Základy ekonometrie V. Uvolnění klasických předpokladů heteroskedasticita Základy ekonometrie (ZAEK) V. Heteroskedasticita Podzim 2015 1 / 56
Obsah tématu 1 Nenulová střední hodnota náhodné složky 2 Nenormalita Testování Řešení nenormality 3 Heteroskedasticita Příčiny heteroskedasticity Důsledky heteroskedasticity na OLS estimátor Řešení heteroskedasticity při známém rozptylu Řešení heteroskedasticity při neznámém rozptylu Testování heteroskedasticity Základy ekonometrie (ZAEK) V. Heteroskedasticita Podzim 2015 2 / 56
Úvod Doposud: Y i = α + β 1 X 1i +... + β k X ki + ɛ i. Klasické předpoklady: 1 E(ɛ i ) = 0. 2 var(ɛ i ) = σ 2. 3 cov(ɛ i, ɛ j ) = 0 pro i j. 4 ɛ i má normální rozdělení. 5 Vysvětlující proměnné jsou fixní, tedy nenáhodné veličiny. Základy ekonometrie (ZAEK) V. Heteroskedasticita Podzim 2015 3 / 56
Teorie vs. realita Zcela dokonalé modely, techniky a data k dispozici nemáme. Teoretické předpoklady tak obvykle neodpovídají realitě používaných dat a modelů. Základy ekonometrie (ZAEK) V. Heteroskedasticita Podzim 2015 4 / 56
Nenulová střední hodnota náhodné složky Obsah tématu 1 Nenulová střední hodnota náhodné složky 2 Nenormalita Testování Řešení nenormality 3 Heteroskedasticita Příčiny heteroskedasticity Důsledky heteroskedasticity na OLS estimátor Řešení heteroskedasticity při známém rozptylu Řešení heteroskedasticity při neznámém rozptylu Testování heteroskedasticity Základy ekonometrie (ZAEK) V. Heteroskedasticita Podzim 2015 5 / 56
Nenulová střední hodnota náhodné složky Úvod Předpoklad, že pracujeme se správným modelem. E (Y i ) = α + β 1 X 1i +... + β k X ki. Vždy splněno, pokud je v modelu úrovňová konstanta. V opačném případě: Koeficient determinace, 1 SSR TSS, i negativní. Zkreslení odhadu parametrů + koeficient determinace ztrácí na svém původním významu střední hodnota (výběrový průměr) závisle proměnné průměru (střední hodnotě) vyrovnaných hodnot modelu (TSS RSS + SSR). Základy ekonometrie (ZAEK) V. Heteroskedasticita Podzim 2015 6 / 56
Nenormalita Obsah tématu 1 Nenulová střední hodnota náhodné složky 2 Nenormalita Testování Řešení nenormality 3 Heteroskedasticita Příčiny heteroskedasticity Důsledky heteroskedasticity na OLS estimátor Řešení heteroskedasticity při známém rozptylu Řešení heteroskedasticity při neznámém rozptylu Testování heteroskedasticity Základy ekonometrie (ZAEK) V. Heteroskedasticita Podzim 2015 7 / 56
Nenormalita Úvod Lze aproximativně uvolnit (asymptotická teorie). σ β aproximativně rozdělen podle N(β, 2 X 2 ). i Problém při práci s malými vzorky. Základy ekonometrie (ZAEK) V. Heteroskedasticita Podzim 2015 8 / 56
Nenormalita Testování Obsah tématu 1 Nenulová střední hodnota náhodné složky 2 Nenormalita Testování Řešení nenormality 3 Heteroskedasticita Příčiny heteroskedasticity Důsledky heteroskedasticity na OLS estimátor Řešení heteroskedasticity při známém rozptylu Řešení heteroskedasticity při neznámém rozptylu Testování heteroskedasticity Základy ekonometrie (ZAEK) V. Heteroskedasticita Podzim 2015 9 / 56
Nenormalita Testování Jarqueův-Berův test Koeficienty šikmosti a špičatosti. H 0 : výběr z normálního rozdělení: [ skew 2 JB = N + 6 skew = E ( ɛ 3) (σ 2 ) 3/2 kurt = E ( ɛ 4 ) (σ 2 ) 2. ] (kurt 3)2 χ 2 24 2. σ 2 odhady šikmosti a špičatosti, ŝkew resp. kurt (ML odhad 1 N ɛ 2 i ). Základy ekonometrie (ZAEK) V. Heteroskedasticita Podzim 2015 10 / 56
Nenormalita Testování Příklad šikmost (a) 0.5 0.4 0.3 Right skewed Symmetrical Left skewed 0.2 0.1 0.0 4 3 2 1 0 1 2 3 4 Zdroj: Gujarati, Porter (2009) Basic econometrics. Základy ekonometrie (ZAEK) V. Heteroskedasticita Podzim 2015 11 / 56
Nenormalita Testování Příklad špičatost (b) 0.5 0.4 0.3 Mesokurtic Leptokurtic 0.2 Platykurtic 0.1 0.0 4 3 2 1 0 1 2 3 4 Zdroj: Gujarati, Porter (2009) Basic econometrics. Základy ekonometrie (ZAEK) V. Heteroskedasticita Podzim 2015 12 / 56
Nenormalita Řešení nenormality Obsah tématu 1 Nenulová střední hodnota náhodné složky 2 Nenormalita Testování Řešení nenormality 3 Heteroskedasticita Příčiny heteroskedasticity Důsledky heteroskedasticity na OLS estimátor Řešení heteroskedasticity při známém rozptylu Řešení heteroskedasticity při neznámém rozptylu Testování heteroskedasticity Základy ekonometrie (ZAEK) V. Heteroskedasticita Podzim 2015 13 / 56
Nenormalita Řešení nenormality Metoda maximální věrohodnosti Nenormální věrohodnostní funkce např. t-rozdělení (tlustší konce). Aplikace ve financních pozorování větší volatility výnosnosti aktiv než podle normálního rozdělení. Obecně preference OLS odhadu dobře rozebrány vlastnosti. Základy ekonometrie (ZAEK) V. Heteroskedasticita Podzim 2015 14 / 56
Nenormalita Řešení nenormality Odlehlá pozorování (outliers) Odstranění vlivu odlehlých pozorování (pomocí umělých proměnných) umělé zlepšení charakteristik modelu + každé pozorování je částí informace. Příklad: rezidua z analýzy časové řady cen akcií 1980-1990; extrémní výchylka v říjnu 1987. Y i = α + β 1 X 1i + β 2 X 2i + β 3 D 1i + ɛ i. D 1 hodnota 1 pouze pro pozorování v říjnu 1987 jako odstranění proměnné (výsledné reziduum pro toto pozorování nulové). Pokud umělá proměnná nutno věcně zdůvodnit (např. černé úterý v říjnu 1987). Základy ekonometrie (ZAEK) V. Heteroskedasticita Podzim 2015 15 / 56
Obsah tématu 1 Nenulová střední hodnota náhodné složky 2 Nenormalita Testování Řešení nenormality 3 Heteroskedasticita Příčiny heteroskedasticity Důsledky heteroskedasticity na OLS estimátor Řešení heteroskedasticity při známém rozptylu Řešení heteroskedasticity při neznámém rozptylu Testování heteroskedasticity Základy ekonometrie (ZAEK) V. Heteroskedasticita Podzim 2015 16 / 56
Úvod Heteroskedasticita = rozptyl náhodných složek se liší v rámci jednotlivých pozorování. Existence heteroskedasticity: var (ɛ i ) = σ 2 ω 2 i. Maticově, kovarianční matice náhodných složek: ω 2 1 0 0... 0 var(ɛ) = σ 2 0 ω2 2 0... 0............... = σ2 Ω. 0 0 0... ωn 2 Základy ekonometrie (ZAEK) V. Heteroskedasticita Podzim 2015 17 / 56
On Heteros*edasticity J. Huston McCulloch (1985): On Heteros*edasticity, Econometrica, Vol. 53, No. 2, (Mar. 1985), p. 483. Psaní s c nebo k? (hlavní problém ekonometrické ortografie dané doby). Z řečtiny: hetero- (`ɛτ ɛρo ) = jiný, odlišný a skedannumi (σκɛδάννυµι) = rozptýlit. Otázka transkripce řeckého κ do angličtiny. Obvykle jako k: skeptic (σκɛπτ ικós), skeleton (σκɛλɛτ ós). Někdy jako c (pokud přes Francii nebo z vědeckého světa z latiny): sceptre (σκ ηπτ ρoν), scene (σκηνή), cyclic (κυκλικós). Základy ekonometrie (ZAEK) V. Heteroskedasticita Podzim 2015 18 / 56
On Heteros*edasticity závěr Ve francouzštině nebo latině: κ c (k obvykle nepoužívané). Angličtina, francouzština, latina: c před e vždy měkké (ceremony, cease, cell, cent, center). Údajná výjimka: Celtic chybná výslovnost [keltik]! (z Francie (celtique), ne přímo z řečtiny nebo nepřímo z němčiny). Pokud heteroscedasticity : do angličtiny buď v 1066 s invazí Normanů nebo ve středověku z latiny výslovnost [heterossedasticity]. Pravopisně správné tedy heteroskedasticity. Základy ekonometrie (ZAEK) V. Heteroskedasticita Podzim 2015 19 / 56
Homoskedastické rozdělení Density Savings Y β 1 + β 2 X i Income X Zdroj: Gujarati, Porter (2009) Basic econometrics. Základy ekonometrie (ZAEK) V. Heteroskedasticita Podzim 2015 20 / 56
Heteroskedastické rozdělení Density Savings Y β 1 + β 2 X i Income X Zdroj: Gujarati, Porter (2009) Basic econometrics. Základy ekonometrie (ZAEK) V. Heteroskedasticita Podzim 2015 21 / 56
Příčiny heteroskedasticity Obsah tématu 1 Nenulová střední hodnota náhodné složky 2 Nenormalita Testování Řešení nenormality 3 Heteroskedasticita Příčiny heteroskedasticity Důsledky heteroskedasticity na OLS estimátor Řešení heteroskedasticity při známém rozptylu Řešení heteroskedasticity při neznámém rozptylu Testování heteroskedasticity Základy ekonometrie (ZAEK) V. Heteroskedasticita Podzim 2015 22 / 56
Příčiny heteroskedasticity 1. Error-learning errors Lidé se učením dopouštějí menšího množství chyb. Rozptyl, σ 2 i, klesá. Příklad: počet chyb při psaní na stroji v závislosti na počtu hodin strávených tréninkem. Základy ekonometrie (ZAEK) V. Heteroskedasticita Podzim 2015 23 / 56
Příčiny heteroskedasticity Příklad psaní na stroji Density Typing errors Y Hours of typing practice β 1 + β 2 X i X Zdroj: Gujarati, Porter (2009) Basic econometrics. Základy ekonometrie (ZAEK) V. Heteroskedasticita Podzim 2015 24 / 56
Příčiny heteroskedasticity 2. Růst důchodu Růst příjmů větší volnost s nakládáním. σ 2 i roste s růstém důchodu. Příklad: regrese úspor na důchod, variabilita v dividendové politice firem s růstem jejich velikostí, růstově orientované ustálené firmy a výplata dividend. Základy ekonometrie (ZAEK) V. Heteroskedasticita Podzim 2015 25 / 56
Příčiny heteroskedasticity 3. Zlepšení techniky sběru dat Pokles σ 2 i. Příklad: bankovní data, kdy banky s dobrým systémem sběru dat mají při prezentaci měsíčních nebo čtvrtletních záznamů o zákaznících nižší chybu měření. Základy ekonometrie (ZAEK) V. Heteroskedasticita Podzim 2015 26 / 56
Příčiny heteroskedasticity 4. Přítomnost odlehlých hodnot Obecně: outlier je pozorování z jiné populace než té generované ve zbytku vzorku. Ovlivnění hlavně u malých vzorků. Příklad: procentní změna cen akcií (Y ) a spotřebitelských cen (X) pro poválečné období do roku 1969 pro 20 zemí (odlehlé hodnoty pro Chile). Základy ekonometrie (ZAEK) V. Heteroskedasticita Podzim 2015 27 / 56
Příčiny heteroskedasticity Příklad odlehlá hodnota 25 15 Chile 10 Stock prices (% change) 9 8 7 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 26 Consumer prices (% change) Zdroj: Gujarati, Porter (2009) Basic econometrics. Základy ekonometrie (ZAEK) V. Heteroskedasticita Podzim 2015 28 / 56
Příčiny heteroskedasticity 5. Nekorektní specifikace modelu Nezahrnutí důležitých vysvětlujících proměnných. Příklad 1: poptávková funkce po nějaké komoditě a nezahrnutí cen komplementů či substitutů. Příklad 2: vliv výdajů na reklamní kampaň (X) na příslušné veličiny (např. tržby, Y ) prostá regrese (a) a zahrnutí X 2 (b). Základy ekonometrie (ZAEK) V. Heteroskedasticita Podzim 2015 29 / 56
Příčiny heteroskedasticity Příklad efekt výdajů na reklamu 60 40 20 0 20 40 40 20 0 20 60 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 40 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 (a) (b) Zdroj: Gujarati, Porter (2009) Basic econometrics. Základy ekonometrie (ZAEK) V. Heteroskedasticita Podzim 2015 30 / 56
Příčiny heteroskedasticity 6. Rozdělení jedné nebo více vysvětlujících proměnných Vliv šikmosti rozdělení. Příklad: důchod, bohatství, vzdělání. Základy ekonometrie (ZAEK) V. Heteroskedasticita Podzim 2015 31 / 56
Příčiny heteroskedasticity 7. Použitá data a funkční tvar Chybná transformace dat (poměr, první diference). Nekorektní funkční podoba (lineární vs. log-lineární modely). Základy ekonometrie (ZAEK) V. Heteroskedasticita Podzim 2015 32 / 56
Důsledky heteroskedasticity na OLS estimátor Obsah tématu 1 Nenulová střední hodnota náhodné složky 2 Nenormalita Testování Řešení nenormality 3 Heteroskedasticita Příčiny heteroskedasticity Důsledky heteroskedasticity na OLS estimátor Řešení heteroskedasticity při známém rozptylu Řešení heteroskedasticity při neznámém rozptylu Testování heteroskedasticity Základy ekonometrie (ZAEK) V. Heteroskedasticita Podzim 2015 33 / 56
Důsledky heteroskedasticity na OLS estimátor Nestrannost Rozptyl v důkazu nestrannosti OLS estimátoru nevystupuje OLS odhad zůstává nestranným. Např. pro jednoduchý regresní model (při splnění klasických předpokladů): Y i = βx i + ɛ i, Xi Y i β = X 2 = β + ( i σ β 2 ) N β, X 2. i Xi ɛ i X 2 i, Základy ekonometrie (ZAEK) V. Heteroskedasticita Podzim 2015 34 / 56
Důsledky heteroskedasticity na OLS estimátor Vydatnost OLS odhad není vydatný (OLS estimátor není BLUE). Důkaz: ( ( var β) = var β + = = 1 ( X 2 i ) 2 var σ 2 ( X 2 i ) 2 var( β) = σ2 Xi 2ω2 i ( ) X 2 2. i Xi ɛ i X 2 i ) = var ( ) Xi ɛ i = X 2 i ω 2 i. ( ) Xi ɛ i X 2 i 1 ( X 2 i ) 2 X 2 i var(ɛ i ) Odhad rozptylu vstupuje do konstrukce intervalů spolehlivosti a testování hypotéz nekorektnost výsledků s využitím OLS odhadu. Základy ekonometrie (ZAEK) V. Heteroskedasticita Podzim 2015 35 / 56
Řešení heteroskedasticity při známém rozptylu Obsah tématu 1 Nenulová střední hodnota náhodné složky 2 Nenormalita Testování Řešení nenormality 3 Heteroskedasticita Příčiny heteroskedasticity Důsledky heteroskedasticity na OLS estimátor Řešení heteroskedasticity při známém rozptylu Řešení heteroskedasticity při neznámém rozptylu Testování heteroskedasticity Základy ekonometrie (ZAEK) V. Heteroskedasticita Podzim 2015 36 / 56
Řešení heteroskedasticity při známém rozptylu Transformace modelu Původní model (pro i = 1,..., N): Y i = βx i + ɛ i, Transformovaný model vydělením obou stran rovnice členy ω i : Y i ω i = β X i ω i + ɛ i ω i. Tedy: Y i = βx i + ɛ i, Základy ekonometrie (ZAEK) V. Heteroskedasticita Podzim 2015 37 / 56
Řešení heteroskedasticity při známém rozptylu Zobecněná metoda nejmenších čtverců Nový model splňuje klasické předpoklady. ( ) var (ɛ ɛi i ) = var = 1 ω i ωi 2 var (ɛ i ) = σ2 ω 2 i ω 2 i = σ 2. Použití OLS estimátoru na transformovaný model GLS estimátor: X β GLS = i Yi X 2. i S původními daty: β GLS = Xi Y i ω i ω i ( X i ω i ) 2 = Xi Y i ω 2 i X 2 i ω 2 i. Základy ekonometrie (ZAEK) V. Heteroskedasticita Podzim 2015 38 / 56
Řešení heteroskedasticity při známém rozptylu Zobecněná metoda nejmenších čtverců maticově Původní model: Y = Xβ + ɛ, kde ɛ N(0 N, σ 2 Ω). 1 ω 1 0 0... 0 Ω 1 = P 1 0 P P = ω 2 0... 0..............., 1 0 0 0... ω N PY = PXβ + Pɛ, β GLS = ((PX) PX) 1 (PX) PY = (X P PX) 1 X P PY = (X Ω 1 X) 1 X Ω 1 Y, var(pɛ) = P Pvar(ɛ) = Ω 1 σ 2 Ω = σ 2 I N. Pro případ heteroskedasticity: GLS estimátor = WLS estimátor (Weighted Least Squares). Základy ekonometrie (ZAEK) V. Heteroskedasticita Podzim 2015 39 / 56
Řešení heteroskedasticity při známém rozptylu Zobecněná metoda nejmenších čtverců závěr Transformovaný model splňuje klasické předpoklady. OLS estimátor pro transformovaný model (GLS estimátor) dle Gaussova-Markovova teorému BLUE. GLS estimátor je nestranný s rozptylem var( β GLS ) = Rozptyl OLS estimátoru: σ2 X 2 i = σ 2 ( Xi 2 ωi 2 var( β) = σ2 Xi 2ω2 i ( ) X 2 2. i Pro konstrukci intervalů spolehlivosti a testování hypotéz: β GLS N ( β, σ 2 X 2 i Základy ekonometrie (ZAEK) V. Heteroskedasticita Podzim 2015 40 / 56 ). ).
Řešení heteroskedasticity při neznámém rozptylu Obsah tématu 1 Nenulová střední hodnota náhodné složky 2 Nenormalita Testování Řešení nenormality 3 Heteroskedasticita Příčiny heteroskedasticity Důsledky heteroskedasticity na OLS estimátor Řešení heteroskedasticity při známém rozptylu Řešení heteroskedasticity při neznámém rozptylu Testování heteroskedasticity Základy ekonometrie (ZAEK) V. Heteroskedasticita Podzim 2015 41 / 56
Řešení heteroskedasticity při neznámém rozptylu Úvod Heteroskedasticita v důsledku jedné nebo kombinace více vysvětlujících proměnných. Y i = α + β 1 X 1i +... + β k X ki + ɛ i Splněny klasické předpoklady, s výjimkou: var(ɛ i ) = σ 2 ω 2 i = σ 2 f (Z i ), Z je některá z vysvětlujících proměnných a f ( ) je kladná funkce. Obvyklá volba: f (Z i ) = Z 2 i nebo f (Z i ) = 1 Zi 2 Další volba: f (Z i ) = exp(z i ) nebo f (Z i ) = exp( Z i ).. Základy ekonometrie (ZAEK) V. Heteroskedasticita Podzim 2015 42 / 56
Řešení heteroskedasticity při neznámém rozptylu Zobecněná metoda nejmenších čtverců GLS: ( ) Y i 1 = α ω i ω i ( ) X1i + β 1 ω i ( ) ( ) Xki ɛi +... + β k +. ω i ω i Předpoklad: ωi 2 = f (Z i ) snadná transformace. Např. pro f (Z i ) = Zi 2 ( ) ( ) ( ) ( ) Y i 1 X1i Xki ɛi = α + β 1 +... + β k +. Z i Z i Z i Z i Z i Pokud f (Z i ) = 1 : Zi 2 Y i Z i = αz i + β 1 X 1i Z i +... + β k X ki Z i + ɛ i Z i. Experimentování s funkční podobou a testování potenciálního řešení problému. Někdy řešení logaritmování proměnných. Základy ekonometrie (ZAEK) V. Heteroskedasticita Podzim 2015 43 / 56
Řešení heteroskedasticity při neznámém rozptylu Heteroskedasticitě konzistentní estimátor Pokud nedokážeme (nechceme) použít GLS. Správný vzorec pro rozptyl odhadu parametru: var( β) = σ2 Xi 2ω2 i ( ) X 2 2. i Využití OLS estimátoru a správný vztah neznáme σ 2 ωi 2 odhad. Intuice: var(ɛ i ) = E ( ɛ 2 ) i = σ 2 ωi 2. OLS estimátor dává ɛ i pro i = 1,..., N. ɛ 2 i ɛ 2 i ani E(ɛ 2 i ) ( ɛ2 i je dobrým estimátorem E(ɛ 2 i ) a tedy σ2 ωi 2): var( β) = X 2 i ɛ 2 i ( ) X 2 2. i Příklad HCE (Whiteův estimátor). Různé HCE estimátory, obecně pro model vícenásobné regrese. OLS není vydatný HCE odhady vedou k širším intervalům spolehlivosti (konzervativní odhad rozptylu odhadu parametrů). Základy ekonometrie (ZAEK) V. Heteroskedasticita Podzim 2015 44 / 56
Řešení heteroskedasticity při neznámém rozptylu Jiné estimátory Řada možností, obvykle využití OLS odhadů reziduí pro odhad rozptylů náhodných složek. Feasible GLS estimátor: pokud známe podobu heteroskedasticity var(ɛ i ) = σ 2 ω 2 i = σ 2 f (Z i ). β FGLS = Xi Y i ω 2 i X 2 i ω 2 i. Při známé heteroskedasticitě i ML odhady. Základy ekonometrie (ZAEK) V. Heteroskedasticita Podzim 2015 45 / 56
Řešení heteroskedasticity při neznámém rozptylu FGLS rozšíření OLS odhad regresního modelu regrese čtverce OLS reziduí na (kladnou) funkci některých nebo všech vysvětlujících proměnných. Získané vyrovnané hodnoty = odhad jednotlivých rozptylů náhodných složek. Transformace modelu a aplikace OLS = FGLS. Obvykle: Potom regrese var(ɛ i ) = σ 2 ω 2 i = exp(α 0 + α 1 Z 1i + α p Z pi ). ( ) ln ɛ 2 i = α 0 + α 1 Z 1i + α p Z pi + ν i, kde ν i je náhodná složka s obvyklými vlastnostmi. Odhad OLS parametrů odhady rozptylů var(ɛ i ) = exp( α 0 + α 1 Z 1i + α p Z pi ). Transformace původních proměnných modelu a aplikace OLS. Základy ekonometrie (ZAEK) V. Heteroskedasticita Podzim 2015 46 / 56
Testování heteroskedasticity Obsah tématu 1 Nenulová střední hodnota náhodné složky 2 Nenormalita Testování Řešení nenormality 3 Heteroskedasticita Příčiny heteroskedasticity Důsledky heteroskedasticity na OLS estimátor Řešení heteroskedasticity při známém rozptylu Řešení heteroskedasticity při neznámém rozptylu Testování heteroskedasticity Základy ekonometrie (ZAEK) V. Heteroskedasticita Podzim 2015 47 / 56
Testování heteroskedasticity Grafické metody Analýza čtverců reziduí (jako aproximace čtverců náhodných složek), jestli vykazují systematické chování. Vykreslení vzhledem k vyrovnaným hodnotám, Ŷi. Vykreslení vzhledem k jedné z vysvětlujících proměnných, X i. Základy ekonometrie (ZAEK) V. Heteroskedasticita Podzim 2015 48 / 56
Testování heteroskedasticity Grafické metody obrázek 1 u 2 u 2 u 2 Y Y Y 0 0 0 (a) (b) (c) u 2 u 2 0 Y 0 Y (d) (e) Zdroj: Gujarati, Porter (2009) Basic econometrics. Základy ekonometrie (ZAEK) V. Heteroskedasticita Podzim 2015 49 / 56
Testování heteroskedasticity Grafické metody obrázek 2 u 2 u 2 u 2 X X X 0 0 0 (a) (b) (c) u 2 u 2 0 X 0 X (d) (e) Zdroj: Gujarati, Porter (2009) Basic econometrics. Základy ekonometrie (ZAEK) V. Heteroskedasticita Podzim 2015 50 / 56
Testování heteroskedasticity Parkův test Formalizace grafické metody. Předpoklad, že σi 2 je funkcí X i, konkrétně: nebo σ 2 i = σ 2 X β i e ν i ln σ 2 i = ln σ 2 + β ln X i + ν i. Obecně σ 2 i neznámý použití proxy proměnné čtverec reziduí, ɛ 2 i a provedení regrese ln ɛ 2 i = ln σ 2 + β ln X i + ν i = α + β ln X i + ν i. Pokud je β statisticky významné, napovídá to přítomnosti heteroskedasticity. Kritika: Goldfeld a Quandt argumentují, že ν i nemusí splňovat klasické předpoklady a mohou vykazovat heteroskedasticitu. Jako orientační metoda dostačující. Základy ekonometrie (ZAEK) V. Heteroskedasticita Podzim 2015 51 / 56
Testování heteroskedasticity Goldfeldův-Quandtův test Pokud heteroskedasticita v závislosti na jedné z vysvětlujících proměnných. 1 Seřadíme data podle velikosti Z (rostoucí nebo klesající, dle předpokladu o vlivu na rozptyl). 2 Vynecháme prostřednich d pozorování (obvyklá volba d = 0.2N). 3 Provedeme dvě oddělené regrese. 4 Spočítáme součet čtverců reziduí (SSR) pro každou s obou regresí (získáme tak SSR LOW a SSR HIGH ). 5 Spočítáme Goldfeldovu-Quandtovu testovou statistiku GQ = SSR HIGH SSR LOW. Při platnosti nulové hypotézy o homoskedasticitě má GQ statistika Fisherovo-Snedecorovo rozdělení, F 0.5(N d 2k 2),0.5(N d 2k 2). Naznačení volby případné transformace. Základy ekonometrie (ZAEK) V. Heteroskedasticita Podzim 2015 52 / 56
Testování heteroskedasticity Breuschův-Paganův-(Godfreyho) test Pokud více proměnných způsobujících heteroskedasticitu. varɛ i = σ 2 f (γ 0 + γ 1 Z 1i +... + γ p Z pi ). Test H 0 : γ 1 = γ 2 =... = γ p = 0 (LM test). OLS regrese původního modelu, získání reziduí, ɛ i, a spočítáme ɛ σ 2 2 = i N. Provedeme druhou regresi rovnice ɛ 2 i σ 2 = γ 0 + γ 1 Z 1i +... + γ p Z pi + ν i. Spočítáme Breuschovu-Paganovu statistiku s využitím regresního součtu RSS z této druhé regrese: BP = RSS 2. Testová statistika má chí-kvadrát rozdělení s p stupni volnosti, χ 2 (p). Základy ekonometrie (ZAEK) V. Heteroskedasticita Podzim 2015 53 / 56
Testování heteroskedasticity Whiteův test Podobný k Breusch-Paganovu testu, jen odlišná druhá regrese. OLS regrese na původních datech a modelu a získání rezidua, ɛ i. Provedeme druhou OLS regresi rovnice ɛ 2 i = γ 0 + γ 1 Z 1i +... + γ p Z pi + ν i a získáme koeficient determinace, R 2. Spočítáme Whiteovu testovou statistiku W = NR 2. Testová statistika má chí-kvadrát rozdělení s p stupni volnosti, χ 2 (p). Proměnné Z 1,..., Z p libovolné, obvykle vysvětlující proměnné původní regrese. Obvykle všechny, Z 1 = X 1,..., Z k = X k + Whiteův test využívá obvykle jedinečné čtverce a vzájemné (křížové) součiny. Příklad: X 1 a X 2 použití Z 1 = X 1, Z 2 = X 2, Z 3 = X 2 1, Z 4 = X 2 2 a Z 5 = X 1 X 2 (nutné ošetřit multikolinearitu). Základy ekonometrie (ZAEK) V. Heteroskedasticita Podzim 2015 54 / 56
Testování heteroskedasticity Koenkerův-Bassetův test Založen na čtvercích reziduí, ɛ 2 i. Regrese na čtverec vyrovnaných hodnot, Ŷ 2 i. Model: Y i = β 1 + β 2 X 2i + β 3 X 3i +... + β k X ki + ɛ i. Odhad: ɛ 2 i = α 1 + α 2Ŷ 2 i + ν i. Nulová hypotéza α 2 = 0 na základě t-testu nebo F -test (F 1,k = t 2 k ). Pokud logaritmický model, regrese na (log Ŷi) 2. Aplikovatelný i v případě nenormality náhodných složek v původní regresi. Základy ekonometrie (ZAEK) V. Heteroskedasticita Podzim 2015 55 / 56
Testování heteroskedasticity Praktická doporučení V případě heteroskedasticity zkusit model transformovat pro odstranění tohoto problému. Někdy stačí logaritmování některých nebo všech proměnných v modelu. Někdy dostačuje násobení nebo dělení všech proměnných nějakou proměnnou Z. Vždy po transformací potřeba testovat heteroskedasticitu. Pokud nedokážeme nalézt transformaci, využijme HCE. Při existenci heteroskedasticity jsou testy hypotéz nekorektní před testováním hypotéz třeba problém vyřešit nebo použít HCE. Základy ekonometrie (ZAEK) V. Heteroskedasticita Podzim 2015 56 / 56