Vzorová písemka č. 1 (rok 2015/2016) - řešení

Transkript

1 Vzorová písemka č. rok /6 - řešení Pavla Pecherková. května 6 VARIANTA A. Náhodná veličina X je určena hustotou pravděpodobností: máme hustotu { pravděpodobnosti C x pro x ; na intervalu f x jinde jedná se o spojitou náhodnou veličinu a vpočtěte konstantu C dále ted pracujeme s { f x x pro x ; jinde C x dx C C C [ x x dx C 6 ] C C integrál přes celou funkci musí být roven celé pravděpodobnosti, ted platí b a f xdx. Fx ˆx f tdt ˆx [ t dt t ] x x kontrola: F " ověřeno, že je spočtena distribuční funkce správně F 6 " c určete pravděpodobnost toho, že X je větší než., ale menší než.6, Tato úloha lze vřešit dvěma způsob: i přes hustotu pravděpodobnosti složitější varianta nebo ii přes distribuční funkci lehčí varianta P, < X <, 6 F,6 F, F,6 F F,6,6 6,6, 7 kontrola: doplněk musí být roven,6, protože F,6 F F F,6 celá pravděpodobnost P,6 < X < F F,6,6 6 6,6 6 6,6,6" b vpočtěte distribuční funkci náhodné veličin X, nahrazení t za x je pouze náhrada, ab výsledná distribuční funkce bla s proměnnou x. Integrál je od, tzn. od dolní meze, kde funkce nabývá hodnot Distrubuční funkce dává pravděpodobnost v bodě, ted P X x. Rozdíl dvou distribučních funkcí ted dá hledanou hodnotu pravděpodobnosti. F, jsme změnili za F, protože pravděpodobnost, že x < je rovna.

2 d určete střední hodnotu náhodné veličin X E[X] ˆb x f xdx x x dx x dx [ x a, 6 7 e určete rozptl náhodné veličin X ] Doporučuji použít následující vzorec D [X ] E [ X ] E [X ] výpočet je výrazně jednodušší a není potřeba velká znalost integrování vhneme se případně per partes apod. Na následujícím postupu si ukážeme jak na to: Kontrola na střední hodnotu není jednoduchá jako v předchozích případech. Ale je důležité, b střední hodnota ležela v zadaném intervalu, v tomto případě mezi a. Pokud neleží, je to špatně i. nejprve si spočítáme E [X ], protože E [X ] je střední hodnota a tu jsme spočítali v předchozím kroku Pozor! pokud máme špatně spočítanou střední hodnotu, bude i E [X ],6.7 špatně rozptl. ii. poté si spočítáme E [ X ], kde je výpočet podobný výpočtu střední hodnot s jedním rozdílem ve vzorci použijeme x místo x E [ X ] ˆb a x f xdx x x dx x dx [ x 6 ], iii. nakonec vpočteme rozptl jako rozdíl dvou výše vpočítaných hodnot D[X] E [ X ] E [X ],,7, 77 f nakreslete hustotu pravděpodobnosti a distribuční funkci včetně kompletního popisu os Ani zde není přímá kontrola. Ale pokud Vám vjde rozptl záporný, máte to špatně! Pozor: Tento popis není kompletní, chbí popis os. hustota pravděpodobnosti distribuční funkce

3 . Naměřili jste následující data Máme data s četností diskrétní 7 data není nutné nic integrovat Data si uspořádáme: Data je vhodné vžd uspořádat, protože se nestane, hodnota x i 7 že se poté spletu četnost n i 6 v počtu. Také se lépe hledá modus, Určete: medián atd. a střední hodnotu x n k i n i x i n znamená, počet všech hodnot, dále je zde k skupin tříd. Výpočet probíhá tak, že vnásobíme v každé skupině hodnotu s četností a vše sečteme. Na konci podělíme počtem hodnot nikoliv počtem skupin. b směrodatnou odchlku Nejdříve je vhodné si spočítat výběrový rozptl, až z toho se počítá směrodatná odchlka, protože platí že směrodatná odchlka je odmocninou rozptlu, ted s s. s k n i x i x k x i n i n i i [ 6 7 ] 6 6 protože se jedná o výpočet z výběru, jedná se ted o výběrový rozptl a rozptl se dělí n-. Dále nezapomeňte na to, že rozdíl se musí umocnit na druhou rozptl musí vjít kladný Směrodatná odchlka je ted s s, 7 c modus a medián medián je prostřední hodnota x, medián uspořádaného souboru, tzn. musíte mít hodnot ˆxmodus seřazené vzestupně od nejnižší do nejvší hodnot. Modus je nejčetnější hodnota. d nakreslete krabicový diagram Je potřeba si spočítat horní a dolní kvartil. V takovém případě není mo

4 Na tomto grafu chbí levý fous. Je to proto, že minimální hodnota je zároveň dolním kvartilem.. Mějme dvě náhodné veličin X a Y, kde X,Y {,,,}. Výsledk pokusu jsme zapsali do následující tabulk četností znaménko - znamená, že daná kombinace nenastala ani jednou Napište: X/Y a tabulkou sdruženou pravděpodobnostní funkci f x, kontrola: součet všech pravděpodobností musí být rovna. i j f x i, j 6 " V tuto chvíli máme dvě náhodné veličin definován pomocí četností jednotlivých kombinací. V tomto případě se ted bude jednat o diskrétní náhodné veličin není třeba integrovat. Sdruženou pravděpodobnost vtvoříme tak, že si nejdříve spočteme počet všech možných kombinací, v tomto případě. Poté podělíme jednotlivé četnosti tím celkovým počtem. Kontrolu je vhodné udělat. Pokud je špatně spočtena sdružená prp. fce, tak je celý zbtek příkladu špatně. b obě marginální pravděpodobností funkce Marginál je vhodné psát přímo f x, fx ke sdružené, ale - je nutné správně označit otočení - - f xza f není f považováno za chbu. f x je ted pravděpodobnost, že nastane stav, kd x zároveň pro všechna. kontrola: součet všech pravděpodobností u marginál f x resp. f musí být rovna. f x " f " ověřeno, že marginál mohou být správně Kontrolu je vhodné udělat. Pokud je špatně spočtena marginální prp. fce, bude špatně i podmíněná.

5 Mohou být správně znamená, že je součet pravděpodobností, ale že jsou t pravděpodobnosti správně spočten to neověří. c tabulkou obě podmíněné pravděpodobnostní funkce Podmíněné pravděpodobnosti jsou dvě: i f x a ii f x. Důležité je si vzpomenout na základní vzorce: VARIANTA B f x f x f x, f f x, f x f x f x použijeme vzorec použijeme vzorec Opravdu zde není nic složitého. Například víme, že, pak jediná možnost je, že x a to je ted jev jistý. x, pak může nastat, že nebo. Oba dva se stejnou pravděpodobností, bude ted prp. pro obě kombinace.. Náhodná veličina X je určena distribuční funkcí: Pokud se podíváme na F x tak je F x pro x < pro x < pro x < pro x zřejmé, že se jedná o skokové změn v bodech, neboli tzv. schod. V tomto případě se ted bude jednat o diskrétní náhodnou veličinu není třeba integrovat. a určete pravděpodobnostní funkci x i f x i kontrola: součet všech pravděpodobností se musí rovnat, tzn. n i f x i. " b určete střední hodnotu, E[X] n i x i f x i kontrola: střední hodnota musí ležet mezi min x i a max xi. Splnění této podmínk nezaručí, že je výsledek dobře, ale zjistíte, kd je určitě špatně. ; " Opět to není složité. Jen je třeba si uvědomit, že pravděpodobností funkce v bodě x se rovná velikosti skoku, který v tom bodě je u distribuční funkce. Jedná se o diskrétní náhodnou veličinu pracujeme pouze se sumou, kd f x i je pravděpodobnost právě v bodě x i. Špatný výpočet ovlivní výpočet rozptlu, proto kontroluji x.

6 c určete rozptl, Jako u střední hodnot, i zde se pracuje se sumou. D[X] n i x i E [X ] f x i, 69 kontrola: rozptl musí být kladný nebo. Splnění této podmínk nezaručí, že je výsledek dobře, ale zjistíte, kd je určitě špatně.,69 > " V každém bodě vpočteme hodnotu rozptlu od střední hodnot a funkci si lze představit jako váhu, čím větší je výskt, tím víc ovlivní výsledek. d určete pravděpodobnost toho, že X je větší než,, ale menší než,6, P, < x <.6 P x P x kontrola: pravděpodobnost musí být v rozmezí a a zároveň nesmí být rovna jiné hodnotě, než je možný součet pravděpodobností v jednotlivých bodech. Pokud mi ted vjde v tomto případě pravděpodobnost je zřejmé, že je to špatně, protože možné výsledk jsou: i. jev nemožný nebo jev jistý ii. pravděpodobnosti v bodech nebo nebo iii. iv. v.. Splnění této podmínk nezaručí, že je výsledek dobře, ale zjistíte, kd je určitě špatně. výsledek souhlasí s bodem iii" e nakreslete pravděpodobnostní a distribuční funkci včetně kompletního popisu os. Je třeba si uvědomit, že pokud se jedná o diskrétní veličinu nezajímají nás pravděpodobnosti mimo místa, kde je nenulová pravděpodobnost. V tuto chvíli se jedná o bod x {,,}. Ze zadání nás ted zajímá jen pravděpodobnost v bodě a.. Pro sdruženou hustotu pravděpodobnosti f x, C sin x pro x,, Určete: a konstantu C jako je u náhodné veličin plocha pod křivkou rovna, tak je u sdružené plocha pod plochou rovna. Protože se jedná o hustotu pravděpodobnosti a zároveň platí, že náhodné veličin x a jsou definován na intervalu jedná se o spojité náhodné veličin musíme integrovat 6

7 C C sin x dx d C C cos cos }{{ sin sin }}{{ cos }{{}} C ˆb ˆd a c f x, dx d C sin x dx d sinx cos cosx sin dx d [ cosx cos sinx sin ] d cos sin sin }{{} d sin cos d C [ cos sin ] C cos sin cos sin }{{ }}{{ }{{}}{{} } C C V tomto případě je k zjištění konstant C integrovat x a to přes funkci x a je jedno v jakém pořadí. Je důležité si uvědomit, že v případě, že integruji přes x, jsou všechn proměnné vlastně konstanta. Z toho důvodu není složité integrovat, jen si dávat pozor na postup. V tomto případě se nejdříve integrovalo přes x a až poté přes. b obě marginální pravděpodobností funkce f fx ˆb a ˆd c f x, dx sin x dx [ cosx cos sinx sin ] f x, d sin x d sinx cos cosx sin dx sin cos sinx cos cosx sin d je důležité si pamatovat vzoreček pro marginální pravděpodobnostní funkce. V tuto chvíli se integruje pouze podle jedné proměnné. Stále je použita varianta, kde není substituce. Pozor, nemusí platit, že f je to samé co f x jen s jinou proměnnou [ ] cosx cos sinx sin sinx cosx Lze použít i substituci kdo chce použít substituci pro výpočet, lze to t x jednoduše takto. dt dx resp. t x dt d 7

8 c obě podmíněné pravděpodobnostní funkce Podmíněná pravděpodobnost lze opět vpočítat pouze prostým f x f x, dosazením do základních vzorečků. f sin x sin x sinx cosx sinx cosx f x f x, x sin x f x sin cos sin cos Případné dotaz či připomínk zasílejte, prosím, na pecherkova@fd.cvut.cz.