1.8. Mechanické vlnění

1.8. Mechanické vlnění 1. Umět vysvětlit princip vlnivého pohybu.. Umět srovnat a zároveň vysvětlit rozdíl mezi periodickým kmitavým pohybem jednoho bodu s periodickým vlnivým pohybem bodové řady. 3. Znát charakteristické veličiny vlnivého pohybu a jejich jednotky: periodu, frekvenci, úhlovou frekvenci, amplitudu, vlnovou délku fázovou rychlost. 4. Umět vysvětlit rozdíl mezi maximální rychlostí kmitající částice a fázovou rychlostí. 5. Umět vysvětlit fázový rozdíl.. 6. Znát souvislost mezi fázovým a dráhovým rozdílem. 7. Znát druhy vlnění a umět vysvětlit odlišnosti. 8. Umět definovat energii vlnivého pohybu a hustotu energie. 9. Vysvětlit pojmy výkonu a intenzity vlnění. Dosud jsme při studiu uvažovali pouze harmonický pohyb izolované částice (hmotného bodu nebo tělesa), která konala kmitavý pohyb kolem rovnovážné polohy. Jestliže takový objekt bude součástí hmotného prostředí (tuhého, kapalného, plynného), pak se kmity neomezí jen na samotný hmotný bod, ale budou se přenášet i na sousední body tohoto prostředí. Z místa prvotního kmitu zdroje se bude přenášet rozruch i na ostatní body prostředí. Říkáme, že v prostředí vzniká vlnění, případně, že prostředím se šíří postupná vlna. Typickým příkladem vzniku vlnivého pohybu je vlnivý pohyb, který vzniká na vodní hladině po dopadu kamene. Molekuly vodní hladiny jsou postupně uvedeny do kmitavého pohybu. V tomto případě se šíří ze zdroje vlnění (místa rozruchu) rovinná vlna. Obr. 1.8.-1 11

Dalším příkladem může být rozkmitání volného konce hadice rukou. Jednotlivé body hadice postupně vykmitávají ze svých původních klidových rovnovážných poloh. Hadicí se pak šíří vlnění. Obr. 1.8.- V uvedených (nebo dalších) případech se daným prostředím šíří vlnění konečnou rychlostí, která závisí na molekulových vazbách mezi částicemi. Prostředí jako celek však zůstává v klidu. Jednotlivé body pouze kmitají kolem rovnovážných poloh. Tato poloha zůstává stálá. Vlnění je jedním z nejrozšířenějších fyzikálních dějů. Šíří se jím zvuk, světlo, pohyby v zemské kůře při zemětřesení. Vlnění má různou fyzikální podstatu a může mít i složitý průběh. Základní poznatky o vlnění je možné nejsnadněji objasnit na vlnění mechanickém. 1.8.1. Popis mechanického vlnění Mechanické vlnění se šíří v hmotném prostředí. Jednotlivé body jsou navzájem spojeny molekulovými silami ( pružnou vazbou). Prostřednictvím této vazby se přenáší rozruch z jednoho bodu na druhý. Nejpřehlednější je vlnivý pohyb v bodové řadě, kdy jedna její částice začne kmitat. Vznikne lineární postupná vlna. Body prostředí mohou kmitat v libovolných směrech: 1. napříč ke směru šíření vlnění příčná vlna, Obr. 1.8.-3 1

. podél směru šíření vlnění podélná vlna. Obr. 1.8.-4 TO 1.8.-1. Mechanické vlnění se síří a) ve vakuu b) v hmotném prostředí c) nezáleží na prostředí TO 1.8.-. U postupného mechanického vlnění se a) šíří energie b) nešíří energie c) dochází k přenosu hmoty d) nedochází k přenosu hmoty 1.8.1.1. Rychlost šíření vlnění V daném hmotném prostředí se vlnění šíří konstantní rychlostí v. To znamená, že pro popis rychlosti můžeme použít vztah pro rychlost rovnoměrného pohybu s v =. t 1 1.8.-1 Vzdálenost, do které se rozruch rozšíří za dobu kmitu ( periodu ) T krajního bodu, se nazývá vlnová délka. Jednotkou vlnové délky je m. Perioda T je doba kmitu jednoho bodu řady. Jednotkou je sekunda (s). Převrácenou hodnotou periody je frekvence f. Jednotkou je hertz (Hz=s -1 ). Platí 1 f =. T Jednotkou periody je s, jednotkou frekvence je s -1 nebo též Hz. Úhlová frekvence ω (rad.s -1 ) je na základě teorie kmitavého pohybu daná vztahem π ω = πf = T Pak rychlost šíření vlnění je možné vyjádřit vztahem v = nebo T v = f 1.8.- Rychlost v nazýváme fázovou rychlostí. 13

Obr. 1.8.-5 Pak vlnová délka je nejkratší vzdálenost dvou bodů, které kmitají se stejnou fází. Při přestupu vlnění do jiného prostředí zůstává frekvence stejná, mění se fázová rychlost a vlnová délka. TO 1.8.-3. Jednotkou periody je a) s b) s -1 c) min d) min -1 TO 1.8.-4. Jednotkou frekvence je a) s b) s -1 c) Hz d) Hz -1 TO 1.8.-5. Pro fázovou rychlost platí a) v = T b) v = T c) v = f d) v = f TO 1.8.-6. Fázový rozruch se šíří prostředím a) periodicky proměnnou rychlostí b) konstantní rychlostí 14

c) nedochází k šíření fáze d) rychlost roste TO 1.8.-7. Postupná vlna je charakterizována vlnovou délkou 6 m a frekvencí 3 Hz. Určete fázovou rychlost a) 9 m.s -1 b) m.s -1 c) 3 m.s -1 d) 18 m.s -1 Prostředím se šíří postupné vlnění jehož úhlová frekvence je 1π rad.s -1 rychlost šíření vlnění je 6 m.s -1. Určete vlnovou délku tohoto vlnění. a ω =1π rad.s -1, v = 6 m.s -1, v Pro vlnovou délku platí ze vztahu pro fázovou rychlost =. f ω Frekvenci f kmitavého pohybu vyjádříme ze vztahu ω = πf. Pak f =. π vπ 6.π Po dosazení do vztahu pro vlnovou délku je = = = 1 m. ω 1π Vlnová délka je 1 m. 1.8.1.. Matematické vyjádření okamžité výchylky postupné vlny Budeme uvažovat řadu bodů. Krajní bod řady ( zdroj vlnění ) kmitá s výchylkou popsanou rovnicí u = Asin ω t. ( ) Poznámka: Okamžitá výchylka hmotného bodu z rovnovážné polohy při vlnivém pohybu se obvykle značí u. Bod řady ve vzdálenosti x bude uveden do kmitavého pohybu s časovým zpožděním τ. Pak rovnice pro výchylku tohoto bodu bude zapsaná ve tvaru u = Asinω ( t -τ ). Protože vlnění se šíří konstantní rychlostí, pak x x v = τ =. τ v Dosadíme do vztahu pro výchylku x u = Asinω t -. 1.8.-3 v Protože fázová rychlost je v =, T pak 15

x T x u = Asin ω t - = Asinω t. 1.8.-4 T Vzhledem k tomu, že ω = π, pak T π T x u = Asin t. 1.8.-5 T Po úpravě získáme rovnici u = Asin π. 1.8.-6 T Tato rovnice představuje vztah pro okamžitou výchylku bodu, který leží ve vzdálenosti x od zdroje vlnění v časovém okamžiku t. Jestliže nebudeme uvažovat útlum vlnění v daném prostředí, pak amplituda kmitů jednotlivých bodů řady bude stejná. Vlnění se šíří v kladném směru osy x. V případě, že by se vlnění šířilo opačným směrem, bylo by v rovnici kladné znaménko. Říkáme, že vlnění je děj dvojnásob periodický. Okamžitá výchylka závisí na čase a na umístění bodu v řadě. TO 1.8.-8. Postupné vlnění je charakterizováno rovnicí Určete amplitudu vlnění. a) 5 cm b) 0,05 cm c) 5 m d) 0,05 m t x u = 0,05sin π. 8 16 TO 1.8.-9. Postupné vlnění je charakterizováno rovnicí periodu vlnění. a) 8 Hz b) 8 s c) 16 Hz d) 16 s TO 1.8.-10. Postupné vlnění je charakterizováno rovnicí vlnovou délku vlnění. a) 0,05 cm b) 8 m c) 16 cm d) 16 m t x u = 0,05sin π. Určete 8 16 t x u = 0,05sin π. Určete 8 16 16

TO 1.8.-11. Postupné vlnění je charakterizováno rovnicí fázovou rychlost vlnění. a) 160 m.s -1 b) 18 m.s -1 c) m.s -1 d) 0,5 m.s -1 t x u = 0,05sin π. Určete 8 16 Jakou rovnici má vlna o frekvenci 40 Hz, amplitudě cm, která postupuje rychlostí 80 m.s -1. a) v kladném směru osy x b) v záporném směru osy x f = 40 Hz, A = 0,0 m, v = 80 m.s -1 a)rovnice okamžité výchylky vlny je u = Asin π. T Vlnová délka v 80 = = = m f 40 Můžeme ji přepsat do tvaru u = x x Asin π f t = 0, sin 40t m b)v rovnici změníme pro orientaci znaménko u = x x Asin π f t + = 0,sin 40t + m Jaká je amplituda, perioda, frekvence, vlnová délka a fázová rychlost postupné x vlny, dané rovnicí u = 0,04sin 6π 8t v metrech. 4 Rovnice postupné vlny je u = Asin π. T Zadanou vlnu upravíme na tento tvar 17

6 x u = 0,04sin π 4t. 4 Srovnáním dostaneme výsledky 1. A = 0,04 m, t 1. 4 t = T = s, T 4 6 x x 4 3. = = = m, 4 6 3 1 1 4. f = = = 4 Hz, T 1 4-1 5. v = f =.4 = 16m.s 3 1.8.1.3. Fázový a dráhový rozdíl Jestliže rovnici pro okamžitou výchylku u = Asin π T upravíme na tvar x u = Asin π π = Asin ω t π. T A srovnáme s rovnicí kmitavého pohybu ( ω ϕ ) u = Asin t, pak člen x ϕ = π 1.8.-7 představuje fázový posuv bodu ve vzdálenosti x od zdroje vlnění vůči tomuto bodu. Jestliže budeme uvažovat dva body řady ve vzdálenostech x 1 a x, pak jejich fázový rozdíl bude x x1 π π ϕ = ϕ ϕ1 = π π = ( x x1 ) = x. 1.8.-8 Fázový rozdíl ϕ bude úměrný dráhovému rozdílu x. Jestliže budeme uvažovat dva body řady, jejichž vzájemná x vzdálenost bude rovna sudému násobku polovin vlnových délek x = k to je x = k, kde k = 1,,3,..., pak fázový 18

rozdíl ϕ bude roven ϕ = kπ a oba body budou kmitat ve fázi. Budou dosahovat maxima a minima současně. Body x 1, x 3 na obr 1.8.-8a, body x 1, x na obr. 1.8.-8b jsou ve fázi. Vzdálenost mezi nimi je rovna vlnové délce. Jestliže vzdálenost dvou bodů x bude rovna lichému násobku polovin vlnových délek x = k 1, kde k = 1,,3,..., pak fázový rozdíl ϕ bude roven ϕ = ( k 1)π a oba ( ) body budou kmitat v opačné fázi. V okamžiku, kdy jeden bod bude v maximu, bude druhý bod v minimu. Body x 1, x na obr. 1.8,-8a jsou v opačné fázi. Vzdálenost mezi nimi je. Obr. 1.8.-6 TO 1.8.-1. Fázový rozdíl ϕ je určen vztahem a) ϕ = π ( x) b) π ϕ = x c) π ϕ = x d) π ϕ = x TO 1.8.-13. Jestliže body kmitají ve fázi, pak ϕ je rovno a) lichému násobku π rad b) sudému násobku π rad TO 1.8.-14. Jestliže body kmitají v opačné fázi, pak ϕ je rovno a) lichému násobku π rad 19

b) sudému násobku π rad Určete fázový rozdíl mezi dvěma body, které leží ve vzdálenostech x = 48cm od zdroje vlnění, jestliže vlnění se šíří rychlostí s frekvencí f = 400Hz. x 1 = 0,16 m, x = 0,48 m, v = 18 m.s -1, f = 400 Hz Fázový rozdíl je π ϕ = ( x x1 ). K výpočtu je nutné určit vlnovou délku v 18 = = = 0,3m. f 400 Pak π π ϕ = ( 0,48 0,16 ) = 0,3 = π rad. 0,3 0,3 Body budou ve fázi. x1 = 16cm a -1 v = 18m.s Jaká je vlnová délka postupné vlny, jestliže dva body ve vzdálenosti π x = 0,8m jsou fázově posunuty o ϕ = rad? Fázový rozdíl je π ϕ = x, pak π π = x = 0,8 = 3,m. ϕ π Vlnová délka je 3, m 1.8.1.4. Energie vlnění Každá částice kmitající kolem rovnovážné polohy má energii kmitavého pohybu 1 E = k A, kde k = mω je konstanta charakterizující pružnost prostředí a A je amplituda kmitů. Kmitová energie se přenáší z jednoho bodu na druhý, proudí z jednoho místa prostředí do druhého. Hovoříme o toku energie Φ. Pokud se bude prostředím hustoty ρ šířit postupná vlna, pak v objemovém elementu který bude mít hmotnost m bude celková energie V, 0

1 E = mω A. Zavedeme veličinu hustotu energie w, která bude obsažena v objemovém elementu. Pak E 1 m 1 w = = ω A = ρ ω A. 1.8.-9 V V Obr. 1.8.-7 V případě, že budeme uvažovat objem V, který bude tvořit kvádr ABCDEFGH, pak se rozruch, který prostoupí ploškou S = ABCD rychlostí v, dostane za dobu t do vzdálenosti s. Pro celkovou energii pak bude platit E = w V = w S s = w S v t. 1.8.-10 Tok energie Φ vysílané zdrojem vlnění do prostředí za jednotku času zdroje vlnění P. Jednotkou toku energie výkonu je watt (W). t představuje výkon Výkon, a tím zároveň tok energie, charakterizuje vztah E Φ = P =. 1.8.-11 t Jestliže by zdroj vlnění vysílal do prostoru energii proměnné hodnoty, bylo by nutné tento vztah zapsat ve tvaru d E Φ =. 1.8.-1 d t Zavedeme veličinu intenzita vlnění I, což je množství celkové energie E, která projde jednotkovou plochou S kolmou na směr šíření vlnění za jednotku času t. Definujeme ji vztahem 1

E I = 1 d E dφ nebo I = =. t S dt d S d S Po úpravě lze intenzitu zapsat jako P I =. 1.8.-13 S Jednotkou intenzity je W.m -. Protože E = w V = w S s = w S v t, pak 1 I = wv = ρ v ω A. 1.8.-14 TO 1.8.-15. Hustota energie vlnění w je a) množství energie procházející jednotkovou plochou b) množství energie procházející jednotkovou plochou za jednotku času c) množství energie v jednotkovém objemu TO 1.8.-16. Tok energie Φ vlnění je a) práce zdroje b) výkon zdroje c) hustota energie d) energie vysílaná zdrojem za jednotku času TO 1.8.-17. Intenzita vlnění I je a) energie zdroje vysílaná jednotkovou plochou b) výkon vyzařovaný jednotkovou plochou zdroje vlnění c) energie vyzařovaná zdrojem jednotkové plochy za jednotku času d) práce zdroje vlnění TO 1.8.-18. Jednotkou toku energie Φ je a) W b) J c) J.s d) J.s -1 TO 1.8.-19 Jednotkou intenzity I je a) W.m -1 b) W.m - c) J.m - d) W.m Popište změnu intenzity vlnění v závislosti na vzdálenosti r od bodového zdroje vlnění konstantního výkonu P.

Vlnění se šíří ze zdroje ve tvaru kulových vlnoploch. Plochu kulové vlnoplochy určíme jako obsah povrchu koule o poloměru r. Pak S = 4π r. P Intenzita I =. S rostoucí vzdáleností intenzita klesá. 4π r 1.8.1.5. Vlnová rovnice Vlnová rovnice představuje pohybovou rovnici postupné vlny. Jejím řešením by měl být vztah pro okamžitou výchylku y, kterou máme zapsanou ve tvaru u = Asin π. T Poznámka: d y Zapíšeme-li pohybovou rovnici kmitavého pohybu + ω y = 0, vidíme, že obsahuje d t derivaci druhého řádu. Jejím řešením je rovnice y A ( ω t + ϕ ) má jen jednu proměnnou veličinu, a tou je čas t. = sin. Tato pohybová rovnice 0 Protože vztah pro okamžitou výchylku y hmotného bodu postupné vlny obsahuje dvě proměnné čas t a umístění x, bude obsahovat pohybová rovnice dvě parciální derivace podle x a podle t. Rovnici pro okamžitou výchylku nejprve upravíme, a pak budeme postupně dvakrát derivovat podle obou proměnných veličin π xt u = Asin π = Asin t. T T Protože v =, pak T x u = Asin ω t. v Provedeme první a druhou derivaci posledního výrazu podle času t: u 1. x v = = ω Acos ω t t v představuje vztah pro okamžitou rychlost bodu ve vzdálenosti x v čase t u. = x a = ω Asinω t t v představuje vztah pro okamžité zrychlení bodu ve vzdálenosti x v čase t 3

Nyní provedeme první a druhou parciální derivaci podle místa x: u 1. = ω x A cos ω t- x v v u ω. x 1 = = x A sinω t ω Asinω t. x v v v v Srovnáme obě druhé parciální derivace a můžeme psát u 1 u =. x v t 1.8.-15 Tato rovnice představuje pohybovou rovnici postupné lineární vlny, která se šíří ve směru osy x, a to jednorozměrnou. Pokud bychom chtěli zapsat pohybovou rovnici postupné vlny šířící se v prostoru, pak by rovnice obsahovala parciální derivace podle t, x, y, z. u u u 1 u + + =. 1.8.-16 x y z v t V tomto případě se jedná o třírozměrnou pohybovou rovnici, kterou můžeme pomocí tzv. Laplaceova operátoru = + + x y z zapsat ve zkráceném tvaru 1 u u =. v t V nejobecnějším případě, výchylku (elongaci) uvažujeme jako vektor, je vlnová rovnice ve tvaru 1 u u =. 1.8.-17 v t Poznámka: Označení u by nyní představovalo okamžitou výchylku hmotného bodu kolmou ke směru šíření vlny u příčné vlny a rovnoběžnou se směrem šíření vlny u podélného vlnění. TO 1.8.-0. Rovnice u = Asin π. T a) popisuje jen vlnu příčnou b) popisuje jen vlnu podélnou c) popisuje vlnu příčnou i podélnou d) nepopisuje ani příčnou ani podélnou vlnu 4

TO 1.8.-1. Bodovou řadou se šíří příčná postupná netlumená vlna s konstantní fázovou rychlostí. Potom libovolný bod této řady vykonává harmonické kmity se a) stejnou frekvencí, ale různou amplitudou b) různou frekvencí, ale stejnou amplitudou c) stejnou frekvencí i stejnou amplitudou d) stejnou frekvencí, amplitudou i fází TO 1.8.-. Vlna, jejíž perioda je T a frekvence f, se šíří rychlostí v. Které z následujících definic jsou správné pro definici vlnové délky? a) = vt b) je nejmenší vzdálenost dvou bodů, kmitajících se stejnou fází c) je vzdálenost, o kterou postoupí fáze za dobu jedné period d) v = f TO 1.8.-3. Ve směru osy x se šíří rovinná vlna vlnové délky. Čemu je rovna nejkratší vzdálenost d dvou bodů prostředí, které kmitají s opačnou fází? a) d = b) d = c) d = d) d = 4 TO 1.8.-4. V homogenním prostředí se šíří vlna. Fázovou rychlostí rozumíme a) maximální rychlost, se kterou se pohybuje každá kmitající částice b) střední rychlost kmitajících částic c) rychlost, s jakou se šíří rozruch bodovou řadou TO 1.8.-5. Vlna přechází z prostředí, ve kterém se šíří fázovou rychlostí v do prostředí, kde je fázová rychlost vlny krát menší. Frekvence vlny a) bude krát větší b) zůstane konstantní c) bude poloviční TO 1.8.-6. Vlna přechází z prostředí, ve kterém se šíří fázovou rychlostí v do prostředí, kde je fázová rychlost vlny krát menší. Vlnová délka vlny a) bude krát větší b) zůstane konstantní c) bude poloviční TO 1.8.-7. Rovnice pro okamžitou výchylku postupné vlny je a) u = Asin π T b) u = Asin π f 5

x c) u = Asin π f t d) u = Asin π T v TO 1.8.-8. Jednotkou intenzity zvuku I je: a) W.m b) W.m -1 c) W.m - d) W -1.m TO 1.8.-9. Jednotkou výkonu P zdroje zvuku je: a) W, b) J.s -1, c) J, d) W.s -1 U 1.8.-1. Jakou frekvenci má rovinná vlna, která na překonání dráhy rovnající se 300-násobku vlnové délky potřebuje čas 15 s? U 1.8.-. Výchylka postupného vlnění v řadě bodů je x u = Asin ω t. Určete v vlnovou délku, jestliže úhlová frekvence je 16 π rad.s -1 a rychlost vlnění je 8 m.s -1. KO 1.8.-1. Definujte vlnění příčné. KO 1.8.-. Definujte vlnění podélné. KO 1.8.-3. Vysvětlete, co představuje termín vlnová délka KO 1.8.-4. Vysvětlete pojem fázové rychlosti KO 1.8.-5. Jaký je vztah mezi fázovým a dráhovým rozdílem? KO 1.8.-6. Jaký musí být dráhový rozdíl, aby dva body řady vlny byly v opačné fázi? KO 1.8.-7. Jaký musí být dráhový rozdíl, aby dva body řady vlny byly ve stejné fázi? KO 1.8.-8. Co je izotropní prostředí? KO 1.8.-9. Co je anizotropní prostředí? KO 1.8.-10. Vysvětlete pojem toku energie. KO 1.8.-11. Vysvětlete pojem hustoty energie. KO 1.8.-1. Co je intenzita vlnění? 6