Semestrální práce. 2. semestr

Licenční studium č. 89002 Semestrální práce 2. semestr PŘEDMĚT 2.2 KALIBRACE A LIMITY JEJÍ PŘESNOSTI Příklad 1 Lineární kalibrace Příklad 2 Nelineární kalibrace Příklad 3 Rozlišení mezi lineární a nelineární kalibrací

2/17 V Ústí nad Orlicí dne: 23.8.2000 Ing. Karel Pávek

3/17 Licenční studium č. 89002... 1 Semestrální práce... 1 2. semestr... 1 Předmět 2.2... 1 Kalibrace a limity její přesnosti... 1 Příklad č. 1... 4 Lineární kalibrace... 4 Kalibrace vrtulkového anemometru Testo 452... 4 1. Zadání... 4 2. Data... 4 3. Návrh kalibrační přímky... 4 4. Parametry kalibrace... 6 5. Kalibrační tabulka... 6 6. Závěr... 7 Příklad č. 2... 8 Nelineární kalibrace... 8 Kalibrace brzdy bicyklového ergometru...8 1. Zadání... 8 2. Data... 8 3. Návrh kalibračního modelu... 8 3.1. Kvadratický spline... 8 3.1.1. Regresní diagnostika... 8 3.2. Kubický spline... 10 3.2.1. Regresní diagnostika... 10 4. Závěr... 12 4.1. Parametry kalibrace... 12 4.2. Kalibrační tabulka... 13 Příklad č. 3... 14 Rozlišení mezi lineární a nelineární kalibrací... 14 Kalibrace žhaveného anemometru... 14 1. Zadání... 14 2. Data... 14 3. Kontrola linearity kalibrační závislosti... 14 4. Návrh kalibračního modelu... 15 4.1. Parametry kalibrace a kalibrační model... 15 4.2. Kalibrační meze... 16 4.3. Kalibrační tabulka... 16 5. Závěr... 17

4/17 Příklad č. 1 Lineární kalibrace Kalibrace vrtulkového anemometru Testo 452 1. ZADÁNÍ Kalibrace vrtulkového anemometru Testo 452 byla provedena v aerodynamickém tunelu současným odečítáním rychlosti proudění vzduchu na přístroji Testo 452 a na normálu (ověřený anemometr vyšší třídy). Vyšetřete kalibrační přímkuaurčete bodový a intervalový odhad rychlosti proudění vzduchu pro odečety na přístroji Testo 452 = 1, 5 a 15 m.s -1.Odstraňte z kalibračních dat případné odlehlé hodnoty. Výrobcem udávaná přesnost přístroje Testo 452 je ± (0.2 + 1% z měřeného hodnoty) m.s -1 v rozmezí naměřených hodnot rychlosti proudění vzduchu od 0.4 do 40 m.s -1. 2. DATA Počet n = 15. Jméno datového souboru Testo452.dat. Program ADSTAT Modul Kalibrace a Regresní diagnostika Číslo měření Údaj měřidla [m.s -1 ] Údaj normálu [m.s -1 ] 1 0.50 0.50 2 1.10 1.00 3 1.50 1.40 4 2.00 1.90 5 3.00 2.90 6 4.00 3.90 7 5.00 4.90 8 6.00 5.80 9 8.00 7.80 10 10.00 9.80 11 15.00 14.80 12 20.00 19.80 13 25.00 24.90 14 30.00 30.00 15 35.20 35.20 3. NÁVRH KALIBRAČNÍ PŘÍMKY Vhodnost kalibračního modelu (přímky) byla ověřena kontrolou přítomnosti eventuálních vlivných bodů v datech. Pomocí modulu Regresní diagnostika Grafy vlivných bodů programu ADSTAT byl detekován bod č. 1 jako odlehlý (na hranici průkaznosti) a body č. 14, 15 byly indikovány jako extrémy. Základní statistické charakteristiky pro původní data a pro data po odstranění odlehlého bodu č. 1 jsou v následujících tabulkách: Statistické charakteristiky regrese: Model pro data Původní Bez bodu 1 Vícenásobný korelační koeficient, R 9.9998E-01 9.9998E-01 Koeficient determinace, R 2 9.9996E-01 9.9997E-01 Predikovaný korelační koeficient, Rp 2 9.9997E-01 9.9998E-01 Střední kvadratická chyba predikce, MEP 6.7596E-03 5.3512E-03 Akaikeho informační kritérium, AIC -7.5989E+01-7.4082E+01

5/17 Analýza reziduí: Model pro data Původní Bez bodu 1 Reziduální součet čtverců, RSC 7.2474E-02 5.2960E-02 Průměr absolutních hodnot reziduí, Me 5.9728E-02 5.7560E-02 Průměr relativních reziduí, Mer 2.5955E+00 1.2353E+00 Odhad reziduálního rozptylu, s^2(e) 5.5750E-03 4.4134E-03 Odhad směrodatné odchylky reziduí, s(e) 7.4666E-02 6.6433E-02 Kalibrační meze pro původní data: Kritická úroveň yc 1.9020E-01 xc 5.8975E-02 Limita detekce yd 2.4876E-01 xd 1.1764E-01 Mez stanovitelnosti ys 7.9484E-01 xs 6.6461E-01 Kalibrační meze pro data bez odlehlého bodu č. 1: Kritická úroveň yc 2.0734E-01 xc 5.6697E-02 Limita detekce yd 2.6361E-01 xd 1.1310E-01 Mez stanovitelnosti ys 7.1324E-01 xs 5.6386E-01 Odstraněním odlehlého bodu č. 1 došlo vesměs ke zlepšení statistických charakteristik (snížení MEP a mírný nárůst AIC, snížení hodnot Mer a s(e)). Došlo ke snížení kalibračních mezí odhadu xc, xd, xs a měřené hodnoty ys. Vzhledem k charakteru měření rychlosti proudění vzduchu je nejdůležitějším ukazatelem mez stanovitelnosti (Nejmenší hodnota signálu zde odečtu na přístroji Testo452 -, pro kterou je relativní směrodatná odchylka predikce z kalibračního modelu dostatečně malá a rovna číslu C. Obyčejně se velikost C volí 0.1). Pro stanovení parametrů kalibrační přímky volíme soubor dat po odstranění bodu č. 1.

6/17 4. PARAMETRY KALIBRACE Parametry kalibrace byly určeny pro soubor dat bez odlehlého bodu č. 1. Parametr Odhad Směrodatná TestH0:B[j]=0vs.HA:B[j]<>0 odchylka t-kriterium hypotéza H0 je Hlad. výz. Úsek 1.5079E-01 2.5957E-02 5.8092E+00 Zamítnuta 0.000 Směrnice 9.9750E-01 1.6153E-03 6.1751E+02 Zamítnuta 0.000 Obr. 1.1: Kalibrační přímka 5. KALIBRAČNÍ TABULKA ADSTAT Kalibrace: Měřená hodnota Přímý odhad Naszodiho odhad Konfidenční interval yexp[i] Xvyp[i] xvyp[i] Dolní mez Horní mez 1.0000E+00 8.5134E-01 8.5137E-01 6.9632E-01 1.0064E+00 5.0000E+00 4.8614E+00 4.8614E+00 4.7092E+00 5.0135E+00 1.5000E+01 1.4886E+01 1.4886E+01 1.4736E+01 1.5037E+01

7/17 Intervalový odhad odečtu z rozšířené nejistoty: Měřená hodnota z 1max u xz1 U Ld Lh 1.0000E+00 2.10E-01 0.121 0.242 7.58E-01 1.24E+00 5.0000E+00 2.50E-01 0.144 0.288 4.71E+00 5.29E+00 1.5000E+01 3.50E-01 0.202 0.404 1.46E+01 1.54E+01 Kde: z 1max =0.2+0.01*Měřená hodnota (Maximální chyba odečtu dle výrobce) u xz1 = z 1max / 3 (Standardní nejistota za předpokladu rovnoměrného rozdělení chyb) U=2*u xz1 (Rozšířená nejistota pro koeficient rozšíření k u95% =2) Ld a Lh jsou dolní a horní mez intervalu spolehlivosti 6. ZÁVĚR Nejmenší odečet rychlosti proudění vzduchu na přístroji Testo 452 by neměl být menší, než mez stanovitelnosti ys = 0.71 m.s -1,ačkoliv vrtulku sondy uvede do pohybu již rychlost proudění vzduchu cca 0.2 m.s -1 (odpovídá modelem určené limitě detekce, resp. kritické úrovni). Z pohledu garantované přesnosti přístroje lze říci, že přístroj v dolní části rozsahu, dle kalibrační přímky, mírně nadhodnocuje, ale intervalové odhady (stanovené dle rozšířené nejistoty za předpokladu rovnoměrného rozdělení chyb) obsahují správné hodnoty. Přístroj splňuje údaje výrobce. Interval spolehlivosti stanovený z kalibrační křivky je užší, než IS stanovený z nejistot dle údajů výrobce.

8/17 Příklad č. 2 Nelineární kalibrace Kalibrace brzdy bicyklového ergometru 1. ZADÁNÍ Byla provedena kalibrace mechanického výkonu P [W] brzdy bicyklového ergometru na rychlosti otáčení magneticky bržděného setrvačníku v [km.h -1 ]. Rychlost otáčení byla odečítána na tachometru ergometru. Měření bylo provedeno pro stupeň zatížení č. 3. Sestrojte nelineární kalibrační model, určete limitu detekce, parametry kalibračního modelu a mechanický výkon pro odečtenou rychlost otáčení setrvačníku 25, 30, 35 a 40 km.h -1. 2. DATA Počet n = 10. Jméno datového souboru ErgPV.dat. Program ADSTAT Modul Kalibrace a Regresní diagnostika v [km.h -1 ] 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 P [W] 9 24 47 75 111 153 201 257 318 387 3. NÁVRH KALIBRAČNÍHO MODELU 3.1. Kvadratický spline 3.1.1. Regresní diagnostika Vhodnost kalibračního modelu (polynom druhého stupně) byla ověřena kontrolou přítomnosti eventuálních vlivných bodů v datech. Pomocí modulu Regresní diagnostika Grafy vlivných bodů programu ADSTAT byl detekován bod č. 1 jako odlehlý a bod č. 10jako extrém. Základní statistické charakteristiky pro původní data a pro data po odstranění odlehlého bodu č. 1 jsou v následujících tabulkách: Statistické charakteristiky regrese: ADSTAT Lineární regrese Model pro data Původní Bez bodu 1 Vícenásobný korelační koeficient, R 9.9722E-01 9.9874E-01 Koeficient determinace, R 2 9.9444E-01 9.9747E-01 Predikovaný korelační koeficient, Rp 2 9.9033E-01 9.9459E-01 Střední kvadratická chyba predikce, MEP 3.9679E+00 1.7979E+00 Akaikeho informační kritérium, AIC 7.3618E+00-1.7881E+00 Analýza reziduí: ADSTAT Kalibrace Model pro data Původní Bez bodu 1 Reziduální součet čtverců, RSC 1.1459E+01 3.7882E+00 Průměr absolutních hodnot reziduí, Me 9.0811E-01 5.7569E-01 Průměr relativních reziduí, Mer 5.810 2.695 Odhad reziduálního rozptylu, s^2(e) 1.6370E+00 6.3136E-01

9/17 Odhad směrodatné odchylky reziduí, s(e) 1.2794E+00 7.9458E-01 Kalibrační meze pro původní data: Kritická úroveň yc 7.567705E+00 xc 1.133994E+01 Limita detekce yd 9.269017E+00 xd 2.057789E+01 Mez stanovitelnosti ys - xs - Kalibrační meze pro data bez odlehlého bodu č. 1: Kritická úroveň yc 8.830872E+00 xc 1.036006E+01 Limita detekce yd 1.027459E+01 xd 1.891358E+01 Mez stanovitelnosti ys - xs - Odstraněním odlehlého bodu č. 1 došlo jednoznačně ke zlepšení statistických charakteristik. Z podmínek pro metodu MNČ není splněno Scottovo kritérium multikolinearity (M = 0.696) a Cook-Weisbergův test heteroskedasticity. Došlo ke snížení limity detekce xd. Obr. 1.2: Kalibrační křivka Ergometru Kvadratický spline

10/17 3.2. Kubický spline 3.2.1. Regresní diagnostika Vhodnost kalibračního modelu (polynom třetího stupně) byla ověřena kontrolou přítomnosti eventuálních vlivných bodů v datech. Pomocí modulu Regresní diagnostika Grafy vlivných bodů programu ADSTAT byl detekován bod č. 1 jako odlehlý a bod č. 10jako extrém. Základní statistické charakteristiky pro původní data a pro data po odstranění odlehlého bodu č. 1 jsou v následujících tabulkách: Statistické charakteristiky regrese: ADSTAT Lineární regrese Model pro data Původní Bez bodu 1 Vícenásobný korelační koeficient, R 9.9937E-01 9.9983E-01 Koeficient determinace, R 2 9.9874E-01 9.9965E-01 Predikovaný korelační koeficient, Rp 2 9.9393E-01 9.9752E-01 Střední kvadratická chyba predikce, MEP 2.4955E+00 8.2542E-01 Akaikeho informační kritérium, AIC -5.5082E+00-1.7651E+01 Analýza reziduí: ADSTAT Kalibrace Model pro data Původní Bez bodu 1 Reziduální součet čtverců, RSC 2.5903E+00 5.2056E-01 Průměr absolutních hodnot reziduí, Me 4.5237E-01 2.0545E-01 Průměr relativních reziduí, Mer 3.370 1.011 Odhad reziduálního rozptylu, s^2(e) 4.3171E-01 1.0411E-01 Odhad směrodatné odchylky reziduí, s(e) 6.5705E-01 3.2267E-01 Kalibrační meze pro původní data: Kritická úroveň yc 5.174133E+00 xc 5.847778E+00 Limita detekce yd 6.342252E+00 xd 1.062458E+01 Mez stanovitelnosti ys - xs - Kalibrační meze pro data bez odlehlého bodu č. 1: Kritická úroveň yc 6.332252E+00 xc 5.116444E+00 Limita detekce yd 7.270679E+00 xd 9.404240E+00 Mez stanovitelnosti ys - xs - Odstraněním odlehlého bodu č. 1 došlo jednoznačně ke zlepšení statistických charakteristik. Z podmínek pro metodu MNČ není splněno pouze Scottovo kritérium multikolinearity (M = 0.92). Došlo ke snížení limity detekce xd.

Obr. 2.2: Kalibrační křivka ergometru Kubický spline 11/17

12/17 4. ZÁVĚR Níže uvedené tabulky obsahují základní statistické charakteristiky pro kvadratický a kubický spline (data bez odlehlého bodu č. 1): Statistické charakteristiky regrese: ADSTAT Lineární regrese Model Kvadratický Kubický Vícenásobný korelační koeficient, R 9.9874E-01 9.9983E-01 Koeficient determinace, R 2 9.9747E-01 9.9965E-01 Predikovaný korelační koeficient, Rp 2 9.9459E-01 9.9752E-01 Střední kvadratická chyba predikce, MEP 1.7979E+00 8.2542E-01 Akaikeho informační kritérium, AIC -1.7881E+00-1.7651E+01 Analýza reziduí: ADSTAT Kalibrace Model Kvadratický Kubický Reziduální součet čtverců, RSC 3.7882E+00 5.2056E-01 Průměr absolutních hodnot reziduí, Me 5.7569E-01 2.0545E-01 Průměr relativních reziduí, Mer 2.695 1.011 Odhad reziduálního rozptylu, s^2(e) 6.3136E-01 1.0411E-01 Odhad směrodatné odchylky reziduí, s(e) 7.9458E-01 3.2267E-01 Kalibrační meze pro kvadratický spline: Kritická úroveň yc 8.830872E+00 xc 1.036006E+01 Limita detekce yd 1.027459E+01 xd 1.891358E+01 Mez stanovitelnosti ys - xs - Kalibrační meze pro kubický spline: Kritická úroveň yc 6.332252E+00 xc 5.116444E+00 Limita detekce yd 7.270679E+00 xd 9.404240E+00 Mez stanovitelnosti ys - xs - Z výše uvedeného jednoznačně vyplývá, že kubický model je lepší. Zúžení intervalu spolehlivosti predikce, ve prospěch kubického modelu, je zřejmé z grafického znázornění obou kalibračních křivek (obr. 2.1 a obr. 2.2). 4.1. Parametry kalibrace Jako lepší byl zvolen kubický model s parametry kalibrace: Koeficienty rovnice : e[i]*x^3+f[i]*x^2+g[i]*x+h[i] pro k[i-1] < x <= k[i] k[i] e[i] f[i] g[i] h[i] 3.8700E+02 5.2257E-07-4.8572E-04 2.2583E-01 5.1895E+00

13/17 4.2. Kalibrační tabulka Kalibrační tabulka kubického modelu pro měřené hodnoty rychlosti (yexp[i] = 25, 30, 35 a 40 km.h -1 a jim odpovídající odhady mechanického výkonu [W] brzdy ergometru: Měřená hodnota Přímý odhad Konfidenční interval yexp[i] xvyp[i] Dolní mez Horní mez 2.500000E+01 1.110983E+02 1.076666E+02 1.146232E+02 3.000000E+01 1.508799E+02 1.468213E+02 1.549415E+02 3.500000E+01 1.988684E+02 1.942753E+02 2.035873E+02 4.000000E+01 2.567939E+02 2.502988E+02 2.637086E+02

14/17 Příklad č. 3 Rozlišení mezi lineární a nelineární kalibrací Kalibrace žhaveného anemometru 1. ZADÁNÍ Kalibrace žhaveného anemometru BABUC M byla provedena v aerodynamickém tunelu současným odečítáním rychlosti proudění vzduchu na přístroji BABUC M a na normálu (Prandtlova trubice a mikromanometr UMK). Elektronický převodník přístroje má, dle výrobce, lineární charakteristiku. Ověřte, zda kalibrační závislost skutečné apřístrojem indikované rychlosti proudění vzduchu, je skutečně lineární. Sestrojte optimální kalibrační model a určete bodový a intervalový odhad rychlosti proudění vzduchu pro odečety na přístroji BABUC M = 0.5; 1.0; 5 a 15 m.s -1. Pozn.: Přístroj BABUC M je vícefunkční dataloger. Měření rychlosti proudění vzduchu umožňuje např. použití sondy se žhaveným drátkem. Výrobcem udávaná přesnost přístroje ve spojení se žhaveným anemometrem je ± 0.04 m.s -1 pro odečtenou hodnotu < 1 m.s -1 a 4% odečtené hodnoty pro zbytek rozsahu. Rozsah měření 0.04 až 50 m.s -1. 2. DATA Počet n = 15. Jméno datového souboru BabEt.dat. Program ADSTAT Modul Kalibrace a Regresní diagnostika Babuc Etalon [m/s] [m/s] 0.48 0.6 0.81 0.86 1.96 1.95 3.52 3.49 4.59 4.49 5.66 5.49 8.94 8.59 12.2 11.7 16 15.4 19.6 19 22.6 22.1 26.1 25.9 29.5 29.6 32.1 32.5 35.2 36 3. KONTROLA LINEARITY KALIBRAČNÍ ZÁVISLOSTI Při bližším pohledu na proložení kalibrační závislosti přímkou (Obr. 3.1) a zvláště na tvar průběhu reziduí (Obr. 3.2), je zřejmé, že pro danou závislost není lineární kalibrační model nejvhodnější.

15/17 Obr. 3.1: Regresní model přímka Obr. 3.2: Graf predikce - rezidua 4. NÁVRH KALIBRAČNÍHO MODELU Návrh kalibračního modelu provedeme určením minimálních hodnot průměru relativních reziduí (M er ), odhadu směrodatné odchylky reziduí (s(e)) a limity detekce (x d ) pro co nejnižší stupeň polynomu. Model Počet uzlů * M er [%] s(e) x d Přímka 0 8.504 0.384 0.668 Kvadratický spline 0 2.041 0.072 0.187 1 0.944 0.048 0.144 2 0.743 0.023 0.079 Kubický spline 0 0.789 0.047 0.149 1 0.795 0.023 0.081 2 0.785 0.025 0.1 * Konstantní uzlové intervaly 4.1. Parametry kalibrace a kalibrační model Dle zvolených kritérií je nejvýhodnější kalibrační model kvadratický spline se dvěma uzly: Koeficienty rovnice : f[i]*x^2+g[i]*x+h[i] pro k[i-1] < x <= k[i] k[i] f[i] g[i] h[i] 1.2053E+01-2.0807E-04 9.5197E-01 1.1399E-01 2.3627E+01 5.2463E-03 8.2049E-01 9.0642E-01 3.5200E+01 3.1112E-03 9.2138E-01-2.8542E-01

16/17 Obr. 3.3: Grafické znázornění kalibračního modelu pro BABUC M: 4.2. Kalibrační meze Kritická úroveň yc 1.518216E-01 xc 3.973771E-02 Limita detekce yd 1.887906E-01 xd 7.857268E-02 Mez stanovitelnosti ys - xs - 4.3. Kalibrační tabulka Kalibrační tabulka kubického modelu pro naměřené hodnoty rychlosti proudění vzduchu (yexp[i] = 0.5; 1.0; 5.0 a 15 m.s -1 a jim odpovídající odhady skutečné rychlosti: Měřená hodnota Přímý odhad Konfidenční interval yexp[i] xvyp[i] Dolní mez Horní mez 5.000000E-01 4.055170E-01 3.698677E-01 4.404327E-01 1.000000E+00 9.308950E-01 9.003556E-01 9.609124E-01 5.000000E+00 5.138273E+00 5.112579E+00 5.164110E+00 1.500000E+01 1.561752E+01 1.558679E+01 1.564833E+01

17/17 Intervalový odhad odečtu z rozšířené nejistoty: Měřená hodnota z 1max u xz1 U Ld Lh 5.000000E-01 4.00E-02 0.023 0.046 4.54E-01 5.46E-01 1.000000E+00 4.00E-02 0.023 0.046 9.54E-01 1.05E+00 5.000000E+00 2.00E-01 0.115 0.23 4.77E+00 5.23E+00 1.500000E+01 6.00E-01 0.346 0.692 1.43E+01 1.57E+01 Kde: z 1max = 0.04 m.s -1 pro odečtenou hodnotu < 1 m.s -1 (Maximální chyba odečtu dle výrobce) z 1max = 0.04*Měřená hodnota u xz1 = z 1max / 3 (Standardní nejistota za předpokladu rovnoměrného rozdělení chyb) U=2*u xz1 (Rozšířená nejistota pro koeficient rozšíření k u95% =2) Ld a Lh jsou dolní a horní mez intervalu spolehlivosti 5. ZÁVĚR Z pohledu garantované přesnosti přístroje lze říci, že přístroj v dolní části rozsahu, dle kalibrační křivky, mírně nadhodnocuje a intervalové odhady (stanovené dle rozšířené nejistoty za předpokladu rovnoměrného rozdělení chyb) neobsahují správné hodnoty pro nízké rychlosti proudění vzduchu (do cca 1.5 m.s -1 ). Limita detekce je větší, než garantovaná dolní mez měřícího rozsahu stanovená výrobcem rozdíl je zřejmě způsoben nevhodnou metodou kalibrace: Použitá metoda kalibrace pomocí Prandtlovy trubice a mikromanometru UMK není pro nízké rychlosti proudění vzduchu (do cca 1.5 m.s -1 ) nejvhodnější. Přístroj splňuje údaje výrobce pro hodnoty rychlosti proudění vzduchu větší než 1.5 m.s -1. Interval spolehlivosti stanovený z kalibrační křivky je užší - pro hodnoty rychlosti proudění vzduchu větší než 1.5 m.s -1 - než IS stanovený z nejistot dle údajů výrobce.

Název souboru: Predm22 Adresář: E:\VYUKA\LS\Diskety\LS89002\Pavek\Kalibrace Šablona: D:\Program Files\Microsoft Office\Sablony\Normal.dot Název: 1 Předmět: Autor: OEM Klíčová slova: Komentáře: Datum vytvoření: 24.08.00 13:29 Číslo revize: 55 Poslední uložení: 28.08.00 10:34 Uložil: Ing. Karel Pávek Celková doba úprav: 1 063 min. Poslední tisk: 14.09.00 14:24 Jako poslední úplný tisk Počet stránek: 17 Počet slov: 2 718 (přibližně) Počet znaků: 15 498 (přibližně)