Řešené příklady ze stavební fyziky

ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE Fakulta stavební Řešené příklady ze stavební fyziky Šíření tepla konstrukcí v ustáleném stavu doc. Dr. Ing. Zbyněk Svoboda Ing. Jiří Novák, Ph.D. Praha 04 Evropský sociální fond Praha a EU: Investujeme do vaší budoucnosti

Obsah Šíření tepla konstrukcí v ustáleném stavu...4. Základní teorie... 4.. Šíření tepla vedením... 4.. Šíření tepla prouděním... 5.. Šíření tepla sáláním... 6..4 Dlouhovlnné sálání mezi povrchy těles... 8..5 Dlouhovlnné sálání proti jasné obloze... 0..6 Sluneční záření... 0..7 Šíření tepla v nevětraných vzduchových dutinách.....8 Hustota tepelného toku konstrukcí, tepelný odpor a součinitel prostupu tepla.....9 Vliv tepelných mostů... 4..0 Teplo procházející konstrukcí... 4.. Rozložení teploty v konstrukci... 4.. Elektrická analogie... 6. Komplexní modelové příklady..... Obvodová stěna..... Obvodová stěna... 6.. Obvodová stěna... 0..4 Obvodová stěna 4... 5 Přílohy... 44 Příloha Emivita vybraných materiálů a povrchových úprav (dlouhovlnné tepelné záření)... 44 Příloha Pohltivost slunečního záření pro vybrané materiály a povrchové úpravy... 45

Šíření tepla konstrukcí v ustáleném stavu. Základní teorie.. Šíření tepla vedením Hustota tepelného toku vedením je obecně definována Fourierovým zákonem cd x, y, z [W/m ] (.) x y z kde λ je součinitel tepelné vodivosti ve W/(m.K) θ teplota ve C. Pro jednorozměrné šíření tepla vedením přechází rovnice (.) na tvar cd d [W/m ] (.) dx přičemž samotnou velikost hustoty tepelného toku lze vyjádřit vztahem cd [W/m ] (.) d kde Δθ je rozdíl teplot na obou površích materiálu (Obr. -) ve C d tloušťka materiálu ve směru tepelného toku v m. θ směr tepelného toku pro θ > θ θ d Obr. -: Tepelný tok materiálem s rozdílnými povrchovými teplotami Časové a prostorové rozložení teploty je popsáno rovnicí vedení tepla v obecném tvaru Q c (.4) x x y y z z t kde Q je velikost vnitřního zdroje tepla (produkce tepla v materiálu) ve W/m ρ objemová hmotnost materiálu v kg/m c měrná tepelná kapacita materiálu v J/(kg.K)

t čas v s x,y,z souřadnice bodu, v němž určuje teplota θ v m. Pro nejjednodušší jednorozměrné šíření tepla v ustáleném stavu přechází rovnice (.4) na tvar d 0 (.5) dx který lze vyřešit pro homogenní oblast analyticky a získat rovnici pro lineární průběh teploty v materiálu ( x) x [ C] (.6) d kde θ j je teplota na j-tém povrchu homogenního materiálu (Obr. -) ve C d celková tloušťka homogenního materiálu ve směru tepelného toku v m x vzdálenost od povrchu s teplotou θ v m. θ θ Přirozené proudění je vyvoláno rozdílem hustoty vzduchu v důsledku rozdílné teploty. Pokud je např. teplota vzduchu nižší než teplota povrchu, bude vzduch při povrchu ohřívat, jeho hustota bude klesat a vzduch začne v tenké vrstvě při povrchu proudit směrem vzhůru. K přirozenému proudění doθ d x Obr. -: Lineární průběh teploty v homogenním materiálu v ustáleném stavu.. Šíření tepla prouděním Pro analýzu šíření tepla stavební konstrukcí je významné především šíření tepla prouděním mezi povrchem konstrukce a okolním vzduchem. Hustotu tepelného toku prouděním z povrchu konstrukce do okolí lze určit vztahem c h c s a [W/m ] (.7) kde h c je součinitel přestupu tepla prouděním ve W/(m K) θ s teplota povrchu konstrukce ve C teplota okolního vzduchu ve C. θ a Rozlišují dva případy proudění vzduchu při povrchu konstrukce: přirozené proudění vynucené proudění

chází především na vnitřních površích konstrukcí. Součinitel přestupu tepla prouděním na vnitřním povrchu h ci v technických výpočtech obvykle uvažuje hodnotami,5 W/(m.K) pro vodorovný tepelný tok; 5,0 W/(m.K) pro tepelný tok nahoru a 0,7 W/(m.K) pro tepelný tok dolů. V případě potřeby (např. pokud očekáváme neobvyklý rozdíl mezi teplotou povrchu a okolního vzduchu) můžeme pro odhad součinitele přestupu tepla přirozeným prouděním na vnitřním povrchu konstrukcí použít zjednodušený vztah: 4 c a s h [W/(m.K)] (.8) směr proudění s a > s směr tepelného toku směr tepelného toku s a < s směr proudění Obr. -: Přestup tepla přirozeným prouděním. s je teplota povrchu konstrukce a je teplota vzduchu Vynucené proudění není vyvoláno rozdílem teplot, ale např. větracím zařízením, větrem apod. Pro výpočty ve stavební tepelné technice je důležité proudění větru na vnějším líci konstrukce. Součinitel přestupu tepla pro vnější povrch konstrukce h ce je možné vypočítat v závislosti na rychlosti větru takto: hce 4 4 v [W/m ] (.9) kde v je rychlost větru v m/s. Obvykle uvažuje rychlost větru v = 4 m/s a součinitel přestupu tepla h ce = 0 W/m.K. K přirozenému proudění na vnějším líci konstrukce by mohlo dojít při úplném bezvětří, takový předpoklad je ovšem pro technickou praxi nereálný... Šíření tepla sáláním Hustota tepelného toku sáláním emitovaného (vyzářeného) povrchem tělesa obecně stanoví ze Stefanova-Boltzmannova zákona r T 4 [W/m ] (.0) kde ε je emivita povrchu tělesa σ Stefanova-Boltzmannova konstanta (5,67.0-8 W/(m K 4 )) T absolutní (termodynamická) teplota povrchu tělesa v K. Při dopadu na povrch tělesa může být část dopadajícího sálavého toku odražena, část pohlcena a část může tělem procházet (Obr. -4): r ref a t [W/m ] (.) kde r je hustota tepelného toku sáláním dopadající na povrch tělesa ve W/m

ref odražená složka dopadajícího sálavého toku ve W/m a pohlcená složka dopadajícího sálavého toku ve W/m t procházející složka dopadajícího sálavého toku ve W/m Velikost jednotlivých složek závisí na pohltivosti, odrazivosti a propustnosti: ref [W/m ] (.) r a t [W/m ] (.) r r [W/m ] (.4) kde je odrazivost (bezrozměrná) pohltivost (bezrozměrná) propustnost (bezrozměrná) Ze vztahu (.0) vyplývá, že pro odrazivost, pohltivost a propustnost vždy platí: [W/m ] (.5) r ref = r t = r a = r povrch materiál těleso Obr. -4: Rozklad tepelného toku sáláním při dopadu na povrch tělesa Emivita, odrazivost a pohltivost jsou vlastnostmi povrchu tělesa, propustnost je vlastností materiálu. Emivita a odrazivost závisí na vlnové délce záření (sálání). Povrchy s vysokou teplotou emitují záření s krátkou vlnovou délkou, povrchy s nízkou teplotou emitují záření s delšími vlnovými délkami. Ve stavební tepelné technice proto rozlišujeme: krátkovlnné sluneční záření (Slunce má teplotu přibližně 5 800 K) dlouhovlnné sálání, které emitují povrchy při běžných teplotách, které jsou o řád nižší než teplota Slunce (okolo 00 K) Pro dlouhovlnné sálání ve výpočtech stavební tepelné techniky platí: emivita povrchu je rovná jeho pohltivosti ( = ) emivita (tedy i pohltivost) pro většinu stavebních materiálů uvažuje 0,9 - výjimkou jsou např. leštěné kovy bez povrchové úpravy, jejichž emivita může být nižší než 0, stavební materiály nepropustné pro dlouhovlnné sálání ( = 0) Pro krátkovlnné sluneční záření platí: s emivitou nepracuje (jediným zdrojem slunečního záření je Slunce; intenzita slunečního záření měří, není potřeba ji počítat pomocí vztahu (.0) pohltivost slunečního záření a pohltivost (emivita) při dlouhovlnném sálání pro stejný povrch často liší pohltivost slunečního záření dobře koreluje s barvou povrchu (emivita ne) - světlejší povrchy mají menší pohltivost slunečního záření než tmavší

Při výpočtech tepelné výměny dlouhovlnným sáláním je potřeba důsledně dávat pozor na to, jaká teplota má dosadit do výpočetních vztahů zda teplota v Celově stupnici (v této publikaci značí a udává ve C) nebo tzv. absolutní (termodynamická) teplota (v této publikaci značí a udává v K). Pro absolutní teplotu platí: T 7,5 [K] (.6)..4 Dlouhovlnné sálání mezi povrchy těles V reálné tuaci dochází ke vzájemnému sálání povrchů několika těles. Vzájemná sálavá výměna závisí nejen na teplotě a emivitě povrchu těles, ale také na jejich prostorovém uspořádání. Výpočet hustoty tepelného toku sáláním je v obecných případech komplikovaný. Pro výměnu tepla sáláním mezi dvěma povrchy platí: Φ A h ( T T ) [W] (.7), r kde, je tepelný tok sáláním z povrchu na povrch ve W A plocha povrchu v m h r součinitel přestupu tepla sáláním ve W/(m.K) T j absolutní teplota j-tého povrchu v K. Součinitel přestupu tepla sáláním mezi dvěma povrchy vypočítá takto: h r 4 T, A F A, [W/(m.K)] (.8) kde, ε j T je střední absolutní teplota sálajících povrchů v K emivita j-tého povrchu F, poměr sálání z povrchu na povrch A j plocha j-tého povrchu Střední absolutní teplota sálajících povrchů vypočítá takto: T T T, [K] (.9) Poměr sálání F, vyjadřuje, jaká část sálavého toku vyzářeného z plochy A (povrch ) dopadá přímo (bez odrazů) na plochu A (povrch ). Poměr sálání je geometrická veličina, její hodnota může být nanejvýše rovná. Závisí na velikosti, tvaru, vzdálenosti a úhlu, který svírají sálající povrchy. Výpočet poměru sálání pro obecné případy je složitý, v literatuře je však možné nalézt vztahy pro typické tuace, které v praxi často opakují. Např. pro rovinný povrch na Obr. -5, který je zcela obklopen povrchem, a dohromady s ním vytváří uzavřenou plochu, platí F, = (veškerý sálavý tepelný tok vyzářený povrchem dopadá bez odrazu na povrch ). Totéž platí pro dva rovnoběžné, rovinné povrchy. Výměna tepla sáláním mezi dvěma rovnoběžnými povrchy je zvláštním a důležitým případem. Tepelný tok sáláním mezi dvěma rovnoběžnými povrchy stanoví obecně jako 4 4,, A T T [W] (.0) kde A je plocha povrchů v m (platí A = A = A ) T j teplota j-tého povrchu v K emivita vzájemného sálání obou povrchů, která určí ze vztahu ε,

, [-] (.) kde ε j je emivita j-tého povrchu. A A A A Obr. -5: Zvláštní případy dvou povrchů, pro které je poměr sálání F, =. Vlevo dva povrchy, které tvoří uzavřenou plochu. Vpravo dva rovnoběžné povrchy. V technické praxi místo obecného vztahu (.0) používá častěji upravený vztah, A h r [W] (.) kde h r je součinitel přestupu tepla sáláním ve W/(m.K) θ j teplota j-tého povrchu ve C. Součinitel přestupu tepla sáláním h r lze obecně vyjádřit jako T 4 4 h r, [W/(m.K)] (.) T ale obvykle v technických výpočtech uvažuje zjednodušeně konstantní hodnotou 4,6 W/(m.K), která je použitelná pro povrchy s běžnou emivitou 0,9. Tepelný tok sáláním mezi dvěma rovnoběžnými povrchy můžeme pochopitelně vypočítat také pomocí vztahů (.7) a (.8). Pro dva rovnoběžné povrchy platí: F, [-] (.4) A A A [m ] (.5) Když dosadíme (.4) a (.5) postupně do (.8) a (.7), dostáváme po úpravách:, Φ Ah ( T T ) A 4 T T T [W] (.6), r, kde ε, je emivita vzájemného sálání obou povrchů podle (.) T, střední absolutní teplota sálajících povrchů v K podle (.9).

..5 Dlouhovlnné sálání proti jasné obloze Při jasné, bezoblačné obloze mohou tělesa na zemském povrchu emitovat sálavý tepelný tok proti vrchním vrstvám atmosféry. Jasnou oblohu tedy můžeme představit jako fiktivní povrch s velmi nízkou teplotou. Zdánlivou teplotu jasné oblohy sky je možné odhadnout v závislosti na teplotě venkovního vzduchu a takto: sky, 4 a pro vodorovný povrch [ C] (.7) sky, 5 [ C] (.8) pro svislý povrch a Při zatažené obloze teplota oblohy uvažuje shodná s teplotou venkovního vzduchu (oblačnost brání sálavé výměně mezi tělesy na zemském povrchu a vrchními vrstvami atmosféry): sky [ C] (.9) a..6 Sluneční záření Sluneční záření je rovněž formou sálavého tepelného toku. Hustotu tohoto sálavého toku budeme v této publikaci nazývat intenzitou slunečního záření I [W/m ]. Sluneční záření skládá z přímé a difuzní složky. Intenzitu obou složek je možné změřit, jejich součet nazývá celková (globální) intenzita slunečního záření. V této publikaci pracuje pouze s celkovou intenzitou slunečního záření jako s okrajovou podmínkou převzatou např. z meteorologických záznamů. Sluneční záření po dopadu na povrch nepropustného tělesa částečně odrazí a zbývající část je na povrchu tělesa pohlcena ve formě tepla ( = 0; stavební materiály kromě skla a průsvitných plastů). Absorbované teplo může dále šířit: vedením uvnitř tělesa prouděním a dlouhovlnným sáláním z povrchu tělesa do okolního prostředí Po dopadu slunečního záření na vnější povrch tělesa z propustného materiálu (sklo, průsvitné plasty) je část sálavého toku odražena, část propuštěna přímo a část pohlcena ve formě tepla. Absorbované teplo může dále šířit: prouděním a dlouhovlnným sáláním z vnějšího povrchu tabule do venkovního prostředí vedením od vnějšího povrchu tabule k vnitřnímu a z vnitřního povrchu dále prouděním a dlouhovlnným sáláním do vnitřního prostředí Energie slunečního záření tedy skrz skleněnou tabuli šíří (Obr. -6): přímo, ve formě krátkovlnného sálání (propuštěné sluneční záření) nepřímo, ve formě tepla předaného z vnitřního povrchu tabule I [W/m ] ref = r ae a = r propustný prvek sálavý tok teplo t = r ai Obr. -6: Rozklad slunečního záření při prostupu propustným prvkem (např. skleněnou tabulí)

Poměr mezi intenzitou slunečního záření dopadajícího na vnější povrch tabule a hustotou tepelného toku předanou přímo i nepřímo do vnitřního prostředí nazývá celková propustnost slunečního záření g [-]: g I t ai [-] (.0) kde g je celková propustnost slunečního záření t hustota tepelného toku sáláním (sluneční záření), které prostupuje přímo ai hustota tepelného toku, prostupující nepřímo I intenzita slunečního záření dopadající na vnější povrch Stejným způsobem definuje celková propustnost slunečního záření pro zasklívací jednotky (dvojsklo, trojsklo), rozklad slunečního záření je složitější. Celková propustnost slunečního záření je závislá na vlastnostech skla, jeho povrchu, úhlu dopadu slunečního záření a podmínkách, které ovlivňují přestup tepla z vnitřního povrchu do vnitřního prostředí. Výrobci průsvitných prvků uvádějí hodnoty g stanovené pro standardizované podmínky...7 Šíření tepla v nevětraných vzduchových dutinách V nevětraných vzduchových dutinách teplo šíří vedením, prouděním i sáláním. Celkovou hustotu tepelného toku z jednoho povrchu ohraničujícího vzduchovou dutinu na druhý lze určit jako součet dílčích hustot tepelných toků [W/m ] (.) cd c r kde cd je hustota tepelného toku vedením ve W/m c hustota tepelného toku prouděním ve W/m r hustota tepelného toku sáláním ve W/m. Jednotlivé hustoty tepelných toků jsou definovány jako cd [W/m ] (.) d c c h [W/m ] (.) r r h [W/m ] (.4) takže celkovou hustotu tepelného toku nevětranou vzduchovou dutinou lze vyjádřit také vztahem h c hr [W/m ] (.5) d kde je součinitel tepelné vodivosti nehybného vzduchu (obvykle uvažuje hodnotou 0,05 W/(mK)) d tloušťka vzduchové dutiny ve směru tepelného toku v m teplota j-tého povrchu ohraničujícího vzduchovou dutinu ve C. θ j

..8 Hustota tepelného toku konstrukcí, tepelný odpor a součinitel prostupu tepla Prostup tepla konstrukcí standardně zahrnuje jednak šíření tepla vedením samotnou konstrukcí (resp. šíření tepla vedením, sáláním a prouděním v nevětraných vzduchových dutinách v konstrukci) a jednak dvojí přestup tepla mezi povrchem konstrukce a okolním vzduchem (Obr. -7). přestup vedení přestup i e d x Obr. -7: Průběh teploty v jednovrstvé konstrukci s vyznačením přestupu a vedení tepla Na vnitřním i vnějším povrchu konstrukce dochází k přestupu tepla prouděním a sáláním. Pro vnitřní povrch lze hustotu tepelného toku prouděním a sáláním vyjádřit jako h i [W/m ] (.6) kde h je součinitel přestupu tepla na vnitřním povrchu konstrukce ve W/(m.K) i teplota vnitřního vzduchu ve C teplota vnitřního povrchu konstrukce ve C. Pro hustotu tepelného toku na vnějším povrchu použije analogický vztah h e [W/m ] (.7) kde h je součinitel přestupu tepla na vnějším povrchu konstrukce ve W/(m.K) e teplota vnějšího vzduchu ve C teplota vnějšího povrchu konstrukce ve C. Hustotu tepelného toku vedením uvnitř konstrukce lze vyjádřit vztahem cd [W/m ] (.8) d který platí v této formě pro jednovrstvou konstrukci. V ustáleném stavu je hustota tepelného toku ve všech místech konstrukce (tedy i na jejím povrchu) shodná. Platí tedy cd [W/m ] (.9)

Do vztahu (.8) lze proto dosadit vyjádření povrchových teplot ze vztahů (.6) a (.7) a získat vyjádření hustoty tepelného toku konstrukcí ve tvaru i e d h h [W/m ] (.40) Obrácené hodnoty součinitelů přestupu tepla obvykle nahrazují tepelnými odpory při přestupu tepla na vnitřním a na vnějším povrchu konstrukce: R [m K/W] (.4) h R [m K/W] (.4) h a vztah (.40) pak přechází do tvaru i e d R R [W/m ] (.4) Tepelné odpory při přestupu tepla R a R v technické praxi uvažují smluvními hodnotami. Pro odpor při přestupu tepla na vnitřním povrchu R používají hodnoty 0, W/(m.K) pro vodorovný tepelný tok; 0,0 W/(m.K) pro tepelný tok vzhůru a 0,7 W/(m.K) pro tepelný tok dolů. Pro odpor při přestupu tepla na vnějším povrchu R používají hodnoty 0,04 W/(m.K) pro povrchy v kontaktu s venkovním vzduchem; 0, W/(m.K) pro povrchy uvnitř větrané dutiny ve dvouplášťových stěnách; 0,0 W/(m.K) pro povrchy uvnitř větrané dutiny ve dvouplášťových střechách a 0,0 W/(m.K) pro povrchy v kontaktu zeminou. Podíl tloušťky a součinitele tepelné vodivosti definuje tepelný odpor konstrukce, který lze pro obecně vícevrstvou konstrukci vyjádřit jako d R [m K/W] (.44) kde d je tloušťka vrstvy konstrukce v m součinitel tepelné vodivosti vrstvy konstrukce ve W/(m.K). Součet tepelného odporu a tepelných odporů při přestupu tepla označuje jako tepelný odpor při prostupu tepla R T R R R [m K/W] (.45) Jeho obrácená hodnota vyjadřuje základní tepelně technický parametr stavební konstrukce - součinitel prostupu tepla, pro který standardně používá vztah U R T R R R [W/(m.K)] (.46) Dosadíme-li odvozené veličiny do vztahu (.40), můžeme hustotu tepelného toku konstrukcí vyjádřit také jako

i e i e U i e [W/m ] (.47) R R R RT..9 Vliv tepelných mostů Obsahuje-li konstrukce vrstvy, v nichž vyskytují pravidelně opakující (systematické) tepelné mosty, je nutné jejich vliv zohlednit. Pro ruční výpočet je vhodné orientační zohlednění vlivu tepelných mostů s pomocí váženého průměru, kterým vypočte součinitel prostupu tepla vrstvy s tepelnými mosty A j j e [W/(m.K)] (.48) A j kde A j je průřezová plocha j-tého materiálu v charakteristickém výku v m j součinitel tepelné vodivosti j-tého materiálu v charakteristickém výku ve W/(m.K)...0 Teplo procházející konstrukcí Množství tepla procházející konstrukcí (tepelná ztráta či zisk) stanoví ze vztahu i e AU [W] (.49) kde A je plocha konstrukce v m. Množství tepla, které projde konstrukcí za určitý časový úk, určí jako t t Q AU [Wh] (.50) i e kde t je délka časového úku v h. Zadá-li délka časového úku v kundách, vyjde množství tepla ve Ws, tedy v J... Rozložení teploty v konstrukci Průběh teploty v konstrukci v ustáleném stavu lze stanovit buď graficky, nebo výpočtem. Grafická metoda vyžaduje vytvoření grafu, na jehož svislou osu vynášejí teploty a na vodorovnou osu tepelné odpory jednotlivých vrstev konstrukce a tepelné odpory při přestupu tepla. Průběh teploty je reprezentován přímkou spojující známou teplotu vnitřního vzduchu i a známou teplotu venkovního vzduchu e. Teplota v libovolném místě konstrukce odečte přímo z grafu (Obr. -8). Pro analytické řešení vyjde z již jednou použitého pravidla o shodné hustotě tepelného toku ve všech místech konstrukce. Hustota tepelného toku celou skladbou musí být tedy stejná jako hustota tepelného toku přes část konstrukce od interiéru k bodu x: x [W/m ] (.5) což lze vyjádřit také ve tvaru i x R R x i e R R R [W/m ] (.5)

kde R x je tepelný odpor od vnitřního povrchu k místu x v m.k/w. i x e R R R R R R R x Obr. -8: Grafické stanovení průběhu teploty v konstrukci o vrstvách Úpravou vztahu (.5) lze získat rovnici pro průběh teploty v konstrukci v ustáleném stavu R R U R R i e x i x i i e x [C] (.5) R R R z níž lze odvodit i vztah pro přímý výpočet vnitřní povrchové teploty i e i R i U R i e [C] (.54) R R R a vnější povrchové teploty i e i R R i U i e R R [C] (.55) R R R kde R je celkový tepelný odpor konstrukce v m.k/w. Na závěr zbývá upozornit, že pro výpočty vnitřní povrchové teploty v technické praxi používá odpor při přestupu tepla na vnitřní straně konstrukce R = 0, m.k/w pro výplně otvorů a R = 0,5 m.k/w pro ostatní konstrukce.

.. Elektrická analogie Všimněme podobnosti mezi vztahy pro výpočet hustoty tepelného toku vedením, prouděním a sáláním: cd R [W/m ] (.56) c R [W/m ] (.57) c r R [W/m ] (.58) r kde R je tepelný odpor vrstvy nebo konstrukce v m.k/w R c tepelný odpor při přestupu prouděním v m.k/w tepelný odpor při přestupu sáláním v m.k/w R s Pro tepelné odpory při přestupu platí: R R c r [m.k/w] (.59) h c [m.k/w] (.60) h r kde h c je součinitel přestupu tepla prouděním v W/m.K h r součinitel přestupu tepla sáláním v W/m.K Vztahy (.56) až (.58) jsou podobné Ohmovu zákonu pro elektrický obvod (Obr. -9): U I G U [A] (.6) R R kde I je intenzita elektrického proudu v A G elektrická vodivost v S (Siemens, S = m kg s A = Ω ) U elektrické napětí (rozdíl elektrických potenciálů) ve V R elektrický odpor v Ω elektrický potenciál v uzlu j ve V j I R U Obr. -9: Schéma elektrického obvodu, Ohmův zákon Analogie mezi elektrickým proudem v elektrickém obvodu a šířením tepla je zřejmá. Intenzita elektrického proudu mezi dvěma uzly elektrického obvodu závisí na odporu a rozdílu potenciálu mezi uzly. Čím větší je rozdíl potenciálu (napětí), tím větší je intenzita elektrického proudu. Se zvyšujícím odporem intenzita elektrického proudu klesá. To samé platí pro vztah mezi tepelným tokem (nebo hustotou tepelného toku), rozdílem teploty a tepelným odporem (Tab. -).

Tab. -: Elektrická analogie Elektrická veličina elektrický potenciál [V] elektrické napětí U = - [V] elektrický odpor R [Ω] elektrická vodivost G R [S] Tepelná veličina teplota [ C], T [K] rozdíl teplot = [ C], T = T T [K] tepelný odpor R [m.k/w] (tepelný odpor vrstvy, souvrství, konstrukce, odpor při přestupu tepla nebo odpor při prostupu tepla) obrácená hodnota tepelného odporu K [W/(m.K)]: obrácená hodnota tepelného odporu vrstvy, souvrství nebo konstrukce K R součinitel přestupu tepla (obrácená hodnota odporu při přestupu tepla) K h R součinitel prostupu tepla (obrácená hodnota odporu při prostupu tepla) K U RT intenzita elektrického proudu U I G U [A] R R hustota tepelného toku K R [W/m ] tepelný tok A A K [W] R Elektrická analogie pomáhá při řešení tepelných problémů. Umožňuje přehledné, schématické zobrazení problému a zápis matematického modelu pro jeho řešení. Tepelný problém můžeme představit jako elektrický obvod stavený z větví, které spojují v uzlech. Větve s tepelnými odpory a dalšími prvky podle Tab. - uspořádají tak, že každá reprezentuje určitý způsob šíření tepla nebo cestu pro šíření tepla (např. přestup tepla sáláním na vnitřním povrchu v modelu stěny nebo prostup tepla oknem v modelu budovy Obr. -0). Uzly reprezentují místa známou (předepsanou) nebo neznámou teplotou - např. povrch konstrukce, rozhraní mezi vrstvami konstrukce nebo teplotu vzduchu v místnosti. Pro uzel v elektrickém obvodu platí, že součet intenzit elektrického proudu, které vstupu jí do uzlu je rovný součtu intenzit vystupujících v uzlu (první Kirchhoffův zákon). To samé platí v ustáleném stavu pro tepelné toky vstupující a vystupující z uzlu jejich součet je rovný nule a teplota v uzlu nemění. V neustáleném stavu nemusí být součty vstupujících a vystupujících tepelných toků navzájem sobě rovné. V uzlu akumuluje teplo, což projeví změnou teploty v ča. Změna teploty je úměrná tepelné kapacitě, kterou je potřeba uzlu přiřadit. Tato pravidla jsou klíčová pro řešení tepelných problémů, protože umožňují stavit tepelné bilance v jednotlivých uzlech. Řešení problémů v neustáleném stavu není do této publikace zařazeno. Informace je zde uvedena pro úplnost.

4 Q sol i přestup tepla vedení stěnou přestup tepla e R R R Q sol R T R T i e i R T e R T4 Obr. -0: Příklady tepelných problémů zobrazených pomocí elektrické analogie. Vlevo prostup tepla stěnou. Vpravo tepelná bilance budovy. Tab. - Základní prvky elektrické analogie Prvek Matematický vztah Grafická značka uzel Φ 0 j j uzel s kapacitou (pro výpočty v neustáleném stavu) j d Φj C d t C odpor/vodivost Φ A A K R R,K předepsaná teplota = 0 předepsaný tepelný tok (do uzlu) = 0 0 Složitá schémata tepelných problémů s více odpory zapojenými sériově nebo paralelně je možné postupně zjednodušovat podle pravidel známých z teorie elektrických obvodů (Tab. -). To umožňuje zjednodušit matematický model složitých problémů.

Tab. -: Pravidla pro úpravy obvodů Případ Schéma před úpravou Schéma po úpravě Odpory/vodivosti zapojené sériově R,K R,K R N,K N R,K N N R R n n N... K K K K N Odpory/vodivosti zapojené paralelně Více předepsaných teplot Více předepsaných tepelných toků do jednoho uzlu R,K R,K R,K R N,K N R,K R,K R N,K N N... R R R R N N K K n N K K R,K n n n N ekv Kn n K n R K ekv ekv Předepsaná teplota s vodivostí a předepsaný tok do jednoho uzlu N R 0,K 0 0 Φ ekv N Φ n R 0,K 0 n ekv 0 ekv Φ 0 K 0 0 V tepelných problémech řešených ve stavební tepelné technice je často potřeba vypočítat neznámé teploty. Při výpočtu v ustáleném stavu je možné postupovat např. takto: určí známé veličiny určí neznámé teploty analyzuje tepelné chování řešeného systému a jeho součástí pokud je to potřeba, zavedou zjednodušující předpoklady pro řešení problému

staví schéma (model) problému pomocí elektrické analogie je-li to možné, schéma zjednoduší pomocí známých pravidel, každá neznámá teplota však má mít ve schématu svůj uzel pro každý uzel s neznámou teplotou staví bilance tepelných toků - rovnice, která říká, že součet tepelných toků do uzlu rovná součtu tepelných toků z uzlu z bilančních rovnic staví soustava rovnic, jejímž řešením jsou neznámé teploty výsledek řešení zkontroluje dosazením vypočítaných teplot zpět do bilančních rovnic Podobným způsobem může postupovat i v případech, kdy neznámá není teplota, ale jiná veličina, např. tepelný tok nebo tepelný odpor nějakého prvku. Bilanční rovnice staví pro vhodně zvolené uzly tak, aby v nich figurovaly všechny neznámé veličiny. Příklad použití elektrické analogie Pro obvodovou stěnu z Obr. -0 mají vypočítat povrchové teploty a. Známé veličiny: vnitřní teplota i = 0 C odpor při přestupu tepla na vnitřním povrchu R = 0, m.k/w tepelný odpor stěny R = m.k/w odpor při přestupu tepla na vnitřním povrchu R = 0,04 m.k/w venkovní teplota e = -0 C Neznámé veličiny: teplota vnitřního povrchu teplota vnějšího povrchu Sestavíme bilanci tepelných toků pro uzly, které reprezentují vnitřní a venkovní povrch stěny. Bilance tepelných toků pro vnitřní povrch hustota tepelného toku z uzlu i do uzlu,, musí rovnat hustotě tepelného toku z uzlu do uzlu, : ( i ) ( ) R R Bilance tepelných toků pro venkovní povrch hustota tepelného toku z uzlu do uzlu,, musí rovnat hustotě tepelného toku z uzlu do uzlu e, : ( ) ( e) R R Soustava rovnic: ( i ) ( ) R R ( ) ( e) R R Soustava rovnic po úpravě: R R R R i R R R R e Soustava rovnic po dosazení čílných hodnot známých veličin:, 0, 60, 0, 60 Řešení: = 8,8 C, = -9,6 C

. Komplexní modelové příklady.. Obvodová stěna Zadání Uvažujte obvodovou stěnu s touto skladbou (od interiéru): železobetonová stěna tl. 00 mm, tepelná vodivost,6 W/m K tepelná izolace tl. 50 mm, tepelná vodivost 0,05 W/m K pohledové zdivo z plných cihel tl. 50 mm, tepelná vodivost W/m K Teplota vnitřního vzduchu je 0 C a teplota venkovního vzduchu -5 C. Je noc, obloha je zatažená. Fouká vítr o rychlosti 4 m/s. Vypočítejte teploty na vnitřním povrchu, vnějším povrchu a na rozhraní vrstev konstrukce. Vykreslete průběh teploty, vypočítejte tepelnou ztrátu. Řešení Známé veličiny: tloušťky jednotlivých materiálových vrstev d až d součinitele tepelné vodivosti pro materiál každé vrstvy až teplota vnitřního vzduchu i = 0 C teplota venkovního vzduchu e = -5 C rychlost větru v = 4 m/s Neznámé veličiny: teploty na vnitřním a venkovním povrchu konstrukce, a teploty na rozhraní materiálových vrstev, a, tepelná ztráta obvodové stěny vyjádříme jí hustotou tepelného toku [W/m ] Další potřebné informace: nejsou Analýza problému: Teplo šíří skrz stěnu z vnitřního prostředí do vnějšího. Z vnitřního prostředí teplo šíří na povrch konstrukce prouděním a sáláním. Uvnitř konstrukce, mezi vnitřním a vnějším povrchem, teplo šíří vedením. Z vnějšího povrchu teplo může do vnějšího prostředí šířit těmito způsoby: prouděním (vítr) sáláním proti obloze (oblohu představujeme jako fiktivní povrch, jehož teplota závisí na oblačnosti) sáláním proti povrchu země (terénu) sáláním proti povrchům okolních těles (např. stěny okolních budov) Kromě toho může výměnu tepla na vnějším povrchu ovlivnit také sluneční záření. Protože uvažujeme noční zataženou oblohu, můžeme rovnou říci, že slunečním zářením počítat nebudeme. Hustota tepelného toku prouděním z vnějšího povrchu stěny závisí na rychlosti větru. Pro výpočet hustoty každého z výše uvedených tepelných toků sáláním je potřeba dopředu odhadnout teploty sálajících povrchů (včetně teploty vnějšího povrchu řešené stěny) a jejich vzájemné poměry sálání. Poměr sálání F i,j dvou povrchů přitom závisí na jejich vzájemném prostorovém uspořádání. Schéma problému:

zatažená obloha re r = e i,, re r = e okolní povrchy ce e re povrch země r = e h ce R R R R i,, h re e Obr. -: Schéma problému Předpoklady řešení: ustálený stav předpokládáme, že v hodnotě tepelné vodivosti tepelné izolace = 0,05 W/m K je již zahrnutý vliv tepelných mostů (kotvení přizdívky k železobetonové stěně) protože pro vnitřní prostředí nejsou předepsány žádné zvláštní podmínky, vyjádříme přestup tepla z vnitřního prostředí na povrch konstrukce obvyklou hodnotou odporu při přestupu tepla R = 0, m K/W přestup tepla z vnějšího povrchu by bylo možné, při zadaných podmínkách, přibližně započítat pomocí běžné hodnoty odporu při přestupu tepla R = 0,04 m K/W (tato hodnota byla stanovena pro podobné podmínky jako v tomto příkladu. My však pro výpočet přestupu tepla stavíme podrobnější bilanci tepelných toků pro vnější povrch, ve které budeme odděleně uvažovat přestup tepla prouděním a sáláním pro odhad součinitele přestupu tepla prouděním použijeme vztah h ce = 4 + 4 v (kap...) a budeme předpokládat rychlost větru v = 4 m/s budeme zjednodušeně předpokládat, že teplota zatažené oblohy je stejná, jako teplota venkovního vzduchu (rozumný předpoklad běžně používaný pro podobné případy) teplotu povrchu země a teplotu povrchů okolních těles při zatažené obloze budeme zjednodušeně uvažovat stejnou jako teplota venkovního vzduchu (oblačnost brání sálavé výměně mezi tělesy na zemském povrchu a jasnou oblohou viz následující příklad). Všechna tělesa, vůči kterým může vnější povrch stěny sálat, můžeme tedy souhrnně chápat jako jediný povrch s jedinou (sálavou) povrchovou teplotou r = e. Problém zjednodušuje na případ sálání dvou povrchů vzájemným poměrem sálání F = (veškerý sálavý tepelný tok z povrchu (vnější stěna) dopadá přímo, bez odrazů na povrch ( náhradní povrch), což v tomto případě platí). Navíc, plocha stěny A je zanedbatelně malá oproti ploše tohoto náhradního povrchu A a jejich vzájemný poměr A / A můžeme považovat za rovný nule. tento předpoklad nám podstatně zjednoduší výpočet především proto, že nebudeme mut stanovovat poměry sálání povrchu stěny a každého dalšího sálajícího povrchu. Takový výpočet je

obecně komplikovaný a v našem případě nemožný, neboť nemáme informace o poloze okolních těles a povrchu země. pro výpočet součinitele přestupu tepla sáláním z vnějšího povrchu stěny musíme dopředu odhadnout jeho teplotu budeme zjednodušeně předpokládat, že teplota vnějšího povrchu je rovná teplotě vnějšího vzduchu = e Postup řešení: stavíme bilanci tepelných toků pro všechna místa v konstrukci, kde chceme zjistit teplotu pro vnitřní povrch, vnější povrch a obě rozhraní materiálových vrstev předpokládáme ustálený stav součet tepelných toků směrem k libovolnému místu v konstrukci a směrem z tohoto místa musí být rovný nule získáme čtyři rovnice, kde neznámými jsou teploty na vnitřním a vnějším povrchu stěny a na rozhraní vrstev řešením soustavy rovnic získáme hodnoty,,, a, správnost výsledku zkontrolujeme vypočítáme tepelnou ztrátu konstrukce vykreslíme průběh teploty protože konstrukce je složena z homogenních materiálových vrstev, bude průběh teploty v každé vrstvě lineární Bilance tepelných toků: vnitřní povrch: 0 rozhraní vrstev, : 0 rozhraní vrstev, : 0 vnější povrch: ce re 0 Hustoty tepelných toků: ( ) h ( ) R i i ( ) K ( ) R., ( ) K ( ) R,,,, ( ) K ( ) R,, h ( ) ce ce e h ( ) re re e ce re Soustava rovnic (neznámé jsou,,,, a, hodnoty ostatních veličin jsou zadané nebo dopočítají): h ( ) K ( ) 0 i, K ( ) K ( ) 0,,, K ( ) K ( ) 0,,, K ( ) h ( ) h ( ) 0, Po roznásobení: ce e re e

h h K K i, 0 K K K K,,, 0 K K K K,,, 0 K K h h h h, ce ce e re re e 0 Po úpravách: ( h K ) K h, i K ( K K ) K 0,, K ( K K ) K 0,, K ( K h h ) ( h h ), ce re re e Vyčíslení: Výpočet tepelných odporů a tepelných vodivostí jednotlivých vrstev je uspořádán do tabulky: Tab. -4: Výpočet tepelných odporů a tepelných vodivostí Vrstva i [ - ] Materiál Tloušťka di [m] Tepelná vodivost i Tepelný odpor Ri = di /i Tepelná vodivost Ki = / Ri [W/m K] [W/m K] [m K/W] železobeton 0,,6 0,5 8 tepelná izolace 0,5 0,05 0, zdivo z plných cihel 0,5 0,5 0,667 Tepelný odpor konstrukce R = ΣR i,75 0,05 h R 0, 7,69 W/(m K) Součinitel přestupu tepla prouděním na vnějším povrchu vypočítáme z rychlosti větru v = 4 m/s (viz Předpoklady řešení): hce 4 4 v 4 4 4 0 W/(m K) Součinitel přestupu tepla sáláním na vnějším povrchu vypočítáme z obecného vztahu pro sálání mezi dvěma povrchy: h re 4 T, A F A, Protože uvažujeme F, = a A /A = 0, zjednoduší vztah takto (indexem značí vnější povrch stěny, indexem souhrnně všechny ostatní sálající povrchy s teplotou r = e viz Předpoklady výpočtu): h re 4 T 4 T 0 0,, 4 T, Průměrnou teplotu sálání vypočítáme za předpokladu, že = e (viz Předpoklady řešení) a r = e :

T T T ( 7,5) ( 7,5) ( 5 7,5) ( 5 7,5) r, Po dosazení do vztahu pro h re: hre 4 T 45, 670 0,9 68,5,94 W/(m K) 8, Soustava rovnic po dosazení čílných hodnot: 5,69 8 5,846, 8 8, 0, 0,, 0, 7 6,667 0,, 0,667 0,60 9,678, 68,5 K Návody na řešení soustavy lineárních rovnic v tabulkovém procesoru lze najít na internetu. Výsledky: Teploty (po zaokrouhlení): = 9, C, = 8, C, = -,6 C = -4,7 C Kontrola výpočet hustot tepelných toků: Do výpočtu je potřeba dosadit teploty zaokrouhlené na větší počet platných číl nebo zcela bez zaokrouhlení (např. při výpočtu v tabulkovém procesoru). Do zápisu uvedeného níže jsou pro přehlednost dosazeny teploty zaokrouhlené pouze na jedno detinné místo (což je pro kontrolu správnosti málo!). ( ) ( ) 7,69 (0 9,) 7,5 W/m h R i i ( ) ( ) 8 (9, 8,) 7,5 W/m K R., ( ) K ( ) 0, (8,,6) 7,5 W/m R,,,, ( ) K ( ) 6,667 (,6 4,7) 7,5 W/m R,, ( ) ( ) 5 ( 4,7 5) 7,57 W/m h R e e Hustoty tepelných toků shodují, což odpovídá předpokladu ustáleného stavu. Podobně můžeme dopočítat i hustotu tepelného toku mezi povrchy konstrukce : ( ) (9, 4,7) 7, 5 W/m R R R,75 Teploty tedy byly vypočítány správně. Tepelná ztráta obvodové stěny je 7, W/m. Průběh teploty je vynen do grafu:

Obr. -: Výsledný průběh teploty.. Obvodová stěna Zadání Uvažujte stejnou obvodovou stěnu jako v předchozím příkladu. Teplota vnitřního vzduchu je 0 C a teplota venkovního vzduchu -5 C. Uvažujte jasnou noc a vítr o rychlosti 4 m/s. Vypočítejte teploty na vnitřním povrchu, vnějším povrchu a na rozhraní vrstev konstrukce. Vykreslete průběh teploty, vypočítejte tepelnou ztrátu. Řešení Známé veličiny: tepelné vlastnosti jednotlivých materiálových vrstev: tepelné odpory R až R, tepelné propustnosti K až K (z předchozího příkladu) teplota vnitřního vzduchu i = 0 C teplota venkovního vzduchu e = -5 C rychlost větru v = 4 m/s Neznámé veličiny: teploty na vnitřním a venkovním povrchu konstrukce, a teploty na rozhraní materiálových vrstev, a, tepelná ztráta obvodové stěny vyjádříme jí hustotou tepelného toku [W/m ] Další potřebné informace: emivita vnějšího povrchu obvodové stěny Pro povrch zdiva z červených cihel můžeme použít hodnotu emivity = 0,9 (viz Přílohu ). Analýza problému: Způsob šíření tepla z vnitřního prostředí až k vnějšímu povrchu stěny je stejný jako v předchozím příkladu. Na vnějším povrchu dochází k přestupu tepla z povrchu do vnějšího prostředí těmito způsoby: prouděním (vítr) sáláním proti jasné obloze (obloha není zakryta oblačností, na rozdíl od předchozího příkladu je teplota jasné oblohy výrazně nižší než teplota vnějšího vzduchu) sáláním proti povrchu země (terénu) sáláním proti povrchům okolních těles (např. stěny okolních budov) Schéma problému:

jasná obloha re r = sky i,, re r = sky okolní povrchy ce e re povrch země r = sky h ce i R R R R,, Obr. -: Schéma problému h re e sky Předpoklady řešení: ustálený stav předpokládáme, že v hodnotě tepelné vodivosti tepelné izolace = 0,05 W/m K je již zahrnutý vliv tepelných mostů (kotvení přizdívky k železobetonové stěně) protože pro vnitřní prostředí nejsou předepsány žádné zvláštní podmínky, vyjádříme přestup tepla z vnitřního prostředí na povrch konstrukce obvyklou hodnotou odporu při přestupu tepla R = 0, m K/W přestup tepla z vnějšího povrchu už není možné počítat pomocí běžné hodnoty odporu při přestupu tepla R = 0,04 m K/W, neboť v ní není zohledněno sálání proti jasné obloze pro výpočet přestupu tepla stavíme podrobnější bilanci tepelných toků pro vnější povrch, ve které budeme odděleně uvažovat přestup tepla prouděním a sáláním součinitel přestupu tepla prouděním h ce odhadneme stejným způsobem jako v předchozím příkladu teplotu jasné oblohy sky [ C] odhadneme v závislosti na teplotě vnějšího vzduchu e [ C] takto (platí pro případ svislého povrchu stěny, kap. 0):, 5, ( 5) 5 0,5 C sky e součinitel přestupu tepla sáláním h re s vlivem sálání proti jasné obloze vypočteme podobně jako v předchozím příkladu. Teplotu povrchu země a teplotu povrchů okolních těles budeme opět zjednodušeně uvažovat stejnou jako teplotu oblohy (tentokrát jako teplotu jasné oblohy sky). Teplotu vnějšího povrchu stěny budeme opět zjednodušeně uvažovat stejnou jako teplotu vnějšího vzduchu. Celý postup a jeho výhody jsou podrobněji vysvětleny v předchozím příkladu. Postup řešení: stavíme bilanci tepelných toků pro vnější povrch stěny předpokládáme ustálený stav součet tepelných toků směrem k vnějšímu povrchu a směrem z vnějšího povrchu musí být rovný nule

bilance tepelných toků pro vnitřní povrch a pro rozhraní mezi vrstvami konstrukce převezmeme z předchozího příkladu jejich obecná formulace zůstává platná i pro tento příklad získáme čtyři rovnice, kde neznámými jsou teploty na vnitřním a vnějším povrchu stěny a na rozhraní vrstev řešením soustavy rovnic získáme hodnoty,,,, a správnost výsledku zkontrolujeme z hodnot a vypočítáme hustotu tepelného toku skrz konstrukci, určíme směr tepelného toku a určíme, zda jedná o tepelnou ztrátu nebo o tepelný zisk pro vnitřní prostředí vykreslíme průběh teploty protože konstrukce je složena z homogenních materiálových vrstev, bude průběh teploty v každé vrstvě lineární Bilance tepelných toků: vnitřní povrch: 0 rozhraní vrstev, : 0 rozhraní vrstev, : 0 vnější povrch: ce re 0 Hustoty tepelných toků: ce re Pro výpočet hustot tepelných toků a až platí vztahy uvedené v předchozím příkladu. Pro hustoty tepelných toků z vnějšího povrchu stěny platí: h ( ) ce ce e h ( ) re re sky V hustotě tepelného toku re je souhrnně započítáno sálání vnějšího povrchu stěny proti obloze, okolním povrchům i povrchu země (viz Předpoklady řešení) Soustava rovnic (neznámé jsou,,,, a, hodnoty ostatních veličin jsou zadané nebo dopočítají): h ( ) K ( ) 0 i, K ( ) K ( ) 0,,, K ( ) K ( ) 0,,, K ( ) h ( ) h ( ) 0, Po roznásobení: ce e re sky h h K K i, 0 K K K K,,, 0 K K K K,,, 0 K K h h h h, ce ce e re re sky 0 Po úpravách: ( h K ) K h, i K ( K K ) K 0,, K ( K K ) K 0,,

K ( K h h ) h h, Vyčíslení: ce re ce e re sky Tepelné odpory a tepelné propustnosti vrstev konstrukce byly vypočítány v předchozím příkladu a pro tento příklad zůstávají stejné. Stejná zůstávají i hodnoty součinitelů přestupu tepla h a h ce. Součinitel přestupu tepla sáláním na vnějším povrchu vypočítáme z upraveného vztahu (odvození z obecného vztahu pro sálání mezi dvěma povrchy viz předchozí příklad): hre 4 T, Průměrnou teplotu sálání vypočítáme za předpokladu, že = e a sky = -0,5 C (viz Předpoklady řešení): T T T ( 7,5) ( 7,5) ( 5 7,5) ( 0, 5 7,5) 65, 4 K sky, Po dosazení do vztahu pro h re : hre 4 T 45, 670 0,9 65, 4,8 W/(m K) 8, Soustava rovnic po dosazení čílných hodnot: 5,69 8 5,846, 8 8, 0, 0,, 0, 7 6,667 0,, 0,667 0, 48 40,066, Návody na řešení soustavy lineárních rovnic v tabulkovém procesoru lze najít na internetu. Výsledky: Teploty (po zaokrouhlení): = 9 C, = 8, C, = -4,4 C = -5,6 C Kontrola výpočet hustot tepelných toků: Do výpočtu je potřeba dosadit teploty zaokrouhlené na větší počet platných číl nebo zcela bez zaokrouhlení (např. při výpočtu v tabulkovém procesoru). Do zápisu uvedeného níže jsou pro přehlednost dosazeny teploty zaokrouhlené pouze na jedno detinné místo (což je pro kontrolu správnosti málo!). ( ) ( ) 7,69 (0 9) 7,508 W/m h R i i ( ) ( ) 8 (9 8,) 7,508 W/m K R., ( ) K ( ) 0, (8, 4,4) 7,508 W/m R,,,, ( ) ( ) 6,667 (4,4 5,6) 7,508 W/m K R,,

h ( ) h ( ) 0 ( 5,6 5),86 ( 5,6 0,5) 7,508 W/m ce re ce e re sky Hustoty tepelných toků shodují, což odpovídá předpokladu ustáleného stavu. Podobně můžeme dopočítat i hustotu tepelného toku mezi povrchy konstrukce: ( ) (9 5,6) 7,508 W/m R R R,75 Teploty tedy byly vypočítány správně. Tepelná ztráta obvodové stěny je 7,5 W/m. Průběh teploty je vynen do grafu: Obr. -4: Výsledný průběh teploty.. Obvodová stěna Zadání Uvažujte stejnou obvodovou stěnu jako v předchozím příkladu. Teplota vnitřního vzduchu je 0 C a teplota venkovního vzduchu -5 C. Je den, bez oblačnosti, na stěnu dopadá sluneční záření s celkovou intenzitou 400 W/m (vztaženo na m povrchu stěny). Fouká vítr o rychlosti 4 m/s. Vypočítejte teploty na vnitřním povrchu, vnějším povrchu a na rozhraní vrstev konstrukce. Vykreslete průběh teploty, vypočítejte tepelnou ztrátu. Řešení Známé veličiny: tepelné vlastnosti jednotlivých materiálových vrstev: tepelné odpory R až R, tepelné propustnosti K až K (z předchozích příkladů) teplota vnitřního vzduchu i = 0 C teplota venkovního vzduchu e = -5 C emivita vnějšího povrchu obvodové stěny = 0,9 (z předchozího příkladu) teplota jasné oblohy pro stěnu při teplotě venkovního vzduchu -5 C, sky = -0,5 C (z předchozího příkladu) celková intenzita slunečního záření vztažená na m povrchu stěny I sol = 400 W Neznámé veličiny: teploty na vnitřním a venkovním povrchu konstrukce a, a teploty na rozhraní materiálových vrstev, a, tepelná ztráta obvodové stěny vyjádříme jí hustotou tepelného toku [W/m ]

Další potřebné informace: pohltivost slunečního záření pro vnější povrch sol [ - ] Pro povrch přizdívky z plných cihel můžeme použít hodnotu sol = 0,75 (viz Přílohu ) Analýza problému: Způsob šíření tepla z vnitřního prostředí až k vnějšímu povrchu stěny je stejný jako v předchozích dvou příkladech. V tomto příkladu je ovšem tepelná bilance vnějšího povrchu navíc ovlivněna slunečním zářením. Část energie slunečního záření dopadajícího na vnější povrch stěny je pohlcena přemění na teplo. Povrch stěny ohřeje, jeho teplota bude vyšší než teplota vnějšího vzduchu. Dochází k šíření (přestupu) tepla z vnějšího povrchu do vnějšího prostředí: prouděním (vítr) dlouhovlnným sáláním proti povrchům okolních těles a proti zemskému povrchu dlouhovlnným sáláním proti jasné obloze (jasnou obloha představujeme jako povrch s velmi nízkou teplotou) Tyto procesy jsou podrobněji popsány v předchozích dvou příkladech a při jejich výpočtu budeme postupovat obdobně. Teplota vnějšího povrchu bude závit na vzájemném poměru tepelných zisků (tepelný tok stěnou z vnitřního prostředí a pohlcená energie slunečního záření) a ztrát (tepelný tok prouděním a sáláním do vnějšího prostředí). Pokud bude výsledná teplota vnějšího povrchu vyšší, než teplota vnitřního povrchu ( > ), bude teplo z vnějšího povrchu šířit také směrem k vnitřnímu povrchu. Pokud bude ( < ), bude teplo šířit konstrukcí z vnitřního povrchu směrem k vnějšímu podobně jako v případě bez slunečního záření, který jsme zvyklí uvažovat v běžných výpočtech. Zatím budeme předpokládat, že <. Schéma problému: Schéma problému je uvedeno na Obr. -5 Předpoklady řešení: ustálený stav předpokládáme, že v hodnotě tepelné vodivosti tepelné izolace = 0,05 W/m K je již zahrnutý vliv tepelných mostů (kotvení přizdívky k železobetonové stěně) protože pro vnitřní prostředí nejsou předepsány žádné zvláštní podmínky, vyjádříme přestup tepla z vnitřního prostředí na povrch konstrukce obvyklou hodnotou odporu při přestupu tepla R = 0, m K/W přestup tepla z vnějšího povrchu už není možné počítat pomocí běžné hodnoty odporu při přestupu tepla R = 0,04 m K/W, neboť v ní není zohledněno sálání proti jasné obloze ani vliv slunečního záření pro výpočet přestupu tepla stavíme podrobnější bilanci tepelných toků pro vnější povrch, ve které budeme odděleně uvažovat přestup tepla prouděním, přestup tepla sáláním a vliv slunečního záření součinitel přestupu tepla prouděním h ce odhadneme stejně jako v předchozím příkladu (opět budeme předpokládat rychlost větru v = 4 m/s) součinitel přestupu tepla sáláním h re s vlivem sálání proti jasné obloze vypočteme stejně jako v předchozím příkladu. Teplotu povrchu země a teplotu povrchů okolních těles budeme opět zjednodušeně uvažovat stejnou jako teplotu oblohy. Teplotu vnějšího povrchu stěny budeme opět zjednodušeně uvažovat stejnou jako teplotu vnějšího vzduchu. Celý postup a jeho výhody jsou podrobněji vysvětleny v předchozím příkladu. Předpoklad, že teplota povrchu země a ostatních okolních povrchů shoduje s teplotou jasné oblohy je konzervativní. V případě jasné oblohy s poměrně intenzivním slunečním zářením bude skutečná povrchová teplota terénu a těles na zemském povrchu pravděpodobně vyšší, možná bližší teplotě venkovního vzduchu. Naší volbou pravděpodobně opět nadhodnotíme tepelnou ztrátu stěny, tentokrát významněji, než v předchozím příkladu.

sluneční záření sol re r sky jasná obloha i,, re r = sky okolní povrchy ce e re povrch země r = sky sol R R R R h ce i,, h re e sky Obr. -5: Schéma problému Postup řešení: stavíme bilanci tepelných toků pro vnější povrch stěny předpokládáme ustálený stav součet tepelných toků směrem k vnějšímu povrchu a směrem z vnějšího povrchu musí být rovný nule bilance tepelných toků pro vnitřní povrch a pro rozhraní mezi vrstvami konstrukce převezmeme z předchozích příkladů jejich obecná formulace zůstává platná i pro tento příklad získáme čtyři rovnice, kde neznámými jsou teploty na vnitřním a vnějším povrchu stěny a na rozhraní vrstev řešením soustavy rovnic získáme hodnoty,,,, a správnost výsledku zkontrolujeme z hodnot a vypočítáme hustotu tepelného toku skrz konstrukci, určíme směr tepelného toku a určíme, zda jedná o tepelnou ztrátu nebo o tepelný zisk pro vnitřní prostředí vykreslíme průběh teploty Bilance tepelných toků: vnitřní povrch: 0 rozhraní vrstev, : 0 rozhraní vrstev, : 0 vnější povrch: sol ce re sol ce re 0 Hustoty tepelných toků: Vztahy pro výpočet hustot tepelných toků, až, ce a re a jejich hodnoty jsou shodné jako v předchozím příkladu, proto je vynecháme. Hustota tepelného toku ze slunečního záření vypočítá takto:

I sol sol sol Soustava rovnic (neznámé jsou,,,, a, hodnoty ostatních veličin jsou zadané nebo dopočítají): h ( ) K ( ) 0 i, K ( ) K ( ) 0,,, K ( ) K ( ) 0,,,, K ( ) I h ( ) h ( ) 0 Po roznásobení: sol ce e re sky h h K K i, 0 K K K K,,, 0 K K K K,,, 0 K I K h h h h, sol ce ce e re re sky 0 Po úpravách: ( h K ) K, K h ( K K), K, 0 K, ( K K), K 0 K K h h ), Vyčíslení: ( ce re I i sol h ce h e re Tepelné odpory R a tepelné vodivosti K vrstev konstrukce byly vypočítány v předchozím příkladu a pro tento příklad zůstávají stejné. Stejné zůstávají i hodnoty součinitelů přestupu tepla na vnitřním povrchu h a na vnějším povrchu h ce a h re. Soustava rovnic po dosazení čílných hodnot: sky

5,69 8 5,846, 8 8, 0, 0,, 0, 7 6,667 0,, 0,667 0, 48 59,94, Návody na řešení soustavy lineárních rovnic v tabulkovém procesoru lze najít na internetu. Výsledky: Teploty (po zaokrouhlení): = 9,5 C, = 9,0 C, = 7,5 C = 6,9 C Průběh teploty je vynen do grafu: Obr. -6: Výsledný průběh teploty Kontrola výpočet hustot tepelných toků: Do výpočtu je potřeba dosadit teploty zaokrouhlené na větší počet platných číl nebo zcela bez zaokrouhlení (např. při výpočtu v tabulkovém procesoru). Do zápisu uvedeného níže jsou pro přehlednost dosazeny teploty zaokrouhlené pouze na jedno detinné místo (což je pro kontrolu správnosti málo!). ( ) ( ) 7,69 (0 9,5),854 W/m h R i i ( ) ( ) 8 (9,5 9),854 W/m K R., ( ) K ( ) 0, (9 7,5),854 W/m R,,,, ( ) K ( ) 6,667 (7,5 6,9),854 W/m R,, Hustota tepelného toku mezi povrchy konstrukce:

( ) (9,5 6,9),854 W/m R R R,75 Hustoty tepelných toků shodují, což odpovídá předpokladu ustáleného stavu. Liší ovšem hodnota hustoty tepelného toku z vnějšího povrchu stěny do vnějšího prostředí: h ( ) h ( ) 0 (6,9 5),86 (6,9 0,5) 0,854 W/m ce re ce e re sky Rozdíl hustoty tepelného toku a hustoty tepelného toku v jiných místech konstrukce je přesně 00 W/m = sol = sol I sol. Rovnováha tepelných toků na vnějším povrchu je tedy zachována: sol ce re sol,854 00 0,854 0 Teploty tedy byly vypočítány správně. Tepelná ztráta obvodové stěny je,9 W/m...4 Obvodová stěna 4 Zadání Uvažujte podobnou obvodovou stěnu jako v předchozím příkladu. Vnější přizdívka z pohledových cihel však nahradí stejně tlustou neprovětrávanou vzduchovou mezerou. Ta je z vnitřní strany vymezena povrchem tepelné izolace a z vnější strany skleněnou tabulí. Na povrchu tepelné izolace (směrem do vzduchové dutiny) je z výroby nanena tenká difuzní fólie černé barvy. Skladba konstrukce (od interiéru): železobetonová stěna tl. 00 mm, tepelná vodivost,6 W/m K tepelná izolace tl. 50 mm, tepelná vodivost 0,05 W/m K difuzní fólie, černá barva, tl. 0, mm, tepelná vodivost 0, W/m K neprovětrávaná vzduchová mezera, tl. 50 mm čiré sklo, tl. 4 mm, tepelná vodivost W/m K Teplota vnitřního vzduchu je 0 C a teplota venkovního vzduchu -5 C. Je den, bez oblačnosti, na stěnu dopadá sluneční záření s celkovou intenzitou 400 W/m (vztaženo na m povrchu stěny). Fouká vítr o rychlosti 4 m/s. Vypočítejte teploty na vnitřním povrchu, vnějším povrchu a na rozhraní vrstev konstrukce. Vykreslete průběh teploty, vypočítejte tepelnou ztrátu. Řešení Známé veličiny: tepelné vlastnosti materiálových vrstev a : tepelné odpory R a R, tepelné propustnosti K a K (z předchozích příkladů) tloušťka vzduchové mezery (vrstva 4): d 4 tloušťky materiálových vrstev a 5: d a d 5 součinitele tepelné vodivosti pro materiál vrstev a 5: a 5 barva vnějšího povrchu vrstvy : černá emivita vnějšího povrchu obvodové stěny = 0,9 (z předchozího příkladu) teplota vnitřního vzduchu i = 0 C teplota venkovního vzduchu e = -5 C rychlost větru v = 4 m/s teplota jasné oblohy pro stěnu při teplotě venkovního vzduchu -5 C sky = -0,5 C (z předchozího příkladu) celková intenzita slunečního záření vztažená na m povrchu stěny I sol = 400 W