PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA

Náhodná proměnná Náhodná veličina slouží k popisu výsledku pokusu. Před provedením pokusu jeho výsledek a tedy ani sledovanou hodnotu neznáme. Přesto bychom chtěli tento pokus popsat. K tomu slouží náhodná proměnná (náhodná veličina). Hrajete Člověče, nezlob se a chcete vědět, kdo z vás nejrychleji postupuje. Tedy chceme vědět, co vám bude průměrně padat na kostce. Uděláme víc hodů a z čísel, která padnou uděláme aritmetický průměr. Tento postup lze použít pro kostku: Jak podobnou informaci získáte pro tyto kostky:

Náhodná proměnná Nechť Ω je základní prostor a příslušné jevové pole. Zobrazení X: Ω R se nazývá náhodná proměnná, pokud pro libovolné x R množina, X ( ) x. Označení: Množinu, X ( ) x budeme zkráceně zapisovat {X < x} Množinu, X ( ) x budeme zkráceně zapisovat {X = x} Protože, X ( ) x pro každé x R, lze spočítat pravděpodobnost tohoto náhodného jevu a tím lze definovat funkci F: F( x) P, X ( ) F(x) = P(X < x) Tato funkce se nazývá distribuční funkce náhodné veličiny X. F: R 0, 1. x

Náhodná proměnná Vlastnosti distribuční funkce náhodné proměnné:.

Náhodná proměnná Obor hodnot náhodné proměnné X nazýváme základní soubor a označíme Z. Z x R; x X (), Pokud množina Z je konečná, nebo spočetná, náhodná proměnná se nazývá diskrétní. Pokud množina Z je nespočetná, náhodná proměnná se nazývá spojitá. Příklad distribuční funkce diskrétní a spojité náhodné proměnné:

Diskrétní náhodná proměnná Pokud je náhodná proměnná diskrétní, tak její distribuční funkce roste (skokově) pouze v konečně či spočetně mnoha izolovaných bodech z reálné osy. x, x, 2 Z x, x, 2, x, Z, 1 x n 1 k Pak velikost růstu distribuční funkce v bodě x k lze vyjádřit P(X = x k ). Označme: p(x) = P(X = x) Funkci p(x) nazýváme pravděpodobnostní funkcí diskrétní náhodné proměnné X. Pomocí pravděpodobnostní funkce lze vytvořit příslušnou distribuční funkci vztahem: F ( x) p( t) tx

Diskrétní náhodná proměnná Vlastnosti pravděpodobnostní funkce náhodné proměnné:.

Diskrétní náhodná proměnná - příklad Mějme krabičku o rozměrech 1 x 2 x 3 cm. Na stranách jsou obrázky: : Ω ={strom, houba, kytka, slunce, dům, ryba} Pravděpodobnost jednotlivých elementárních jevů odpovídá velikosti plochy. Nechť je nadefinovaná náhodná proměnná X následovně: X(strom)=1, X(houba)=3, X(kytka)=-1, X(slunce)=π, X(dům)=10, X(ryba)=7. Spočtěte pravděpodobnostní a distribuční funkci.

Spojitá náhodná proměnná Základní soubor u spojité náhodné proměnné je nespočetná množina. Z je tedy podmnožina množiny reálných čísel (R). Distribuční funkce spojité náhodné proměnné je spojitá funkce. Hustota pravděpodobnosti spojité náhodné proměnné je funkce: f :, 0, Pro kterou platí: f ( x) dx 1 Pomocí hustoty pravděpodobnosti lze vytvořit příslušnou distribuční funkci vztahem: x F ( x) f ( t) dt

Spojitá náhodná proměnná Vlastnosti hustoty pravděpodobnosti spojité náhodné proměnné:.

Spojitá náhodná proměnná - příklad Mějme nadefinovanou následující hustotu pravděpodobnosti: Spočtěte c, hustotu pravděpodobnosti a distribuční funkci.

Číselné charakteristiky náhodných proměnných Charakteristiky náhodných proměnných dělíme nejčastěji na charakteristiky polohy a variability. Mezi charakteristiky polohy se nejčastěji řadí: střední hodnota, medián, modus. Mezi charakteristiky variability se nejčastěji řadí: rozptyl, směrodatná odchylka, průměrné odchylka. Další používané charakteristiky: šikmost, špičatost.

Číselné charakteristiky náhodných proměnných Střední hodnota náhodné veličiny X je reálné číslo E(X) Pro diskrétní NP: Pro spojitou NP: E ( X ) x p( x) xz E ( X ) x f ( x) dx pokud příslušná řada, resp. integrál, absolutně konverguje. Poznámka: - střední hodnotu diskrétní NP lze uvažovat jako vážený aritmetický průměr, kde pravděpodobnosti p(x) jsou uvažovány jako váhy. - střední hodnotu spojité NP lze uvažovat jako x- složka těžiště plochy ohraničené osou x s hustotou f(x).

Číselné charakteristiky náhodných proměnných Vlastnosti střední hodnoty:

Číselné charakteristiky náhodných proměnných Medián náhodné veličiny X je reálné číslo x ~ x 0,5 Nechť p (0, 1). p kvantil náhodné proměnné je reálné číslo: inf x Z, F( x) p x p Pokud p = 0.5, p kvantil se nazývá medián Pokud p = 0.25, (resp.0,75), p-kvantil se nazývá dolní kvartil (horní kvartil) Modus náhodné veličiny X je reálné číslo xˆ, které je maximem (suprémem) pravděpodobnostní funkce, resp. hustoty pravděpodobnosti. p( xˆ) p( x) f ( xˆ) f ( x)

Číselné charakteristiky náhodných proměnných Rozptyl náhodné veličiny X rozumíme reálné číslo D(X) Výraz E X pro diskrétní NP: pro spojitou NP: 2 ( X E( 2 )) 2 X E( ) 2 D( X ) E X D( X ) E X se spočítá podle vzorce: pokud příslušná řada, resp. integrál, absolutně konverguje. E ( g( X )) g( x) p( x) xz E ( g( X )) g( x) f ( x) dx

Číselné charakteristiky náhodných proměnných Vlastnosti rozptylu:

Číselné charakteristiky náhodných proměnných Směrodatná odchylka náhodné veličiny X je reálné číslo σ(x) ( X ) D( X ) Průměrná odchylka náhodné veličiny X je reálné číslo d(x) d ( X ) E X E( X )

Číselné charakteristiky náhodných proměnných Šikmost náhodné veličiny X s nenulovým rozptylem je reálné číslo A 3 (X) Vlastnosti: A 3 ( X ) E ( X E( X )) ( X ) 3 3

Číselné charakteristiky náhodných proměnných Špičatost náhodné veličiny X s nenulovým rozptylem je reálné číslo A 4 (X) Vlastnosti: A E ( X E( X )) ( X ) 4 ( X ) 4 4 3

Diskrétní náhodná proměnná - příklad Mějme krabičku o rozměrech 1 x 2 x 3 cm. Na stranách jsou obrázky: : Ω ={strom, houba, kytka, slunce, dům, ryba} Pravděpodobnost jednotlivých elementárních jevů odpovídá velikosti plochy. Nechť je nadefinovaná náhodná proměnná X následovně: X(strom)=1, X(houba)=3, X(kytka)=-1, X(slunce)=π, X(dům)=10, X(ryba)=7. Spočtěte charakteristiky náhodné proměnné.

Spojitá náhodná proměnná - příklad Mějme nadefinovanou následující hustotu pravděpodobnosti: Spočtěte charakteristiky náhodné proměnné.