn pro f(c n ) > 0 b n pro f(c n ) < 0 KAPITOLA 5: Spojitost a derivace na intervalu [MA-8:P5] 5 Funkce spojité na intervalu Věta 5 o nulách spojité funkce: Je-li f spojitá na uzavřeném intervalu a, b a fa fb < 0, pak eistuje c a, b tak, že

Více

Přijímací zkoušky z matematiky pro akademický rok 2017/18 NMgr. studium Učitelství matematiky ZŠ, SŠ

Přijímací zkoušky z matematiky pro akademický rok 2017/18 NMgr. studium Učitelství matematiky ZŠ, SŠ Přijímací zkoušky z matematiky pro akademický rok 7/8 NMgr. studium Učitelství matematiky ZŠ, SŠ Datum zkoušky: Varianta Registrační číslo uchazeče: Příklad 5 Celkem Body Ke každému příkladu uved te podrobný,

Více

Mocninná funkce: Příklad 1

Mocninná funkce: Příklad 1 Mocninná funkce: Příklad 1 Zadání: Vyšetřete průběh mocninné funkce. Řešení: 1. Jako první si určíme definiční obor: D(f)=R. 2. Nyní si spočítáme zda je daná funkce sudá nebo lichá: Daná funkce je lichá.

Více

Teorie. Hinty. kunck6am

Teorie. Hinty.   kunck6am kytaristka@gmail.com www.natur.cuni.cz/ kunck6am 5. cvičení Teorie Definice. Necht funkce f je definována na neprázdném otevřeném intervalu I. Řekneme, že funkce F je primitivní funkce k f na I, jestliže

Více

5.3. Implicitní funkce a její derivace

5.3. Implicitní funkce a její derivace Výklad Podívejme se na následující problém. Uvažujme množinu M bodů [x,y] R 2, které splňují rovnici F(x, y) = 0, M = {[x,y] D F F(x,y) = 0}, kde z = F(x,y) je nějaká funkce dvou proměnných. Je-li F(x,y)

Více

Diferenciální počet - II. část (Taylorův polynom, L Hospitalovo pravidlo, extrémy

Diferenciální počet - II. část (Taylorův polynom, L Hospitalovo pravidlo, extrémy Diferenciální počet - II. část (Taylorův polynom, L Hospitalovo pravidlo, extrémy funkcí, průběh funkce) Michal Fusek Ústav matematiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 5. přednáška z AMA1 Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz)

Více

Matematická analýza III.

Matematická analýza III. 2. Parciální derivace Miroslav Hušek, Lucie Loukotová UJEP 2010 Parciální derivace jsou zobecněním derivace funkce jedné proměnné. V této kapitole poznáme jejich základní vlastnosti a využití. Co bychom

Více

FUNKCE, ZÁKLADNÍ POJMY

FUNKCE, ZÁKLADNÍ POJMY MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA FUNKCE, ZÁKLADNÍ POJMY Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplin společného

Více

y = 2x2 + 10xy + 5. (a) = 7. y Úloha 2.: Určete rovnici tečné roviny a normály ke grafu funkce f = f(x, y) v bodě (a, f(a)). f(x, y) = x, a = (1, 1).

y = 2x2 + 10xy + 5. (a) = 7. y Úloha 2.: Určete rovnici tečné roviny a normály ke grafu funkce f = f(x, y) v bodě (a, f(a)). f(x, y) = x, a = (1, 1). III Diferenciál funkce a tečná rovina Úloha 1: Určete rovnici tečné roviny ke grafu funkce f = f(x, y) v bodě (a, f(a)) f(x, y) = 3x 3 x y + 5xy 6x + 5y + 10, a = (1, 1) Řešení Definičním oborem funkce

Více