Úvod do práce v laboratoři
|
|
- Jiří Mareš
- před 5 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 Úvod do práce v laboratoři Zdeněk Bochníček
2 Literatura: PÁNEK, Petr. Úvod do fyzikálních měření. Brno: skripta PřF MU, 2001 HORÁK, Zdeněk. Praktická fysika. SNTL Praha, 1958 BROŽ, Jaromír a kol. Základy fysikálních měření. SPN Praha, 1967
3 Podmínky zápočtu: 80% účast vyřešení experimentálního úkolu a odevzdání protokolu z měření
4 Chyba měření: naměříme jinou hodnotu, než je hodnota správná. Chyby dělíme na systematické a náhodné.
5 Při měření byly získány tyto hodnoty. Měření 1: měřené hodnoty správná hodnota Měření 2: měřené hodnoty správná hodnota Které měření je zatíženo náhodnou a které systematickou chybou?
6 Vyznačte na ose možné výsledky dvou měření: s malou a s velkou systematickou chybou. malá systematická chyba správná hodnota velká systematická chyba správná hodnota
7 Vyznačte na ose možné výsledky dvou měření: s malou a s velkou náhodnou chybou. malá náhodná chyba správná hodnota velká náhodná chyba správná hodnota
8 Vyznačte na ose možné výsledky těchto měření: s malou systematickou a velkou náhodnou chybou. s velkou systematickou a malou náhodnou chybou. s velkou systematickou a velkou náhodnou chybou. s malou systematickou a malou náhodnou chybou. správná hodnota
9 V loňském roce jste měli na spořícím účtu uloženo Kč. Na konci roku Vám byl připsán celkový roční úrok v hodnotě 300Kč. Jaká byla úroková míra spořícího vkladu?
10 Napíšeme-li výraz: x = (hodnota ± nejistota (chyba)) [ jednotky ] je uvedená nejistota tzv. chybou absolutní má stejné jednotky jako hodnota. Vedle absolutní nejistoty se používá také nejistota relativní, která je bezrozměrná a udává, jakou poměrnou část z hodnoty nejistota tvoří. Relativní nejistota se často udává v procentech. Jak je relativní nejistota definována?
11 Posuvným měřítkem jsem naměřili tloušťku skleněné destičky: d = (4, 2 ± 0,1)mm Jaká je absolutní a jaká relativní nejistota měřené veličiny?
12 Svinovacím metrem měříme šířku knihy a šířku stolu. Které měření má větší absolutní a které větší relativní nejistotu?
13 Naměřený proud 425mA byl změřen s relativní nejistotou Jaká byla absolutní nejistota?
14 Chceme změřit šířku kovového nosníku (přibližná hodnota 12cm) s relativní nejistotou 1. S jakou absolutní nejistotou musíme měřit?
15 Jak dlouho musíme měřit periodu kmitů kyvadla (počítat kmity a měřit čas), abychom ji určili s nejistotou 10-4? Čas měříme ručními stopkami. Návod: Nejprve odhadněte, s jakou absolutní nejistotou jste schopni ručními stopkami měřit časový interval.
16 Níže jsou uvedeny dva výsledky měření: A: U = (4, 25 ± 0, 01)mV B: U = (425, 4 ± 0,1)V Které měření je přesnější a které citlivější?
17 Vyberte pravdivé výroky A: Přesnost měření je dána relativní nejistotou. B: Přesnost měření je dána absolutní nejistotou. C: Citlivost měření je dána relativní nejistotou. D: Citlivost měření je dána absolutní nejistotou.
18 Klasická definice pravděpodobnosti: Pravděpodobnost Počet případů příznivých = Počet případů možných Jakých hodnot může pravděpodobnost daného jevu nabývat?
19 Klasická definice pravděpodobnosti: Pravděpodobnost Počet případů příznivých = Počet případů možných Jaká je pravděpodobnost, že na hrací kostce padne číslo 3?
20 Jaká je pravděpodobnost, že na minci padne orel?
21 Jaká je pravděpodobnost, že na hrací kostce padne sudé číslo?
22 Jaká je pravděpodobnost, že na hrací kostce padne číslo dělitelné třemí?
23 Jaká je pravděpodobnost, že se narodí děvče?
24 Statistická definice pravděpodobnosti n krát opakujeme daný experiment m krát je výsledek úspěch (příznivý případ). Pravděpodobnost = lim n m n
25 V roce 1999 se v ČR narodilo děvčat a chlapců. Z těchto dat určete odhad pravděpodobnosti narození děvčete či chlapce.
26 Pravidla pro počítání s pravděpodobnostmi 1: Pravděpodobnost, že nastane alespoň jeden ze dvou navzájem se vylučujících jevů je součtem pravděpodobností obou jevů. 2: Pravděpodobnost, že současně nastanou dva nezávislé jevy je 2: Pravděpodobnost, že současně nastanou dva nezávislé jevy je součinem pravděpodobností obou jevů.
27 Zajímá nás, jestli při příštím hodu kostkou padne číslo tři a nebo šest. Jedná se o: nezávislé jevy navzájem se vylučující jevy
28 Zajímá nás, jestli se sestře narodí chlapec nebo děvče. Jedná se o: nezávislé jevy navzájem se vylučující jevy
29 Házíme současně dvěma kostkami. Zajímá nás, jaká je pravděpodobnost, že na první kostce padne 2 a na druhé 4. Jedná se o: nezávislé jevy navzájem se vylučující jevy
30 Určete pravděpodobnost, že při následujícím hodu kostkou padne číslo 1 nebo číslo 5.
31 Určete pravděpodobnost, že při následujícím hodu dvěma kostkami Určete pravděpodobnost, že při následujícím hodu dvěma kostkami padne na první kostce číslo 1 a na druhé číslo 5.
32 Určete pravděpodobnost, že při následujícím hodu dvěma kostkami Určete pravděpodobnost, že při následujícím hodu dvěma kostkami padne na některé kostce číslo 1 a na druhé číslo 5.
33 Měříme opakovaně n krát za shodných podmínek stejnou veličinu. Danou hodnotu x naměříme m krát. Číslu m říkáme četnost měřené hodnoty x. Jaké hodnoty může četnost nabývat, pokud jsme provedli n měření?
34 Tento graf nazýváme histogram
35 Při měření intenzity pozadí ionizujícího záření byly naměřeny následující hodnoty: číslo intenzita měření (imp/10s) Nakreslete histogram: graf četnosti intenzity jako funkce měřené hodnoty četnost takto kreslíme četnost hodnoty intenzita (imp/10s)
36 Měříme opakovaně n krát za shodných podmínek stejnou veličinu. Danou hodnotu x naměříme m krát. Číslu m/n říkáme relativní četnost měřené hodnoty x. Jaké hodnoty může relativní četnost nabývat, pokud jsme provedli n měření?
37 Při měření intenzity pozadí ionizujícího záření byly naměřeny následující hodnoty: číslo měření intenzita (imp/10s) relativní četnost Nakreslete histogram: graf relativní četnosti intenzity jako funkce měřené hodnoty hodnota
38 Relativní četnost je definována jako Pravděpodobnost je definována jako m n lim m n n Za jakých podmínek bude relativní četnost rovna pravděpodobnosti naměření dané hodnoty?
39 Graf závislosti pravděpodobnosti na naměřené hodnotě nazýváme rozdělení diskrétní náhodné proměnné. pravděpodobnost hodnota Pravděpodobnost naměření hodnoty x i budeme značit P xi
40 Jaká je hodnota výrazu: všechna i P x i
41 Nakreslete pravděpodobnost, že padne dané číslo při hodu kostkou pravděpodobnost hodnota
42 Nakreslete pravděpodobnost, že padne daná strana při hodu mincí pravděpodobnost hodnota
43 Z údajů roku 1999 nakreslete odhad pravděpodobnosti narození daného pohlaví. (V roce 1999 se v ČR narodilo děvčat a chlapců). pravděpodobnost hodnota
44 Doposud jsme se věnovali diskrétní náhodné proměnné. To je taková proměnná, která nabývá jen určitých hodnot. (Př.: výsledek hodu kostkou, posloupnost čísel při tahu sportky apod.) Fyzikální veličiny však obvykle mohou nabývat libovolné hodnoty. Náhodná proměnná spojená s takovou fyzikální veličinou bude tzv. spojitá. Toto je však pouze teorie Ve skutečnosti je každá měřená hodnota diskrétní diskretizaci provádí měřící přístroj. Tento digitální voltmetr naměří hodnoty Tento digitální voltmetr naměří hodnoty 1,295, 1,296 nebo 1,297 ale nic mezi tím.
45 Přesto, že ve skutečnosti se se spojitými náhodnými proměnnými při měření v praxi nesetkáme, používají se spojitá rozdělení častěji lépe se s nimi počítá s využitím aparátu matematické analýzy.
46 Formalismus popisu náhodných proměnných je odlišný. Jaká je pravděpodobnost, že naměříme hodnotu frekvence elektromagnetického záření 2, GHz? Přesně!
47 Pravděpodobnost naměření určité konkrétní hodnoty spojité náhodné proměnné nemá smysl, Je vždy rovna nule. Smysl má pouze pravděpodobnost naměření hodnoty v určitém intervalu Definujeme tzv. hustotu pravděpodobnosti p ( x ) = dp dx
48 Analogie hustota (hmotnosti) ρ = m V průměrná hustota kusu látky o hmotnosti m a objemu V Pokud se hustota tělesa mění místo od místa, má smysl definovat lokální hustotu: dm ρ = dv Hustota v bodě, hmotnost nekonečně malého kousku děleno objemem tohoto kousku.
49 Známe-li střední hustotu, můžeme hmotnost tělesa spočítat takto: m = V ρ Známe-li lokální hustotu, hmotnost tělesa se spočítá takto: m = ρ dv V Napište vztah pro výpočet pravděpodobnosti naměření hodnoty x z intervalu (x 1, x 2 ) ze známé hustoty pravděpodobnosti p(x).
50 Pravděpodobnosti naměření hodnoty x z intervalu (x1, x2) se spočítá jako: x 2 = P ( x, x ) p ( x ) dx 1 2 x 1
51 Čemu je roven výraz: p( x) dx =?
52 Seřaďte podle velikosti od nejmenšího po největší 1) pravděpodobnost naměření hodnoty v intervalu (50,100) 2) pravděpodobnost naměření hodnoty v intervalu (100,150) 3) pravděpodobnost naměření hodnoty v intervalu (250,300) p(x) x
53 Základními parametry rozdělení jsou: diskrétní rozdělení spojité rozdělení střední hodnota n µ = P x x µ = x p( x) dx i i= 1 i D n počet všech možností D definiční obor n rozptyl (disperze) 2 D = Px ( x µ ) i i i= 1 D 2 ( ) ( ) D x µ p x dx =
54 Které rozdělení má větší střední hodnotu (černé nebo červené)? hu ustota pravděp podobn nosti 0,006 0,005 0,004 0,003 0,002 0,001 n µ = Px x i= 1 µ = x p( x) dx D i i 0, hodnota
55 Které rozdělení má větší disperzi (černé nebo červené)? hus stota pravděp podob bnosti D = P ( x x µ i ) 0, ,005 0,004 0,003 0,002 0,001 n i i= 1 2 ( ) ( ) D x µ p x dx = D 0, hodnota
56 Proč je červené rozdělení nižší než černé? 0,006 hust tota pravd děpodobn nosti 0,005 0,004 0,003 0,002 0,001 0, hodnota
57 Střední hodnota určuje polohu rozdělení na ose x a disperze jeho šířku. Disperze však nemůže být přímo jakkoliv definovanou šířkou nemá vhodnou jednotku. Proto definujeme tzv. směrodatnou odchylku σ vztahem: σ = D
58 Nakreslete dvě rozdělení spojité náhodné proměnné: Rozdělení A má větší střední hodnotu a menší směrodatnou odchylku než rozdělení B.
59 Normální (Gaussovo) rozdělení ( x µ ) 1 p( x) = e 2σ σ 2 π 2 2 střední hodnota: µ disperze: D=σ 2 veličina σ je směrodatná odchylka
60 µ = 500 σ = 100 µ = 300 σ = 100 i husto ota pravděp podobnosti 0,004 0,003 0,002 0,001 0, i husto ota pravděp podobnosti 0,004 0,003 0,002 0,001 0, hodnota hodnota 0,0025 µ = 500 σ = 200 hustota pra avděpodob bnosti 0,0020 0,0015 0,0010 0,0005 0, hodnota
61 Nakreslete přibližně Gaussovo rozdělení se střední hodnotou 54 a směrodatnou odchylkou 10.
62 hustot ta pravd děpodob bnosti 0,004 0,003 0,002 0,001 µ = 500 σ = 100 inflexní bod 0, hodnota µ µ - σ µ + σ µ + σ µ + σ ( x µ ) 1 p x dx e dx µ σ µ σ σ 2 π 2 2σ ( ) = = 0,68 2
63 Měříme-li veličinu, která se řídí normálním rozdělením se střední hodnotou µ a směrodatnou odchylkou σ, je pravděpodobnost toho, že při dalším měření naměříme hodnotu z intervalu (µ - σ, µ + σ) rovna 68%. Jaká je pravděpodobnost, že při dalším měření naměříme hodnotu z intervalu (µ, µ + σ)?
64 Odhadněte, jaké je pravděpodobnost naměření hodnoty z intervalu (µ - 3σ, µ + 3σ). husto ota prav vděpodo obnosti 0,004 0,003 0,002 0,001 0,000 inflexní bod hodnota µ µ - σ µ + σ
65 Definujeme tzv. krajní chybu vztahem: κ = 3 σ Pravděpodobnost naměření hodnoty v intervalu (µ - 3σ, µ + 3σ) je rovna 99,7% krajní chyba = jistota
66 Měříme veličinu - náhodnou proměnnou a chceme určit odhad její střední hodnoty a chyby, tedy výraz: x = (hodnota ± [ ] chyba) jednotky x = ( x ± s x ) Opakujeme n krát měření za stejných podmínek, odhad střední hodnoty získáme jako: 1 n x = x aritmetický průměr i n i = 1 a odhad směrodatné odchylky (chyby) jako s x = n i= 1 ( x x) i n 11 2
67 Při měření intenzity pozadí ionizujícího záření byly naměřeny následující hodnoty: číslo intenzita měření (imp/10s) Vypočtěte odhad střední hodnoty a směrodatné odchylky. x= 3,4 imp/10s s x =0,55 imp/10s
68 Další modelová rozdělení Binomické rozdělení Nechť při jednom pokusu (měření) má daný jev (úspěch) pravděpodobnost p. Pak pravděpodobnost toho, že při n pokusech nastane r krát úspěch je dána binomickým rozdělením: n r n r Pn ( r) = p (1 p) r střední hodnota µ = np disperze D = np(1 p)
69 Pro velká n se binomické rozdělení blíží normálnímu (Gaussovu) 0.50 binomické N=5, p=0, Gaussovo µ=2,5, σ=sqrt(1,25) p(r) binomické N=100, p=0,5 Gaussovo µ µ=50, σ=sqrt(25) r 0.06 p(r) r
70 Poissonovo rozdělení Nechť jistá náhodná událost nastává v časovém intervalu t se střední hodnotou µ. Pak pravděpodobnost, že v tomto časovém intervalu dojde k r událostem je dána Poissonovým rozdělením P ( r) µ r e µ µ = střední hodnota µ = µ r! oµ = 1 oµ = 4 oµ µ = 10 disperze D = µ
71 Pro velká n se Poissonovo rozdělení blíží normálnímu (Gaussovu) Poissonovo µ = 10, 0.14 Gaussovo µ = 10, σ = sqrt(10) p(r) r 0.04 Poissonovo µ = 100, Gaussovo µ = 100, σ = sqrt(100) = p(r) r
72 Chyba nepřímo měřených veličin Nepřímo měřená veličina nemáme přístroj ale žádanou veličinu počítáme z jiných přímo měřených veličin. Uveďte dva příklady přímo měřené a dva příklady nepřímo měřené veličiny.
73 Navrhněte dva experimenty, ve kterých by hustota kapaliny Navrhněte dva experimenty, ve kterých by hustota kapaliny byla jednou přímo měřená a jednou nepřímo měřená veličina.
74 Mějme nepřímo měřenou veličinu y, která je funkcí přímo měřených veličin p 1, p 2,.., p m. y = f ( p1, p2,... p m ) přičemž pro každou přímo p = ( p ± s ) měřenou veličinu jsme určili: i i p i střední hodnotu a odchylku veličiny y určíme takto: y = f ( p1, p2,..., p m ) 2 2 y y y s = s + s + + s y p1 p2 p p m 1 p2 pm 2
75 f(x) x
76 Nepřímo měřená veličina y je rovna součtu dvou přímo měřených veličin y = x + x 1 2 Například měříme délku 4m místnosti ale máme k dispozici pouze 3m svinovací metr. Najděte vztah pro odchylku veličiny y. 2 2 y y y s = s + s + + s p1 p2 pm y p1 p2 p m 2
77 Nepřímo měřená veličina y je rovna násobku přímo měřené veličiny y = k x Například obvod kružnice počítaný z průměru. Najděte vztah pro odchylku veličiny y. Najděte vztah pro relativní odchylku veličiny y.
78 Nepřímo měřená veličina y je rovna součinu dvou přímo měřených veličin y = x x 1 2 Například plocha obdélníkového pozemku. Najděte vztah pro odchylku veličiny y. Najděte vztah pro relativní odchylku veličiny y.
79 Nepřímo měřená veličina y je rovna podílu dvou přímo měřených veličin y = x 1 x 2 Například průměrná rychlost jako podíl dráhy a času. Najděte vztah pro odchylku veličiny y. Najděte vztah pro relativní odchylku veličiny y.
80 Nepřímo měřená veličina y je rovna mocnině přímo měřené veličiny y = x n Například plocha čtverce či objem krychle. Najděte vztah pro odchylku veličiny y. Najděte vztah pro relativní odchylku veličiny y.
81 Měříme hustotu materiálu, který máme k dispozici ve tvaru válce. Pro hustotu platí: m ρ = = V 4m π 2 d v Najděte vztah pro absolutní i relativní odchylku veličiny ρ.
82 Vypočtěte odchylku aritmetického průměru x 1 n x i n i = 1 =
83 Připomeňme si: Opakujeme n krát měření za stejných podmínek, odhad střední hodnoty získáme jako: x 1 n x i n i = 1 = aritmetický průměr a odhad směrodatné odchylky jako s x = n i = 1 ( x x) i n 1 2 Směrodatná odchylka popisuje šířku rozdělení Udává interval, ve kterém je 68% pravděpodobnost, že příští naměřená hodnota bude ležet v tomto intervalu.
84 Obvykle, pokud napíšeme výraz: x = ( x ± s ) x veličinou s x myslíme odchylku aritmetického průměru, spíše bychom tedy měli psát: x = ( x ± s ) x
85 Tedy pro určení intervalu x = ( x ± s ) x Počítáme veličiny takto: x 1 n n i = 1 = x i s x = n i= 1 ( x x) i n( n 1) 2
86 Při měření intenzity pozadí ionizujícího záření byly naměřeny následující hodnoty: číslo intenzita měření (imp/10s) Vypočtěte odhad střední hodnoty a směrodatné odchylky aritmetického průměru. x= 3,4 imp/10s s x =0,24 imp/10s
87 Pokud jsme za stejných podmínek opakovali velký počet měření, udává interval x = ( x ± s ) x 68% pravděpodobnost, že správná hodnota leží uvnitř tohoto intervalu a interval x = ( x ± κ ) = ( x ± 3 s x x ) dává jistotu
88 Pokud měření opakujeme jen malým počtem pokusů, které statisticky vyhodnotíme, je pravděpodobnost, že správná hodnota leží v intervalu x = ( x ± s ) x a) větší než 68% b) menší než 68% c) rovna 68%
89 Intervaly spolehlivosti Existuje způsob, jak zkonstruovat interval, který by při zadaném počtu statisticky vyhodnocených měření poskytnul požadovanou spolehlivost, tj. pravděpodobnost s jakou správná hodnota leží uvnitř vymezeného intervalu. Interval vytvoříme z hodnot x n 2 1 n ( xi x ) xi a i= n s i = 1 x = = 1 n( n 1) rozšířením či zúžením intervalu x = ( x ± s x ) vhodným koeficientem t, ν p kde ν je tzv. počet stupňů volnosti: ν = n 1 a p je pravděpodobnost.
90 x = x ± t s ) = ( ν, p x tzv. Studentovy koeficienty
91 Z pěti naměřených hodnot byly statistickým zpracováním získány následující údaje: x = ( 11,2 ± 0,7) Určete interval spolehlivosti Určete interval spolehlivosti odpovídající pravděpodobnosti 68%
92 Ocelovým pásmem měříme rozměry učebny s následujícími výsledky: a = ( 523 ± 3) cm b = ( 675 ± 4)cm Určete střední hodnotu plochy místnosti a její směrodatnou odchylku. S = ( 35,4 ± 2 0,3)m
93 Měření tíhového zrychlení z doby kmity matematického kyvadla Napište vztah pro dobu kmitu matematického kyvadla, jaké veličiny Napište vztah pro dobu kmitu matematického kyvadla, jaké veličiny musíme přímo měřit? Ze vztahu vyjádřete tíhové zrychlení.
94 Odvoďte vztah pro odchylku tíhového zrychlení.
95 Vyhodnoťte měření doby kmitu číslo měření T (s) 1 1,42 2 1,40 3 1,39 4 1,43 5 1,41
96 Vyhodnoťte měření délky kyvadla číslo měření l (cm) 1 50,2 2 50,4 3 49,8 4 49,9 5 50,1
97 Určete střední hodnotu a odchylku (aritmetického průměru) tíhového zrychlení. S využitím Studentových koeficientů sestavte intervaly spolehlivosti 68% a 99,7%.
98 Struktura protokolu Hlavička Teorie: Stručné shrnutí teoretického popisu měřeného jevu, veličiny. Základní vztahy, popis experimentálního uspořádání. Výsledky měření: Tabulky naměřených hodnot (při ručním měření), případně grafy závislostí (při automatizovaném měření) Zpracování měření: Závěr: Výpočty středních hodnot, chyb, numerické zpracování měření. Komentář výsledků, srovnání se známou či očekávanou hodnotou, diskuse možných systematických chyb.
99 Numerická regrese (fitování) Numerické metody, při kterých hledáme funkci co nejlépe vystihující (typicky experimentálně studovanou) závislost.
100 Krok č. 1 volba vhodné funkce funkční závislost je známa z teorie jevu např. závislost intenzity prošlého záření na tloušťce materiálu µ d I = I e µ o využijeme nabídku univerzálních funkcí polynomy y = ao + a1x + a2x + a3x + a4 x +... Taylorův rozvoj
101 Krok č. 2 vlastní proložení Metoda nejmenších čtverců Minimalizace výrazu n s = y f ( x ) = minimum [ [ ] 2 i i i= 1 s součet čtverců
102 Metody měření vybraných fyzikálních veličin
103 Měření vzdálenosti Posuvné měřítko posuvka
104 Jaký údaj je na posuvném měřítku?
105 Jaký údaj je na posuvném měřítku?
106 mikrometr
107 Jaký údaj ukazuje mikrometr?
108 Jaký údaj ukazuje mikrometr?
109 Indikátorové hodinky (úchylkoměr)
110 Jaký údaj ukazuje úchylkoměr?
111 Katetometr
112 Ultrazvukový dálkoměr
113 Laserový dálkoměr
114 Měření času Periodické děje
115 Kmity kyvadla matematické kyvadlo fyzické kyvadlo T l = 2π T = 2π g J mga V harmonické aproximaci V této aproximaci doba kmitu nezávisí na amplitudě výchylky
116
117 Torzní kmity setrvačky Elastická deformace pružného pera lineární tedy harmonické (Hookův zákon)
118 Kmity křemenného krystalu Piezoelektrický jev
119 Čas jedna z nejlépe měřitelných veličin Oscilátor + čítač
120 Měření teploty Kapalinové teploměry Nakreslete schematicky dva kapalinové teploměry A: s větší citlivostí, B: s menší citlivostí.
121 Bimetalový teploměr Který ze dvou kovů má větší koeficient teplotní roztažnosti?
122
123 Odporové teploměry Změna elektrického odporu s teplotou Kovové: odpor s teplotou roste Používané kovy: Ni, Pt Polovodičové (termistory): odpor s teplotou klesá
124 Který teploměr má větší citlivost, platinový nebo niklový?
125 Při jakých teplotách je NTC termistor (negastor) citlivější, při nižších nebo vyšších?
126 termočlánek mv kov 2 kov 1 T 1 T 2 Termoelektrické napětí U = α ( T T ) 2 1 T 1 referenční teplota α termoelektrický koeficient
127 Jeden z nejpoužívanějších termočlánků je typ K chromel - alumel Chromel: 90% Ni, 10% Cr Alumel: 95% Ni, 2% Mg, 2% Al 1% Si Termoelektrický koeficient α = 42 µv/ C Jaké bude napětí při rozdílu teplot 100 C? Teplota referenčního spoje je 20 C, napětí na termočlánku typu K je 3,1mV. Jaká je teplota měřeného spoje? 93,8 C U = α ( T T ) 2 1
128 Kde je tady referenční spoj?
129 Infračervené teploměry měří záření emitované tělesem Planckův vyzařovací zákon: Dokonale černé těleso H o = σt 4
130 Problém: emisivita Záření reálného tělesa: H = ε H o ε (0,1) IR teploměr bez korekce na emisivitu vždy ukazuje nižší teplotu, než je skutečná.
131 Měření elektrických veličin, napětí, proudu a odporu
132 Voltmetr měří rozdíl potenciálů mezi dvěma body. Chceme měřit napětí na odporu R. Nakreslete zapojení voltmetru R U
133 Ampérmetr měří proud, který samotným ampérmetrem protéká Chceme měřit proud v obvodu. Nakreslete zapojení ampérmetru. R U
134 Zapojení voltmetru do obvodu dle obr. méně ovlivní situaci v obvodu pokud: V R U a) voltmetr má velký vnitřní odpor b) voltmetr má malý vnitřní odpor
135 Zapojení ampérmetru do obvodu dle obr. méně ovlivní situaci v obvodu pokud: R A U a) ampérmetr má velký vnitřní odpor b) ampérmetr má malý vnitřní odpor
136 Měření odporu současné měření napětí a proudu Nakreslete zapojení ampérmetru a voltmetru do obvodu a napište vztah pro výpočet odporu z Ohmova zákona R U
137 Označme U V napětí měřené voltmetrem a I A proud měřený ampérmetrem. V U R A Je níže uvedený vztah správně? R = U I V A Měří voltmetr skutečně napětí na odporu? Měří ampérmetr skutečně proud tekoucí odporem?
138 Označme I V proud tekoucí voltmetrem, I R proud tekoucí odporem a I A proud V R A tekoucí (a měřený) ampérmetrem. V R U A Napište správný vztah pro výpočet odporu. R U UV I I I V = = R A V
139 Ve vztahu U R V = I I A V neznáme proud tekoucí voltmetrem I V. Můžeme jej však spočítat ze známých hodnot, pokud známe vnitřní odpor voltmetru R V. Napište jak a doplňte jej do výše uvedeného vztahu pro odpor. R = I A U V U V R V Vnitřní odpor voltmetru vždy udává výrobce
140 Ampérmetr lze do obvodu zapojit tak, aby měřil správný proud. V R U A nakreslete toto zapojení
141 V R A U Jeden problém jsme vyřešili a druhý vytvořili. Jaký?
142 Označme U V napětí na voltmetru (a voltmetrem měřené), U R napětí na odporu a U A napětí na ampérmetru. V R A U Odvoďte správný vztah pro výpočet odporu z naměřených veličin. R U U U R I = = I I V A V A A A A
143 Shrnutí metoda A metoda B V V R A R A U U A V V U R U = V A A U R I R = V A V I R A I = vhodné pro malé odpory vhodné pro velké odpory R R V A R R
144 Určení chyby elektrických měřicích přístrojů chybu udává výrobce vždy jako krajní chybu s x κ = x 3
145 Analogové přístroje třída přesnosti krajní chyba jako procento z rozsahu
146 Jaká je směrodatná odchylka při měření napětí tímto přístrojem?
147 Digitální přístroje způsoby zadání krajní chyby: procento měřené hodnoty + procento rozsahu procento měřené hodnoty + počet digit
148 Určete směrodatnou odchylku digitálního přístroje z následujících údajů: display: 4,25 V Informace o chybě: 0,5% of reading + 3 digit
Náhodné (statistické) chyby přímých měření
Náhodné (statistické) chyby přímých měření Hodnoty náhodných chyb se nedají stanovit předem, ale na základě počtu pravděpodobnosti lze zjistit, která z možných naměřených hodnot je více a která je méně
VíceNáhodné chyby přímých měření
Náhodné chyby přímých měření Hodnoty náhodných chyb se nedají stanovit předem, ale na základě počtu pravděpodobnosti lze zjistit, která z možných naměřených hodnot je více a která je méně pravděpodobná.
VíceChyby měřidel a metody měření vybraných fyzikálních veličin
Chyby měřidel a metody měření vybraných fyzikálních veličin Viz oskenovaný text ze skript Sprušil, Zieleniecová: Úvod do teorie fyzikálních měření http://physics.ujep.cz/~ehejnova/utm/materialy_studium/chyby_meridel.pdf
VíceChyby měřidel a metody měření vybraných fyzikálních veličin
Chyby měřidel a metody měření vybraných fyzikálních veličin Jaké měřidlo je vhodné zvolit? Pravidla: Přesnost měřidla má být pětkrát až desetkrát vyšší, než je požadovaná přesnost měření. Např. chceme-li
VíceÚvod do teorie měření. Eva Hejnová
Úvod do teorie měření Eva Hejnová Literatura: Novák, R. Úvod do teorie měření. Ústí nad Labem: UJEP, 2003 Sprušil, B., Zieleniecová, P.: Úvod do teorie fyzikálních měření. Praha: SPN, 1985 Brož, J. a kol.
VíceChyby měření 210DPSM
Chyby měření 210DPSM Jan Zatloukal Stručný přehled Zdroje a druhy chyb Systematické chyby měření Náhodné chyby měření Spojité a diskrétní náhodné veličiny Normální rozdělení a jeho vlastnosti Odhad parametrů
VíceNormální (Gaussovo) rozdělení
Normální (Gaussovo) rozdělení Normální (Gaussovo) rozdělení popisuje vlastnosti náhodné spojité veličiny, která vzniká složením různých náhodných vlivů, které jsou navzájem nezávislé, kterých je velký
VíceÚvod do teorie měření. Eva Hejnová
Úvod do teorie měření Eva Hejnová Program semináře 1. Základní pojmy - metody měření, druhy chyb, počítání s neúplnými čísly, zaokrouhlování 2. Chyby přímých měření - aritmetický průměr a směrodatná odchylka,
Více10. cvičení z PST. 5. prosince T = (n 1) S2 X. (n 1) s2 x σ 2 q χ 2 (n 1) (1 α 2 ). q χ 2 (n 1) 2. 2 x. (n 1) s. x = 1 6. x i = 457.
0 cvičení z PST 5 prosince 208 0 (intervalový odhad pro rozptyl) Soubor (70, 84, 89, 70, 74, 70) je náhodným výběrem z normálního rozdělení N(µ, σ 2 ) Určete oboustranný symetrický 95% interval spolehlivosti
VíceChyby měřidel a metody měření vybraných fyzikálních veličin
Chyby měřidel a metody měření vybraných fyzikálních veličin Jaké měřidlo je vhodné zvolit? Pravidla: Přesnost měřidla má být pětkrát až desetkrát vyšší, než je požadovaná přesnost měření. Např. chceme-li
VíceÚvod do teorie měření. Eva Hejnová
Úvod do teorie měření Eva Hejnová Podmínky získání zápočtu: Podmínkou pro získání zápočtu je účast na cvičeních (maximálně tři absence) a úspěšné splnění jednoho písemného testu alespoň na 50 % max. počtu
VíceEXPERIMENTÁLNÍ MECHANIKA 2 Přednáška 5 - Chyby a nejistoty měření. Jan Krystek
EXPERIMENTÁLNÍ MECHANIKA 2 Přednáška 5 - Chyby a nejistoty měření Jan Krystek 9. května 2019 CHYBY A NEJISTOTY MĚŘENÍ Každé měření je zatíženo určitou nepřesností způsobenou nejrůznějšími negativními vlivy,
VíceVýběrové charakteristiky a jejich rozdělení
Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Statistické šetření úplné (vyčerpávající) neúplné (výběrové) U výběrového šetření se snažíme o to, aby výběrový
VíceCharakterizují kvantitativně vlastnosti předmětů a jevů.
Měřicí aparatura 1 / 34 Fyzikální veličiny Charakterizují kvantitativně vlastnosti předmětů a jevů. Můžeme je dělit: Podle rozměrů: Bezrozměrné (index lomu, poměry) S rozměrem fyzikální veličiny velikost
VíceUrčete zákon rozložení náhodné veličiny, která značí součet ok při hodu a) jednou kostkou, b) dvěma kostkami, c) třemi kostkami.
3.1. 3.2. Třikrát vystřelíme na cíl. Pravděpodobnost zásahu při každém výstřelu je p = 0,7. Určete: a) pravděpodobnostní funkci počtu zásahů při třech nezávislých výsledcích, b) distribuční funkci a její
VíceJiří Neubauer. Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel
Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Výsledky některých náhodných pokusů jsou přímo vyjádřeny číselně (např. při hodu kostkou padne 6). Náhodnou veličinou
VíceKGG/STG Statistika pro geografy
KGG/STG Statistika pro geografy 4. Teoretická rozdělení Mgr. David Fiedor 9. března 2015 Osnova Úvod 1 Úvod 2 3 4 5 Vybraná rozdělení náhodných proměnných normální rozdělení normované normální rozdělení
VíceÚvod do problematiky měření
1/18 Lord Kelvin: "Když to, o čem mluvíte, můžete změřit, a vyjádřit to pomocí čísel, něco o tom víte. Ale když to nemůžete vyjádřit číselně, je vaše znalost hubená a nedostatečná. Může to být začátek
VíceOdhad parametrů N(µ, σ 2 )
Odhad parametrů N(µ, σ 2 ) Mějme statistický soubor x 1, x 2,, x n modelovaný jako realizaci náhodného výběru z normálního rozdělení N(µ, σ 2 ) s neznámými parametry µ a σ. Jaký je maximální věrohodný
VíceMATEMATICKÁ STATISTIKA. Katedra matematiky a didaktiky matematiky Technická univerzita v Liberci
MATEMATICKÁ STATISTIKA Dana Černá http://www.fp.tul.cz/kmd/ Katedra matematiky a didaktiky matematiky Technická univerzita v Liberci Matematická statistika Matematická statistika se zabývá matematickým
VícePraktická statistika. Petr Ponížil Eva Kutálková
Praktická statistika Petr Ponížil Eva Kutálková Zápis výsledků měření Předpokládejme, že známe hodnotu napětí U = 238,9 V i její chybu 3,3 V. Hodnotu veličiny zapíšeme na tolik míst, aby až poslední bylo
VíceNěkdy lze výsledek pokusu popsat jediným číslem, které označíme X (nebo jiným velkým písmenem). Hodíme dvěma kostkami jaký padl součet?
Náhodné veličiny Náhodné veličiny Někdy lze výsledek pokusu popsat jediným číslem, které označíme X (nebo jiným velkým písmenem). Příklad Vytáhneme tři karty z balíčku zajímá nás, kolik je mezi nimi es.
VíceNormální (Gaussovo) rozdělení
Normální (Gaussovo) rozdělení f x = 1 2 exp x 2 2 2 f(x) je funkce hustoty pravděpodobnosti, symetrická vůči poloze maxima x = μ μ střední hodnota σ směrodatná odchylka (tzv. pološířka křivky mezi inflexními
VícePosouzení přesnosti měření
Přesnost měření Posouzení přesnosti měření Hodnotu kvantitativně popsaného parametru jakéhokoliv objektu zjistíme jedině měřením. Reálné měření má vždy omezenou přesnost V minulosti sloužila k posouzení
VícePravděpodobnost a aplikovaná statistika
Pravděpodobnost a aplikovaná statistika MGR. JANA SEKNIČKOVÁ, PH.D. 2. KAPITOLA PODMÍNĚNÁ PRAVDĚPODOBNOST 3. KAPITOLA NÁHODNÁ VELIČINA 9.11.2017 Opakování Uveďte příklad aplikace geometrické definice pravděpodobnosti
VíceVšechno, co jste chtěli vědět z teorie pravděpodobnosti, z teorie informace a
Všechno, co jste chtěli vědět z teorie pravděpodobnosti, z teorie informace a báli jste se zeptat Jedinečnou funkcí statistiky je, že umožňuje vědci číselně vyjádřit nejistotu v jeho závěrech. (G. W. Snedecor)
Více2 Zpracování naměřených dat. 2.1 Gaussův zákon chyb. 2.2 Náhodná veličina a její rozdělení
2 Zpracování naměřených dat Důležitou součástí každé experimentální práce je statistické zpracování naměřených dat. V této krátké kapitole se budeme věnovat určení intervalů spolehlivosti získaných výsledků
VíceNáhodná veličina a rozdělení pravděpodobnosti
3.2 Náhodná veličina a rozdělení pravděpodobnosti Bůh hraje se světem hru v kostky. Jsou to ale falešné kostky. Naším hlavním úkolem je zjistit, podle jakých pravidel byly označeny, a pak toho využít pro
VíceÚvod do teorie měření. Eva Hejnová
Úvod do teorie měření Eva Hejnová Literatura: Novák, R. Úvod do teorie měření. Ústí nad Labem: UJEP, 2003 Sprušil, B., Zieleniecová, P.: Úvod do teorie fyzikálních měření. Praha: SPN, 1985 Brož, J. a kol.
Více7. Rozdělení pravděpodobnosti ve statistice
7. Rozdělení pravděpodobnosti ve statistice Statistika nuda je, má však cenné údaje, neklesejte na mysli, ona nám to vyčíslí Jednou z úloh statistiky je odhad (výpočet) hodnot statistického znaku x i,
VíceLimitní věty teorie pravděpodobnosti. Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel
Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Jestliže opakujeme nezávisle nějaký pokus, můžeme z pozorovaných hodnot sestavit rozdělení relativních četností
VíceMˇ eˇren ı ˇ cetnost ı (Poissonovo rozdˇ elen ı) 1 / 56
Měření četností (Poissonovo rozdělení) 1 / 56 Měření četností (Poissonovo rozdělení) Motivace: měření aktivity zdroje Geiger-Müllerův čítac: aktivita: 1 Bq = 1 částice / 1 s = s 1 Jaká je přesnost měření?
VícePravděpodobnost a statistika
Pravděpodobnost a statistika Teorie pravděpodobnosti popisuje vznik náhodných dat, zatímco matematická statistika usuzuje z dat na charakter procesů, jimiž data vznikla. NÁHODNOST - forma existence látky,
VíceMěření modulů pružnosti G a E z periody kmitů pružiny
Měření modulů pružnosti G a E z periody kmitů pružiny Online: http://www.sclpx.eu/lab2r.php?exp=2 V tomto experimentu vycházíme z pojetí klasického pokusu s pružinovým oscilátorem. Z periody kmitů se obvykle
VíceDobývání znalostí. Doc. RNDr. Iveta Mrázová, CSc. Katedra teoretické informatiky Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy v Praze
Dobývání znalostí Doc. RNDr. Iveta Mrázová, CSc. Katedra teoretické informatiky Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy v Praze Dobývání znalostí Pravděpodobnost a učení Doc. RNDr. Iveta Mrázová,
VíceNáhodná veličina Číselné charakteristiky diskrétních náhodných veličin Spojitá náhodná veličina. Pravděpodobnost
Pravděpodobnost Náhodné veličiny a jejich číselné charakteristiky Petr Liška Masarykova univerzita 19.9.2014 Představme si, že provádíme pokus, jehož výsledek dokážeme ohodnotit číslem. Před provedením
VíceTomáš Karel LS 2012/2013
Tomáš Karel LS 2012/2013 Doplňkový materiál ke cvičení z předmětu 4ST201. Na případné faktické chyby v této presentaci mě prosím upozorněte. Děkuji. Tyto slidy berte pouze jako doplňkový materiál není
VíceChyby nepřímých měření
nepřímé měření: Chyby nepřímých měření chceme určit veličinu z hodnot jiných veličin na základě funkční vztahu máme změřené veličiny pomocí přímých měření (viz. dříve) včetně chyb: x±σ x, y±σ y,... známe
VíceManuální, technická a elektrozručnost
Manuální, technická a elektrozručnost Realizace praktických úloh zaměřených na dovednosti v oblastech: Vybavení elektrolaboratoře Schématické značky, základy pájení Fyzikální principy činnosti základních
VíceVybraná rozdělení náhodné veličiny
3.3 Vybraná rozdělení náhodné veličiny 0,16 0,14 0,12 0,1 0,08 0,06 0,04 0,02 0 Rozdělení Z 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 Život je umění vytvářet uspokojivé závěry na základě nedostatečných předpokladů.
Více2 Přímé a nepřímé měření odporu
2 2.1 Zadání úlohy a) Změřte jednotlivé hodnoty odporů R 1 a R 2, hodnotu odporu jejich sériového zapojení a jejich paralelního zapojení, a to těmito způsoby: přímou metodou (RLC můstkem) Ohmovou metodou
VíceTéma 22. Ondřej Nývlt
Téma 22 Ondřej Nývlt nyvlto1@fel.cvut.cz Náhodná veličina a náhodný vektor. Distribuční funkce, hustota a pravděpodobnostní funkce náhodné veličiny. Střední hodnota a rozptyl náhodné veličiny. Sdružené
VíceX = x, y = h(x) Y = y. hodnotám x a jedné hodnotě y. Dostaneme tabulku hodnot pravděpodobnostní
..08 8cv7.tex 7. cvičení - transformace náhodné veličiny Definice pojmů a základní vzorce Je-li X náhodná veličina a h : R R je měřitelná funkce, pak náhodnou veličinu Y, která je definovaná vztahem X
VíceVYSOKONAPĚŤOVÉ ZKUŠEBNICTVÍ. #2 Nejistoty měření
VYSOKONAPĚŤOVÉ ZKUŠEBNICTVÍ # Nejistoty měření Přesnost měření Klasický způsob vyjádření přesnosti měření chyba měření: Absolutní chyba X = X M X(S) Relativní chyba δ X = X(M) X(S) - X(M) je naměřená hodnota
Více8.1. Definice: Normální (Gaussovo) rozdělení N(µ, σ 2 ) s parametry µ a. ( ) ϕ(x) = 1. označovat písmenem U. Její hustota je pak.
8. Normální rozdělení 8.. Definice: Normální (Gaussovo) rozdělení N(µ, ) s parametry µ a > 0 je rozdělení určené hustotou ( ) f(x) = (x µ) e, x (, ). Rozdělení N(0; ) s parametry µ = 0 a = se nazývá normované
VíceZÁKLADY FYZIKÁLNÍCH MĚŘENÍ FJFI ČVUT V PRAZE. Úloha 5: Měření tíhového zrychlení
ZÁKLADY FYZIKÁLNÍCH MĚŘENÍ FJFI ČVUT V PRAZE Datum měření: číslo skupiny: Spolupracovali: 1 Úvod 1.1 Pracovní úkoly [1] Úloha 5: Měření tíhového zrychlení Jméno: Ročník, kruh: Klasifikace: 1. V domácí
Více1. Změřit metodou přímou závislost odporu vlákna žárovky na proudu, který jím protéká. K měření použijte stejnosměrné napětí v rozsahu do 24 V.
1 Pracovní úkoly 1. Změřit metodou přímou závislost odporu vlákna žárovky na proudu, který jím protéká. K měření použijte stejnosměrné napětí v rozsahu do 24 V. 2. Změřte substituční metodou vnitřní odpor
VíceAplikovaná numerická matematika
Aplikovaná numerická matematika 6. Metoda nejmenších čtverců doc. Ing. Róbert Lórencz, CSc. České vysoké učení technické v Praze Fakulta informačních technologií Katedra počítačových systémů Příprava studijních
VíceROZDĚLENÍ NÁHODNÝCH VELIČIN
ROZDĚLENÍ NÁHODNÝCH VELIČIN 1 Vytvořeno s podporou projektu Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipliny společného základu (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.0021)
VíceTéma 2: Pravděpodobnostní vyjádření náhodných veličin
0.05 0.0 0.05 0.0 0.005 Nominální napětí v pásnici Std Mean 40 60 80 00 0 40 60 Std Téma : Pravděpodobnostní vyjádření náhodných veličin Přednáška z předmětu: Spolehlivost a bezpečnost staveb 4. ročník
VíceCharakterizace rozdělení
Charakterizace rozdělení Momenty f(x) f(x) f(x) μ >μ 1 σ 1 σ >σ 1 g 1 g σ μ 1 μ x μ x x N K MK = x f( x) dx 1 M K = x N CK = ( x M ) f( x) dx ( xi M 1 C = 1 K 1) N i= 1 K i K N i= 1 K μ = E ( X ) = xf
VíceDefinice spojité náhodné veličiny zjednodušená verze
Definice spojité náhodné veličiny zjednodušená verze Náhodná veličina X se nazývá spojitá, jestliže existuje nezáporná funkce f : R R taková, že pro každé a, b R { }, a < b, platí P(a < X < b) = b a f
VícePojmy z kombinatoriky, pravděpodobnosti, znalosti z kapitoly náhodná veličina, znalost parciálních derivací, dvojného integrálu.
6. NÁHODNÝ VEKTOR Průvodce studiem V počtu pravděpodobnosti i v matematické statistice se setkáváme nejen s náhodnými veličinami, jejichž hodnotami jsou reálná čísla, ale i s takovými, jejichž hodnotami
VíceZÁKLADNÍ ŠKOLA KOLÍN II., KMOCHOVA 943 škola s rozšířenou výukou matematiky a přírodovědných předmětů
ZÁKLADNÍ ŠKOLA KOLÍN II., KMOCHOVA 943 škola s rozšířenou výukou matematiky a přírodovědných předmětů Autor Mgr. Vladimír Hradecký Číslo materiálu 8_F_1_02 Datum vytvoření 2. 11. 2011 Druh učebního materiálu
VíceÚloha 5: Spektrometrie záření α
Petra Suková, 3.ročník 1 Úloha 5: Spektrometrie záření α 1 Zadání 1. Proveďte energetickou kalibraci α-spektrometru a určete jeho rozlišení. 2. Určeteabsolutníaktivitukalibračníhoradioizotopu 241 Am. 3.
VíceDiskrétní náhodná veličina. November 12, 2008
Diskrétní náhodná veličina November 12, 2008 (Náhodná veličina (náhodná proměnná)) Náhodná veličina (nebo též náhodná proměnná) je veličina X, jejíž hodnota je jednoznačně určena výsledkem náhodného pokusu.
VíceCharakteristika datového souboru
Zápočtová práce z předmětu Statistika Vypracoval: 10. 11. 2014 Charakteristika datového souboru Zadání: Při kontrole dodržování hygienických norem v kuchyni se prováděl odběr vzduchu a pomocí filtru Pallflex
Více5. Náhodná veličina. 2. Házíme hrací kostkou dokud nepadne šestka. Náhodná veličina nabývá hodnot z posloupnosti {1, 2, 3,...}.
5. Náhodná veličina Poznámka: Pro popis náhodného pokusu jsme zavedli pojem jevového pole S jako množiny všech možných výsledků a pravděpodobnost náhodných jevů P jako míru výskytů jednotlivých výsledků.
VíceMěření teploty v budovách
Měření teploty v budovách Zadání 1. Seznamte se s fyzikálními principy a funkčností předložených senzorů: odporový teploměr Pt100, termistor NCT, termočlánek typu K a bezdotykový úhrnný pyrometr 2. Proveďte
VíceTéma 2: Pravděpodobnostní vyjádření náhodných veličin
0.025 0.02 0.015 0.01 0.005 Nominální napětí v pásnici Std Mean 140 160 180 200 220 240 260 Std Téma 2: Pravděpodobnostní vyjádření náhodných veličin Přednáška z předmětu: Pravděpodobnostní posuzování
VíceMODEL TVÁŘECÍHO PROCESU
MODEL TVÁŘECÍHO PROCESU Zkouška tlakem na válcových vzorcích 2 Vyhodnocení tlakové zkoušky Síla F způsobí změnu výšky H a průměru D válce. V každém okamžiku při stlačování je přetvárný odpor definován
VícePoužitý rezistor (jmenovitá hodnota): R1 = 270 kω je přesný metalizovaný rezistor s přesností ± 0,1%.
Laboratorní úloha Snímač teploty R je zapojený podle schema na Obr. 1. Snímač je termistor typ B57164K [] se jmenovitým odporem pro teplotu 5 C R 5 00 Ω ± 10 %. Závislost odporu termistoru na teplotě je
VíceVyjadřování přesnosti v metrologii
Vyjadřování přesnosti v metrologii Měření soubor činností, jejichž cílem je stanovit hodnotu veličiny. Výsledek měření hodnota získaná měřením přisouzená měřené veličině. Chyba měření výsledek měření mínus
VíceMATEMATIKA III V PŘÍKLADECH
VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA FAKULTA STROJNÍ MATEMATIKA III V PŘÍKLADECH Cvičení 7 Rozdělení pravděpodobnosti spojité náhodné veličiny Mgr. Petr Otipka Ostrava 2013 Mgr. Petr Otipka
VíceMatematika III. 4. října Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava. Matematika III
Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava 4. října 2018 Podmíněná pravděpodobnost Při počítání pravděpodobnosti můžeme k náhodnému pokusu přidat i nějakou dodatečnou podmínku. Podmíněná pravděpodobnost
VíceChyby a neurčitosti měření
Radioelektronická měření (MREM) Chyby a neurčitosti měření 10. přednáška Jiří Dřínovský Ústav radioelektroniky FEKT VUT v Brně Základní pojmy Měření je souhrn činností s cílem určit hodnotu měřené veličiny
VíceMechanické kmitání - určení tíhového zrychlení kyvadlem
I N V E S T I C E D O R O Z V O J E V Z D Ě L Á V Á N Í TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY Laboratorní práce č. 9 Mechanické kmitání - určení
VíceP13: Statistické postupy vyhodnocování únavových zkoušek, aplikace normálního, Weibullova rozdělení, apod.
P13: Statistické postupy vyhodnocování únavových zkoušek, aplikace normálního, Weibullova rozdělení, apod. Matematický přístup k výsledkům únavových zkoušek Náhodnost výsledků únavových zkoušek. Únavové
VíceSTATISTICKÉ CHARAKTERISTIKY
STATISTICKÉ CHARAKTERISTIKY 1 Vytvořeno s podporou projektu Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipliny společného základu (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.0021)
VícePravděpodobnost a statistika (BI-PST) Cvičení č. 4
Pravděpodobnost a statistika (BI-PST) Cvičení č. 4 J. Hrabáková, I. Petr, F. Štampach, D. Vašata Katedra aplikované matematiky Fakulta informačních technologií České vysoké učení technické v Praze ZS 2014/2015
VíceI. D i s k r é t n í r o z d ě l e n í
6. T y p y r o z d ě l e n í Poznámka: V odst. 5.5-5.10 jsme uvedli příklady náhodných veličin a jejich distribučních funkcí. Poznali jsme, že se od sebe liší svým typem. V příkladech 5.5, 5.6 a 5.8 jsme
VíceInovace bakalářského studijního oboru Aplikovaná chemie
http://aplchem.upol.cz CZ.1.07/2.2.00/15.0247 Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky. Základy zpracování dat chemometrie, statistika Doporučenáliteratura
Vícep(x) = P (X = x), x R,
6. T y p y r o z d ě l e n í Poznámka: V odst. 5.5-5.10 jsme uvedli příklady náhodných veličin a jejich distribučních funkcí. Poznali jsme, že se od sebe liší svým typem. V příkladech 5.5, 5.6 a 5.8 jsme
VíceKGG/STG Statistika pro geografy
KGG/STG Statistika pro geografy 5. Odhady parametrů základního souboru Mgr. David Fiedor 16. března 2015 Vztahy mezi výběrovým a základním souborem Osnova 1 Úvod, pojmy Vztahy mezi výběrovým a základním
VíceNÁHODNÁ VELIČINA. 3. cvičení
NÁHODNÁ VELIČINA 3. cvičení Náhodná veličina Náhodná veličina funkce, která každému výsledku náhodného pokusu přiřadí reálné číslo. Je to matematický model popisující více či méně dobře realitu, který
Více4. Aplikace matematiky v ekonomii
4. Aplikace matematiky v ekonomii 1 Lineární algebra Soustavy 1) Na základě statistických údajů se zjistilo, že závislost množství statku z poptávaného v průběhu jednoho týdne lze popsat vztahem q d =
VíceZápočtová práce STATISTIKA I
Zápočtová práce STATISTIKA I Obsah: - úvodní stránka - charakteristika dat (původ dat, důvod zpracování,...) - výpis naměřených hodnot (v tabulce) - zpracování dat (buď bodové nebo intervalové, podle charakteru
VíceUčební plán 4. letého studia předmětu matematiky. Učební plán 6. letého studia předmětu matematiky
Učební plán 4. letého studia předmětu matematiky Ročník I II III IV Dotace 3 3+1 2+1 2+2 Povinnost povinný povinný povinný povinný Učební plán 6. letého studia předmětu matematiky Ročník 1 2 3 4 5 6 Dotace
VíceTest z teorie VÝBĚROVÉ CHARAKTERISTIKY A INTERVALOVÉ ODHADY
VÝBĚROVÉ CHARAKTERISTIKY A INTERVALOVÉ ODHADY Test z teorie 1. Střední hodnota pevně zvolené náhodné veličiny je a) náhodná veličina, b) konstanta, c) náhodný jev, d) výběrová charakteristika. 2. Výběrový
VíceCvičení ze statistiky - 7. Filip Děchtěrenko
Cvičení ze statistiky - 7 Filip Děchtěrenko Minule bylo.. Probrali jsme spojité modely Tyhle termíny by měly být známé: Rovnoměrné rozdělení Střední hodnota Mccalova transformace Normální rozdělení Přehled
VíceMatematika III. 27. listopadu Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava. Matematika III
Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava 27. listopadu 2017 Typy statistických znaků (proměnných) Typy proměnných: Kvalitativní proměnná (kategoriální, slovní,... ) Kvantitativní proměnná (numerická,
VíceNáhodný vektor. Náhodný vektor. Hustota náhodného vektoru. Hustota náhodného vektoru. Náhodný vektor je dvojice náhodných veličin (X, Y ) T = ( X
Náhodný vektor Náhodný vektor zatím jsme sledovali jednu náhodnou veličinu, její rozdělení a charakteristiky často potřebujeme vyšetřovat vzájemný vztah několika náhodných veličin musíme sledovat jejich
Více3. Vypočítejte chybu, které se dopouštíte idealizací reálného kyvadla v rámci modelu kyvadla matematického.
Pracovní úkoly. Změřte místní tíhové zrychlení g metodou reverzního kyvadla. 2. Změřte místní tíhové zrychlení g metodou matematického kyvadla. 3. Vypočítejte chybu, které se dopouštíte idealizací reálného
Vícee, přičemž R Pro termistor, který máte k dispozici, platí rovnice
Nakreslete schéma vyhodnocovacího obvodu pro kapacitní senzor. Základní hodnota kapacity senzoru pf se mění maximálně o pf. omu má odpovídat výstupní napěťový rozsah V až V. Pro základní (klidovou) hodnotu
VíceÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika 0A4. Cvičení, letní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY. Jan Šafařík
Vysoké učení technické v Brně Stavební fakulta ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE Matematika 0A4 Cvičení, letní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY Jan Šafařík Brno c 200 (1) 120 krát jsme házeli hrací kostkou.
VíceLékařská biofyzika, výpočetní technika I. Biostatistika Josef Tvrdík (doc. Ing. CSc.)
Lékařská biofyzika, výpočetní technika I Biostatistika Josef Tvrdík (doc. Ing. CSc.) Přírodovědecká fakulta, katedra informatiky josef.tvrdik@osu.cz konzultace úterý 14.10 až 15.40 hod. http://www1.osu.cz/~tvrdik
VíceČíselné charakteristiky a jejich výpočet
Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz charakteristiky polohy charakteristiky variability charakteristiky koncetrace charakteristiky polohy charakteristiky
VíceRychlost, zrychlení, tíhové zrychlení
Úloha č. 3 Rychlost, zrychlení, tíhové zrychlení Úkoly měření: 1. Sestavte nakloněnou rovinu a změřte její sklon.. Změřte závislost polohy tělesa na čase a stanovte jeho rychlost a zrychlení. 3. Určete
VíceFyzikální praktikum FJFI ČVUT v Praze
Fyzikální praktikum FJFI ČVUT v Praze Úloha 9: Rozšíření rozsahu miliampérmetru a voltmetru. Cejchování kompenzátorem. Datum měření: 15. 10. 2015 Skupina: 8, čtvrtek 7:30 Vypracoval: Tadeáš Kmenta Klasifikace:
VíceVyhodnocení součinitele alfa z dat naměřených v reálných podmínkách při teplotách 80 C a pokojové teplotě.
oučinitel odporu Vyhodnocení součinitele alfa z dat naměřených v reálných podmínkách při teplotách 80 C a pokojové teplotě Zadání: Vypočtěte hodnotu součinitele α s platinového odporového teploměru Pt-00
VíceZáklady teorie pravděpodobnosti
Základy teorie pravděpodobnosti Náhodná veličina Roman Biskup (zapálený) statistik ve výslužbě, aktuálně analytik v praxi ;-) roman.biskup(at)email.cz 12. února 2012 Statistika by Birom Základy teorie
VíceVibrace atomů v mřížce, tepelná kapacita pevných látek
Vibrace atomů v mřížce, tepelná kapacita pevných látek Atomy vázané v mřížce nejsou v klidu. Míru jejich pohybu vyjadřuje podobně jako u plynů a kapalin teplota. - Elastické vlny v kontinuu neatomární
VíceE(X) = np D(X) = np(1 p) 1 2p np(1 p) (n + 1)p 1 ˆx (n + 1)p. A 3 (X) =
Základní rozdělení pravděpodobnosti Diskrétní rozdělení pravděpodobnosti. Pojem Náhodná veličina s Binomickým rozdělením Bi(n, p), kde n je přirozené číslo, p je reálné číslo, < p < má pravděpodobnostní
VíceNÁHODNÝ VEKTOR. 4. cvičení
NÁHODNÝ VEKTOR 4. cvičení Náhodný vektor Náhodným vektorem rozumíme sloupcový vektor X=(X, X,, X n ) složený z náhodných veličin X, X,, X n, který je charakterizován sdruženým rozdělením pravděpodobnosti.
VíceBiostatistika Cvičení 7
TEST Z TEORIE 1. Střední hodnota pevně zvolené náhodné veličiny je a) náhodná veličina, b) konstanta, c) náhodný jev, d) výběrová charakteristika. 2. Výběrový průměr je a) náhodná veličina, b) konstanta,
VícePřednáška. Další rozdělení SNP. Limitní věty. Speciální typy rozdělení. Další rozdělení SNP Limitní věty Speciální typy rozdělení
VI Přednáška Další rozdělení SNP Limitní věty Speciální typy rozdělení Rovnoměrné rozdělení R(a,b) Příklad Obejít celý areál trvá strážnému 30 minut. Jaká je pravděpodobnost, že u vrátnice budete čekat
VíceRozdělení náhodné veličiny. Distribuční funkce. Vlastnosti distribuční funkce
Náhodná veličina motivace Náhodná veličina Často lze výsledek náhodného pokusu vyjádřit číslem: číslo, které padlo na kostce, výška náhodně vybraného studenta, čas strávený čekáním na metro, délka života
Více