PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA

Transkript

1 PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA

2 Náhodná proměnná Náhodná veličina slouží k popisu výsledku pokusu. Před provedením pokusu jeho výsledek a tedy ani sledovanou hodnotu neznáme. Přesto bychom chtěli tento pokus popsat. K tomu slouží náhodná proměnná (náhodná veličina). Hrajete Člověče, nezlob se a chcete vědět, kdo z vás nejrychleji postupuje. Tedy chceme vědět, co vám bude průměrně padat na kostce. Uděláme víc hodů a z čísel, která padnou uděláme aritmetický průměr. Tento postup lze použít pro kostku: Jak podobnou informaci získáte pro tyto kostky:

3 Náhodná proměnná Nechť Ω je základní prostor a příslušné jevové pole a (R,B) je měřitelný prostor (tj. B je borelovská σ-algebra minimální algebra obsahující všechny otevřené množiny). Zobrazení X: Ω R se nazývá náhodná proměnná vzhledem k, Pokud 1 B B: X ( B) : X ( ) B V dalším výkladu se většinou omezíme na množiny: B, x. Pak zobrazení X: Ω R se nazývá náhodná proměnná, pokud pro libovolné x R množina, X ( ) x. V některé literatuře se uvádí, X ( ) x Označení: Množinu, X ( ) B budeme zkráceně zapisovat {X B} Množinu, X ( ) x budeme zkráceně zapisovat {X < x} Množinu, X ( ) x budeme zkráceně zapisovat {X = x}

4 Náhodná proměnná funkční charakteristiky Protože, X ( ) x pro každé x R, lze spočítat pravděpodobnost tohoto náhodného jevu a tím lze definovat funkci F: Tato funkce se nazývá distribuční funkce náhodné veličiny X. F( P, X ( ) F( P X x x

5 Náhodná proměnná funkční charakteristiky Z definice vyplývají vlastnosti: 1. F( je neklesající 2. F( je zleva spojitá 3. lim F( 0 a x lim F( 1 x Naopak: Má-li funkce F( : R R výše uvedené vlastnosti, pak existuje pravděpodobnostní prostor,, P a něm definovaná náhodná veličina X, tak že F( je její distribuční funkcí.

6 Náhodná proměnná funkční charakteristiky Další vlastnosti: F( má nejvýše spočetně mnoho bodů nespojitosti F( 1, x, P( a X ) 1 F( a), a, P( X a) lim F(, a xa, P( X a) lim F( F( a), a xa, P( a X b) F( b) F( a), a b, a, b, P( a X b) lim F( F( a), a b, a, b xb P( a X b) F( b) lim F(, a b, a, b xa,, P( a X b) lim F( lim F(, a b, a, b xb xa,

7 Náhodná proměnná funkční charakteristiky Obor hodnot náhodné proměnné X nazýváme základní soubor a označíme Z. Z x R; x X (), Pokud množina Z je konečná, nebo spočetná, náhodná proměnná se nazývá diskrétní. Pokud množina Z je nespočetná, náhodná proměnná se nazývá spojitá. Příklad distribuční funkce diskrétní a spojité náhodné proměnné:

8 Diskrétní náhodná proměnná Nechť,, P je pravděpodobnostní prostor. Řekneme, že náhodná veličina X je diskrétní (vzhledem k P), právě tehdy, když existuje nejvýše spočetná množina Z R taková, že P( Z) 1. Funkci p( P( X, xr nazýváme pravděpodobnostní funkcí diskrétní náhodné veličiny X. Pokud je náhodná proměnná diskrétní, tak její distribuční funkce roste (skokově) pouze v konečně či spočetně mnoha izolovaných bodech z reálné osy. Z x, x, 2, Z x, x, 2, x, 1 x n 1 k Pak velikost růstu distribuční funkce v bodě x k lze vyjádřit P(X = x k ).

9 Diskrétní náhodná proměnná Vlastnosti pravděpodobnostní funkce diskrétní náhodné veličiny: p( 1, x, xz p( 1 F( p( t), x tx p( lim F( t) F( tx, P( x A) p(, A xa,

10 Má-li funkce Diskrétní náhodná proměnná p( : R R vlastnosti: p( 0, x, xz p( 1 Pak existuje pravděpodobnostní prostor,, P a něm definovaná diskrétní náhodná veličina X, tak že p( je její pravděpodobnostní funkce.

11 Diskrétní náhodná proměnná - příklad Mějme krabičku o rozměrech 1 x 2 x 3 cm. Na stranách jsou obrázky: : Ω ={strom, houba, kytka, slunce, dům, ryba} Pravděpodobnost jednotlivých elementárních jevů odpovídá velikosti plochy. Nechť je nadefinovaná náhodná proměnná X následovně: X(strom)=1, X(houba)=3, X(kytka)=-1, X(slunce)=π, X(dům)=10, X(ryba)=7. Spočtěte pravděpodobnostní a distribuční funkci.

12 Diskrétní náhodná proměnná - příklady Příklad: Náhodná veličina X udává počet líců při hodu 3. mincemi. Stanovte pravděpodobnostní prostor, základní soubor, pravděpodobnostní a distribuční funkci. Příklad: Házíte dvěma kostkami. Náhodná veličina X udává součet bodů na kostkách. Stanovte pravděpodobnostní prostor, základní soubor, pravděpodobnostní a distribuční funkci.

13 Diskrétní náhodná proměnná - příklad Mějme terč o poloměru 1, 1 první kruh má poloměr: 2 (k-1)-tý kruh má poloměr: atd. k 1 Ω ={1,2,3,4,5,6, }=N. Na terč házíte šipky. Pravděpodobnost jednotlivých elementárních jevů (zásahu do mezikruží) odpovídá velikosti jejich plochy. Spočtěte pravděpodobnostní a distribuční funkci.

14 Spojitá náhodná proměnná Nechť,, P je pravděpodobnostní prostor. Řekneme, že náhodná veličina X je spojitá (vzhledem k P), právě tehdy, když existuje nezáporná, po částech spojitá funkce f(, že pro všechna reálná čísla platí: Funkci f( nazýváme hustotou pravděpodobnosti náhodné veličiny X. x F ( f ( t) dt Distribuční funkce spojité náhodné proměnné je spojitá funkce, neboť je funkcí horní meze integrálu.

15 Spojitá náhodná proměnná Základní soubor Z u spojité náhodné proměnné je nespočetná množina. Z je tedy podmnožina množiny reálných čísel (R). Hustota pravděpodobnosti spojité náhodné proměnné je funkce: f :, 0, pro kterou platí: f ( dx 1 Pro hustotu pravděpodobnosti již nemusí platit podmínka 0 x 1 např. : f ( 5 1 x x f ( 1

16 Spojitá náhodná proměnná Vlastnosti hustoty pravděpodobnosti spojité náhodné proměnné: f ( 0, x, f ( dx 1 f ( F( P( X c) 0, c, P( x A) f ( dx, A, A P( a X b) P( a X b) P( a X b) P( a X b) f ( dx F( b) F( a) b a

17 Spojitá náhodná proměnná - příklad Mějme nadefinovanou následující hustotu pravděpodobnosti: Spočtěte c, hustotu pravděpodobnosti a distribuční funkci.

18 Funkce náhodná proměnné Nechť Ω je základní prostor a příslušné jevové pole a (R,B) je měřitelný prostor, zobrazení X: Ω R je náhodná proměnná a g: R R je borelovská funkce (tj. úplný vzor každé B B je z B). Pak složené zobrazení Y: Ω R dané vzorcem: Y( ) g( X ( )), je náhodná veličina. Náhodná veličina Y se nazývá transformovaná náhodná veličina. Nechť X je náhodná proměnná a F( je její distribuční funkce. Nechť g: R R, pak náhodná proměnná Y = g(x) má distribuční funkci: H( y) P( Y y) P( g( X ) y) tedy kde B y x R : g( y H ( y) df( B y

19 Funkce náhodná proměnné Pokud funkce g: R R je prostá, pak lze distribuční funkci proměnné Y vyjádřit ve tvaru: H( y) F( g H( y) 1 F( g 1 ( y)) 1 ( y)) pro rostoucí funkci g pro klesající funkci g. Pokud funkce g: R R není ryze monotóní, tak pro zvolenou hodnotu y spočítáme B y x R : g( y. Tuto množinu lze vyjádřit jako j sjednocení disjunkních množin (intervalů). Pak j B y j H( y) P X B y P( X B j j j y )

20 Funkce náhodná proměnné Pro diskrétní náhodnou proměnnou dostáváme: popřípadě: H ( y) p( xz B y H ( y) p( j j xz By Při označení C y x R : g( y funkci q(y) náhodné proměnné Y: q ( y) p( xz C y dostáváme pro pravděpodobnostní popřípadě: q ( y) p( j j xz Cy

21 Funkce náhodná proměnné Pro spojitou náhodnou proměnnou dostáváme: Popřípadě: H ( y) f ( dx B y H ( y) f ( dx j B j y Pokud g je prostá a existuje spojitá derivace její inverze, potom hustotu h(y) náhodné proměnné Y, lze vyjádřit ve tvaru: 1 1 h( y) f ( g ( y)) g ( y)

22 Funkce náhodná proměnné - příklad Mějme hustotu náhodné proměnné X: 2 a funkci y g( x. Spočtěte distribuční funkci a hustotu náhodné proměnné: Y g( X ) X 2