EORIE ODHADU 5. EORIE ODHADU Na úvod éo kapoly s zopakujm základí vlasos bodových odhad. 5.. Vlasos dobrého bodového odhadu as k sudu: 5 mu Cíl: Po prosudováí ohoo odsavc bud: zá vlasos bodových odhad rozum pojmu dosaá saska a bud um ur, zda vybraá saska j dosaou VÝKLAD Dobrý (vrohodý odhad musí splova uré vlasos. z základí vlasos vrohodých odhad paí: sraos (vychýlos, zkrslos vydaos (cc kozsc dosaos Nsraý odhad km, ž odhad j sraý, jslž s jho sdí hodoa rová hldaému paramru ( E ˆ. Zamá o, ž o odhad sysmacky adhodocuj a podhodocuj odhadovaý paramr. Slabší ormou sraos j asympocká sraos. íkám, ž odhad j asympocky sraý pokud: lm E ˆ Píklady sraých odhad: j sraým odhadm sdí hodoy (lmí vy Výbrová rlaví os p j sraým odhadm rlaví os (podílu 48
EORIE ODHADU V pípad áhodého výbru z ormálího rozdlí j výbrový rozpyl s sraým odhadm rozpylu σ J ba íc, ž xsuj moho dobrých odhad, kré jsou sraé. Vydaý (cí odhad Nsraos sama o sob zaruuj, ž j odhad dobrý. Rád bychom dosáhl aké oho, aby bodové odhady byly rozložy co jsj kolm odhadovaého paramru. Pokud budm mí dva sraé odhady ˆ a ˆ, vybrm s, krý bud mí mší rozpyl. ao vlasos s azývá vydaos (cc. Jslž pro dva sraé odhady ˆ a ˆ plaí D ˆ ˆ > D, poom j rlaví cc odhadu ˆ vzhldm k odhadu ˆ dáa podílm D ˆ ˆ / D, což j íslo mz a. Nsraý odhad, jhož rozpyl j jmší mz všm sraým odhady píslušého paramru, s azývá jlpší sraý (cí odhad. Píklady jlpších sraých odhad: j jlpším sraým odhadm sdí hodoy (lmí vy Výbrová rlaví os p j jlpším sraým odhadm rl. os (podílu V pípad áhodého výbru z ormálího rozdlí j výbrový rozpyl s jlpším sraým odhadm rozpylu σ Kozsí odhad Další žádoucí vlasosí dobrého odhadu j kozsc. Odhad j kozsí, pokud s s rosoucím rozsahm výbru ( zpsuj, k muž dochází pokud: a ˆ j asympocky sraý, j. E ˆ b lm D ˆ Vlasos b íká, ž s s rosoucím (rozsahm výbru rozdlí ˆ zužuj kolm hldaého paramru. Píklady kozsích odhad: σ j kozsím odhadm sdí hodoy, proož D pro Výbrová rlaví os p j kozsím odhadm rl. os (podílu, proož π ( π Dp pro 49
EORIE ODHADU Dosaý (posaující odhad Odhad paramru j dosaý, jslž obsahuj vškrou ormac o sldovaém paramru, krou mž výbrový soubor poskyou. Zamá o, ž žádý jý paramr obsahuj vší možsví ormac o výbrovém souboru. Píklady dosaých odhad: j dosaým odhadm sdí hodoy, proož pro jho výpo jsou použy všchy hodoy výbrového souboru (s jvší ormac, srovj apíklad s mdám Výbrová rlaví os p j dosaým odhadm rl. os (podílu, proož pro jjí výpo jsou použy všchy hodoy výbrového souboru Násldující pasáž cho marál (až po kapolu vovaou Rao-Cramrov rovos jsou z vlké ás sprováy [Ra, Lamoš, Lár: Pravdpodobos a mamacká šaska, Braslava 984]. Posaující saska pro paramr Dkaz oho, zda j urý odhad kví (jlpší sraý, í vždy jdoduchý. Abychom ašl odhad, krý má jmší rozpyl, j vhodé ahrazí clého výbru jdou saskou, a o akovou, krá bud obsahova vškrou ormac o paramru. Pokud j možé pomocí jaké sasky (mž s jda o vícrozmrou sasku odhadou zámé paramry souvsjícího rozdlí, hovoím o posaující sasc. Njjdodušší posaující saskou j podl dc samoý vkor áhodého výbru (,,, aková posaující saska však í pílš užá. Smysl má hlda akové posaující sasky, kré mají rozmr mší ž. Dc: Rálou ukc ( azvm posaující saskou pro paramr, jslž sdružé rozdlí áhodého výbru (,, podmíé jvm ( í pro žádé závslé a. Saska ( ( x pdsavuj jvší možou rdukc výsldk pozorováí (ahrazí pozorováí mším pom údaj. Proo s ozauj jako mmálí posaující saska. τ xsují sraé odhady, pak jlpší z ch (v smyslu mmálího rozpylu j ukcí mmálích posaujících sask a j ur jdoza. Jslž pro paramrckou ukc ( Sdružá pravdpodobosí ukc u krých rozdlí: Possoovo rozdlí : P( x; xp(l x l( x! 5
EORIE ODHADU a posaující saskou pro paramr j výbrový úhr x. Expocálího rozdlí j ( x ; δ xp lδ x δ a op posaující saskou pro paramr δ j výbrový úhr x Normálího rozdlí N(, σ, kré má husou ( x ;; σ x xp l π lσ σ a sdružá husoa (x;; σ xp l π lσ x σ posaující saskou pro paramr σ j dy x Jdoduchý posup p hldáí posaujících sask abízí va o akorzac. ao va zárov umožuj rychl rozhodou o om, zda j urá saska dosaou. Va o akorzac: Nch (,, j áhodý výbr z rozdlí ( x;. ( j posaující saskou pro paramr hdy, jslž sdružé rozdlí áhodého výbru j soum dvou akor: x, g ( x, h( x ( { } šý píklad Nch (,, j áhodý výbr z Possoova rozdlí. Dokažm, ž ( j posaující saskou pro paramr Possoova rozdlí (. x x! x,,,, > Sdružé rozdlí výbru má var: P( x, x,, x P( x x x! x x!, kd,,,,,, x 5
EORIE ODHADU Sdružé rozdlí výbru mžm akorzova, j. mžm jj zapsa jako sou dvou akor: g(, h( x kd g(, ; h( x x!, x! ( j dy posaující saskou pro paramr. Shruí kapoly 5.. Dobrý (vrohodý odhad musí splova uré vlasos. z základí vlasos vrohodých odhad paí: sraos (vychýlos, zkrslos vydaos (cc kozsc dosaos Rálou ukc ( azvm posaující saskou pro paramr, jslž sdružé rozdlí áhodého výbru (,, podmíé jvm ( í pro žádé závslé a. Jdoduchý posup p hldáí dosaujících sask abízí va o akorzac. ao va zárov umožuj rychl rozhodou o om, zda j urá saska posaující. Oázky 5... Vyjmuj a objas základí vlasos dobrého bodového odhadu.. Co j o posaující saska pro paramr? 3. Va o akorzac vysvl. 5
EORIE ODHADU 5.. Kosrukc kvích odhad as k sudu: 5 mu Cíl: Po prosudováí ohoo odsavc bud: aléz kví odhad rálé ukc paramru ( j paramr rozdlí áhodého výbru VÝKLAD V éo kapol s számím s Rao-Blackwllovou vou, krá ukazuj prakcký výzam posaujících sask pro výpo kvích (jlpších sraých odhad. Rao-Blackwllova va Nch (,, j áhodý výbr z rozdlí ( x;. Nch xsuj posaující saska ( pro paramr. Nch τ ( j rálá ukc paramru a ( j sraý odhad éo charakrsky. Poom plaí:. Pro ukc τ ( xsuj sraý odhad ( ( ( sasky (.. Nsraý odhad ( 3. (, krý j ukcí posaující má rozpyl mší bo rov rozpylu odhadu (: D D pro všcha ( ( ( ( ( D( ( P( ( ( pro všcha D Prvodc sudm Pro dkaz Rao-Blackwllovy vy j ué zá íž uvdou vlasos podmíé sdí hodoy. J-l (, Y spojý áhodý vkor s sdružou husoou (x,y, dujm podmíou sdí hodou ako: E ( Y y x ( x ydx, 53
EORIE ODHADU kd ( x y y ( y Y y y dx Dlžou vlasosí podmíé sdí hodoy j, ž: E Y [ E( Y ] E( Y Y ( y dy Y ( y x ( x y Y ( y x y ( y Y dxdy x dxdy ( x dx E( kd E Y j sdí hodoa vzhldm k áhodé vl Y., Dkaz: ad Nch ( j lbovolý sraý odhad paramrcké ukc ( posaující saska pro paramr. { } Položm: ( E ( ( Proož ( j výbrová charakrska, ukc ( í ukcí. ( ( Dokážm, ž ( ( j sraý odhad paramrcké ukc ( τ. Pro každé plaí: E ( E { ( ( } E( ( τ ( ad D ( ( E ( E ( E ( ( E τ a ( j j saska. {[ ( ] } E {[ ( τ ( ] } {[ ] [ ( τ ( ] } [ ( ( ] E {[ ( ] [ ( τ ( ]} E [ ( τ ( ] { } ( Sdí hodou souu ( E [ ( ] [ ( τ ( ] mžm vyjád jako: {[ ( ] [ ( ]} {[ ( ]} {[ ( ( ( τ E ( E ( ]} {[ ( E ( ]} {[ ( E ( ] ( } E {[ ( ( ]} dy: D ( ( E ( { } {[ ( ] } E {[ ( ( ] [ ( ( ]} [ τ E ( τ ( ] { } 54
EORIE ODHADU E ad3 D {[ ( ] } ( E ( D ( {[ ( ( ] } D ( ( ( D ( ( E ( ( D ( ( {[ ( ] } P{ ( ( } Z Rao-Blackwllovy vy vyplývá, ž p hldáí jlpších sraých odhad s mžm omz a odhady, kré jsou ukcm posaujících sask. ao va ám ukazuj, jak v pípad, ž zám lbovolý sraý odhad, ur sraý odhad, krý j ukcí posaující sasky. šý píklad Nch (,, j áhodý výbr z Possoova rozdlí: x x! x,,,..., > Nalz jlpší sraý odhad pravdpodobos oho, ž áhodá vla s Possoovým rozdlím abud hodoy. τ Hldám jlpší sraý odhad paramrcké ukc: ( τ j pravdpodobosí oho, ž áhodá vla s Possoovým rozdlím abud hodoy, abízí s jako vhodá posaující saska rlaví os ulových hodo v výbru, j. Vzhldm k omu, ž ( ( (, Y,, kd: Y Y pro pro,,,, Z pdcházjícího šého píkladu vím, ž pro paramr j posaující saskou. ( Njlpší sraý (kví odhad ( ukc ( zpsobm: τ budm hlda ásldujícím. Najdm sdí hodou ( podmíou jvm ( 55
EORIE ODHADU 56 ( ( ( { } P P Y P Y E E. Posaující sasku ( mžm zapsa v varu: ( Z, kd a Z jsou závslé áhodé vly s Possoovým rozdlím: ( E ( ( Z E Pak: ( ( ( ( ( ( [ ] ( Z P Z P P!! Ekvím odhadm paramrcké ukc ( τ j odhad ( x. Oázky 5... Rao Blackwllova va, popš posup p hldáí kvích odhad.
EORIE ODHADU 5.3. Fshrova míra ormac as k sudu: 5 mu Cíl: Po prosudováí ohoo odsavc bud: zá pojm Fschrova míra ormac um aléz Fschrovu míru ormac I( VÝKLAD Dlžým ukazalm kvaly odhadu j jho rozpyl (ppomm, ž každý odhad j áhodou vlou. Vyhovuj-l rozdlí, jhož paramr odhadujm, jsým obcým pdpokladm, lz ukáza, ž í možé zkosruova odhad s rozpylm mším ž jsá hodoa, zv. Raova-Cramrova hrac. z odhady s požadovaou vlasosí s dy vždy sažím aléz odhad, jhož rozpyl j rov éo hodo. Pokud s o podaí, hovoím o odhadu s mmálím rozpylm. V sascké lrau s aso opruj s sraým odhadm s mmálím rozpylm. K lbovolému rozdlí a k lbovolé paramrcké ukc ( budm hlda akovou ukc C(, aby lbovolý sraý odhad (, krý spluj podmíky rgulary, ml rozpyl vší ž C(. Fukc C( dy bud dolí mzí rozpyl pro všchy sraé odhady paramrcké ukc (. Exsují sraé odhady, jjchž rozpyl j rov C(. V krých pípadch j však ao hrac dosažlá pouz asympocky (pro. Dív ž s pusím do hldáí ukc C(, dujm s kré pojmy. Dc: Pdpokládjm, ž j jdorozmrý paramr. íkám, ž sysém huso j rgulárí práv když: {(x,, }. j prázdá ová moža. oža {x: (x,>} í ukcí 3. Pro každé x xsuj koá parcálí drvac: ( x, Pro každé, (, (, l Z plaí: 57
EORIE ODHADU 4. EZ l dx l 5. < DZ < (koý, kladý rozpyl df l df d x dx df dx dx DZ I ( l EZ df df l dx df Zjdoduš aso míso o rguláros sysému huso mluvím o rguláros rozdlí (x,. šý píklad Dokaž ž husoa ormálího rozdlí N (, j rgulárí. Husoa ormálího rozdlí N (, : π ( x pro R ad R, j prázdá ová moža ad R, oža {x: (x,>} í ukcí ad3 x R : ad4 Pro každé, (, ( x π l (, Z plaí: EZ ( x pro R dx π ( x ( x dx x d dx π d kd: π d d π ( I I ( π 58
EORIE ODHADU I I u d du d u du lm [ ] u ( v ( v u u lm v d du v du d [ ] u ( ( l ad5 Pro každé, ( (, Z, plaí: ( < DZ < DZ I ( ( x E dx D Husoa ormálího rozdlí (, dx ( x N j dy rgulárí. dx Dc: Nch áhodá vla má rgulárí rozdlí (x,. Igrál I( dovaý v podmíc 5 v dc rgulárího sysému huso azývám Fshrovou mírou ormac: I ( l df df dx Fschrova míra ormac j dy sdí hodoa áhodé vly dovaé jako: žm j dy zapsova aké jako: (, (, I ( E ( (,, l E x (, Násldující va ám uvádí dlžou vlasos Fshrovy míry ormac, využlou pdvším p výpou ormac v prakckých píkladch. Va: Nch (x, j rgulárí husoa. Nch pro všcha x a pro všcha xsuj druhá drvac (x,: ( x, Nch pro každé plaí: df Poom: 59
EORIE ODHADU l I ( df, ( x šý píklad Nch áhodá vla má ormálí rozdlí N ( µ,σ Ur míru ormac o paramru., kd σ zám. ( xµ σ, ( x µ π σ pro x R l ( xµ µ σ l l l π σ l ( π lσ ( x µ σ ( l µ ( x µ µ σ I ( l E µ σ µ ( x µ E 4 σ 4 σ E {( x µ } 4 σ D 4 σ σ šý píklad Nch áhodá vla má Possoovo rozdlí Po ( ormac o paramru.. Ur míru k k! ( k, k,,..., > E D J zjmé, ž ( k, j rgulárí husoa. l k ( k, l ( l k! l k l ( l k!- ( l ( k, k k 6
EORIE ODHADU I ( ( k, ( k {( k } l E E E D Oázky 5.3.. Duj Fschrovu míru ormac. Popš jak v prax hldám I( 6
EORIE ODHADU 5.4. Rao Cramrova rovos as k sudu: 5 mu Cíl: Po prosudováí ohoo odsavc bud: zá prakcký výzam Fschrovy míry ormac um aléz dolí mz rozpylu sraých odhad - C( VÝKLAD V éo kapol s ukážm jaký j vzah mz Fshrovou mírou ormac a dolí mzí rozpylu C( sraých odhad daé paramrcké ukc. Dc: Nch (,, j áhodým výbrm, krý má rgulárí rozdlí (x,, jž j ukcí jdoho rálého paramru. Nch τ ( j daá paramrcká ukc aková, ž jjí τ ( ( τ xsuj pro každé. Nsraý odhad ( (E( τ ( paramrcké ukc τ ( azvm rgulárím práv když pro každé plaí: ( τ ( x dx ( ( ( ( ( x x, dx E τ, z. když jho sdí hodou E ( ( x dx ( x l ( x dx ( x df( x, τ ( ( mžm drvova podl. dx ( x df( x, Násldující va pak udává dolí mz rozpylu sraého odhadu daé paramrcké ukc τ. ( 6
EORIE ODHADU Rao Cramrova va Nch (,, j áhodým výbrm, krý má rgulárí rozdlí (x,. Nch τ ( j daá paramrcká ukc. Poom pro každý rgulárí sraý odhad ( ukc τ plaí: ( ( ( D { τ ( } I( C ( Odhad (, jhož rozpyl j rov Rao Cramrov dolí mz rozpylu C(, j kvím odhadm. šý píklad Po. Ur podl Rao Cramrovy rovos dolí mz rozpylu odhadu paramru. Nch (,, j áhodým výbrm z Possoova rozdlí ( Z pdcházjícího šého píkladu vím, ž Fshrova míra ormac paramru j: I ( Podl Rao Cramrovy vy má každý rgulárí sraý odhad paramru τ dolí mz rozpylu ( ( { τ ( } I( C( Rozpyl sraého odhadu ( j ( ( D( D Pro paramr dy xsuj sraý odhad s rozpylm rovajícím s Rao Cramrov dolí mzí. šý píklad Nch (,, j áhodým výbrm z ormálího rozdlí ( µ,σ N, kd σ zám. Ur pomocí Rao Cramrovy rovos dolí mz rozpylu odhadu paramru. 63
EORIE ODHADU ( xµ σ, ( x µ σ π, kd σ zám Chcm ají Rao-Cramrovu dolí mz rozpylu: C( µ { τ ( µ } I( µ Z pdcházjících šých píklad vím, ž Fshrova míra ormac pro paramr j: I σ ( µ a píslušá paramrcká ukc j: τ ( µ µ Proo: ( { τ ( µ } σ I( µ C µ σ Vím, ž jlpším sraým (kvím odhadm sdí hodoy j prmr. l by dy mí rozpyl rov Rao Cramrov dolí mz rozpylu. ( ( Podl crálí lmí vy mžm prmr aproxmova ormálím rozdlím N, σ σ µ, z hož j zjmé, ž D ( ( C( µ. ímž jsm dokázal ž prmr j kvím odhadm sdí hodoy ormálího rozdlí. Oázky 5.4.. Jak a pro urujm dolí mz rozpylu sraého odhadu? 64
EORIE ODHADU 5.5. oda mom as k sudu: 5 mu Cíl: Po prosudováí ohoo odsavc bud um: odhadova paramry rozdlí pravdpodobos modou mom VÝKLAD Pro odhad hodo paramr pravdpodobosích rozdlí s jasj používá moda maxmálí vrohodos (maxmum lklhood, bo moda mom. V m spoívá prcp mody mom oda mom j prcpl jdoduchá moda pro kosrukc bodových odhad zámých paramr zámých rozdlí, krá spoívá v om, ž porovávám výbrové momy získaých da s odpovídajícím orckým momy pdpokládaého rozdlí s husoou (. oda vd a ší sousavy akového pou rovc, kolk j zámých paramr. ám-l k dspozc zazamaá daa (áhodý výbr (,..., ; pak: k-ý výbrový obcý mom j dá vzahm: ' k k Podob k -ý výbrový crálí mom: k ( k, kd j prmr. Odpovídající orcké momy jsou dáy rovcm: k k-ý obcý mom: µ k ( d k -ý výbrový crálí mom: µ ( µ ( k k d oda mom: Jslž pravdpodobosí rozdlí s husoou ( má r zámých paramr a jslž sousava rovc k k µ k, k,..., r rsp. µ, k,..., r má jdé ší, pak dává moda mom jdoza uré odhady r paramr. k 65
EORIE ODHADU 66 šý píklad J dá áhodý výbr (,...,. Pdpokládám, ž jd o výbr z xpocálího rozdlí E(. odou mom odhad zámý paramr. Ozam s hldaý odhad. získám jako ší rovc: µ Husoa xpocálího rozdlí j (, proo: µ lm lm lm ( ( ( (.. ' ' v u v u d d. Rovc µ pchází a rovc: bol, což j odhad zámého paramru získaý modou mom. Shruí kapoly 5.5. oda mom j prcpl jdoduchá moda pro kosrukc odhad zámých paramr zámých rozdlí, krá spoívá v om, ž porovávám výbrové momy získaých da s odpovídajícím orckým momy pdpokládaého rozdlí s husoou (. oda vd a ší sousavy akového pou rovc, kolk j zámých paramr. Úlohy k ší 5.5.. Nch urbía lkráry podléhá áhodým šokm, kré splují pdpoklady Possoových pokus. Nch p každém páém šoku dojd k závažé poruš urbíy.
EORIE ODHADU Bhm dlouhodobého sldováí byly zazamáy ásldující doby do poruch urbíy (v hodách: (,, 96, 5, 45, 3, 55, 65, 385, 4. a Ur pravdpodobosí rozdlí pro dobu do poruchy urbíy. b Ur odhad zámého paramru zjšého rozdlí modou mom. c Ur hazardí ukc urbíy. d Ur, v kré áz svého žvoího cyklu s urbía achází. 67
EORIE ODHADU 5.6. oda maxmálí vrohodos as k sudu: 5 mu Cíl: Po prosudováí ohoo odsavc bud um: odhadova paramry rozdlí pravdpodobos modou maxmálí vrohodos VÝKLAD Na m j založa moda maxmálí vrohodos Odhady získaé ouo modou s všobc vyzaují dobrým sasckým vlasosm. Nch (,, j áhodý výbr z rozdlí s husoou ( ;, kd j zámý paramr. Naším problémm bud aléz ukc (zvaou ukc vrohodos daou L ; (,..., ; ( ;. ( ;... ( ; ( a z í pak získa ak, aby ˆ ˆ (,..., bylo co jlpším odhadm pro. Pravá sraa rovc j sdružá husoa pravdpodobos -závslých promých (,..., s sjým rozdlím. Jlkož L j jdoduš ukcí zámého paramru, krý j odhadová, moda maxmálí vrohodos j založa a získáí akové hodoy, krá maxmalzuj L. P prakckých výpoch s ukázalo jako výhodjší maxmalzova spíš ukc l L amíso L, což j možé proo, ž ob yo oprac jsou kvvalí a dávají sjé výsldky. Podmíkou opmaly j dy rovc: l L (,..., ; a hodoa paramru získaá z éo podmíky s azývá maxmál vrohodý odhad paramru. šý píklad J dá áhodý výbr (,...,. Pdpokládám, ž jd o výbr z xpocálího rozdlí E(. odou maxmálí vrohodos odhad zámý paramr. Ozam s hldaý odhad ˆ. 68
EORIE ODHADU 69 Husoa xpocálího rozdlí j (, proo ukc vrohodos pak bud dáa výrazm: ( ( ( ( L....... ;,..., Logarmováím získám ( ( L....l l l l ;,..., l Zbývá vyš podmíku opmaly: ( L ˆ..l ;,..., l Získal jsm maxmál vrohodý odhad paramru. šý píklad Uvažujm dvouparamrcké Wbullovo rozdlí s husoou (. odou maxmálí vrohodos odhad paramry a. Fukc vrohodos L j dáa ( j j L..., ;,..., Logarmováím získám: ( ( L j j l l l l l l l l l l Opmalzac však provádím s ohldm a oba zámé paramry α,, akž podmíka opmaly pchází v omo pípad a dv ásldující rovc:
EORIE ODHADU l L l L l l Z druhé rovc mžm sado získa zaímco z prví rovc dosam l j l Porováím pravých sra posldích dvou rovc získám jdu rovc pro jdu zámou. ší j uo provés umrcky volbou vhodého raího procsu. Shruí kapoly 5.6. oda maxmálí vrohodos j prcpl jdoduchá moda pro kosrukc odhad zámých paramr zámých rozdlí pravdpodobos, krá j založa a maxmalzac vrohodosí ukc, což j sdružá husoa pravdpodobos daého áhodého výbru, bráa ovšm jako ukc zámých paramr. Úlohy k ší 5.6.. Doba do poruchy dslgráoru s ídí xpocálím rozdlím pravdpodobos. Bhm dlouhodobého sldováí byly zazamáy ásldující poruchové doby v hodách: (5, 9, 65, 77, 3, 78, 6, 8, 94, 68. a Odhad paramr modou maxmálí vrohodos, b Charakrzuj hazardí ukc dslgráoru, c Odhad ukc bzporuchovos v as hod, d Ur 9% -í žvo dslgráoru (zaruou dobu bzporuchového provozu, j. dobu do poruchy, krá bud pkroa s 9% pravdpodobosí.. Nch urbía lkráry podléhá áhodým šokm, kré splují pdpoklady Possoových pokus. Nch p každém páém šoku dojd k závažé poruš urbíy. Bhm dlouhodobého sldováí byly zazamáy ásldující doby do poruch urbíy (v hodách: (,, 96, 5, 45, 3, 55, 65, 385, 4. 7
EORIE ODHADU a Ur pravdpodobosí rozdlí pro dobu do poruchy urbíy, b Ur odhad zámého paramru zjšého rozdlí modou mom, c Ur hazardí ukc urbíy, d Ur, v kré áz svého žvoího cyklu s urbía achází. Klí k ší L a ( ( ( ( ;.......,..., dává odhad paramru ásldov: ˆ, což po dosazí zadaých hodo j ˆ, 5656. 768 b Hazardí ukc j kosaí, (,5656, dslgráor j dy v období sablího žvoa. c Fukc bzporuchovos v as hod j: R( - F( - ; R( -,5656,568 d Hldaou dobu urím ším rovc: P ( >,9, 9, j. (, 9 8, 6 hod,9, 9 F ; a Doba do poruchy s ídí Gamma rozdlím s husoou ( paramrm 5 4.. Γ(5, s zámým b odhadm modou mom: Rovc µ 5 pchází a rovc 5 bol, 4, což j odhad zámého paramru získaý modou mom. c Hazardí ukc j: ( 4 4 (4,4 (,! 4 d urbía s achází v í áz svého žvoího cyklu, j. v období poruch v dsldku sáruí a opobí. Y Y pro pro,,, 7