Náhodné chyby přímých měření Hodnoty náhodných chyb se nedají stanovit předem, ale na základě počtu pravděpodobnosti lze zjistit, která z možných naměřených hodnot je více a která je méně pravděpodobná. Dva základní problémy: 1) Jakým způsobem ze souboru naměřených hodnot zjistit výsledek měření, který se nejvíce blíží správné (tj. skutečné) hodnotě měřené veličiny? 2) Jakým způsobem charakterizovat odchylku výsledku měření od správné hodnoty, tj. jak určit velikost náhodné chyby?
Náhodná veličina (n. v.) Na soubory naměřených hodnot pohlížíme jako na soubory náhodných veličin, které se řídí statistickými zákony. O výsledcích měření můžeme vyslovit pouze pravděpodobnostní výroky. Náhodnou veličinu lze charakterizovat pravděpodobností, s jakou nabývá svých hodnot. N. v. může být buď spojitá nebo nespojitá.
Nespojitá náhodná veličina Může nabývat jen konečně mnoha nebo spočetně mnoha hodnot. Jedná se často o hodnoty celočíselné (např. počet impulzů, počet částic, ) získaných čítáním. Předem zadané hodnoty x nabývá s pravděpodobností P(x).
Klasická definice pravděpodobnosti: Pravděpodobnost Počet případů příznivých Počet případů možných Jakých hodnot může pravděpodobnost daného jevu nabývat? Jaká je pravděpodobnost, že na hrací kostce padne číslo 3?
Při měření intenzity pozadí ionizujícího záření byly naměřeny následující hodnoty: číslo měření intenzita (imp/10s) 1 3 Nakreslete histogram: graf četnosti intenzity jako funkce měřené hodnoty 2 4 3 2 4 3 5 4 6 2 7 4 8 2 9 3 četnost 5 4 3 2 1 takto kreslíme četnost hodnoty 2 10 2 0 1 2 3 4 5 intenzita (imp/10s)
Tento graf nazýváme histogram. Měříme opakovaně n krát za shodných podmínek stejnou veličinu. Danou hodnotu x naměříme m krát. Číslu m říkáme četnost měřené hodnoty x. Číslu m/n říkáme relativní četnost měřené hodnoty x.
Statistická definice pravděpodobnosti n krát opakujeme daný experiment m krát je výsledek úspěch (příznivý případ). Pravděpodobnost lim n m n
Graf závislosti pravděpodobnosti na naměřené hodnotě nazýváme rozdělení diskrétní náhodné proměnné. pravděpodobnost hodnota Pravděpodobnost naměření hodnoty x i budeme značit P xi
Doposud jsme se věnovali diskrétní náhodné proměnné. To je taková proměnná, která nabývá jen určitých hodnot. (Př.: výsledek hodu kostkou, posloupnost čísel při tahu sportky apod.) Fyzikální veličiny však obvykle mohou nabývat libovolné hodnoty. Náhodná proměnná spojená s takovou fyzikální veličinou bude tzv. spojitá (spojitá n. v.). Toto je však pouze teorie. Ve skutečnosti je každá měřená hodnota diskrétní diskretizaci provádí měřící přístroj. Tento digitální voltmetr naměří hodnoty 1,295, 1,296 nebo 1,297, ale nic mezi tím.
Přestože se ve skutečnosti se spojitými náhodnými proměnnými (veličinami) při měření v praxi nesetkáme, používají se spojitá rozdělení častěji lépe se s nimi počítá s využitím aparátu matematické analýzy. Formalismus popisu náhodných proměnných je odlišný. Jaká je pravděpodobnost, že naměříme hodnotu frekvence elektromagnetického záření 2,128574443445098853567899653GHz? Přesně!
Pravděpodobnost naměření určité konkrétní hodnoty spojité náhodné proměnné nemá smysl, je vždy rovna nule. Spojitá náhodná veličina může nabývat hodnot, které se od sebe libovolně málo liší, ale žádné dvě nejsou stejné. Smysl má pouze pravděpodobnost naměření hodnoty v určitém intervalu. Definujeme tzv. hustotu pravděpodobnosti px ( ) dp dx p(x) 0 50 100 150 200 250 300 350 400 x
Analogie hustota (hmotnosti) a hustota pravděpodobnosti hustota (hmotnosti) m V průměrná hustota kusu látky o hmotnosti m a objemu V Pokud se hustota tělesa mění místo od místa (těleso není homogenní), má smysl definovat lokální hustotu: dm dv Hustota v bodě = hmotnost nekonečně malého kousku děleno objemem tohoto kousku.
Známe-li průměrnou hustotu, můžeme hmotnost tělesa spočítat takto: m V Známe-li lokální hustotu, hmotnost tělesa se spočítá takto: m V dv Pravděpodobnosti naměření hodnoty x z intervalu (x 1, x 2 ) se spočítá jako: P( x, x ) p( x) dx 1 2 x x 2 1
Čemu je roven výraz: p( x) dx? p(x) 0 50 100 150 200 250 300 350 400 x
Seřaďte podle velikosti od nejmenšího po největší 1) pravděpodobnost naměření hodnoty v intervalu (50,100) 2) pravděpodobnost naměření hodnoty v intervalu (100,150) 3) pravděpodobnost naměření hodnoty v intervalu (250, 300) p(x) 0 50 100 150 200 250 300 350 400 x
Základními parametry rozdělení jsou: diskrétní rozdělení spojité rozdělení střední hodnota n Px x ( ) i i i1 D x p x dx n počet všech možností D definiční obor rozptyl (disperze) n D Px ( xi ) i1 i 2 2 D ( x ) p( x) dx D
Které rozdělení má větší střední hodnotu (černé nebo červené)? hustota pravděpodobnosti 0,006 0,005 0,004 0,003 0,002 0,001 D xp( x) dx 0,000 0 200 400 600 800 1000 hodnota
Které rozdělení má větší disperzi (černé nebo červené)? Proč je červené rozdělení nižší než černé? hustota pravděpodobnosti 0,006 0,005 0,004 0,003 0,002 0,001 0,000 2 D ( x ) p( x) dx D 0 200 400 600 800 1000 hodnota
Střední hodnota určuje polohu rozdělení na ose x a disperze jeho šířku. Disperze však nemůže být přímo jakkoliv definovanou šířkou nemá vhodnou jednotku. 2 D ( x ) p( x) dx D Proto definujeme tzv. směrodatnou odchylku σ vztahem: D
Normální (Gaussovo) rozdělení 1 p( x) e 2 střední hodnota: µ disperze: D = σ 2 σ je směrodatná odchylka 2 ( x ) 2 2 hustota pravděpodobnosti 0,004 0,003 0,002 0,001 0,000 0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 hodnota je nejčastější používaný model rozdělení náhodné veličiny (n. v.) Používá se pro náhodné jevy, které vznikly složením vlivů, které jsou nezávislé, je jich velký počet a každý z těchto vlivů ovlivňuje skutečnou hodnotu n. v. jen malým příspěvkem Přímo měřené fyzikální veličiny zpravidla těmto předpokladům vyhovují (u přesných měření je třeba nejdříve vyšetřit, jakým rozdělením pravděpodobnosti lze n. v. popsat!).
µ = 500 σ = 100 µ = 300 σ = 100 hustota pravděpodobnosti 0,004 0,003 0,002 0,001 0,000 0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 hustota pravděpodobnosti 0,004 0,003 0,002 0,001 0,000 0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 hodnota hodnota µ = 500 σ = 200 0,0025 hustota pravděpodobnosti 0,0020 0,0015 0,0010 0,0005 0,0000 0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 hodnota
Intervaly spolehlivosti Při zpracování naměřených hodnot hledáme velikost intervalu pro zvolenou hodnotu pravděpodobnosti, přičemž předpokládáme, že máme naměřeno nekonečně mnoho hodnot. Zajímají nás jen ty intervaly, které jsou symetrické kolem střední hodnoty. Interval, jemuž přísluší pravděpodobnost P, nazýváme P-procentní interval spolehlivosti pro parametr μ (nazývaný také konfidenční interval). (μ kσ, μ + kσ), kde k 0.
Měříme-li veličinu, která se řídí normálním rozdělením se střední hodnotou µ a směrodatnou odchylkou σ, je pravděpodobnost toho, že při dalším měření naměříme hodnotu z intervalu (µ - σ, µ + σ) rovna 68% (v tomto případě je k = 1). hustota pravděpodobnosti 0,004 0,003 0,002 0,001 0,000 0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 hodnota µ µ - σ µ + σ ( x ) 1 p x dx e dx 2 inflexní bod 2 2 ( ) 0,68 2 µ = 500 σ = 100
Odhadněte, jaké je pravděpodobnost naměření hodnoty z intervalu (µ - 3σ, µ + 3σ) (k = 3). hustota pravděpodobnosti 0,004 0,003 0,002 0,001 0,000 0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 hodnota µ µ - σ µ + σ inflexní bod
Pravděpodobnost naměření hodnoty v intervalu (µ - 3σ, µ + 3σ) je rovna P = 99,7 %. Tento interval definujeme jako krajní (mezní) chybu. krajní (mezní) chyba = jistota Interval často nazýváme 3σ interval.
Dále definujeme pravděpodobnou chybu pro P = 50 % (k = 2/3). Pravděpodobnost naměření hodnoty v intervalu (µ - 2/3σ, µ + 2/3σ) je rovna 50 % (tento interval vymezuje právě polovinu obsahu plochy pod normální křivkou). Při běžných měřeních často stačí pracovat s tímto intervalem.
Vlastnosti spojité n. v., která se řídí normálním rozdělením V ideálním případě, tj. máme-li nekonečně mnoho naměřených hodnot, je střední hodnota μ náhodné veličiny rovna její skutečné hodnotě. Matematicky se dá odvodit, že střední hodnota n. v. je dána výrazem μ = lim N N i=1 N a rozptyl n. v. je dán výrazem N σ 2 i=1(x i μ) 2 = lim N N x i Při reálném měření provádíme ale vždy konečný počet měření (většinou 5 až 20). Získáme pouze tzv. výběrový soubor ze souboru základního. Střední hodnotu a směrodatnou odchylku můžeme tedy vždy pouze odhadnout.
Odhad střední hodnoty a směrodatné odchylky pro konečný počet měření Měříme fyzikální veličinu (n. v.) a chceme určit odhad její střední hodnoty a chyby, tedy výraz: x (hodnota chyba) jednotky Opakujeme n krát měření za stejných podmínek, odhad střední hodnoty získáme jako: x 1 n xi n i 1 Vlastnosti aritmetického průměru aritmetický průměr Odhad směrodatné odchylky získáme jako: s x n i1 ( x x) i n 1 2 směrodatná odchylka (chyba) jednoho měření 1. Součet odchylek od aritmetického průměru je vždy roven nule. 2. Součet čtverců odchylek od aritmetického průměru je nejmenší. Důkaz: Hledáme, pro jaké x nabývá výraz S x = (x x 1 ) 2 +(x x 2 ) 2 + + x x n 2 minima ds(x) dx = 0 a ukážeme, že tento výraz nabývá minima právě pro x.
Směrodatná odchylka aritmetického průměru Takto vypočtená směrodatná odchylka však není pro celý soubor N měření dostačující. Pokud bychom znovu provedli N měření, dospěli bychom k jiné hodnotě arit. průměru (i když je střední hodnota μ stejná). Pro reprodukovatelnost střední hodnoty proto zavádíme veličinu s x, kterou nazýváme směrodatná odchylka aritmetického průměru. x 1 n xi n i 1 s x n i1 ( x x) i nn ( 1) 2 x ( x s ) x
Směrodatná odchylka při malém počtu měření Co je dostatečně velký a malý počet měření, závisí na přesnosti, s jakou chceme získat výsledek. Obvykle je to 10 až 20 měření. Jeli počet měření N 20, je to velmi mnoho (nekonečně mnoho). Je-li N 10, je to málo. Při malém počtu měření se spojitá n. v. neřídí normálním rozdělením, ale tzv. Studentovým neboli t-rozdělením Křivka je plošší (tím více, čím nižší je N) pro dosažení stejné pravděpodobnosti P výskytu naměřené hodnoty v nějakém intervalu symetrickém kolem μ je třeba u t-rozdělení zvolit interval (μ kσ, μ + kσ) širší.
Hodnoty čísla k pro pravděpodobnost P při různém počtu měření N Příklad pro P = 0,5 a N 20 je interval spolehlivosti (μ 0,67σ, μ + 0,67σ) pro P = 0,5 a N = 10 je interval spolehlivosti (μ 0,70σ, μ + 0,70σ) pro P = 0,7 a N = 10 je interval spolehlivosti (μ 1,1σ, μ + 1,1σ)
Kritéria pro vyloučení hrubých chyb měření Připomeňme si: Pravděpodobnost naměření hodnoty v intervalu (µ - 3σ, µ + 3σ) je rovna (tzv. 3σ interval) je 99,7 % (= jistota) krajní (mezní) chyba Velké chyby jsou ale málo pravděpodobné. Je-li N velké (N ), naměříme hodnotu, která se od střední hodnoty µ liší o více než 3σ, jen ve třech případech z 1 000 měření. V reálném případě (tj. při měření) je N malé, výskyt hrubých chyb je proto zanedbatelný. Pravidlo Vyskytne-li se taková hodnota, která leží mimo interval (x ks x, x + ks x ), ze zpracování ji vyloučíme 3s x kritérium. Toto kritérium používáme i pro menší počet měření, pro něž k 3. Pokud ze souboru některé hodnoty vyloučíme, musíme znovu vypočítat x a s x.
Shrnutí postup při zpracování hodnot získaných přímým měřením 1. Pro soubor naměřených hodnot určíme aritmetický průměr x a směrodatnou odchylku jednoho měření s x. 2. Vyloučíme hrubé chyby pomocí 3s x - intervalu a případně znovu vypočteme aritmetický průměr a směrodatnou odchylku jednoho měření. 3. Určíme směrodatnou odchylku aritmetického průměru s x. 4. Směrodatnou odchylku i aritmetický průměr zaokrouhlíme. 5. Určíme interval spolehlivosti pro zvolenou hodnotu P (obvykle volíme P = 0,999 nebo P = 0,995 (mezní chyba) nebo P = 0,5 (pravděpodobná chyba)) a s přihlédnutím k počtu měření N najdeme v tab. odpovídající číslo k. 7. Výsledek (tj. výslednou chybu k. s x a x ) zaokrouhlíme a zapíšeme ve tvaru x = x ± k. s x 8. Vypočteme relativní chybu δ (výsledek uvedeme v % a zaokrouhlíme ho na jedno nebo na dvě desetinná místa).
Cvičení. Určení střední hodnoty a chyby při malém počtu měření Posuvným měřidlem byly naměřeny tyto hodnoty délky: 3,12 cm; 3,00 cm; 3,06 cm. Předpokládejte, že měřené hodnoty jsou zatíženy jen náhodnými chybami. Vypočtěte odhad střední hodnoty a směrodatnou odchylku jednoho měření a aritmetického průměru. Určete interval spolehlivosti pro P= 0,995 a P = 0,5. Vypočtěte relativní chyby. Postup: 1. x, s x (chybu zaokr. na dvě platné číslice) 2. vyloučit hrubé chyby a stanovit 3s x - interval 3. vypočítat s x a zaokrouhlit 4. určit interval spolehlivosti pro zvolené P, podle počtu měření N nalézt k 5. k. s x a x zaokrouhlit a zapsat x = x ± k. s x 6. vypočítat relativní chybu δ, výsledek v %
Cvičení. Určení střední hodnoty a chyby při malém počtu měření Posuvným měřidlem byly naměřeny tyto hodnoty délky: 3,12 cm; 3,00 cm; 3,06 cm. Předpokládejte, že měřené hodnoty jsou zatíženy jen náhodnými chybami. Vypočtěte odhad střední hodnoty a směrodatnou odchylku jednoho měření a aritmetického průměru. Určete interval spolehlivosti pro P = 0,995 a P = 0,5. Vypočtěte relativní chyby. Výsledky: 1. x = 3,06 cm, s 1x = 0,06 cm 2. 3s x - interval pro vyloučení hrubých chyb je (3,06 ± 3.0,06) cm = (2,88;3,24) cm 3. s x = 0,035 cm 4. intervaly spolehlivosti: pro P = 0,995 (mezní chyba) a N = 3 je k = 14,09, x (3,060 ± 14,09.0,035) cm (3,060 ± 0,049) cm (3,06 ± 0,05) cm s relativní chybou δ = 1,63 % pro P = 0,5 (pravděpodobná chyba) a N = 3 je k = 0,82, x (3,060 ± 0,82.0,035) cm (3,060 ± 0,029) cm nebo (3,06 ± 0,03) cm s relativní chybou δ = 0,98 %