letní semestr Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy Matematická statistika

Transkript

1 Šárka Hudecová Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy letní semestr Založeno na materiálech doc. Michala Kulicha

2 veličina Definice Funkci X, která zobrazuje elementární jevy ω Ω na reálná čísla, nazýváme náhodná veličina. veličina X číselně vyjádřený výsledek náhodného pokusu předem neznáme její hodnotu, ale víme jakých hodnot může nabývat a s jakou pravděpodobností každému elementárnímu jevu ω přiřadí reálné číslo převádí elementární jevy (abstraktními objekty) na čísla její hodnota X(ω) se liší podle toho, který elementární jev ω Ω nastal

3 veličina příklad Příklad (Urna) Z urny, v níž je 1 bílá a 9 černých kouĺı, náhodně vytahujeme koule (a hned zase vracíme) tak dlouho, dokud nevytáhneme bílou kouli. Máme Ω = {všechny posloupnosti tažených kouĺı končící bílou}

4 veličina příklad Příklad (Urna) Z urny, v níž je 1 bílá a 9 černých kouĺı, náhodně vytahujeme koule (a hned zase vracíme) tak dlouho, dokud nevytáhneme bílou kouli. Máme Ω = {všechny posloupnosti tažených kouĺı končící bílou} Můžeme zavést například náhodné veličiny: X(ω) = celkový počet tažených kouĺı Y(ω) = počet tažených černých kouĺı Dozvíme-li se, které ω nastalo, tj. jaká byla posloupnost tažených kouĺı, známe okamžitě i hodnoty X a Y.

5 veličina další příklady počet nehod na dálnici D1 ve vybraný den počet gólů v zápase počet správně zodpovězených otázek v testu výška náhodně vybraného člověka (podobně jeho věk, výška, IQ...) délka života náhodně vybraného člověka životnost výrobku rychlost náhodně vybrané molekuly množství srážek v daný den...

6 veličina Značení Mějme náhodnou veličinu X : Ω R. Pak můžeme uvažovat pravděpodobnost náhodného jevu, že náhodná veličina nabude určité hodnoty, padne do určitého rozmezí atd. Např. P[X = x] P({ω Ω : X(ω) = x}) pro x R, P[X x] P({ω Ω : X(ω) x}) pro x R, P[X B] P({ω Ω : X(ω) B}) pro B R a tak podobně.

7 veličina příklad děti Příklad (Děti) Uvažujme rodinu, která má tři děti. Zaved me náhodné veličiny X určuje počet dcer a Y je počet starších bratrů nejmladšího dítěte. Prozkoumejme náhodné veličiny X a Y.

8 veličina příklad děti Příklad (Děti) Uvažujme rodinu, která má tři děti. Zaved me náhodné veličiny X určuje počet dcer a Y je počet starších bratrů nejmladšího dítěte. Prozkoumejme náhodné veličiny X a Y. Prostor elementárních jevů Ω je dán výčtem pohlaví dětí od nejstaršího do nejmladšího (uspořádané trojice). Ω = {SSS,SSD,SDS,DSS,DDS,DSD,SDD,DDD} (S je syn, D je dcera).

9 veličina příklad děti pokrač. Máme: ω X(ω) Y(ω) SSS 0 2 SSD 1 2 SDS 1 1 DSS 1 1 DDS 2 0 DSD 2 1 SDD 2 1 DDD 3 0 Lze předpokládat, že všechny ω jsou stejně pravděpodobné.

10 veličina příklad děti pokrač. veličina X může nabývat hodnot 0,1,2,3, a to s následujícími pravděpodobnostmi x P(X = x) Výpočet: P[X = 0] = {SSS} 8 atd. = 1 {SSD,SDS,DSS}, P[X = 1] = = veličina Y může nabývat hodnot 0,1,2, a s pstmi y P(Y = y)

11 veličina příklad děti pokrač. Podobně by nás mohla zajímat pravděpodobnost, s jakou je v rodině nejvýše jedna dcera v rodině je více než tři dcery počet starších bratrů nejmladšího je menší než čtyři

12 veličina příklad děti pokrač. Podobně by nás mohla zajímat pravděpodobnost, s jakou je v rodině nejvýše jedna dcera v rodině je více než tři dcery počet starších bratrů nejmladšího je menší než čtyři P[X 1] = {SSS,SSD,SDS,DSS} 8 =P(X = 0)+P(X = 1) P[X > 3] = 8 = 0 P[Y < 4] = Ω 8 = 8 8 = 1 = 4 8 = 1 2

13 Příklad Příklad V šupĺıku jsou tři páry ponožek ze stejného materiálu: zelené, modré a bílé. Po tmě náhodně vyberete dvě ponožky a aniž byste ověřili jejich barvu, vyrazíte v nich do školy. Necht X značí počet obutých bílých ponožek. Určete, jakých hodnot X nabývá a s jakými pravděpodobnostmi.

14 Příklady náhodných veličin počet nehod na dálnici D1 ve vybraný den počet gólů v zápase počet správně zodpovězených otázek v testu výška náhodně vybraného člověka (podobně jeho věk, výška, IQ...) délka života náhodně vybraného člověka životnost výrobku rychlost náhodně vybrané molekuly množství srážek v daný den... různé druhy náhodných veličin

15 Diskrétní náhodná veličina Terminologie Diskrétní náhodná veličina je taková náhodná veličina, která může nabývat jen konečně nebo spočetně mnoha různých hodnot. Nejčastější příklady počty (četnosti) nějakých událostí (počet gólů v zápase, počet narozených dívek, počet dopravních nehod,...) indikátory nějakého jevu (ano/ne, nastal/nenastal, pravda/lež), nebo indikátory členství v jedné z předem daných skupin (muž/žena, vzdělání základní/středoškolské/vysokoškolské, bydliště Praha/Ústecko/Pardubicko/...)

16 veličina příklad výška Příklad (Výška) Uvažujme náhodnou veličinu X, která udává výšku náhodně vybraného člověka. Jak si ji můžeme představit jako zobrazení Ω R?

17 veličina příklad výška Příklad (Výška) Uvažujme náhodnou veličinu X, která udává výšku náhodně vybraného člověka. Jak si ji můžeme představit jako zobrazení Ω R? Prostor elementárních jevů Ω je dán všemi faktory, které mohly ovlivnit výšku všech lidí zděděné geny, prodělané nemoci, úrazy,... všechny faktory, které mohly ovlivnit měření výšky nepřesnosti měření, jak se kdo nahrbil,... všechny faktory, které mohly vést k tomu, že právě onen člověk byl náhodně vybrán. Elementární jevy stanoveny tak, abychom z nich mohli určit změřenou výšku nelze je rozumně popsat je jich nespočetně mnoho.

18 veličina příklad výška na Ω použijeme obecnou (axiomatickou) definici pravděpodobnosti pravděpodobnost P (nám neznámá) udává P(A) všech jevů A Ω. Náhodnou veličinu X jakožto zobrazení z Ω do R nedokážeme popsat (nebot nedokážeme popsat Ω) to ale nevadí, nebot dokážeme pozorovat změřenou výšku. Jakých hodnot může nabývat změřená výška? libovolné kladné reálné číslo (pravděpodobnosti hodnot nad 250 cm považujeme za zanedbatelné) nelze mluvit o pravděpodobnost jednotlivých hodnot (jsou to reálná čísla je jich nespočetně)

19 Spojitá náhodná veličina Náhodnou veličinu uvažovanou v předchozím příkladě nazýváme veličinou spojitou. Terminologie Spojitá náhodná veličina je taková náhodná veličina, která může nabývat nespočetně mnoha různých hodnot (většinou interval reálných čísel, nebo jakékoli reálné číslo), přičemž každá konkrétní hodnota má nulovou pravděpodobnost. Příklady výsledek nějakého měření, který může nabývat velkého počtu hodnot uvnitř nějakého konečného či nekonečného intervalu výška, váha, hladina cholesterolu v krvi, věk v okamžiku smrti, doba do vyhoření žárovky, rychlost molekuly plynu

20 Poznámky příklad s dětmi vs. příklad s výškou: u počtu dětí jsme mohli použít klasickou definici psti, u výšky nikoliv klasickou definici lze použít u diskrétních veličin, a to pouze někdy většinou musíme pracovat s obecnou axiomatickou definicí pravděpodobnosti teoreticky pracujeme s prostorem elementárních jevů Ω (těžko popsatelný) na němž je zavedena nějaká (neznámá) pravděpodobnost P v praxi prostor Ω ale nemusíme znát, protože nám ho náhodná veličina převádí na reálná čísla

21 Diskrétní vs. spojité veličiny Diskrétní náhodná veličina nabývá konečně nebo spočetně mnoha hodnot x 1,x 2,... pravděpodobnosti P(X = x 1 ), P(X = x 2 ),... příklady: počty případů, indikátory jevů apod. Spojitá náhodná veličina nabývá hodnot z nějakého intervalu v R (nespočetně) nelze mluvit o pravděpodobnostech jednotlivých hodnot lze uvažovat pst, že X leží v nějakém intervalu, např (a,b) popisujeme tzv. hustotou f

22 Diskrétní vs. spojité veličiny Diskrétní náhodná veličina nabývá konečně nebo spočetně mnoha hodnot x 1,x 2,... pravděpodobnosti P(X = x 1 ), P(X = x 2 ),... příklady: počty případů, indikátory jevů apod. Spojitá náhodná veličina nabývá hodnot z nějakého intervalu v R (nespočetně) nelze mluvit o pravděpodobnostech jednotlivých hodnot lze uvažovat pst, že X leží v nějakém intervalu, např (a,b) popisujeme tzv. hustotou f Poznámka Existuje i něco mezi diskrétní a spojitou veličinou.

23 Rozdělení náhodné veličiny pravděpodobnost P na neznámém prostoru Ω dokážeme převést na funkci P X na R P X přiřazuje podmnožinám reálných čísel B R pravděpodobnost, že náhodná veličina X do nich padne příklad: náhodně vybraný člověk bude mít výšku mezi 165 a 175 cm P X ((165,175)) Pro každou B R totiž máme P X (B) = P[X B] = P{ω Ω : X(ω) B}. Funkci P X nazýváme náhodné veličiny X. Například můžeme uvažovat P X (,180 cm = P[X (,180 cm ] = P[X 180 cm].

24 Rozdělení náhodné veličiny Definice Rozdělením náhodné veličiny X definované na prostoru Ω s pravděpodobností P rozumíme předpis, který jednoznačně určuje všechny pravděpodobnosti typu P X (B) = P[X B] = P{ω Ω : X(ω) B} pro kteroukoli podmnožinu B R.

25 Rozdělení náhodné veličiny Rozdělení náhodné veličiny X jednoznačně určuje jakých hodnot může X nabývat a s jakými pravděpodobnostmi (jak často) Lze jej popsat několika různými způsoby ( předpisy ): distribuční funkcí u diskrétní veličiny pravděpodobnostmi P(X = x i ) u spojité veličiny hustotou

26 Význam náhodných veličin Náhodné veličiny převádějí abstraktní a většinou neznámou Ω na čísla pracuje se s nimi lépe slouží jako model pro naše empirická pozorování (data) v teorii pravděpodobnosti s nimi pracujeme teoreticky jejich považujeme za dané a zkoumáme jejich vlastnosti ve statistice se snažíme cosi usoudit o jejich neznámém na základě konkrétních realizací

27 Význam náhodných veličin příklad Necht X je IQ studentů prvního ročníku PřF teorie pravděpodobnosti předpokládá konkrétní, např. normální N(120, 20) zkoumá vlastnosti jako očekávaná hodnota, variabilita, pravděpodobnost výskytu génia, atd. na základě konkrétních pozorování (měření IQ u konkrétní skupiny studentů) se snaží odhadnout vhodné odhady teoretických vlastností, testy hypotéz Ted ale pokračujeme výkladem teorie pravděpodobnosti.

28 funkce Definice funkce F X náhodné veličiny X je funkce R 0,1 definovaná předpisem F X (x) = P[X x] pro x (, ). hodnota F X (x) je pst, že X nepřekročí x distribuční funkce jednoznačně určuje X známe-li F X (x) pro každé x dokážeme spočítat P[X B] pro libovolnou B R. např. P(X (a,b]) = F(b) F(a)

29 Vlastnosti distribuční funkce Věta funkce F X náhodné veličiny X 1 je neklesající; tj. x 1 < x 2 F(x 1 ) F(x 2 ) 2 je zprava spojitá; 3 F X (x) se bĺıží k 0 pro x ; 4 F X (x) se bĺıží k 1 pro x ; 5 F X (x) je konstantní na intervalu (a,b) právě, když P[X (a,b)] = 0.

30 funkce diskrétní veličiny Necht X je diskrétní náhodná veličina nabývající hodnot x 1 < x 2 < < x k s pravděpodobnostmi po řadě p 1,p 2,...,p k (musí platit k j=1 p j = 1 a p i (0,1)). Pak její distribuční funkci F X lze vyjádřit ve tvaru F X (x) = k:x k x p k a platí pro ni: 1 má skoky o velikosti p j v bodech x j, j = 1,...,k; 2 je konstantní v intervalech (x j,x j+1 ), j = 1,...,k 1; 3 má hodnotu 0 pro x < x 1 ; 4 má hodnotu 1 pro x x k.

31 Příklad děti Příklad (Děti) Uvažujme znovu rodinu s třemi dětmi a náhodnou veličinu X (počet dcer). Zkonstruujme distribuční funkci pro X. X je diskrétní, nabývá hodnot 0,1,2,3 s pravděpodobnostmi po řadě 1 8, 3 8, 3 8, 1 8.

32 Příklad děti Příklad (Děti) Uvažujme znovu rodinu s třemi dětmi a náhodnou veličinu X (počet dcer). Zkonstruujme distribuční funkci pro X. X je diskrétní, nabývá hodnot 0,1,2,3 s pravděpodobnostmi po řadě 1 8, 3 8, 3 8, 1 8. funkce má skoky v bodech 0,1,2,3 o velikostech 1 8, 3 8, 3 8, 1 8, je nulová pro x < 0 a jednotková pro x 3.

33 Příklad děti Obrázek: funkce počtu dcer F(x) x

34 Příklad Maxwellovo Příklad (Maxwellovo ) Maxwellovo udává rychlosti V částic ideálního plynu (rychlost = spojitá náhodná veličina) v trojrozměrném prostoru. Jeho distribuční funkce má tvar F V (v) P[V v] = 1 2π v 2 /a 2 0 z e z/2 dz, kt kde a =, k je Boltzmannova konstanta, T je teplota [K] m a m je hmotnost částice [kg].

35 Příklad Maxwellovo Obrázek: Maxwellovo : distribuční funkce rychlosti molekuly kysĺıku při F(v) [s/m] v [m/s]

36 Použití distribuční funkce Tvrzení Necht F X je distribuční funkce náhodné veličiny X. Pak platí 1 je-li (a,b] interval, pak P[X (a,b]] = P[X b] P[X a] = F X (b) F X (a), neboli pravděpodobnost, že X padne do určitého intervalu, je rovna rozdílu hodnot distribuční funkce v krajních bodech tohoto intervalu. 2 P[X = b] je dána velikostí skoku funkce F X v bodě b, tj. P[X = b] = lim hց0 P[X (b h,b ] = F X (b) lim hց0 F X (b h) (Je-li F v bodě b spojitá, pak P[X = b] = 0].

37 Příklad Maxwellovo Obrázek: Určení pravděpodobnosti daného rozmezí rychlostí molekuly z distribuční funkce Maxwellova (O 2, 25 ) F(v) [s/m] P[400<V<600] = v [m/s]

38 Hustota Necht X je spojitá náhodná veličina. Pak její distribuční funkce je spojitá a také diferencovatelná. Definice Pro spojitou náhodnou veličinu X s distribuční funkcí F X existuje funkce f X taková, že F X (x) = x f X (t)dt. Funkci f X nazýváme hustota náhodné veličiny X.

39 Hustota Necht X je spojitá náhodná veličina. Pak její distribuční funkce je spojitá a také diferencovatelná. Definice Pro spojitou náhodnou veličinu X s distribuční funkcí F X existuje funkce f X taková, že F X (x) = x f X (t)dt. Funkci f X nazýváme hustota náhodné veličiny X. Platí f X (x) = d dx F X(x) = F X (x), tj. hustota je derivací distribuční funkce (a naopak, distribuční funkce je primitivní funkcí k hustotě).

40 Hustota f(x) 0 1 Plocha: F(x 0 ) x 0 Distr. funkce 1 F(x 0 ) 0 x 0

41 Vlastnosti hustoty Máme náhodnou veličinu X s hustotou f X. Pak platí Věta 1 f X (x) 0 pro každé x R; 2 pro interval (a,b) platí P[X (a,b)] = P[a < X < b] = b a 3 f X (x) = 0 pro všechna x (a,b) právě když P[X (a,b)] = 0; 4 f X (x)dx = 1. f X (x)dx;

42 Vlastnosti hustoty Poznámka Předchozí věta říká: 1 hustota je nezáporná; 2 pravděpodobnost, že X padne do určitého intervalu, je dána plochou pod hustotou mezi krajními body intervalu; 3 hustota je na daném intervalu nulová právě když X do tohoto intervalu nemůže padnout; 4 celková plocha pod hustotou je rovna jedné.

43 Interpretace hustoty Pravděpodobnost, že spojitá náhodná veličina X padne do úzkého intervalu o délce h kolem bodu x: P[x h/2 < X < x+h/2] = F X (x+h/2) F X (x h/2) hf X (x) Tato aproximace funguje, pokud je h natolik malé, že se hustota f X na intervalu [x h/2,x +h/2] příliš nemění. je-li h malé, pak hf X (x) aproximuje pravděpodobnost, že X padne do intervalu x ±h/2 hodnota f X (x) ukazuje, jak často X padá do úzkého okoĺı bodu x, tj. jak je pravděpodobné, že X nabyde hodnoty v malém okoĺı x

44 Příklad Maxwellovo Příklad (Hustota Maxwellova ) Hustota náhodné veličiny V s Maxwellovým m (rychlost molekuly ideálního plynu) je dána vzorcem f V (v) = 2 a 3 2π v2 e v 2 2a 2 kt pro v > 0 (f V (v) = 0 pro v < 0), kde a = m, k je Boltzmannova konstanta, T je teplota [K] a m je hmotnost molekuly [kg].

45 funkce a hustota Maxwellova Obrázek: funkce a hustota rychlosti molekuly O 2 (25 ). F(v) Distr. funkce v [m/s] Hustota f(v) Plocha =

46 Příklad Maxwellovo Obrázek: Určení pravděpodobnosti daného rozmezí rychlostí molekuly z hustoty Maxwellova (O 2, 25 ) f(v) Plocha = v [m/s]

47 Rozdělení diskrétní veličiny U diskrétní veličiny X nemůžeme definovat hustotu jakožto derivaci distribuční funkce, ale místo toho specifikujeme: 1 množinu navzájem různých hodnot {x j,j = 1,2,...} jichž X může nabývat (nejvýše spočetná, může být konečná); 2 pravděpodobnosti p 1,p 2,... s nimiž X tyto hodnoty nabývá, tj. Musí platit j=1 p j = 1. p j = P[X = t j ], j = 1,2,...

48 Příklad diskrétní veličiny Obrázek: Rozdělení diskrétní veličiny P[X=k] k