NÁPOVĚDA K SOFTWAROVÉMU PRODUKTU OPTIMALIZACE NÁKLADŮ

NÁPOVĚDA K SOFTWAROVÉMU PRODUKTU OPTIMALIZACE NÁKLADŮ ÚVOD Teno ex doplňující sowarový produk ukazuje aplikaci uvedených přísupů na příkladu exisujícího mosu se zbykovou dobou živonosi 5 le, průměrnými náklady na zajišění bezpečnosi a průměrnými následky poruchy. OPTIMALIZACE NÁKLADŮ Očekávané celkové náklady C o mohou bý obecně uvažovány jako souče očekávaných nákladů na konrolu, údržbu, současné a budoucí modernizace a nákladů souvisejících s poruchou mosu. Opimalizované paramery d mohou popisova odolnos, provozuschopnos, živonos, údržbu, konrolu, sraegii modernizace apod. Předpokládá se, že opimalizovaný paramer d popisuje způsob zesílení mosu, avšak neovlivňuje konrolu, údržbu ani budoucí opravy. Too může bý rozumný předpoklad pro mnoho prakických případů. Obecně se náklady na modernizaci v době hodnocení skládají z: - nákladů C 0 nezávislých na opimalizovaném parameru d (náklady spojené s návrhem, ekonomickými zráami v důsledku omezení dopravy nebo přerušení provozu, náklady na objízdných rasách apod.), - nákladů C m na jednoku opimalizovaného parameru d. Dále se přepokládá, že náklady na modernizaci mohou bý poměrně dobře odhadnuy na základě předchozích zkušenosí. Náklady na poruchu C náklady spojené s následky poruchy mosu mohou zahrnova (v závislosi na ypu objeku): - náklady na opravu, nebo nový mos - ekonomické zráy (škody na vozidlech, zpoždění dopravy, poškození dopravní inrasrukury na objízdných rasách, ekonomické zráy podnikaelských subjeků v dočeném regionu ad.) - sociální následky (náklady na zranění osob) - nepříznivé dopady na živoní prosředí (zvýšené emise CO a spořeba paliv na objízdných rasách) - psychologické dopady (zráa repuace). Odhad nákladů C je důležiý a aké velmi obížný krok při opimalizaci nákladů. Do odhadu je důležié zahrnou nejen přímé následky poruchy (následky poruchy jednolivých prvků), ale aké nepřímé následky (čásečná nebo úplná zráa unkčnosi celého mosu nebo dočené silniční rasy). Náklady na poruchu a modernizaci se musí vyjádři pro sejný časový okamžik. Náklady na modernizaci jsou běžně sanoveny v akuální ceně. Všechny očekávané náklady na poruchy, keré mohou nasa během zbykové živonosi, by se měly sanovi podobně, a o v akuálních cenách. To vede k očekávaným nákladům na poruchu: E C, d C, d d C, d re re d () re

kde C značí akuální hodnou nákladů na poruchu; re je zbyková živonos; a (,d) je podmíněná pravděpodobnos daná vzahem: (,d) = [p (,d)] / {( + q) [ - p (,d)]} () kde p ( ) značí pravděpodobnos poruchy; ( ) je derivace podle času a q je roční diskonní sazba (například 0.03 - průměrná dlouhodobá hodnoa skuečné diskonní sazby v různých evropských zemích). Při ěcho předpokladech lze očekávané celkové náklady vyjádři jako: V případě modernizace: E[C o ( re ;d)] = C 0 + C m d +, d V případě přijeí současného savu: E[C o ( re )] = d re C d (3a) re C d (3b) kde d 0 je hodnoa opimalizovaného parameru d před modernizací. Předešlé zkušenosi ukazují, že je vhodnější analyzova relaivní náklady vzažené k reerenčním počáečním nákladům C re (náklady na nový konsrukční prvek/konsrukci idenický s exisujícím prvkem/konsrukcí). Rovnice (3a) a (3b) pak může bý zapsána jako: V případě modernizace: C o ( re ;d)/c re = c o ( re ;d) = C 0 /C re + C m /C re d +, d d = c 0 + c m d + c, d V případě přijeí současného savu: c o ( re ) = d C C re re, 0 re re (4a) d c d (4b) Náklady vzažené k C re budou nadále značeny malým písmenem c. Poznamenáme, že symbol očekávaných nákladů užiý v rovnicích () a (3) je dále vynechán pro zjednodušení značení. Celkové náklady C o a c o dosahují minima pro sejnou hodnou opimalizovaného parameru d. Z rovnice (4a) se opimální hodnoa opimalizovaného parameru d op (opimální sraegie modernizace) může sanovi jako: minimum d c o ( re ;d)] = c o ( re ;d op ) (5) Z ekonomického hlediska je přijeí současného savu vhodné, pokud náklady podle rovnice (4b) jsou menší než celkové náklady pro opimální modernizaci. Z rovnic (4a) a (5) vyplývá, že hodnoa d op je nezávislá na c 0., 0 3 SMĚRNÁ SPOLEHLIVOST ZALOŽENÁ NA MINIMALIZACI NÁKLADŮ Opimální sraegie modernizace by měla vés ke směrné spolehlivosi odpovídající hodnoě d op : up = - - [p ( re ;d op )] (6) kde - ( ) je inverzní disribuční unkce normovaného normálního rozdělení.

Nicméně celkové náklady dané rovnicemi (4b) a (5) je pořebné porovna, aby bylo možné rozhodnou, zda mos modernizova, či nikoliv. Liminí hodnoa d 0lim opimalizovaného parameru d před modernizací je pak sanovena následovně:, 0 lim d = c 0 + c m d op + c, d op c d re re d (7) Pro d 0 < d 0lim je úroveň spolehlivosi exisujícího mosu příliš nízká, následky poruchy budou vysoké a rozhodnuí k modernizaci dle opimální modernizační sraegie povede k nižším celkovým nákladům. Naopak pro d 0 > d 0lim je akuální sav vyhovující a jakákoliv modernizace by vedla k vyšším celkovým nákladům. Minimální index spolehlivosi 0 udává, odkdy mos nevyhovuje spolehlivosním požadavkům a měla by bý modernizována. Minimální index spolehlivosi se odvodí ze vzahu: 0 = - - [p ( re ;d 0lim )] (8) 4 PŘÍPADOVÁ STUDIE Aplikace posupu opimalizace nákladů je vysvělena na příkladu hodnocení spolehlivosi obecného prvku modelového mosu. Reerenční doba se rovná zbykové živonosi. Analyzovaný prvek je vysaven sálému zaížení a zaížení dopravou. Neuvažuje se vliv degradace. Opimalizovaný paramer d popisuje poměr odolnosi prvku k odolnosi požadované Eurokódy pro nové konsrukce. Nejdříve se spolehlivos prvku ověřila meodou dílčích součinielů. Z deerminisického hodnocení vyplývá, že spolehlivos je nedosačující (d 0 0.75). 4. Pravděpodobnosní analýza spolehlivosi Pravděpodobnos poruchy získáme ze vzahu: p (d,) = P{K R R(d) K E [G + Q re ] < 0} (9) kde Q re je maximální hodnoa zaížení dopravou vzažená k živonosi re. Uvažované charakerisické hodnoy a použié pravděpodobnosní modely základních veličin, keré jsou založené na doporučeních JCSS [] a nedávné sudii [], jsou dány v ab.. Tab.. Modely pro základní veličiny. Veličina Sym. Rozdělení x k X / x k V X Odolnos před modernizací R lognormální 0.77.9 0.5 Sálé zaížení G normální 0.33 0.05 Zaížení dopravou ( rok) Q Gumbelovo (max) 0.33 0.6 0. Nejisoa odolnosi K R lognormální 0.05 Nejisoa účinků zaížení K E lognormální 0. x k = charakerisická hodnoa; X = průměr; V X = variační koeicien. Pro reerenční dobu se průměrná hodnoa zaížení dopravou upraví dle vzahu: Q,re = Q ( + 0.78V Q ln re ) (0) 3

Index spolehlivosi =.3 je nízký a spolehlivos prvku se zdá bý nedosačující. 4. Vsupní údaje pro opimalizaci nákladů Opimalizace celkových nákladů je založena na následujících předpokladech: () Náklady související s poruchou společně s různými řídami následků CC (EN 990 [3]) se mohou odhadnou z da v [4]: - c = až 3 pro řídu následků CC, - c = 5 až 0 pro CC, - c = 0 až 50 pro CC3. () Náklady na modernizaci C 0 nezávislé na opimalizovaném parameru d jsou dominanní kvůli zráám způsobeným omezeními dopravy, zaímco osaní náklady (průzkumy a návrh) jsou zanedbaelné. Na základě zkušenosí se uvažuje c 0 = 0.7. Pro speciické případy hodnocení konsrukce může bý nuné hodnou c 0 akualizova. (3) Na základě dosupných saisických da se mezní náklady c m na jednoku opimalizovaného parameru mohou sanovi jako: c m 0.5 d / d 0 0.3, pro: < d / d 0 <.5 () (4) Úroková sazba je q = 3 %. Předpokládá se, že rovnice (), kerá je založena na dosupných zkušenosech s ocelovými prvky, vede pro věšinu mosních konsrukcí k nižším nákladům c m. Podobně jako pro c 0 vede rovnice k vyšším (konzervaivním) hodnoám 0 a up. 4.3 Opimalizace modernizace a rozhodnuí o modernizaci založené na opimalizaci nákladů Celkové náklady dané rovnicí (4a) zohledňují pravděpodobnos poruchy (9) a jsou opimalizovány s ohledem na paramer d. Obrázek ukazuje závislos celkových nákladů c o a indexu spolehlivosi na opimalizovaném parameru d pro řídu následků CC. Z obrázku vyplývá, že pro c,min se provede modernizace ak, aby bylo dosaženo up =.7. Pro c,max je opimální dosáhnou při modernizaci up = 3.. 4

c o (d 0, re ), c o (d, re ) 0.35 modernizace 0.8 β β(d, re ) 4.5 4.0 0. 3.5 0.4 0.07 3.0.5 β up 3. (c,max ) β up.7 (c,min ) 0. d op / d 0 =.07 (c,min ) d op / d 0 =.6 (c,max ) bez modernizace.0..3.4 d / d 0 Obrázek. Celkové náklady a index spolehlivosi v závislosi na opimalizovaném parameru pro CC (5 < c < 0). Užiím rovnic (7) a (8) se pro c,min a c,max získá minimální index spolehlivosi 0.7-.. Poznamenáme, že kriéria na bezpečnos osob by měla bý brána v úvahu společně s ekonomickými aspeky, pokud porucha může ohrozi lidský živo. Nedávná sudie [5] ukazuje, že úrovně spolehlivosi pro bezpečnosi osob zpravidla rozhodují o směrné spolehlivosi mosů. Také se ukázalo, že úrovně spolehlivosi pro bezpečnos osob (připomeneme, že zde se uvažují sejné požadavky na bezpečnos osob u exisujících i nových konsrukcí) jsou nižší, než směrné spolehlivosi pro navrhování konsrukcí v souladu s EN 990 [3]. Tao zjišění lze vysvěli následujícím způsobem: - Pro exisující mosy je modernizace nákladná a ekonomická kriéria vedou k opimálním spolehlivosem nižším, než jsou požadavky na zajišění bezpečnosi osob. - Pro nové mosy jsou náklady na zajišění spolehlivosi nižší a je možné (ekonomicky opimální) navrhova na vyšší úrovně spolehlivosi, než keré odpovídají požadavkům na lidskou bezpečnos. 5

LITERATURA [] JCSS (006) JCSS Probabilisic Model Code, Zurich: Join Commiee on Srucural Saey, 006. <hp://www.jcss.ehz.ch/>. [] Holický, M. & Sýkora, M. (0) Convenional probabilisic models or calibraion o codes. In Proc. ICASP, eds. M.H. Faber, J. Köhler and K. Nishijima, Leiden: CRC Press/Balkema, pp. 969-976. [3] EN 990 (00) Eurocode - Basis o srucural design, Brussels: CEN, 00. [4] Kanda, J. & Shah, H. (997) Engineering role in ailure cos evaluaion or buildings, Sruc.Sa. Vol. 9, No., pp. 79-90. [5] Sykora, M. & Holicky, M. (0) Targe reliabiliy levels or he assessmen o exising srucures - case sudy (submied or publicaion). In Proc. IALCCE 0, eds. A. Srauss, K. Bergmeiser and D.M. Frangopol, Leiden: CRC Press/Balkema, pp. 8. 6

TA00334 Opimalizace bezpečnosi a živonosi exisujících mosů Sowarový produk v Mahcadu je zaměřený na analýzu spolehlivosi a opimalizaci konsrukčních prvků mosních konsrukcí na zaížení dopravou. Je možné měni paramery označené rámečkem, výsledky jsou vyznačeny žluě. Volba vsupních údajů a jednolivé kroky opimalizace jsou vysvěleny v souboru "napoveda". V produku jsou odkazy na nápovědu označeny učně a kurzívou.. Vsupní daa unkce mezního savu a zápis veličin vzah (9) Z( X) = R KE ( G + S) = X X ( X3 + X4) poče náhodných veličin nvar:= 4 dílčí součiniele spolehlivosi γg:=.35 ξ:= 0.85 γq:=.35 ψq:= 0.4 paramer zohledňující vliv sálého zaížení a zaížení dopravou χ:= 0.5 χ:= Q K G K + Q K Dokumen Adobe Acroba klikněe pro nápovědu zbyková živonos := 5 poměr akuální a požadované odolnosi oddíl 4 d 0 := 0.75 paramery modelové nejisoy odolnosi ab. mkr:= VKR:= 0.05 m... průměr V... variační koeicien paramery modelové nejisoy zaížení ab. s... směrodaná odchylka w... šikmos mke:= VKE:= 0. paramery odolnosi bez vlivu modernizace ab. mr0:= VR0:= 0.5 paramery akualizované odolnosi mr =.00 VR = 0.58 sr = 0.6 wr = 0.48

návrhová odolnos rd = 0.6 charakerisická odolnos rk = 0.77 charakerisické hodnoy podle kombinace zaížení (6.0a, 6.0b) qk( χ, d 0 ) 0.33 = gk χ, d 0 = 0.33 variační koeicien pro roční maxima zaížení dopravou ab. VQ:= 0. variační koeicien sálého zaížení ab. VG:= 0.05 průměrná hodnoa -leých maxim zaížení dopravou vzah (0) = 0.35 mq χ, d 0,. Analýza spolehlivosi χ = 0.50 d 0 = 0.75 indexy spolehlivosi pro zbykovou živonos 5 a 30 le.30 β χ, d 0, 5 =.8 = β χ, d 0, 30 3 (,, 0) (,, 50) β var, d 0, β var d 0 β var d 0.5.5 0. 0. 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 Obr.. Index spolehlivosi vzhledem k poměru sálého a užiného zaížení χ pro různé doby zbykové živonosi var

3. Opimalizace 3. Vsupní daa úroková sazba q:= 0.03 empiricky sanovený poměr nákladů na modernizaci závislý na opimalizovaném parameru d (současná hodnoa) oddíl 4. c m ( χ, d, ) := 0.5 d 0.3 d 0 empiricky sanovený poměr nákladů na modernizaci nezávislý na opimalizovaném parameru d (současná hodnoa) oddíl 4. c 0 := 0.7 c pro různé řídy následků (minimální-maximální hodnoa) oddíl 4. c := 5 0 3 0 50 reálný rozsah opimalizovaného parameru: hodnoa parameru po modernizaci nemůže bý nižší než hodnoa před modernizací (d 0 ), předpokládá se, že zesilování na více než 40 % původní hodnoy není ekonomicky opimální očekávané náklady, pokud konsrukce není modernizována vzah (4b) d min := d 0 d max :=.4 d 0 nin p χ, d, nin i p χ, d, max 0.00, ( i ) nin Cnr( χ, d, c, ) := c Cnr 0.5, d 0, c,, i= ( i 0.5) p χ, d, ( i 0.5) nin nin ( + q) očekávané náklady, pokud konsrukce je modernizována vzah (4a) = 0.89 nin p χ, d, nin i p χ, d, max 0.00, ( i ) nin Cr( χ, d, c, ) := c m ( χ, d, ) + c 0 + c Cr 0.5,.5 d 0, c,, i= ( i 0.5) p χ, d, ( i 0.5) nin ( + q) nin 3. Opimalizace χ = 0.50 = 5.00... volba řídy následků oddíl 4. cc:= = 0.35

0.35 0.8 Cnr( χ, d 0, c cc,, ) Cnr χ, d 0, c cc,, 0. Cr χ, var, c cc,, Cr χ, var, c cc,, 0.4 4 i( < β( χ, var, ), β( χ, var, ),"") 3 0.07 0...3 var d 0 Obr.. Normované celkové náklady jako unce poměru d/d 0 pro různá c,min a c,max pro zvolenou řídu následků; index spolehlivosi v závislosi na d/d 0. opimální modernizační sraegie vzah (5)

op( χ, c, ) := d d op d min C0 0 0 d max d min nop C C0 while C C0 < 0 C0 C d op d op + d C Cr χ, d op, c, d op d d op C Cr χ, d op, c, d op C opimální hodnoa parameru d pro c,min a c,max podle zvolené řídy následků vzah (5) d op ( χ, c, ) := op( χ, c, ) d op χ, c, cc, =.07 d 0 d op χ, c, cc, =.6 d 0 opimální hodnoa indexu spolehlivosi odpovídajícímu d op pro c,min a c,max podle zvolené řídy následků vzah (6) β up ( χ, c, ) := β χ, d op ( χ, c, ),.69 β up χ, c, cc, = 3.3 = β up χ, c, cc, výpoče minimální přijaelné hodnoy d 0 a β 0 vzah (7)

op( χ, c, ) := d d max d min nop dop d op ( χ, c, ) dlim dop while Cr( χ, dop, c, ) Cnr( χ, dlim, c, ) > 0 dlim dlim dlim d dlim + d b0 β( χ, dlim, ) dlim b0 minimální přijaelná hodnoa d 0 pro c,min a c,max podle zvolené řídy následků vzah (7) d lim ( χ, c, ) := op( χ, c, ) 0.67 d lim χ, c, cc, = 0.74 = d lim χ, c, cc, liminí index spolehlivosi β 0 pro c,min a c,max podle zvolené řídy následků vzah (8) β 0 ( χ, c, ) := β χ, d lim ( χ, c, ),.66 β 0 χ, c, cc, =.0 = β 0 χ, c, cc,